Действия с десятичными дробями разного знака. Десятичные дроби, примеры и определения. Причины, по которым понадобилось применение десятичных дробей
Организация: МБОУ Бестужевская СОШ
Населенный пункт: с. Бестужево, Устьянский р-н, Архангельская область
Дидактический материал по теме:
«Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Проценты»
«Дидактический материал - особый тип наглядного учебного пособия (преимущественно карты, таблицы, наборы карточек с текстом, цифрами или рисунками и т.д.), раздаваемые учащимся для самостоятельной работы в классе или дома. Дидактическим материалом называются также сборники задач и упражнений» .
- Данный дидактический материал разработан по теме: «Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Проценты». рассчитан на учащихся 5 класса общеобразовательных школ и предназначен для формирования и развития вычислительной культуры учащихся по данной теме.
Цель данного дидактического материала – овладение учащимися вычислительных навыков действий с десятичными дробями и процентами; развитие познавательной активности и повышение учебной мотивации у пятиклассников; формирование у учащихся культуры учебной деятельности и повышение интереса к математике.
Задачи :
1) Сформировать и развить вычислительные навыки действий с десятичными дробями и процентами у пятиклассников при решении заданий данного дидактического материала;
2) Повысить учебную мотивацию и интерес к изучению математики у учащихся через решение нестандартных заданий дидактического материала;
3) Развивать познавательную активность и культуру учебной деятельности учащихся при различных формах работы с данным дидактическим материалом.
Данный дидактический материал представлен в виде карточек с различными нестандартными заданиями. Первый вид заданий – числовые кроссворды. В этих кроссвордах ответом может быть целое число или конечная десятичная дробь. Такие кроссворды – альтернатива примерам из учебных пособий. При разгадывании кроссвордов, нужно выполнить действие с десятичными дробями, записать ответ в кроссворд, при этом надо учитывать, что каждый знак записывается в отдельную клетку. В конце каждой карточки с кроссвордом дана инструкция по заполнению ответов. Решая такие числовые кроссворды, учащиеся могут контролировать правильность своих решений (при индивидуальной работе с кроссвордом) или контролировать друг друга (при работе в парах или малых группах). Кроссворды в дидактическом материале представлены по следующим темам: «Запись десятичных дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Умножение десятичных дробей на натуральное число», «Деление десятичных дробей на натуральное число», «Умножение десятичных дробей», «Деление числа на десятичную дробь».
В дидактическом материале также содержатся задания, ответом на которые может быть слово, фраза, поговорка или имя ученого. В таких заданиях учащийся решает пример, получает ответ, которому соответствует определенная буква. Решив все примеры в задании можно получить термин, значение которого дается ниже; пословицу или имя ученого, внесшего вклад в развитие математики. Решая такие задания, учащиеся узнают интересные факты из истории математики, о различных древних приспособлениях счета, об истории появления процентов. В процессе решении заданий учащиеся могут сами контролировать правильность своего решения или контроль осуществляет учитель. В конце карточки с заданиями дана инструкция по заполнению ответов. Эти задания носят познавательный характер и направлены на расширение кругозора учащихся. В дидактическом материале содержатся задания по темам: «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Умножение десятичных дробей на натуральное число», «Умножение и деление десятичных дробей на натуральное число», «Умножение десятичных дробей», «Умножение и деление десятичных дробей», «Все действия с десятичными дробями», «Среднее арифметическое», «Нахождение числа по его процентам».
В данном дидактическом материале содержится задания, в которых нужно вставить пропущенные числа. Это цепочка вычислений, в которой дано одно число: первое, последнее или число посередине цепочки и нужно расставить остальные числа, выполняя действия в одну или другую сторону. Цепочки вычислений представлены в разных уровнях сложности. Также сюда относятся задания, в которых нужно вставить пропущенные числа по кругу, выполняя различные действия с числом в центре. Такие задания требуют контроля и проверки учителем и рассчитаны для устного счета или небольшой проверочной работы. Эти задания представлены по темам: «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Умножение и деление десятичных дробей на натуральное число», «Действия с десятичными дробями», «Проценты».
Следующий вид заданий, которые содержатся в дидактическом материале – задания на определение истинности или ложности высказывания, которые тоже рассчитаны для устного решения или математического диктанта. В таких заданиях дано высказывание или решен пример и нужно определить верно это или неверно, в кружок рядом с высказыванием поставить «И» или «Л». При решении таких заданий учащимися должен быть контроль со стороны учителя. Задания представлены по следующим темам: «Чтение и запись десятичных дробей», «Умножение числа на 0,1; 0,01; 0,001; …….».
Последний вид заданий данного дидактического материала - это задания на нахождение ошибки в примерах или в решении уравнений. В таких заданиях нужно найти и исправить предложенные ошибки, к каждой карточке с заданием для самоконтроля указано количество допущенных ошибок. Проверка выполнения задания осуществляется учителем. Задания представлены по темам: «Деление десятичных дробей на натуральное число», «Деление числа на 0,1; 0,01; 0,001; …..».
При использовании нестандартных заданий данного дидактического материала у учащихся формируется вычислительная культура, развиваются и отрабатываются вычислительные навыки по теме: «Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Проценты». Задания дидактического материала позволяют привить учащимся интерес к математике, повысить их познавательную активность и мотивацию к учению. С помощью дидактического материала у пятиклассников формируются умения самостоятельно осмысливать и усваивать материал по данной теме, развивается смекалка. Данный дидактический материал можно использоваться на уроках для индивидуальной работы учащихся, работы в парах или малых группах. Для индивидуальной работы задания выдаются более сильным учащимся, более слабые работают в парах или группах по 3-4 человека. Оцениваются эти задания разными способами: самооценка учащимися, взаимооценка при работе в паре или группе, оценка работы учителем. Задания дидактического материала можно использовать для домашней работы и самоподготовки учащихся. Дидактический материал можно применять на разных этапах урока. На этапе актуализации знаний применяются цепочки вычислений и задания на определении истинности и ложности высказываний, так же эти задания можно использовать при проведении математических диктантов. Числовые кроссворды и задания на получение слова, фразы или имени ученого можно использовать на этапах закрепления и применения знаний. Данный дидактический материал можно использовать для контроля и проверки знаний учащихся по теме: «Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Проценты». При решении такого рода заданий у учащихся развивается культура учебной деятельности: если это индивидуальная работа, то ученик самостоятельно определяет шаги по решению и может себя проконтролировать и оценить, может проявить смекалку; если это работа в паре или в малой группе, то ученики распределяют задания между собой, контролируют друг друга, проводят взаимооценку. Дидактический материал направлен на самоконтроль со стороны учащихся, взаимоконтроль и тренировку в процессе усвоения учебного материала. При работе с дидактическим материалом учащийся решает конкретную дидактическую задачу, используя свои знания и навыки, при этом развивает свою интеллектуальную, мотивационную, волевую и эмоциональную сферы. Из опыта использования данного дидактического материала могу сказать, что ученики на «ура» принимают эти задания, особенно любят отгадывать числовые кроссворды.
При использовании данного дидактического материала в процессе обучения у учащихся формируются все группы УУД (универсальные учебные действия). УУД – совокупность способов действия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечивающих его способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию этого процесса . Формируются и развиваются:
Личностные УУД – использование полученных знаний, мотивация к учению, оценивание собственной учебной деятельности.
Регулятивные УУД - организация и планирование своей учебной деятельности, самостоятельный анализ условия достижения цели, прогнозирование и предвосхищение результата, контроль и коррекция своей деятельности.
Познавательные УУД - структурирование знаний, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, владение анализом и синтезом, поиск и выделение необходимой информации.
Коммуникативные УУД - умение формулировать мысли, планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, управление поведением партнера - контроль, коррекция, оценка действий партнера, умение отстаивать свою точку зрения.
Данный дидактический материал разработан с опорой на учебники математики для 5 класса: «Математика 5» авторского коллектива Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И., а также «Математика 5» коллектива авторов Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Задания дидактического материала могут быть использованы учителями в процессе преподавания математики в 5 классах по учебникам других авторов. Также дидактический материал будет служить хорошим помощником при самоподготовке учащихся. В конце дидактического материала предложены ответы к заданиям.
