Движение точки по окружности. Задачи. Равноускоренное движение по окружности Формула угловой скорости движении по окружности
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным , оно является равноускоренным .
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1 . Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2 . При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Период вращения T - это время, за которое тело совершает один оборот.
Частота вращение - это количество оборотов за одну секунду.
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено - это есть период T . Путь , который преодолевает точка - это есть длина окружности.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v A и v B соответственно. Ускорение - изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.
Движение по окружности - простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.
Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.
∆ l = R ∆ φ
Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .
Проиллюстрируем сказанное:
Угловая скорость
При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.
Определение. Угловая скорость
Угловая скорость в данной точке траектории - предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .
Единица измерения угловой скорости - радиан в секунду (р а д с).
Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:
При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.
При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.
a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:
a n = v 2 R = ω 2 R
Докажем эти соотношения.
Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .
В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.
По определению ускорения:
a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Взглянем на рисунок:
Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .
Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:
R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R
При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → - v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:
a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .
При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.
Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:
a n → = - ω 2 R → .
Здесь R → - радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.
В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов - нормальное, и тангенциальное.
Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.
a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0
Здесь ∆ v τ = v 2 - v 1 - изменение модуля скорости за промежуток ∆ t
Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.
Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .
Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
При описании движения точки по окружности мы будем характеризовать перемещение точки углом Δφ , который описывает радиус-вектор точки за время Δt . Угловое перемещение за бесконечно малый промежуток времени dt обозначается dφ .
Угловое перемещение – величина векторная. Определяется направление вектора (или ) по правилу буравчика: если вращать буравчик (винт с правосторонней резьбой) в направлении движения точки, то буравчик будет двигаться в направлении вектора углового смещения. На рис. 14 точка М движется по часовой стрелке, если смотреть на плоскость движения снизу. Если крутить буравчик в этом направлении, то вектор будет направлен вверх.
Таким образом, направление вектора углового перемещения определяется выбором положительного направления вращения. Положительное направление вращения определяется правилом буравчика с правосторонней резьбой. Однако с таким же успехом можно было взять буравчик с левосторонней резьбой. В этом случае направление вектора углового смещения было бы противоположным.
При рассмотрении таких величин, как скорость, ускорение, вектор смещения не возникал вопрос о выборе их направления: оно определялось естественным образом из природы самих величин. Такие вектора называются полярными. Вектора, подобные вектору углового перемещения, называются аксиальными, или псевдовекторами . Направление аксиального вектора определяется выбором положительного направления вращения. Кроме того, аксиальный вектор не имеет точки приложения. Полярные векторы , которые мы рассматривали до сих пор, приложены к движущейся точке. Для аксиального вектора можно лишь указать направление (ось, axis – лат.), вдоль которой он направлен. Ось, вдоль которой направлен вектор углового смещения, перпендикулярна плоскости вращения. Обычно вектор углового перемещения изображают на оси, проходящей через центр окружности (рис. 14), хотя его можно нарисовать в любом месте, в том числе на оси, проходящей через рассматриваемую точку.
В системе СИ углы измеряются в радианах. Радиан – это такой угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Таким образом, полный угол (360 0) равен 2π радиан.
Движение точки по окружности
Угловая скорость – векторная величина, численно равная углу поворота за единицу времени. Обозначается обычно угловая скорость греческой буквой ω. По определению, угловая скорость – это производная угла по времени:
Направление вектора угловой скорости совпадает с направлением вектора углового перемещения (рис. 14). Вектор угловой скорости, так же, как и вектор углового перемещения, является аксиальным вектором.
Размерность угловой скорости – рад/с.
Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным, при этом ω = φ/t.
Равномерное вращение можно характеризовать периодом обращения Т, под которым понимают время, за которое тело делает один оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Поскольку промежутку времени Δt = Т соответствует угол поворота Δφ = 2π, то
Число оборотов в единицу времени ν, очевидно, равно:
Величина ν измеряется в герцах (Гц). Один герц – это один оборот в секунду, или 2π рад/с.
Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени можно сохранить и для неравномерного вращения, понимая под мгновенным значением T то время, за которое тело совершило бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данным мгновенным значением угловой скорости, а под ν понимая то число оборотов, которое совершало бы тело за единицу времени при аналогичных условиях.
