Применение нескольких способов разложения многочлена на множители. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Разложение квадратного трехчлена на множители

Для разложения многочленов на множители мы применяли вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращённого умножения. Иногда удаётся разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов. При этом начинать преобразование следует, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Разложим на множители многочлен 10а 3 - 40а.

Решение: Члены этого многочлена имеют общий множитель 10а. Вынесем этот множитель за скобки:

10а 3 - 40а = 10а (а 2 - 4).

Разложение на множители можно продолжить, применив к выражению а 2 - 4 формулу разности квадратов. В результате получим в качестве множителей многочлены более низких степеней.

10а(а 2 - 4) = 10а(а + 2)(а - 2).

10а 3 - 40а = 10а(а + 2) (а - 2).

Пример 2. Разложим на множители многочлен

ab 3 - 3b 3 + аb 2 у - Зb 2 у.

Решение: Сначала вынесем за скобки общий множитель b2:

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (ab - 3b + ay - 3y).

Попытаемся теперь разложить на множители многочлен

ab - 3b + ау - 3у.

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвёртым, будем иметь

аb - 3b + ау - Зу = b(а - 3) + у(а - 3) = (а - 3)(b + у).

Окончательно получим

аb 3 - Зb 3 + ab 2 y - Зb 2 у = b 2 (а - 3)(b + у).

Пример 3. Разложим на множители многочлен а 2 - 4ах - 9 + 4х 2 .

Решение: Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены многочлена. Получим трёхчлен а 2 - 4ах + 4х 2 , который можно представить в виде квадрата разности. Поэтому

а 2 - 4ах - 9 + 4х 2 = (а 2 - 4ах + 4х 2) - 9 = (а - 2х) 2 - 9.

Полученное выражение можно разложить на множители но формуле разности квадратов:

(а - 2х) 2 - 9 = (а - 2х) 2 - З 2 = (а - 2х - 3)(а - 2х + 3).

Следовательно,

а 2 - 4ах - 9 + 4х 2 = (а - 2х - 3)(а - 2х + 3).

Заметим, что при разложении многочлена на множители имеют в виду представление его в виде произведения нескольких многочленов, в котором хотя бы два множителя являются многочленами ненулевой степени (т. е. не являются числами).

Не каждый многочлен можно разложить на множители. Например, нельзя разложить на множители многочлены х 2 + 1, 4х 2 - 2х + 1 и т. п.

Рассмотрим пример использования разложения на множители для упрощения вычислений с помощью калькулятора.

Пример 4. Найдём с помощью калькулятора значение многочлена бх 3 + 2х 2 - 7х + 4 при х = 1,2.

Решение: Если выполнять действия в принятом порядке, то сначала придётся найти значения выражений x 3 5, х 2 2 и 7х, записать результаты на бумаге или ввести их в память калькулятора, а затем перейти к действиям сложения и вычитания. Однако искомый результат можно получить гораздо проще, если преобразовать данный многочлен следующим образом:

бх 3 + 2х 2 - 7х + 4 = (5х 2 + 2х - 7)х + 4 = ((5х + 2)х - 7)х + 4.

Выполнив вычисления для х = 1,2, найдём, что значение многочлена равно 7,12.

Упражнения

Контрольные вопросы и задания

1. Приведите пример целого выражения и выражения, не являющегося целым.
2. Какие действия надо выполнить и в каком порядке, чтобы представить целое выражение 4х (3 - х) 2 + (х 2 - 4)(х + 4) в виде многочлена?
3. Какие способы разложения многочленов на множители вам известны?

Разложение многочленов на множители – это тождественное преобразование, в результате которого многочлен преобразуется в произведение нескольких сомножителей – многочленов или одночленов.

Существует несколько способов разложения многочленов на множители.

Способ 1. Вынесение общего множителя за скобку.

Это преобразование основывается на распределительном законе умножения: ac + bc = c(a + b). Суть преобразования заключается в том, чтобы выделить в двух рассматриваемых компонентах общий множитель и «вынести» его за скобки.

Разложим на множители многочлен 28х 3 – 35х 4 .

Решение.

1. Находим у элементов 28х 3 и 35х 4 общий делитель. Для 28 и 35 это будет 7; для х 3 и х 4 – х 3 . Иными словами, наш общий множитель 7х 3 .