Список литературы:
1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика 5класс, 6 класс, учебник Москва Мнемозина, 2013 год.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1981 год.
3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика 5, 6 класс. Москва Вентана-Граф, 2013 год.
4. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.. Дидактические материалы. Математика 5 класс, 6 класс. Москва Вентана-Граф, 2015 год.
5. Рапацевич Е. С. Новейший психолого-педагогический словарь. Современная школа, 2010 год.
6. Фундаментальное ядро содержания общего образования под редакцией Козлова В. В., Кондакова А. М. М.: Просвещение 2011 год.
7. Чесноков А. С., Нешков К. И. Дидактические материалы по математике 5класс, 6 класс. Москва Классик Стиль, 2010.
8. Википедия. Свободная энциклопедия. https://ru.wikipedia.org/wiki/
Глава 2 ДРОБНЫЕ ЧИСЛА И Действия С НИМИ
§ 45. Задачи и примеры на все действия с натуральными числами и десятичными дробями
Начальный уровень
1620. Найди (устно):
1) 1,8 + 3,1; 2) 0,05 + 0,18; 3) 4,2 - 1,2;
4) 100 ∙ 0,15; 5) 57 ∙ 0,1; 6) 0,73: 0,1.
1621. Найди (устно):
1) 7,8 + 4,9; 2) 3,7 + 2,51; 3) 1 - 0,6;
4) 2 - 0,17; 5) 0,001 ∙ 29; 6) 4,2: 0,7.
1622. Обчисли (устно):
1) 0,57 + 1,43; 2) 4,27 - 2,07; 3) 4,1 - 2,01;
4) 8 ∙ 1,5; 5) 60: 0,2; 6) 739: 100.
1623. Обчисли (устно):
1) 8,32 ∙ 10; 2) 117,3 ∙ 100; 3) 1,85 ∙ 1000;
4) 3,71 ∙ 0,1; 5) 4,92 ∙ 0,01; 6) 125,3 ∙ 0,001.
1624. Обчисли (устно):
1) 32,7: 10; 2) 45,13: 100; 3) 2792: 1000;
4) 8,3: 0,1; 5) 37,3: 0,01; 6) 13,24: 0,001.
1625. Обчисли:
1) 5,18 + 25,37; 2) 0,805 + 7,105;
3) 5,97 + 0,032; 4) 8,91 - 1,328;
5) 71,5 - 16,07; 6) 42 - 7,18.
1626. Обчисли:
1) 4,27 + 37,42; 2) 0,913 + 8,39;
3) 4,13 + 0,9027; 4) 4,17 - 0,127;
5) 42,7 - 17,08; 6) 78 - 14,53.
1627. Обчисли:
1) 42 ∙ 0,13; 2) 3,6 ∙ 2,5; 3) 7,05 ∙ 800;
4) 15: 4; 5) 72: 2,25; 6) 15,3: 17.
1628. Обчисли:
1) 38 ∙ 0,25; 2) 4,8 ∙ 3,5; 3) 4,07 ∙ 900;
4) 18,3: 2; 5) 53,55: 4,25; 6) 406,6: 19.
1629. Запиши в виде десятичной дроби:
1630. Запиши в виде обыкновенной дроби или смешанного числа:
1) 2,3; 2) 4,07; 3) 0,23; 4) 10,073.
1631. Сравни:
1) 4,897 и 4,879; 2) 7,520 и 7,52;
3) 42,57 и 42,572; 4) 9,759 и 9,758.
1632. Сравни:
1) 7,896 и 7,869; 2) 8,01 и 8,1;
3) 47,53 и 47,530; 4) 4,571 и 4,578.
Средний уровень
1633. Обчисли 2,5 x + 0,37, если:
1) x = 1,6; 2) x = 3,4.
1634. Найди среднее арифметическое чисел:
1) 0,573; 1,96; 35,24;
2) 4,82; 89,59; 0,462; 9,368.
1635. Найди среднее арифметическое чисел 20,76; 80,43; 90,24.
1636. За 2,5 часа поезд проехал 195 км. Сколько километров проедет поезд за 3,6 ч, если будет двигаться с той же скоростью?
1637. Автомобиль в течение t часов ехал со скоростью 85 км/час. Составь выражение для нахождения пути, пройденного автомобилем, и обчисли его, если t равен 0,5; 0,8; 1,4; 3.
1638. Обчисли значение выражения 27,3 - а: b , если:
1) а = 33,5; b = 2,5; 2) а = 32,16; b = 13,4.
1639. Реши уравнения:
1) 12,5 + х = 37,4; 2) в + 13,72 = 18,1;
3) в - 137,8 = 27,41; 4) 17 - х = 12,42.
1640. Реши уравнения:
1) 13,7 + a = 18,4; 2) x + 13,42 = 18,9;
3) b - 142,3 = 15,73; 4) 14 - y = 12,142.
1641. Сравни величины:
1) 0,4 м и 4 дм; 2) 0,2 дм и 20 см;
3) 0,07 м и 7 см; 4) 0,03 км и 300 м
1642. Сравни величины:
1) 0,2 т и 2 ц; 2) 0,3 ц и 31 кг;
3) 0,8 т и 785 кг; 4) 0,08 кг и 80 г.
1643. Скорость теплохода в стоячей воде равна 25,4 км/ч, а скорость течения реки - 1,8 км/час. Сколько километров проходит теплоход:
1) за 1,5 ч по течению реки;
2) за 2,4 ч против течения реки?
1644. Катер двигался сначала 1,6 ч по озеру со скоростью 25,5 км/ч, а затем 0,8 ч по реке против течения. Скорость течения равна 1,7 км/ч. Какое расстояние преодолел катер?
1645. Найди значение выражения:
1) 15 ∙ (2,7 + 4,2);
2) (5,7 - 2,3) : 4;
3) (5,47 - 4,25) ∙ 10;
4) (4,47 + 2,7) : 10;
5) (13,42 - 4,15) ∙ (12,3 - 0,3);
6) (2,17 + 4,45) : (12,6 - 12,5).
1646. Найди значение выражения:
1) (2,43 + 4,15) ∙ 1,7;
2) (12,49 - 3,57) : 0,4;
3) (4,17 - 3,8) ∙ (10,1 - 8,1);
4) (15,7 + 14,9) : (2,91 - 1,21).
1647. Реши уравнения:
1) 12,5 х = 45; 2) в ∙ 4,8 = 60,6;
3) х: 4,7 = 12,3; 4) 12,7: в = 0,01.
1648. Розв яжи уравнения:
1) 3,7 y = 7,77; 2) х ∙ 3,48 = 8,7;
3) в: 5,4 = 13,5; 4) 52,54: х = 3,7.
1649. Составь выражение: от суммы чисел а и 42,3 отнять разницу чисел 15,7 и b . Обчисли значение выражения, если а = 3,7; b = 2,3.
1650. Из 360 учеников школы 40 % принимали участие в кроссе. Сколько учащихся участвовало в кроссе?
1651. Найди значение выражения:
1) (120,21 - 37,59) : 34 + 5,43 ∙ 19;
2) (8,57 + 9,585: 4,5) ∙ 3,8 - 42,7: 4.
1652. Найди значение выражения:
1) (5,02 - 3,89) ∙ 29 + 0,27: 18;
2) (32,526: 3,9 + 2,26) ∙ 5,4 - 47,2 ∙ 0,5.
1653. На сколько сумма чисел 19,4 и 4,72 больше разности этих же чисел?
1654. Найди сумму 25,3 дм + 13,7 см + 15 мм в сантиметрах.
1655. 32 ученики собрали 152 кг клубники и 33,6 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрал каждый ученик, если они собрали ягод каждого вида поровну?
1656. С поля площадью 420 га планировалось собрать по 35 центнеров зерна с каждого гектара, но собрали 1785 т зерна. На сколько центнеров урожай с 1 га выше, чем было запланировано?
1657. Найди площадь поверхности куба с ребром 1,5 см.