Если угловая скорость меняется со временем, то вращение называется неравномерным. В этом случае вводят угловое ускорение аналогично тому, как для прямолинейного движения вводилось линейное ускорение. Угловое ускорение – это изменение угловой скорости за единицу времени, вычисляется как производная угловой скорости по времени или вторая производная углового смещения по времени:
Так же, как и угловая скорость, угловое ускорение является векторной величиной. Вектор углового ускорения – аксиальный вектор, в случае ускоренного вращения направлен в ту же сторону, что и вектор угловой скорости (рис. 14); в случае замедленного вращения вектор углового ускорения направлен противоположно вектору угловой скорости.
При равнопеременном вращательном движении имеют место соотношения, аналогичные формулам (10) и (11), описывающим равнопеременное прямолинейное движение.
a t = dv/dt = R.dw/dt = Re; (3.88).
a n = v 2 /R = w 2 R; (3.89).
a 2 = a t 2 + a n 2 = (dv/dt) 2 + (v 2 /R) 2 = R(e 2 + w 2). (3.90).
Пpи вpащении твеpдого тела вокpуг неподвижной оси все точки тела движутся по окpужностям с центpами, pасположенными на оси вpащения. Линейные величины для точек вpащающегося твеpдого тела связаны с угловыми, т.к. во все фоpмулы этих соотношений будет входить pадиус вpащения точки.
Связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами: s = Rj. (3.91).
v = Rw, (3.92).
a t = Re, (3.93).
a n = Rw 2 . (3.94).
При равноускоренном движении по окружности все виды ускорений отличны от нуля, только a t = const. (3.95). w = w 0 + et; (3.96).
j = j 0 + w 0 t + (et 2)/2. (3.97).
Для частного случая криволинейного движения - движения по окружности радиуса R , угловые характеристики движения связаны с линейными характеристиками весьма просто: Dj = Ds/R; (3.98).
w = dj/dt = v/R; (3.99).
e = dw/dt = d 2 j/dt 2 = a/R . (3.100).
Между движением твеpдого тела вокpуг неподвижной оси и движением отдельной матеpиальной точки (поступательным движением) существует аналогия. Кооpдинате соответствует угол, линейной скоpости - угловая скоpость, линейному (касательному) ускоpению - угловое ускоpение. Вектор dφ называется аксиальным вектором, тогда как вектор перемещения ∆r является полярным вектором (к ним также относятся векторы скорости и ускорения). Полярный вектор имеет точку приложения (полюс), а аксиальный вектор имеет только длину и направление (по оси), но не имеет точки приложения.
z:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifЛекция № 4.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
Раздел механики, изучающий законы взаимодействия тел, называется динамикой. Причиной движения тел и изменения его характера с течением времени является взаимодействие тел. Взаимодействия происходят в пространстве и поэтому используют понятие силового поля
Сила, как количественная характеристика является мерой интенсивности взаимодействия тел. В механике сила является вектором: она задается величиной (модулем), направлением действия (вектором) и точкой приложения.
В физике различают четыре типа взаимодействий (сил):
1) гравитационные;
2) электромагнитные;
3) сильные (между элементарными частицами);
Слабые (при превращениях элементарных частиц).
Все механические силы делятся на консервативные и неконсервативные. Консервативными называются силы, работа которых не зависит от пути, а определяется только координатами точек начального и конечного положений приложения сил.
В механике действует принцип независимости сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил,
то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение, по второму закону Ньютона, так как будто других сил не было. Сила характеризуется числовым значением, направлением и точкой приложения и является мерой механического воздействия на тело.
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.
Первый закон Ньютона.
Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если равнодействующая всех сил действующих на это тело равна нулю. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью.
Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая, ее инерциальные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства.
Инертностью называется свойство тел оказывать сопротивление при попытках привести его в движение или изменить величину или направление его скорости. Равнодействующей всех сил, действующих на тело, называется векторная сумма всех сил, действующих на тело,
F рез. = SF i .= 0. (4.1).
z:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif В системе СИ масса тела измеряется в килограммах (кг) .
Второй закон Ньютона.
