Главная » Анализ » Направление ускорения движущейся точки. Скорость и ускорение точек твердого тела, совершающего поступательное и вращательное движения. Ускорение материальной точки

Направление ускорения движущейся точки. Скорость и ускорение точек твердого тела, совершающего поступательное и вращательное движения. Ускорение материальной точки

В этой главе в основном рассмотрены методы решения задач, в которых закон движения точки выражен так называемым естественным способом: уравнением s=f(t) по заданной траектории *.

* Решения задач, в которых закон движения задан координатным способом, рассмотрены в конце главы (§ 31).

В этом случае главными параметрами, характеризующими движение точки но заданной траектории, являются: s - расстояние от заданного начального положения и t - время.

Величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью (v на рис. 192). Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени:
v = ds/dt или v = f"(t).

Ускорение a точки в каждый данный момент времени характеризует быстроту изменения скорости. При этом нужно отчетливо понимать, что скорость - вектор, и, следовательно, изменение скорости может происходить по двум признакам: по числовой величине (по модулю) и по направлению.

Быстрота изменения модуля скорости характеризуется касательным (тангенсальным) ускорением a t - составляющей полного ускорения a, направленной по касательной к траектории (см. рис. 192).

Числовое значение касательного ускорения в общем случае определяется по формуле
a t = dv/dt или a t = f""(t).

Быстрота изменения направления скорости характеризуется центростремительным (нормальным) ускорением a n - составляющей полного ускорения a, направленного по нормали к траектории в сторону центра кривизны (см. рис. 192).

Числовое значение нормального ускорения определяется в общем случае по формуле
a n = v 2 /R,
где v - модуль скорости точки в данный момент;
R - радиус кривизны траектории в месте, где находится точка в данный момент.

После того как определены касательное и нормальное ускорения, легко определить и ускорение a (полное ускорение точки ).

Так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны, то числовое значение ускорения а можно определить при помощи теоремы Пифагора:
a = sqrt(a t 2 + a n 2).

Направление вектора a можно определить, исходя из тригонометрических соотношений, по одной из следующих формул:
sin α = a n /a; cos α = a t /a; tg α = a n /a t .

Но можно сначала определить направление полного ускорения a использовав формулу tg α = a n /a t ,
а затем найти числовое значение a:
a = a n /sin α или a = a t /cos α.

Касательное и нормальное ускорения точки являются главными кинематическими величинами, определяющими вид и особенности движения точки.

Наличие касательного ускорения (a t ≠0) или его отсутствие (a t =0) определяют соответственно неравномерность или равномерность движения точки.

Наличие нормального ускорения (a n ≠0) или его отсутствие (a n =0) определяют криволинейность или прямолинейность движения точки.

Движение точки можно классифицировать так:
а) равномерное прямолинейное (a t = 0 и a n = 0);
б) равномерное криволинейное (a t = 0 и a n ≠ 0);
в) неравномерное прямолинейное (a t ≠ 0 и a n = 0);
г) неравномерное криволинейное (a t ≠ 0 и a n ≠ 0).

Таким образом, движение точки классифицируется по двум признакам: по степени неравномерности движения и по виду траектории.

Степень неравномерности движения точки задана уравнением s=f(t), а вид траектории задается непосредственно.

§ 27. Равномерное прямолинейное движение точки

Если a t =0 и a n =0, то вектор скорости остается постоянным (v=const), т. е. не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Такое движение называется равномерным прямолинейным .

Уравнение равномерного движения имеет вид
(а) s = s 0 + vt
или в частном случае, когда начальное расстояние s 0 =0,
(б) s = vt.

В уравнение (а) входит всего четыре величины, из них две переменные: s и t и две постоянные: s 0 и v. Поэтому в условии задачи на равномерное и прямолинейное движение точки должны быть заданы три любые величины.

При решении задач необходимо выяснить все заданные величины и привести их к одной системе единиц. При этом нужно заметить, что как в системе МКГСС (технической), так и в СИ единицы всех кинематических величин одинаковы: расстояние s измеряется в м, время t - в сек, скорость v - в м/сек.

§ 28. Равномерное криволинейное движение точки

Если a t = 0 и a n ≠ 0, то модуль скорости остается неизменным (точка движется равномерно), но ее направление изменяется и точка движется криволинейно. Иначе, при равномерном движении по криволинейной траектории точка имеет нормальное ускорение, направленное по нормали к траектории и численно равное
a n = v 2 /R,
где R - радиус кривизны траектории.

В частном случае движения точки по окружности (или по дуге окружности) радиус кривизны траектории во всех ее точках постоянный:
R = r = const,
а так как и числовое значение скорости постоянно, то
a n = v 2 /r = const.