1658. Найди площадь и периметр квадрата со стороной 4,7 дм.
1659. Запиши в порядке убывания дроби: 0,27; 0,372; 0,423; 0,279; 0,51; 0,431; 0,307.
1660. Запиши в порядке возрастания дроби: 4,23; 4,32; 4,222; 43,2; 4,232; 4,323.
1661. Веревку длиной 15,3 м разрезали на три части. Одна из них составляет веревки, вторая
длиннее первой на 1,8 м. Найди длину каждой части.
1662. Яхта «Беда» за 3 дня регаты преодолела 234,9 км. За первый день яхта преодолела этого расстояния, а за второй - на 8,3 км меньше, чем за первый. Сколько километров яхта «Беда» преодолевала каждый день?
1663. Автомобиль проехал 471 км. Первые 205 км он ехал со скоростью 82 км/ч, а оставшуюся часть - со скоростью 76 км/час. За какое время автомобиль преодолел весь путь?
1664. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,4 см. Найди его основание, если боковая сторона треугольника равна 5,3 см.
1665. Найди периметр равнобедренного треугольника, основа которого равна 4,2 дм, а боковая сторона в 1,5 раза больше за основу.
1666. Обчисли:
1) (88,57 + 66,87) : 29 - 0,27 ∙ 18;
2) 20,8: (12 - 11,36) - 8: 12,5 + 4,7 ∙ 5,2.
1667. Обчисли:
1) (1,37 + 4,86) ∙ 17 - 556,89: 19;
2) (3,81 + 59,427: 9,3) ∙ 7,6 - 10,2 ∙ 4,7.
1668. На сколько сумма чисел 8,1 и 7,2 больше их долю?
1669. На сколько разность чисел 3,7 и 2,5 меньше их произведения?
1670. Найди значение выражения а ∙ 2,5 - b , если а = 3,6; b = 1,117.
1671. Между какими соседними натуральными числами размещено дробь:
1672. Округли до:
1) единиц: 25,17; 37,89;
2) десятых: 37,893; 42,012;
3) сотых: 108,112; 213,995.
1673. Округли до:
1) единиц: 25,372; 37,51;
2) десятых: 13,185; 14,002;
3) сотых: 15,894; 17,377.
1674. Начерти координатный луч, взяв за единичный отрезок 10 клеточек. Отметить на нем точки А(0,7), B (1,3), С(1), D (0,2), D (1,9).
1675. Начерти координатный луч, взяв за единичный отрезок 10 клеточек. Обозначь на нем точки М(0,6), N (1,4), K (0,3), L (2), Р(1,8).
1676. Белый медведь весит 720 кг, а масса бурого составляет 40 % массы белого медведя. Обчисли массу бурого медведя.
1677. Упрости выражение 2,7 x - 0,05 x + 0,75 x и найди его значение, если х = 2,7.
1678. Основа равнобедренного треугольника равна 10,8 см, а длина боковой стороны составляет длины основы. Найди периметр треугольника.
1679. Упрости выражение и обчисли его значение:
1) 2,7 а ∙ 2, если а = 3,5;
2) 3,2 x ∙ 5у, если x = 0,1; в = 1,7.
1680. Найди объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны:
1) 1,2 см, 5 см, 1,8 см; 2) 1,2 дм, 3 см, 23 мм.
1681. Вырази в тоннах и запиши в виде десятичной дроби:
1) 7314 кг; 2) 2 т 511 кг; 3) 3 ц 12 кг; 4) 18 кг.
1682. Вырази в метрах и запиши в виде десятичной дроби:
1) 527 см; 2) 12 дм; 3) 3 м 5 дм; 4) 5 м 4 см. 336
Достаточный уровень
1683. Выполни деление, полученную долю округли:
1) 110: 57 до единиц; 2) 18: 7 до десятых;
3) 15,2: 0,7 до сотых; 4) 14: 5,1 до тысячных.
1684. Выполни деление, полученную долю округли:
1) 120: 37 до десятых; 2) 5,2: 0,17 до сотых.
1685. Завод работал 15 дней и выпускал ежедневно в среднем по 45,4 т минеральных удобрений. Все удобрения загрузили в 25 железнодорожных вагонов поровну. Сколько удобрений погрузили в каждый вагон?
1686. Сумма двух длин треугольника равна 15 см, а длина третьей стороны составляет 80 % этой суммы. Найди периметр треугольника.
1687. Одна из сторон прямоугольника равна 14,4 см, а длина второго составляет 75 % первой. Найди площадь и периметр этого прямоугольника.
1688. Периметр треугольника равен 36 см. Длина одной из сторон составляет периметра, а длина второй - 40 % периметра. Найди стороны треугольника.
1689. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 16 дм, ширина составляет длины, а высота - 70 % ширины. Найди объем прямоугольного параллелепипеда.
1690. Найди сумму трех чисел, первое из которых равна 4,27, а каждое следующее в 10 раз больше вперединет.
1691. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 16 см, что составляет длины и 40 % ширины. Найди объем прямоугольного параллелепипеда.
1692. Одна сторона прямоугольника равна 8,5 см, а вторая составляет 60 % первой. Найди периметр и площадь прямоугольника.
1693. Один из рабочих изготовил 96 деталей за 6 ч, а другой - 45 деталей за 2,5 часа. За сколько часов они изготовят 119 деталей, работая вместе?
1694. Что выгоднее купить?
1695. Что выгоднее купить?
1696. Составь задачи по схемам и реши их.
1697. Составь задачи по схемам и реши их.
1698. На сколько увеличится объем куба, если его ребро увеличить с 2,5 см до 3,5 см?
1699. Составь числовое выражение и найди его значение:
1) разность сумм чисел 2,72 и 3,82 и
2) произведение разности чисел 18,93 и 9,83 и числа 10.
1700. Из поселка А в поселок В одновременно выехали два велосипедиста со скоростями 15,6 км/ч и 18,4 км/час. Через 3,5 час один из велосипедистов прибыл в поселок В. Сколько километров должен проехать другой велосипедист?
1701. Из одного города одновременно в противоположных направлениях выехали два автомобиля. Скорость одного из них - 76 км/ч, что составляет 95 % скорости другого. Через сколько часов расстояние между автомобилями будет 390 км?
1702. Реши уравнения:
1) 1,17 x + 0,32 x = 3,725;
2) 4,7 x - 1,2 x = 4,34;
3) 2,47 x - 1,32 x + 1,3 = 4,221;
4) 1,4 x + 2,7 x - 8,113 = 2,342.
1703. Реши уравнения:
1) 4,13 x - 0,17 x = 9,9;
2) 5,3 x + 4,8 x - 5,13 = 43,35.
1704. Развернутый угол разделили лучами на треуголки. Первый составляет развернутого, а второй - первого. Найди градусные меры трех образованных углов.
1705. Составь задачи по схемам и реши их:
1706. Составь задачи по схемам и реши их:
1707. Реши уравнения:
1) 2,7(x - 4,7) = 9,45; 2) (4,7 + x ) : 3,8 = 10,5;
3) 2,4 + (x : 3 - 5) = 0,8; 4) 2,45: (2 x - 1,4) = 3,5.
1708. Реши уравнения:
1) 21: (4 x + 1,6) = 2,5;
2) 3,7 - (x : 2 + 1,5) = 0,8.
1709. С 2,5 г медного провода, масса 1 м которого 1,2 кг, и куска латунной проволоки, длина которого в 8 раз больше медный, а масса 1 м составляет 0,2 кг, изготовили шар. Сколько сплава останется, если масса пули 6,4 кг?
1710. Купили 2,5 кг печенья по цене 13,6 грн. за килограмм и конфет 1,6 кг, цена за один килограмм в 1,5 раза больше за цену одного килограмма печенья. Какую сдачу должны получить со 100 грн.?
1711. Заполни клетки цифрами, чтобы образовались правильные примеры:
1712. Заполни ячейки такими цифрами, чтобы образовались правильные примеры:
1713. Число 5,2 является средним арифметическим чисел 2,1; 3,2 и х. Найди х.