Во втором законе Ньютона устанавливается связь между воздействием на тело - силой и реакцией на воздействие, которая проявляется в изменении скорости, т.е. в ускорении.
Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на тело результирующей силе и обратно пропорционально массе тела.
F рез. = am = m(dv/dt) = d(mv)/dt = dp/dt. (4.2).
В СИ за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с 2 . и называется ньютоном (Н) .
Третий закон Ньютона.
Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению, но никогда не уравновешивают друг друга, поскольку приложены к разным телам, хотя и имеют одну природу.
F 12 = - F 21 . (4.3).
Сила F 12 , с которой первое тело действует на второе, равна по модулю силе F 21 , с которой второе тело действует на первое, но противоположна ей по направлению. z:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Совокупность материальных точек, рассматриваемых как целое, называется механической системой.
ТОЧКИ ПРИЛОЖЕНИЯ СИЛ.
Действующая сила всегда вызывает равную по модулю и противоположную по направлению силу противодействия, то, следовательно, их равнодействующая должна быть равна нулю и тела вообще не могут приобрести ускорения. Во втором законе Ньютона говорится об ускорении под действием приложенных к телу сил. Нулевое ускорение означает равенство нулю суммы сил, приложенных к одному телу. Третий же закон Ньютона говорит о равенстве сил, приложенных к различным телам. На каждое из двух, взаимодействующих, тел действует только одна сила. Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Для системы точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия. Совокупность материальных точек, рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия внутри механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на систему, действуют внешние тела - внешними.
СИЛЫ ТРЕНИЯ.
Трение z:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gif возникает при соприкосновении двух тел. Силы трения, как и силы упругости, имеют электромагнитную природу. Они возникают вследствие взаимодействия между атомами и молекулами. Силами сухого трения называют силы, возникающие при соприкосновении двух твердых тел. Они всегда направлены по касательной к соприкасающимся поверхностям. Если тела неподвижны друг относительно друга, то имеем трение покоя, а если же они движутся относительно друга, то в зависимости от характера их движения то наблюдаем трение скольжения, качения или верчения. Сила трения покоя всегда равна по величине внешней силе и направлена в противоположную сторону. Сила трения покоя не может превышать некоторого максимального значения (F Тр.) max .
Если внешняя сила больше (F Тр.) max . , возникает относительное проскальзывание. Силу трения в этом случае называют силой трения скольжения. Сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления тела на опору, и силе реакции опоры N:
F Тр. =(F Тр.) max . =μN. (4.4)
…………………………………………………………………………………….
Рис. 22.
Коэффициент пропорциональности μ называют коэффициентом трения скольжения. Коэффициент трения μ – величина безразмерная. Он зависит от материалов соприкасающихся тел и от качества поверхностей. Значение m варьируется: от 1 до 0,001. Поверхностные атомы имеют меньшее число соседей, с которыми можно взаимодействовать. При скольжении эти контакты все время обновляются, происходит непрерывный обмен связей между парами атомов двух тел. Трение качения возникает между шарообразным или цилиндрическим телом и твердой поверхностью, по которой оно катится (трение качения всегда заметно меньше трения скольжения). Трение качения - тоже результат обмена атомно-молекулярными связями. При скольжении тел связи на контакте обмениваются одновременно, т.е. все разом.
А при качении это происходит последовательно и малыми порциями.
Сила трения качения подчиняется тому же экспериментальному закону, что и трение скольжения:
F тр.кач = m кач (N/R) (4.5).
Она пропорциональна силе нормальной реакции опоры N (т.е. прижимающей силе), обратно пропорциональна радиусу колеса и приближенно не зависит от скорости движения. При качении скорость обмена поверхностными связями очень мала .
Трение бывает внешнее и внутреннее. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении.
При движении твердого тела в жидкости или газе на него действует сила, препятствующая движению. При малых скоростях сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости тела:
F тр. = - k 1 v , (4.6)
при больших - пропорциональна квадрату скорости:
F тр. = - k 2 v. (4.7).
Коэффициенты сопротивления k 1 и k 2 , а также область скоростей, в которой осуществляется переход от линейного закона к квадратичному, в сильной степени зависят от формы и размеров тела, направления его движения, состояния поверхности тела и от свойств окружающей среды.