2. Каждый из элементов представляем в виде произведения множителей, один из которых
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.

3. Выносим за скобки общий множитель
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).

Способ 2. Использование формул сокращенного умножения. «Мастерство» владением этим способом состоит в том, чтобы заметить в выражении одну из формул сокращенного умножения.

Разложим на множители многочлен х 6 – 1.

Решение.

1. К данному выражению мы можем применить формулу разности квадратов. Для этого представим х 6 как (х 3) 2 , а 1 как 1 2 , т.е. 1. Выражение примет вид:
(х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1).

2. К полученному выражению мы можем применить формулу суммы и разности кубов:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Итак,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Способ 3. Группировка. Способ группировки заключается в объединение компонентов многочлена таким образом, чтобы над ними было легко совершать действия (сложение, вычитание, вынесение общего множителя).

Разложим на множители многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15.

Решение.

1. Сгруппируем компоненты таким образом: 1-ый со 2-ым, а 3-ий с 4-ым
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15).

2. В получившемся выражении вынесем общие множители за скобки: х 2 в первом случае и 5 – во втором.
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3).

3. Выносим за скобки общий множитель х – 3 и получаем:
х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3)(х 2 + 5).

Итак,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5).

Закрепим материал.

Разложить на множители многочлен a 2 – 7ab + 12b 2 .

Решение.

1. Представим одночлен 7ab в виде суммы 3ab + 4ab. Выражение примет вид:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Раскроем скобки и получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 .

2. Сгруппируем компоненты многочлена таким образом: 1-ый со 2-ым и 3-ий с 4-ым. Получим:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Вынесем за скобки общие множители:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).

4. Вынесем за скобки общий множитель (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

Итак,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= а(а – 3b) – 4b(а – 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Существует несколько различных способов разложения многочлена на множители. Чаще всего на практике применяется не один, а сразу несколько способов. Какого-то определенного порядка действий тут быть не может, в каждом примере все индивидуально. Но можно пробывать придерживаться следующего порядка:

1. Если есть общий множитель, то вынести его за скобку;

2. После этого попробовать разложить многочлен на множители, используя формулы сокращенного умножения;

3. Если после этого мы еще не получили необходимого результата, следует попытаться воспользоваться способом группировки.

Формулы сокращенного умножения

1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);

2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;

3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;

4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);

5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);

Теперь для закрепления разберем несколько примеров:

Пример 1.

Разложить многочлен на множители: (a^2+1)^2 - 4*a^2

Сначала применим формулу сокращенного умножения «разность квадратов» и раскроем внутренние скобки.

(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a);

Заметим, что в скобках получились выражения для квадрата суммы и квадрата разности двух выражений. Применим их и получаем ответ.

a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;

Ответ: (a-1)^2*(a+1)^2;

Пример 2.

Разложить многочлен 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y на множители.

Как видим напрямую здесь никакой из способов не подходит. Но есть два квадрата, их можно сгруппировать. Попробуем.

4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);

Получили в первой скобке формулу разности квадратов, А во второй скобке есть общий множитель двойка. Применим формулу и вынесем общий множитель.

(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);

Видно, что получились две одинаковые скобки. Вынесем их как общий множитель.

(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+y)*(2*x-y+2);

Ответ: (2*x+y)*(2*x-y+2);

Как видите, универсального способа нет. С опытом придет навык и раскладывать многочлен на множители будет очень легко.

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Тип урока : урок изучения нового материала на основе проблемного обучения

9 Цель урока

создать условия для отработки умений и навыков разложения многочлена на множители с использованием различных способов.

10. Задачи:

Образовательные

повторить алгоритмы операций: вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, формулы сокращённого умножения.

сформировать умение:

– применять знания по теме «разложение многочлена на множители различными способами»;

– выполнять задания по выбранному способу действия;

– выбирать наиболее рациональный способ для рационализации вычислений, преобразования многочленов.