1714. Найди среднее арифметическое четырех чисел, первое из которых равно 3,6, а каждое следующее на 0,2 больше предыдущего.
1715. Из одного города в другой в одном направлении одновременно отправились двое мотоциклистов со скоростью 72,4 км/ч и 67,8 км/час. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет 11,5 км?
1716. Цена некоторого товара 120 грн. Сколько будет стоить этот товар, если цену:
1) увеличить на 15 %;
2) уменьшить на 10 %;
3) сначала увеличить на 5 %, а затем новую цену уменьшить на 20 %?
1717. Найди числа, которых не хватает в цепочке вычислений:
1718. Автомобиль проехал за первые два часа 170,4 км, а за следующую - 0,45 этого расстояния. Найди среднюю скорость автомобиля.
1719. Поезд проехал за первые три часа 210,5 км, а за следующие две - 0,6 этого расстояния. Найди среднюю скорость поезда.
1720. Сторона равностороннего треугольника равна 11,2 см. Найди сторону квадрата, периметр которого равен периметру треугольника. Определи площадь этого квадрата.
1721. Найди заштрихованная часть круга:
1722. Найди сумму трех чисел, первое из которых равна 37,6, второе составляет от первого, а третий является средним арифметическим первых двух.
1723. Лодка прошла за 6 ч против течения реки 231 км. Какой путь он пройдет по течению реки за 4 ч, если скорость течения составляет 1,4 км/ч?
1724. Из двух пунктов, расстояние между которыми 8,5 км, в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга, одновременно вышли двое пешеходов. Скорость одного из них 4,2 км/ч, что составляет скорости второго. Какое расстояние будет между пешеходами через 2,5 ч?
1725. Автомобиль двигался 4 часа со скоростью 82,5 км/ч и 6 часов со скоростью 83,7 км/час. Найди среднюю скорость автомобиля на всем пути.
Высокий уровень
1726. Карлсон и Малыш вместе съели 3,6 кг варенья, причем Карлсон съел в 3 раза больше, чем Малыш. Сколько варенья съел Карлсон и сколько Малыш?
1727. Груз массой 4,8 т разместили на двух грузовых автомобилях, причем на первый погрузили на 0,6 т больше, чем на второй. Сколько тонн груза в каждом автомобиле?
1728. Рабочие, работая втроем, за 7 ч изготовили 1001 деталь. Причем первый изготовил всех деталей, а второй - всех деталей. Сколько деталей в час изготовил третий рабочий?
1729. От некоторого числа вычли 10 % и получили 48,6. Найди это число.
1730. К некоторому числу прибавили его 20 % и получили 74,4. Найди это число.
1731. Найди два числа, если их сумма 4,7, а разница 3,1.
1732. Сумма двух чисел равна 27,2. Найди эти числа, если одно из них в три раза больше за другое.
1733. Веревку длиной 10,6 м разрезали на три части. Найди их длины, если третья часть на 0,4 м больше как за первую, так и вторую.
1734. Собственная скорость катера в 13 раз больше скорости течения. Двигаясь по течению 2,5 ч, катер преодолел 63 км. Найди собственную скорость катера и скорость течения.
1735. С двух станций, расстояние между которыми равно 385 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 2,5 часа. Найди скорости поездов, если известно, что скорость одного из них в 1,2 раза больше скорости другого.
1736. Сумма длины и ширины прямоугольника равна 9,6 см, причем ширина составляет 60 % длины. Найди площадь и периметр прямоугольника.
1737. Длина одной стороны треугольника составляет периметра, а длина другой стороны - периметра. Найди длины этих сторон, если третья сторона равна 10,4 см.
1738. Ученик прочитал сначала 0,25 всей книги, а потом еще 0,4 остальных, после чего оказалось, что ученик прочитал 30 страниц больше, чем ему осталось прочитать. Сколько страниц в книге?
1739. Найди значение букв g , h , m , n , k , l , если:
g: n = 1,8; n ∙ k = 1,71; h + m = 2,13;
k + l = 10,44; m ∙ 0,9 = 1,17; g - h = 0,79.
1740. IS В трех ящиках вместе 62,88 кг товара. В первом ящике товара в 1,4 раза больше, чем во втором, а в третьем - столько товара, сколько его в первом и втором вместе. Сколько килограммов товара в каждом ящике?
Упражнения для повторения
1741. 1) Выполни действия:
2) Выполни действия:
3) Сравни числа, обозначены фигурами:
1742. 1) Выполни действия:
2) Выполни действия:
2. Найди среднее арифметическое чисел 1,8 и 2,6.
А) 1,8; Б) 2; В) 2,6; Г) 2,2.
3. Запиши в виде десятичной дроби смешанное число
А) 3,13; Б) 13,3; В) 13,003; Г) 13,03.
4. После перегонки нефти получают 30 % керосина. Сколько керосина получают с 18 т нефти?
А) 6 т; Б) 5,4 т; В) 54 т; Г) 0,6 т.
5. Из молока получается 9 % сыра. Сколько было взято молока, если сыра получили 36 кг?
А) 400 кг; Б) 40 кг; В) 324 кг; Г) 300 кг.
6. В команде баскетболистов двоим игрокам по 19 лет, двоим - по 21 году, а одному игроку - 26 лет. Какой средний возраст игроков этой команды?
A ) 19 лет; Б) 21 год;
B ) 21,2 года; Г) 21,4 года.
7. Во время сушки грибы теряют 89 % своей массы. Сколько сухих грибов получим из 60 кг свежих?
А) 53,4 кг; Б) 6,6 кг; В) 6 кг; Г) 5,34 кг.
8. Когда ученик прочитал 30 % книги, то заметил, что ему осталось прочитать еще 105 страниц. Сколько страниц в книге?
А) 350 сек.; Б) 250 сек.; В) 150 сек.; Г) 160с.
9. Один из операторов компьютерного набора набрал 45 страниц текста за 6 часов, а другой - 26 страниц текста за 4 часа. За сколько часов, работая вместе, они наберут 35 страниц?
А) 2 ч; Б) 2,5 ч В) 3 ч; Г) 3,5 часа.
10. В ящике находятся белые и черные шары, причем белые составляют 30 % всех шариков. Сколько в ящике шаров всего, если черных шаров на 32 больше, чем белых?
А) 80; Б) 70; В) 56; Г) 180.
11. Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых в 4 раза больше другого, равна 6. Найдите меньшее из этих двух чисел.
А) 1,5; Б) 2,4; В) 2,5; Г) 9,6.
12. Цена некоторого товара 150 грн. Сколько будет стоить этот товар, если изначально цену товара увеличить на 10 %, а затем новую цену уменьшить на 15 %?
А) 142,5 грн.; Б) 157,5 грн.;
в) 155 грн.; Г) 140,25 грн.
Задания для проверки знаний № 9 (§42 - §45)
1. Запиши в виде десятичной дроби:
1) 15 %; 2) 3 %.
2. Запиши в процентах десятичную дробь:
1) 0,45; 2) 1,37.
3. Выполни действия:
1) 3,7 + 13,42; 2) 15,8 - 13,12;
3) 4,2 ∙ 2,05; 4) 8,64: 2,4.
4. Из 1200 учащихся, обучающихся в школе, 65 % принимали участие в спартакиаде. Сколько учеников принимали участие в спартакиаде?
5. Сергей купил книгу за 8 грн., что составляет 40 % денег, которые у него были. Сколько гривен было у Сергея?
6. Найди среднее арифметическое чисел 48,5; 58,2; 46,8; 42,2.
7. Рабочий изготовил 320 деталей. За первый час - 35 % всех деталей, второй - 40 %, а за третью - остальные. Сколько деталей рабочий изготовил за третий час?
8. Автомобиль ехал 2 ч со скоростью 66,7 км/ч и 3 ч со скоростью 72,8 км/ч. Найди его среднюю скорость на всем пути.
9. Турист прошел за три дня 56 км. За первый день он прошел 30 % всего пути, что составляет 80 % расстояния, пройденного туристом за второй день. Сколько километров прошел турист за третий день?