При равномерном движении числовое значение скорости определяется из формулы
v = (s - s 0)/t или v = s/t.

Если точка совершит полный пробег по окружности, то путь s равен длине окружности, т. е. s = 2πr = πd (d = 2r - диаметр), а время равно периоду, т. е. t = T. Выражение скорости примет вид
v = 2πr/T = πd/T.

§ 29. Равнопеременное движение точки

Если вектор a t =const (касательное ускорение постоянно как по модулю, так и по направлению), то a n =0. Такое движение называется равнопеременным и прямолинейным .

Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения
a t = dv/dt = f"(t) = const,
то a n ≠0 и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным .

При |a t |>0 движение точки называется равноускоренным , а при |a t |<0 - равнозамедленным .

Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид
(1) s = s 0 + v 0 t + a t t 2 / 2.

Здесь s 0 - расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета; v 0 - начальная скорость и a t - касательное ускорение - величины численно постоянные, a s и t - переменные.

Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяется из уравнения
(2) v = v 0 + a t t.

Уравнения (1) и (2) являются основными формулами равнопеременного движения и они содержат шесть различных величин: три постоянные: s 0 , v 0 , a t и три переменные: s, v, t.

Следовательно, для решения задачи на равнопеременное движение точки в ее условии должно быть дано не менее четырех величин (систему двух уравнений можно решить лишь в том случае, если они содержат два неизвестных).

Если неизвестные входят в оба основных уравнения, например, неизвестны a t и t, то для удобства решения таких задач выведены вспомогательные формулы:

после исключения a t из (1) и (2)
(3) s = s 0 + (v + v 0)t / 2;

после исключения t из (1) и (2)
(4) s = s 0 + (v 2 - v 0 2) / (2a t).

В частном случае, когда начальные величины s 0 =0 и v 0 =0 (равноускоренное движение из состояния покоя), то получаем те же формулы в упрощенном виде:
(5) s = a t t 2 / 2;
(6) v = a t t;
(7) s = vt / 2;
(8) s = v 2 / (2a t).

Уравнения (5) и (6) являются основными, а уравнения (7) и (8) - вспомогательными.

Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением . К этому движению применимы формулы (5)-(8), причем
a t = g = 9,81 м/сек 2 ≈ 9,8 м/сек 2 .

§ 30. Неравномерное движение точки по любой траектории

§ 31. Определение траектории, скорости и ускорения точки, если закон ее движения задан в координатной форме

Если точка движется относительно некоторой системы координат, то координаты точки изменяются с течением времени. Уравнения, выражающие функциональные зависимости координат движущейся точки от времени, называют уравнениями движения точки в системе координат (см. § 51, п. 2 в учебнике Е. М. Никитина).

Движение точки в пространстве задается тремя уравнениями:
x = f 1 (t);
(1) y = f 2 (t);
z = f 3 (t);

Движение точки в плоскости (рис. 203) задается двумя уравнениями:
(2) x = f 1 (t);
y = f 2 (t);

Системы уравнений (1) или (2) называют законом движения точки в координатной форме .

Ниже рассматривается движение точки в плоскости, поэтому используется только система (2).

Если закон движения точки задан в координатной форме, то:

а) траектория плоского движения точки выражается уравнением
y = F(x),
которое образуется из данных уравнений движения после исключения времени t;

б) числовое значение скорости точки находится из формулы
v = sqrt(v x 2 + v y 2)
после предварительного определения проекции (см. рис. 203) скорости на оси координат
v x = dx/dt и v y = dy/dt;

в) числовое значение ускорения находится из формулы
a = sqrt(a x 2 + a y 2)
после предварительного определения проекций ускорения на оси координат
a x = dv x /dt и a y = dv y /dt;

г) направления скорости и ускорения относительно осей координат определяются из тригонометрических соотношений между векторами скорости или ускорения и их проекциями.

§ 32. Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории

При решении многих технических задач возникает необходимость знать радиус кривизны R (или 1/R - кривизну ) траектории. Если задано уравнение траектории, то радиус ее кривизны в любой точке можно определить при помощи дифференциального исчисления. Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определять радиус кривизны траектории движущейся точки без непосредственного исследования уравнения траектории. Определение радиуса кривизны траектории при помощи уравнений движения точки в координатной форме называется кинематическим способом. Этот способ основан на том, что радиус кривизны траектории движущейся точки входит в формулу
a n = v 2 /R,
выражающую числовое значение нормального ускорения.

Отсюда
(а) R = v 2 /a n .

Скорость v точки определяется по формуле
(б) v = sqrt(v x 2 + v y 2).