Развивающие

способствовать развитию познавательных способностей, внимания, памяти, мышления обучающихся через применения различных упражнений;

развивать навыки самостоятельной работы и групповой работы; поддерживать интерес обучающихся к математике

Воспитывающие

поддерживать интерес обучающихся к математике

11.Формируемые УУД

Личностные: осознание цели деятельности (ожидаемый результат), осознание или выбор способа деятельности (Как я это сделаю? С помощью чего получу результат?), анализ и оценивание полученного результата; оценка своих возможностей;

Регулятивные: учитывать правило в планировании и контроле способа решения, планирование, оценка результатов работы;

Познавательные: выбор наиболее эффективных способов решения задач, структурирование знаний; преобразование информации из одного вида в другой.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, соблюдение правил речевого поведения, умение высказывать и обосновывать свою точку зрения, учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве.

12 .Методы:

по источникам знаний: словесные, наглядные;

относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый.

13.Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

14. Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска, раздаточный материал (лист самоконтроля, карточки с заданиями), электронная презентация, выполненная в программе Power Point

15.Планируемые результаты :

Личностные воспитание чувства само- и взаимоуважения; развитие сотрудничества при работе в группах;

Метапредметные развитие речи; развитие у учащихся самостоятельности; развитие внимательности при поиске ошибок.

Предметные развитие умений работать с информацией, овладение способами решения

Ход урока:

1. Приветствие учащихся. Проверка учителем готовности класса к уроку; организация внимания ; инструктаж по работе с листом оценивания Приложение 1 , уточнение критериев оценки.

Проверка домашнего задания и актуализация знаний

1. 3а + 6 b = 3(а + 2 b )

2. 100 – 20с + с 2 = (10 + с) 2

3. с 2 – 81 = (с – 9)(с + 9)

4. 6х 3 – 5х 4 = х 4 (6х – 5)

5. ау – 3у – 4а + 12 = у(а – 3) – 4(а – 3)

6. 0,09х 2 – 0,25у 2 = (0,03х – 0,05у)(0,03х + 0,05у)

7. с(х – 3) – d (х – 3) = (х – 3)(с – d )

8. 14х 2 – 7х = 7х(7х – 1)

9. -1600 + а 12 = (40 + а 6 ) (40 - а 6 )

10. 9х 2 – 24ху + 16у 2 = (3х – 4у) 2

11. 8с 3 – 2с 2 + 4с – 1 =

2с 2 (4с – 1) + (4с – 1) = (4с – 1)2с 2

12. b 4 + с 2 – 2 b 2 с = ( b – c ) 2

(задания для домашней работы взяты из учебника, включают в себя разложение на множители разными способами. Для того, чтобы выполнить данную работу учащимся необходимо вспомнить ранее изученный материал)

Ответы, записанные на слайде, содержат ошибки, учащиеся учатся видеть способы, а так же замечая ошибки запоминают способы действий,

Учащиеся в группах, проверив домашнее задание выставляют баллы за проделанную работу

2 Эстафета Приложение 2 (участники команд, по очереди выполняют задание, при этом стрелкой соединяют пример и способ его разложения)

3a – 12b = 3(а – 4 b)

2a + 2b + a 2 + ab = (а + b) (2 + а)

9a 2 – 16b 2 = ( 3а – 4 b)(3a + 4b)

16a 2 - 8ab + b 2 = (4а – b) 2

7a 2 b – 14ab 2 + 7ab = 7ab(a – 2b + 1)

a 2 + ab- a – ac- bc + c = (a + b – 1)(a – c)

25a 2 + 70ab+ 49b 2 = ( 5а + 7 b) 2

5х 2 – 45у 2 = 5(х – 3у)(х + 3у)

Не раскладывается на множители

Метод группировки

С помощью слайда проводится проверка проделанной работы, при этом обращается внимание на то, что последний пример нужно соединить с двумя способами разложения (вынесение за скобку общего множителя и формула сокращенного умножения)

Учащиеся оценивают проделанную работу, вносят результаты в листы оценивания, а так же формулируют тему урока

3. Выполнение заданий (учащимся предлагается выполнить задание. Обсуждая решение в группе ребята приходят к выводу, что для разложения данных многочленов на множители требуется несколько способов. Та команда, которая первая предложит верное разложение, имеет право на доске записать свое решение, остальные записывают его в тетради.. В команде налажена работа помощи учащимся, которым тяжело справиться с заданием)