10. Дополнительное задание. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 8,5 см, что в 2,5 раза больше ширины и на 5,1 см больше высоту. Найди объем этого прямоугольного параллелепипеда.
11. Дополнительное задание. Среднее арифметическое двух чисел равен 12,4, а среднее арифметическое восьми других чисел - 10,7. Найди среднее арифметическое этих десяти чисел.
Математический тренажер по теме
«Совместные действия с десятичными дробями»
Составила учитель математики
Толмачева Надежда Алексеевна
МБОУ СОШ №69 г. Нижний Тагил
Пояснительная записка
Тренажер по математике предназначен для учащихся 5кл-6кл, его можно использовать в работе с любым УМК по математике, а также при подготовке учащихся 9 класса к сдаче ОГЭ.
Тренажер предназначен как для работы в классе, так и для самостоятельной работы дома.
Тренажер обеспечивает возможность выработки осознанного применения всех правил действий с десятичными дробями.
Тренажер можно использовать в виде первичного контроля знаний, а также и в коррекционной работе. Задания тренажера позволяют предложить ученику выполнить больший объем вычислений за небольшое время. Таким образом оттачиваются не только вычислительные навыки, но и тренируется внимание, развивается оперативная память ученика.
Задания тренажера можно предлагать как для индивидуальной, так и для коллективной работы в классе.
Математический тренажер
| Вариант 1 |
|
| 15,3 * 5,4 - 4,2* (5,12 – 4,912) + 16,0036 |
|
| 9,84 - 16,32 * (8 – 7,45) + 2,186 |
|
| (2,12 + 1,07) * (2,12 – 1,07) |
|
| 86,4 * (17,01: 4,2) : 6,4 |
|
| 42,26 – 34,68: (33,32: 9,8) |
|
| 40 – (7,12 + 11,043: 2,7) |
|
| 12,6: (2,04 + 4,26) – 0,564 |
|
| 7,371: (5 – 3,18) + 2,05 *(17,82 – 7) |
|
| (5,2: 26 + 26: 5,2) *6,1 + 5,25: 5 |
|
| 27,5967: (8 – 1,186) + 3,02 |
|
| (20 – 13,7) * 7,4 + 18: 0,6 |
|
| (4,694 - 3,998) : 4,35 + (4,5 * 5,4 – 0,06) |
|
| (4,6 * 3,5 + 15,32) : 31,42 + (7,26 – 5,78) : 0,148 |
|
| (101,96 – 6,8 * 7,2) : 4,24 – 3,4 * (10 – 6,35) |
|
| 7,72 * 2,25 – 4,06: (0,824 + 1,176) – 12,423 |
|
| 51,328: 6, 4 + 3,2 * (10 – 4,7) * 2,05 |
|
| (42,12 * 0,12 + 112,016* 0,1) : 1,6 – 9,424 |
|
| ((4,2 *0,81 – 6,8*0,05) : 0,5)) : 200 |
|
| 2,6* (4,4312 + 15,5688) – 6,66: (8,2 – 6,72) |
|
| (0,624: 4,16 + 6,867: 2,18) *2,08 – 4,664 |
|
| 4260 + 42,6: (62,06 + 37,94) – 42,6: (52,44 - 52,43) |
|
| 5: 0,25 + 0,6 *(9,275 – 4,275) : 0,1 |
|
| 3,1: 100 + (6 – 0,3: 100) *10 |
|
| 0,415 +(2,85: 0,6*3,2 – 2,72: 8) + 5,134: 0,17 |
|
| 0,1: 0,002 – 0,5*(7,91: 0,565 – 11,1:1,48) |
|
| 0,2: 0,004 + (7,91: 0,565 – 44,4: 5,92) *0,5 |
|
| 4,735: 0,5 + 14,95: 1,3 + 2,121: 0,7 |
|
| (0,1955 + 0,187) : 0,085 |
|
| (86,9 + 667,6) : (37,1 + 13,2) |
|
| (0,008 + 0,992) * (5 *0,6 – 1,4) |
|
Математический тренажер
Действия с десятичными дробями
| Вариант 2 |
|
| (130,2 – 30,8) : 2,8 - 21,84 |
|
| 3,712: (7 – 3,8) + 1,3* (2,74 + 0,66) |
|
| (3,4: 1,7 + 0,57: 1,9)* 4,9 + 0,0825: 2,75 |
|
| 10,79: 8,3*0,7 - 0,46 * 3,15: 6,9 |
|
| (21,2544: 0,9 + 1,02 * 3,2) : 5,6 |
|
| 4,36: (3,15 + 2,3) + (0,792 – 0,78) * 350 |
|
| (3,91: 2,3 * 5,4 – 4,03) * 2,4 |
|
| 6,93: (0,028 + 0,36 * 4,2) - 3,5 |
|
| 42,165 – 22,165: (0,61 + 3,42) |
|
| ((4: 0,128 + 14628,25) : 1,011* 0,00008 + 6,84) : 12,5 |
|
| 687,8 + (88,0802 – 85,3712) : 0,045 |
|
| (3,1 * 5,3 – 14,39) : 1,7 + 0,8 |
|
| (3,8 * 1,75: 0,95 – 1,02) : 2,3 + 0,4 |
|
| ((23,79: 7,8 – 6,8: 17) * 3,04 – 2,04) * 0,85 |
|
| 0,15: 0,01 + (6 + 9,728: 3,2) * 2,5 – 1,4 |
|
| 1,44: 3,6 + 0,8 + 3,6: 1,44* (0,1 - 0,02) |
|
| 3,45 * (11,2 + 75,6) – 0,93 * 1,26 |
|
| 4,25: 0,25 – 0,06 * 82 + 0,4 |
|
| (0,237 + 45,6) * 12,01 - 11,1* (237,1 – 229,9) |
|
| 5,8 – 0,27 * 3,6 + 5,172 |
|
| 12 – 5,3: (19,6: 0,35 - 0,06 * 50) |
|
| (0,6 + 0,25 – 0,125) * 3,2 + 4,5: 100 |
|
| (15,5: 0,25 – 0,08 * 200) : 2,3 – 1,3 |
|
| (87,05 * 2,7 – 55,68:32) * 0,8: 0,02 |
|
| 522,348: 87 + 2,7 * (0,84 – 0,128: 0,16) |
|
| 6400 * 0,0145 – (1272,6: 0,42 – 3000) |
|
| (0,7: 1,4 – 0,02) : 0,012 + 1,6 * (0,548 – 0,023) |
|
| (1,184: 3,2 + 0,832: 0,4) : 0,5 + 1,5 |
|
| 4,96 ; 10 + 35,8: 100 - 0,0042 |
|
| (0,04 + 3,59) * (7,35 + 2,65) : 300 |
|
Математический тренажер
Действия с десятичными дробями
| Вариант 3 |
|
| 2,5 + 0,56* 28 + 0,125*15 – 0,12*7 |
|
| 12,8: 4 + 76,8: 12 – 42,6: 6 – 2,4 |
|
| 4,01 + 43,6: 10 – 73,2: 30 + 15,4: 100 |
|
| 176,4: 100 – 0,041*40 + 13,5:50 +0,3 |
|
| (16,4 + 13,2)*3 – (10,6 + 4,8) *2 – 23,2 |
|
| (40,65 - 32,6) : 5 + (4,72 _ 2,24)*3 |
|
| 4,735: 0,5 + 14,95: 1,3 + 2,121: 0,7 – 21,6 |
|
| 0,01105 + 0,05 - 0,3417: 34 -_ 0,875: 125 |
|
| (5,72 – 3,21)*5 + (86,9 + 667,6) : (37,1 + 13,2) |
|
| (0,1955 + 0,187) : 0,085 – (4,72 – 4,72)*0,157 |
|
| 4,9 – (0,008 + 0,992) * (5 *0,6 – 1,4) |
|
| (50000 – 1397,3) : (20,4 + 33,603) – 856 |
|
| 3,7 *0,18 + 35,9 *0,26 – 0,109 *91 |
|
| 34,98: 6,6 + 5,141: 0,53 – 0,8379: 0,057 |
|
| 0,131 *470 + 26,97: 2,9 - 50,4 *1,4 |
|
| 0,439 *97 – 182,75: 4,3 + 31,9 *0,43 |
|
| (20,4 – 18,23)* 4,3 + (0,40713 + 0,44176) : 0,67 |
|
| (0,357 + 7,043)*0,85 + (52 – 1,928) : 5,69 |
|
| (1,5 - 0,4732)* 35 – (0,6092 + 0,0718) : 0,75 |
|
| (139,4 + 16,6)* 0,039 - (20 – 17,54) : 2,5 |
|
| 4,1819 + 0,73 *(5,375 + 2,595) |
|
| 5,0143 – 65,9*(0,0612 + 0,0058) |
|
| (0,83 *3,7 + 9,741:51 – 0,012) : 0,325 |
|
| (67,21: 0,143 – 0,546*850 + 2,1) : 1,25 |
|
| (79* 0,63 – 9,558: 5,4 – 26,94) : 0,324 |
|
| (11,328: 16 + 7,752: 7,6) : 0,16 |
|
| 13,7 – (0,53 *6,7 + 1,77*3,1 + 0,004) : 0,66 |
|
| 5,3: (2,87* 0,53 – 0,043 *7,7 – 0,19) |
|
| (3,06 – 2,97) * (5,6*0,93 – 0,84*6,2) |
|
| (5,4*0,77 – 0,008) : (2,747: 0,67+ 0,05) |
|
Математический тренажер
Действия с десятичными дробями
| Вариант 4 |
|
| 589,72:16 – 18,305:7 + 5,67: 4 |
|
| (86,9 + 667,6) : (37,1 +13,2) |
|
| (0,93 + 0,07) : (0,93 – 0,805) |
|
| 1,35: 2,7 + 6,02 – 5,9 + 0,4: 2,5 *(4,2 – 1,075) |
|
| ((14,068 + 15,78) : (1,875 + 0,175)) : (0,325+ 0,195) |
|
| (0,578 + 0,172)* (0,823 + 0,117) – 1,711: (4,418 + 1,382) |
|
| (39,3 + 116,7) *0,39 – (19,01 -16,56) : 2,5 |
|
| (2,747: 0,67 + 0,05) : (0,54* 7,7 – 0,008) |
|
| 5,76*4,76: 6,12 + 81,9: 58,5*2,05 |
|
| 25,6: (38,07 + 1,93) + 0,037 *10 |
|
| (3,7011: 0,73 – 9,27: 4,5 – 1,41) :1,6 |
|
| 40,86: 4,5 – 0,6039: 5,49 + 0.338: 0,13 |
|
| (85,9 +667,1) : ((37 +13,2) + (11,44 – 6,42)*10 |
|
| 1,224: (7 – 2,92) + 1,06*(13,5 – 3) |
|
| (7,5* 48 – 8,2* 9,5 + 141,4) : (254,1:4,2) |
|
| 0,63*69 – 10,048: 6,4 – 19,44: 32,4 *0,8 |
|
| (3,8: 19 + 1,9: 3,8) *5,2 + 7,28: 7 |
|
| (4,9 + 1,06 – 0,98) : (0,83*0,6) : 2,4 |
|
| (28,7 *0,15) : (0,25 *0,21) + 22,5:1,25 |
|
| 0,1: 0,002 + (7,91: 0,565 - 11,1: 1,48) |
|
| (0,2028:0,24 – 0,32 *1,5) *(4,05 – 13,1625: 4,05) |
|
| (97,44: 0,48 + 128,64: 3,2) *0,25 – 17,89 |
|
| 5,4 + ((4,7 – 2,85)*1,8 + 0,0156: 0,13) |
|
| (1,2 *0,15 + 12:100 – 1,4: 10) : 0,1 |
|
| 0,545: 0,5 +2,75 *0,4 – 0,45 *3,8 |
|
| 0,6 * (7,24: 0,8 – 0,968: 0,16) + 2,25 *0,04 |
|
| (6,4 *0,025 + 7,07: 3,5 – 3,68: 4) : 0,9 |
|
| 2,5 *(3: 6 – 0,2: 5 + 1,2 *0,15) |
|
| (5,508: 0,27 – 10,2 *1,3) : 0,7 + 1,3: 0,1 |
|
| 1,5 + 0,5*(4,214: 0,14 – 5,436: 1,8) * 0,1 |
|
Ответы
Математический тренажер
Действия с десятичными дробями
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 |
|
Эта статья про десятичные дроби . Здесь мы разберемся с десятичной записью дробных чисел, введем понятие десятичной дроби и приведем примеры десятичных дробей. Дальше поговорим о разрядах десятичных дробей, дадим названия разрядов. После этого остановимся на бесконечных десятичных дробях, скажем о периодических и непериодических дробях. Дальше перечислим основные действия с десятичными дробями. В заключение установим положение десятичных дробей на координатном луче.
Навигация по странице.
Десятичная запись дробного числа
Чтение десятичных дробей
Скажем пару слов о правилах чтения десятичных дробей.
Десятичные дроби, которым соответствуют правильные обыкновенные дроби, читаются также как и эти обыкновенные дроби, только еще предварительно добавляется «ноль целых». Например, десятичной дроби 0,12 отвечает обыкновенная дробь 12/100 (читается «двенадцать сотых»), поэтому, 0,12 читается как «нуль целых двенадцать сотых».
Десятичные дроби, которым соответствуют смешанные числа, читаются абсолютно также как эти смешанные числа. Например, десятичной дроби 56,002 соответствует смешанное число , поэтому, десятичная дробь 56,002 читается как «пятьдесят шесть целых две тысячных».
Разряды в десятичных дробях
В записи десятичных дробей, также как и в записи натуральных чисел, значение каждой цифры зависит от ее позиции. Действительно, цифра 3 в десятичной дроби 0,3 означает три десятых, в десятичной дроби 0,0003 – три десяти тысячных, а в десятичной дроби 30 000,152 – три десятка тысяч. Таким образом, мы можем говорить о разрядах в десятичных дробях , так же как и о разрядах в натуральных числах .
Названия разрядов в десятичной дроби до десятичной запятой полностью совпадают с названиями разрядов в натуральных числах. А названия разрядов в десятичной дроби после запятой видны из следующей таблицы.
Например, в десятичной дроби 37,051 цифра 3 находится в разряде десятков, 7 – в разряде единиц, 0 стоит в разряде десятых, 5 – в разряде сотых, 1 – в разряде тысячных.
Разряды в десятичной дроби также различаются по старшинству. Если в записи десятичной дроби двигаться от цифры к цифре слева на право, то мы будем перемещаться от старших к младшим разрядам . Например, разряд сотен старше разряда десятых, а разряд миллионных младше разряда сотых. В данной конечной десятичной дроби можно говорить о старшем и младшем разряде. К примеру, в десятичной дроби 604,9387 старшим (высшим) разрядом является разряд сотен, а младшим (низшим) - разряд десятитысячных.
Для десятичных дробей имеет место разложение по разрядам. Оно аналогично разложению по разрядам натуральных чисел . Например, разложение по разрядам десятичной дроби 45,6072 таково: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . А свойства сложения от разложения десятичной дроби по разрядам позволяют перейти к другим представлениям этой десятичной дроби, например, 45,6072=45+0,6072 , или 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , или 45,6072=45,0072+0,6 .
Конечные десятичные дроби
До этого момента мы говорили лишь о десятичных дробях, в записи которых после десятичной запятой находится конечное число цифр. Такие дроби называют конечными десятичными дробями.
Определение.
Конечные десятичные дроби – это десятичные дроби, в записях которых содержится конечное число знаков (цифр).
Приведем несколько примеров конечных десятичных дробей: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .
Однако не всякая обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. К примеру, дробь 5/13 не может быть заменена равной ей дробью с одним из знаменателей 10, 100, … , следовательно, не может быть переведена в конечную десятичную дробь. Подробнее об этом мы поговорим в разделе теории перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби .
Бесконечные десятичные дроби: периодические дроби и непериодические дроби
В записи десятичной дроби после запятой можно допустить возможность наличия бесконечного количества цифр. В этом случае мы придем к рассмотрению так называемых бесконечных десятичных дробей.