1) 2a 2 - 2b 2

5) 5m 2 + 5n 2 – 10mn

9) 84 – 42y – 7xy + 14x

13) x 2 y + 14xy 2 + 49y 3

2) 3a 2 + 6ab + 3b 2

6) cx 2 – cy 2

10) -7b 2 – 14bc – 7c 2

14) 3ab 2 – 27a

3) x 3 – 4x

7) -3x 2 + 12x - 12

11) 3x 2 - 3

15) -8a 3 b + 56a 2 b 2 – 98ab 3

4) 3ab + 15b – 3a – 15

8) x 4 – x 2

12) c 4 - 81

16) 0 , 09t 4 – t 6

4. Заключительный этап –

Разложение многочлена на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Метод группировки

Формула сокращенного умножения

Итог урока. Учащиеся отвечают на вопросы: Какую задачу мы ставили? Удалось решить нам поставленную задачу? Каким способом? Какие получили результаты? Какими способами раскладывается многочлен на множители? Для выполнения каких заданий можно применить эти знания? Что на уроке у вас хорошо получалось? Над чем еще нужно поработать?

В течение урока учащиеся оценивали себя, в конце урока им предлагается сложить полученные баллы и выставить оценку в соответствии с предложенной шкалой.

Заключительное слово учителя: Сегодня на уроке мы учились определять какие способы необходимо применить, чтобы разложить многочлены на множители. Для закрепления проделанной работы

Домашнее задание: §19, №708, №710

Дополнительное задание:

Решите уравнение х 3 + 4х 2 = 9х + 36

Понятия "многочлен" и "разложение многочлена на множители" по алгебре встречаются очень часто, ведь их необходимо знать, чтобы с легкостью производить вычисления c большими многозначными числами. В этой статье будет описано несколько способов разложения. Все они достаточно просты в применении, стоит лишь правильно подобрать нужный в каждом конкретном случае.

Понятие многочлена

Многочлен является суммой одночленов, то есть выражений, содержащих только операцию умножения.

Например, 2 * x * y - это одночлен, а вот 2 * x * y + 25 - многочлен, который состоит из 2 одночленов: 2 * x * y и 25. Такие многочлены называет двучленами.

Иногда для удобства решения примеров с многозначными значениями выражение необходимо преобразовать, например, разложить на некоторое количество множителей, то есть чисел или выражений, между которыми производится действие умножения. Есть ряд способов разложения многочлена на множители. Стоит рассмотреть их начиная с самого примитивного, который применяют еще в начальных классах.

Группировка (запись в общем виде)

Формула разложения многочлена на множители способом группировки в общем виде выглядит таким образом:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо сгруппировать одночлены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель. В первой скобке это множитель с, а во второй - d. Это нужно сделать для того, чтобы затем вынести его за скобку, тем самым упростив вычисления.

Алгоритм разложения на конкретном примере

Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b)

В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую - со множителем b. Обратите внимание на знаки + и - в готовом выражении. Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25. Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях.

На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка. Вынести за скобку - значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке. Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку.

В нашем случае - только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке - это а, во второй - b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5. Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а. Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и - Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7.

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Получилось 2 слагаемых: 5а(2c - 5) и 7b(2c - 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с - 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b:

5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).

Итак, полное выражение:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).

Таким образом, многочлен 10ас + 14bc - 25a - 35b раскладываается на 2 множителя: (2c - 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можно опускать

Иногда встречаются выражения такого типа: 5а 2 + 50а 3 , здесь можно вынести за скобку не только а или 5а, а даже 5а 2 . Всегда нужно стараться вынести максимально большой общий множитель за скобку. В нашем случае, если разделить каждое слагаемое на общий множитель, то получается:

5а 2 / 5а 2 = 1; 50а 3 / 5а 2 = 10а (при вычислении частного нескольких степеней с равными основаниями основание сохраняется, а показатель степени вычитается). Таким образом, в скобке остается единица (ни в коем случае не забывайте писать единицу, если выносите за скобку целиком одно из слагаемых) и частное от деления: 10а. Получается, что:

5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)

Формулы квадратов

Для удобства вычислений были выведены несколько формул. Они называются формулами сокращенного умножения и используются довольно часто. Эти формулы помогают разложить на множители многочлены, содержащие степени. Это еще один действенный способ разложения на множители. Итак, вот они:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - формула, получившая название "квадрат суммы", так как в результате разложения в квадрат берется сумма чисел, заключенная в скобки, то есть значение этой суммы умножается само на себя 2 раза, а значит, является множителем.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - формула квадрата разности, она аналогична предыдущей. В результате получается разность, заключенная в скобки, содержащаяся в квадратной степени.
• a 2 - b 2 = (a + b)(а - b) - это формула разности квадратов, так как изначально многочлен состоит из 2 квадратов чисел или выражений, между которыми производится вычитание. Пожалуй, из трех названных она используется чаще всего.