Определение.
Бесконечные десятичные дроби – это десятичные дроби, в записи которых находится бесконечное множество цифр.
Понятно, что бесконечные десятичные дроби мы не можем записать в полном виде, поэтому в их записи ограничиваются лишь некоторым конечным числом цифр после запятой и ставят многоточие, указывающее на бесконечно продолжающуюся последовательность цифр. Приведем несколько примеров бесконечных десятичных дробей: 0,143940932… , 3,1415935432… , 153,02003004005… , 2,111111111… , 69,74152152152… .
Если внимательно посмотреть на две последние бесконечные десятичные дроби, то в дроби 2,111111111… хорошо видна бесконечно повторяющаяся цифра 1 , а в дроби 69,74152152152… , начиная с третьего знака после запятой, отчетливо видна повторяющаяся группа цифр 1 , 5 и 2 . Такие бесконечные десятичные дроби называют периодическими.
Определение.
Периодические десятичные дроби (или просто периодические дроби ) – это бесконечные десятичные дроби, в записи которых, начиная с некоторого знака после запятой, бесконечно повторяется какая-нибудь цифра или группа цифр, которую называют периодом дроби .
Например, периодом периодической дроби 2,111111111… является цифра 1 , а периодом дроби 69,74152152152… является группа цифр вида 152 .
Для бесконечных периодических десятичных дробей принята особая форма записи. Для краткости условились период записывать один раз, заключая его в круглые скобки. Например, периодическая дробь 2,111111111… записывается как 2,(1) , а периодическая дробь 69,74152152152… записывается как 69,74(152) .
Стоит отметить, что для одной и той же периодической десятичной дроби можно указать различные периоды. Например, периодическую десятичную дробь 0,73333… можно рассматривать как дробь 0,7(3) с периодом 3 , а также как дробь 0,7(33) с периодом 33 , и так далее 0,7(333), 0,7(3333), … Также на периодическую дробь 0,73333… можно посмотреть и так: 0,733(3) , или так 0,73(333) и т.п. Здесь, чтобы избежать многозначности и разночтений, условимся рассматривать в качестве периода десятичной дроби самую короткую из всех возможных последовательностей повторяющихся цифр, и начинающуюся с самой близкой позиции к десятичной запятой. То есть, периодом десятичной дроби 0,73333… будем считать последовательность из одной цифры 3 , и периодичность начинается со второй позиции после запятой, то есть, 0,73333…=0,7(3) . Еще пример: периодическая дробь 4,7412121212… имеет период 12 , периодичность начинается с третьей цифры после запятой, то есть, 4,7412121212…=4,74(12) .
Бесконечные десятичные периодические дроби получаются при переводе в десятичные дроби обыкновенных дробей, знаменатели которых содержат простые множители, отличные от 2 и 5 .
Здесь же стоит сказать о периодических дробях с периодом 9 . Приведем примеры таких дробей: 6,43(9) , 27,(9) . Эти дроби являются другой записью периодических дробей с периодом 0 , и их принято заменять периодическими дробями с периодом 0 . Для этого период 9 заменяют периодом 0 , а значение следующего по старшинству разряда увеличивают на единицу. Например, дробь с периодом 9 вида 7,24(9) заменяется периодической дробью с периодом 0 вида 7,25(0) или равной ей конечной десятичной дробью 7,25 . Еще пример: 4,(9)=5,(0)=5 . Равенство дроби с периодом 9 и соответствующей ей дроби с периодом 0 легко устанавливается, после замены этих десятичных дробей равными им обыкновенными дробями.
Наконец, повнимательнее рассмотрим бесконечные десятичные дроби, в записи которых отсутствует бесконечно повторяющаяся последовательность цифр. Их называют непериодическими.
Определение.
Непериодические десятичные дроби (или просто непериодические дроби ) – это бесконечные десятичные дроби, не имеющие периода.
Иногда непериодические дроби имеют вид, схожий с видом периодических дробей, например, 8,02002000200002… - непериодическая дробь. В этих случаях следует быть особо внимательными, чтобы заметить разницу.
Отметим, что непериодические дроби не переводятся в обыкновенные дроби, бесконечные непериодические десятичные дроби представляют иррациональные числа .
Действия с десятичными дробями
Одним из действий с десятичными дробями является сравнение, также определены четыре основных арифметических действия с десятичными дробями : сложение, вычитание, умножение и деление. Рассмотрим отдельно каждое из действий с десятичными дробями.
Сравнение десятичных дробей по сути базируется на сравнении обыкновенных дробей , отвечающих сравниваемым десятичным дробям. Однако перевод десятичных дробей в обыкновенные является достаточно трудоемким действием, да и бесконечные непериодические дроби не могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, поэтому удобно использовать поразрядное сравнение десятичных дробей. Поразрядное сравнение десятичных дробей аналогично сравнению натуральных чисел . Для получения более детальной информации рекомендуем изучить материал статьи сравнение десятичных дробей, правила, примеры, решения .
Переходим к следующему действию - умножению десятичных дробей . Умножение конечных десятичных дробей проводится аналогично вычитание десятичных дробей, правила, примеры, решения умножению столбиком натуральных чисел. В случае периодических дробей умножение можно свести к умножению обыкновенных дробей . В свою очередь умножение бесконечных непериодических десятичных дробей после их округления сводится к умножению конечных десятичных дробей. Рекомендуем к дальнейшему изучению материал статьи умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения .
Десятичные дроби на координатном луче
Между точками и десятичными дробями существует взаимно однозначное соответствие.
Разберемся, как строятся точки на координатном луче, соответствующие данной десятичной дроби.
Конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби мы можем заменить равными им обыкновенными дробями, после чего построить соответствующие обыкновенные дроби на координатном луче . Например, десятичной дроби 1,4 отвечает обыкновенная дробь 14/10 , поэтому точка с координатой 1,4 удалена от начала отсчета в положительном направлении на 14 отрезков, равных десятой доле единичного отрезка.
Десятичные дроби можно отмечать на координатном луче, отталкиваясь от разложения данной десятичной дроби по разрядам. Например, пусть нам нужно построить точку с координатой 16,3007 , так как 16,3007=16+0,3+0,0007 , то в данную точку можно попасть, последовательно откладывая от начала координат 16 единичных отрезков, 3 отрезка, длина которых равна десятой доле единичного, и 7 отрезков, длина которого равна десятитысячной доле единичного отрезка.
Такой способ построения десятичных чисел на координатном луче позволяет сколь угодно близко приблизиться к точке, отвечающей бесконечной десятичной дроби.
Иногда возможно точно построить точку, соответствующую бесконечной десятичной дроби. Например, 
, тогда этой бесконечной десятичной дроби 1,41421…
соответствует точка координатного луча, удаленная от начала координат на длину диагонали квадрата со стороной 1
единичный отрезок.
Обратный процесс получения десятичной дроби, соответствующей данной точке на координатном луче, представляет собой так называемое десятичное измерение отрезка . Разберемся, как оно проводится.
Пусть наша задача заключается в том, чтобы попасть из начала отсчета в данную точку координатной прямой (или бесконечно приблизиться к ней, если попасть в нее не получается). При десятичном измерении отрезка мы можем последовательно откладывать от начала отсчета любое количество единичных отрезков, далее отрезков, длина которых равна десятой доле единичного, затем отрезков, длина которых равна сотой доле единичного, и т.д. Записывая количество отложенных отрезков каждой длины, мы получим десятичную дробь, соответствующую данной точке на координатном луче.
К примеру, чтобы попасть в точку М на приведенном выше рисунке, нужно отложить 1 единичный отрезок и 4 отрезка, длина которых равна десятой доле единичного. Таким образом, точке М соответствует десятичная дробь 1,4 .
Понятно, что точкам координатного луча, в которые невозможно попасть в процессе десятичного измерения, соответствуют бесконечные десятичные дроби.
Список литературы.
- Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
Фарафонова Наталия Игоревна
После прохождения темы «Действия с десятичными дробями» для отработки навыка счета и проверки усвоения материала можно провести индивидуальную работу с учащимися по карточкам. Каждый учащийся должен без ошибок выполнить задания по всем действиям. По каждому действию представлено много вариантов, это дает возможность каждому учащемуся несколько раз решить задание по каждому действию с десятичными дробями и добиться безошибочного результата или выполнить задание с минимальным количеством ошибок. Так как каждый учащийся выполняет индивидуальное задание, учитель имеет возможность, по мере представления ему выполненных заданий, с каждым учеником обсудить их персонально. Если ученик допустил ошибки, то учитель исправляет их, и предлагает сделать задание из другого варианта. Так, до тех пор, пока учащийся не выполнит все задание или его большую часть без ошибок. Карточки лучше делать на цветной бумаге.
На последнем этапе работы, можно предложить решить пример, содержащий несколько действий.
За каждый безошибочно выполненный вариант, независимо от того, с какой попытки было верно выполнено задание, учащимся можно поставить отличную отметку, можно выставить среднюю оценку, после выполнения всей работы, на усмотрение учителя.
Сложение десятичных дробей.
1 вариант
7,468 + 2,85
9,6 + 0,837
38,64 + 8,4
3,9 + 26,117
2 вариант
19,45 + 34,8
4,9 + 0,716
75,86 + 4,2
5,6 + 44,408
3 вариант
24,38 + 7,9
6,5 + 0,952
48,59 + 1,8
35,906 + 2,8
4 вариант
7,6 + 319,75
888,99 + 4,5
64,15 + 18,9
4,5 + 0,738
5 вариант
7,62 + 8,9
25,38 + 0,09
12,842 + 8,6
412 + 78,83
6 вариант
70,7 + 3,8645
3,65 + 0,89
61,22 + 31.719
12,842 + 8,6
Ответы: 1 вариант: 10,318; 10,437; 47,04; 30,017;
2 вариант: 54,25; 5,616; 80,06; 50,008;
3 вариант: 32,28; 7,452; 50,19; 38,706;
4 вариант: 327,35; 893,49; 83,05; 5,238;
5 вариант: 16,52; 25,47; 21,442; 490,83;
6 вариант: 74,5645; 4,54; 92,939; 21,442;
Вычитание десятичных дробей.
1 вариант
26,38 - 9,69
41,12 - 8,6
5,2 - 3,445
7 - 0,346
2 вариант
47,62 - 8,78
54,06 - 9,1
7,1 - 6,346
3 - 1,551
3 вариант
50,41 - 9,62
72,03 - 6,3
9,2 - 5,453
4 - 2,662
4 вариант
60,01 - 8,364
123,61 - 69,8
8,7 - 4,915
10 - 3,817
5 вариант
6,52 - 3,8
7,41 - 0,758
67,351 - 9,7
22 - 0,618
6 вариант
4,5 - 0,496
61,3 - 20,3268
24,7 - 15,276
50 - 2,38
Ответы: 1 вариант: 16,69; 32,52; 1,755; 6,654;
2 вариант: 38,84; 44,96; 0,754; 1,449;
3 вариант: 40,79; 65,73; 3,747; 1,338;
4 вариант: 51,646; 53,81; 3,785; 6,183;
5 вариант: 2,72; 6,652; 57,651; 21,382;
6 вариант: 4,004; 40,9732; 9,424; 47,62;
Умножение десятичных дробей.
1 вариант
7,4 · 3,5
20,2 · 3,04
0,68 · 0,65
2,5 · 840
2 вариант
2,8 · 9,7
6,05 · 7,08
0,024 · 0,35
560 · 3,4
3 вариант
6,8 · 5,9
6,06 · 8,05
0,65 · 0,014
720 · 4,6
4 вариант
34,7 · 8,4
9,06 · 7,08
0,038 · 0,29
3,6 · 540
5 вариант
62,4 · 2,5
0,038 · 9
1,8 · 0,009
4,125 · 0,16
6 вариант
0,28 · 45
20,6 · 30,5
2,3 · 0,0024
0,0012 · 0,73
7 вариант
68 · 0,15
0,08 · 0,012
1,4 · 1,04
0,32 · 2,125
8 вариант
4,125 · 0,16
0,0012 · 0,73
1,4 · 1,04
720 · 4,6
Ответы: 1 вариант: 25,9; 61,408; 0,442; 2100;
2 вариант: 27,16; 42,834; 0,0084; 1904;
3 вариант: 40,12; 48,783; 0,0091; 3312;
4 вариант: 291,48; 64,1448; 0,01102; 1944;
5 вариант: 156; 0,342; 0,0162; 0,66;
6 вариант: 12,6; 628,3; 0,00552; 0,000876;
7 вариант: 10,2; 0,00096; 1,456; 0,68;
8 вариант: 0,66; 0,000876; 1,456; 3312;
Деление десятичной дроби на натуральное число.
1 вариант
62,5: 25
0,5: 25
9,6: 12
1,08: 8
2 вариант
0,28: 7
0,2: 4
16,9: 13
22,5: 15
3 вариант
0,75: 15
0,7: 35
1,6: 8
0,72: 6
4 вариант
2,4: 6
1,5: 75
0,12: 4
1,69: 13
5 вариант
3,5: 175
1,8: 24
10,125: 9
0,48: 16
6 вариант
0,35: 7
1,2: 3
0,2: 5
7,2: 144
7 вариант
151,2: 63
4,8: 32
0,7: 25
2,3: 40
8 вариант
397,8: 78
5,2: 65
0,9: 750
3,4: 80
9 вариант
478,8: 84
7,3: 4
0,6: 750
5,7: 80
10 вариант
699,2: 92
1,8: 144
0,7: 875
6,3: 24
Ответы: 1 вариант: 2,5; 0,02; 0,8; 0,135;
2 вариант: 0,04; 0,05; 1,3; 1,5;
3 вариант: 0,05; 0,02; 0,2; 0,12;
4 вариант: 0,4; 0,02; 0,03; 0,13;
5 вариант: 0,02; 0,075; 1,125; 0,03;
6 вариант: 0,05; 0,4; 0,04; 0,05;
7 вариант: 2,4; 0,15; 0,28; 0,0575;
8 вариант: 5,1; 0,08; 0,0012; 0,0425;
9 вариант: 5,7; 1,825; 0,0008; 0,07125;
10 вариант: 7,6; 0,0125; 0,0008; 0,2625;
Деление на десятичную дробь.
1 вариант
32: 1,25
54: 12,5
6: 125
2 вариант
50,02: 6,1
34,2: 9,5
67,6: 6,5
3 вариант
2,8036: 0,4
3,1: 0,025
0,0008: 0,16
4 вариант
4: 32
303: 75
687,4: 10
1,59: 100
5 вариант
5: 16
336: 35
412,5: 10
24,3: 100
6 вариант
41,82: 6,8
73,44: 3,6
7,2: 0,045
32,89: 4,6
Ответы: 1 вариант: 25,6; 4,32; 0,048;
2 вариант: 8,2; 3,6; 10,4;
3 вариант: 7,009; 124; 0,005;
4 вариант: 0,125; 4,04; 68,74; 0,0159;
5 вариант: 0,3125; 9,6; 41,25; 0,243;
6 вариант: 6,15; 20,4; 160; 7,15;
Совместные действия с десятичными дробями.
824,72 - 475: (0,071 + 0,929) + 13,8
(7,351 + 12,649) ·105 - 95,48 - 4,52
(3,82 - 1,084 + 12,264)·(4,27 + 1,083 - 3,353) + 83
278 - 16,7 - (15,75 + 24,328 + 39,2)
57,18 ·42 - 74,1: 13 + 21,35: 7
(18,8: 16 + 9,86 ·3) ·40 - 12,73
(2 - 0,25 ·0,8) : (0,16: 0,5 - 0,02)
(3,625 + 0,25 + 2,75) : (28,75 + 92,25 - 15) : 0,0625
Ответы: 1) 363,52; 2) 2000; 3) 113; 4) 182,022; 5) 2398,91; 6) 1217,47; 7) 6; 8) 1.