Примеры на вычисления по формулам квадратов

Вычисления по ним производятся достаточно просто. Например:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - используем формулу "квадрат суммы".
2. 25x 2 является квадратом выражения 5х. 20ху - удвоенное произведение 2*(5х*2у), а 4y 2 - это квадрат 2у.
3. Таким образом, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Данный многочлен раскладывается на 2 множителя (множители одинаковые, поэтому записывается в виде выражения с квадратной степенью).

Действия по формуле квадрата разности производятся аналогично этим. Остается формула разность квадратов. Примеры на эту формулу очень легко определить и найти среди других выражений. Например:

• 25а 2 - 400 = (5а - 20)(5а + 20). Так как 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
• 36х 2 - 25у 2 = (6х - 5у) (6х + 5у). Так как 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
• с 2 - 169b 2 = (с - 13b)(c + 13b). Так как 169b 2 = (13b) 2

Важно, чтобы каждое из слагаемых являлось квадратом какого-либо выражения. Тогда этот многочлен подлежит разложению на множители по формуле разности квадратов. Для этого не обязательно, чтобы над числом стояла именно вторая степень. Встречаются многочлены, содежащие большие степени, но все равно подходящие к этим формулам.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

В данном примере а 8 можно представить как (a 4) 2 , то есть квадрат некого выражения. 25 - это 5 2 , а 10а 4 - это удвоенное произведениеслагаемых2*a 4 *5. То есть данное выражение, несмотря на наличие степеней с большими показателями, можно разложить на 2 множителя, чтобы в последствии работать с ними.

Формулы кубов

Такие же формулы существуют для разложения на множители многочленов, содержащих кубы. Они немного посложнее тех, что с квадратами:

• a 3 + b 3 = (а + b)(a 2 - ab + b 2) - эту формулу называют суммой кубов, так как в начальном виде многочлен представляет собой сумму двух выражений или чисел, заключенных в куб.
• a 3 - b 3 = (а - b)(a 2 + ab + b 2) - формула, идентичная предыдущей, обозначена как разность кубов.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - куб суммы, в результате вычислений получается сумма чисел или выражений, заключенная в скобки и умноженная сама на себя 3 раза, то есть находящаяся в кубе
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - формула, составленная по аналогии предыдущей с изменением лишь некоторых знаков математических операций (плюс и минус), имеет название "куб разности".

Последние две формулы практически не испольуются с целью разложения многочлена на множители, так как они сложны, и достаточно редко встречаются многочлены, полностью соответствующие именно такому строению, чтобы их можно было разложить по этим формулам. Но их все равно нужно знать, так как они потребуются при действиях в обратном направлении - при раскрытии скобок.

Примеры на формулы кубов

Рассмотрим пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2).

Здесь взяты достаточно простые числа, поэтому сразу можно увидеть, что 64а 3 - это (4а) 3 , а 8b 3 - это (2b) 3 . Таким образом, этот многочлен раскладывается по формуле разность кубов на 2 множителя. Действия по формуле суммы кубов производятся по аналогии.

Важно понимать, что далеко не все многочлены подлежат разложению хотя бы одним из способов. Но есть такие выражения, которые содержат большие степени, чем квадрат или куб, но их также можно разложить по формуам сокращенного умножения. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)(x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

В этом примере содержится аж 12 степень. Но даже его возможно разложить на множители по формуле суммы кубов. Для этого нужно представить х 12 как (x 4) 3 , то есть как куб какого-либо выражения. Теперь в формулу вместо а нужно подставлять именно его. Ну а выражение 125у 3 - это куб 5у. Далее следует составить произведение по формуле и произвести вычисления.

На первых порах или в случае возникших сомнений, вы всегда можете произвести проверку обратным умножением. Вам нужно лишь раскрыть скобки в получившемся выражении и выполнить действия с подобными слагаемыми. Этот метод относится ко всем перечисленным способам сокращения: как к работе с общим множителем и группировке, так и к действиям по формулам кубов и квадратных степеней.