Следовательно,
(б") v 2 = v x 2 + v y 2 .

Числовое значение нормального ускорения a n входит в выражение полного ускорения точки
a = sqrt(a n 2 + a t 2),
откуда
(в) a n = sqrt(a 2 - a t 2),
где квадрат полного ускорения
(г) a 2 = a x 2 + a y 2
и касательное ускорение
(д) a t = dv/dt.

Таким образом, если закон движения точки задан уравнениями
x = f 1 (t);
y = f 2 (t),
то при определении радиуса кривизны траектории рекомендуется произвести следующее:

1. Продифференцировав уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора скорости:
v x = f 1 "(t);
v y = f 2 "(t).

2. Подставив в (б") выражения v x и v y , найти v 2 .

3. Продифференцировав по t уравнение (б), полученное непосредственно из (б"), найти касательное ускорение a t , а затем a t 2 .

4. Продифференцировав вторично уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора ускорения
a x = f 1 ""(t) = v x ";
a y = f 2 ""(t) = v y ".

5. Подставив в (г) выражения a x и a y , найти a 2 .

6. Подставить в (в) значения a 2 и a t 2 и найти a n .

7. Подставив в (а) найденные значения v 2 и a n , получить радиус кривизны R.

Скорость точки.

Перейдем к решению второй основной задачи кинематики точки - определению скорости и ускорения по уже заданному векторным, координатным или естественным способом движению.

1. Скоростью точки называется векторная величина, характеризующая быстроту и направление перемещения точки . В системе СИ скорость измеряется в м/с.

a) Определение скорости при векторном способе задания движения .

Пусть движение точки задано векторным способом, т.е. известно векторное уравнение (2.1): .

Рис. 2.6. К определению скорости точки

Пусть за время Dt радиус-вектор точки М изменится на величину . Тогда средней скоростью точки М за время Dt называется векторная величина

Вспоминая определение производной, заключаем:

Здесь и в дальнейшем знаком будем обозначать дифференцирование по времени. При стремлении Dt к нулю вектор , а, следовательно, и вектор , поворачиваются вокруг точки М и в пределе совпадают с касательной к траектории в этой точке. Таким образом, вектор скорости равен первой производной от радиус-вектора по времени и всегда направлен по касательной к траектории движения точки.

б) Скорость точки при координатном способе задания движения.

Выведем формулы для определения скорости при координатном способе задания движения. В соответствии с выражением (2.5), имеем:

Так как производные от постоянных по величине и направлению единичных векторов равны нулю, получаем

Вектор , как и любой вектор, может быть выражен через свои проекции:

Сравнивая выражения (2.6) и (2.7) видим, что производные координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл - они являются проекциями вектора скорости на координатные оси. Зная проекции, легко вычислить модуль и направление вектора скорости (рис. 2.7):

Рис. 2.7.К определению величины и направления скорости

в) Определение скорости при естественном способе задания движения.

Рис. 2.8. Cкорость точки при естественном способе задания движения

Согласно (2.4) ,

где - единичный вектор касательной. Таким образом,

Величина V =dS/dt называется алгебраической скоростью. Если dS/dt>0 , то функция S = S(t) возрастает и точка движется в сторону увеличения дуговой координаты S, т.е. точка движется в положительном направлении Если же dS/dt<0 , то точка движется в противоположном направлении.

2. Ускорение точки

Ускорением называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления вектора скорости . В системе СИ ускорение измеряется в м/с 2 .

a) Определение ускорения при векторном способе задания движения .

Пусть точка М в момент времени t находится в положении М(t) и имеет скорость V(t), а в момент времени t + Dt находится в положении М(t + Dt) и имеет скорость V(t + Dt) (см. рис. 2.9).

Рис. 2.9. Ускорения точки при векторном способе задания движения

Средним ускорением за промежуток времени Dt называется отношение изменения скорости к Dt , т.е.

Предел при Dt ® 0 называется мгновенным (или просто ускорением) точки М в момент времени t

Согласно (2.11), ускорение при векторном способе задания движения равно векторной производной от скорости по времени.

б). Ускорения при координатном способе задания движения .

Подставляя (2.6) в (2.11) и дифференцируя произведения в скобках, находим:

Учитывая, что производные от единичных векторов равны нулю, получаем:

Вектор может быть выражен через свои проекции:

Сравнение (2.12) и (2.13) показывает, что вторые производные от координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл: они равны проекциям полного ускорения на координатные оси, т.e.

Зная проекции, легко вычислить модуль полного ускорения и направляющие косинусы, определяющие его направление:

в). Ускорение точки при естественном способе задания движения

Приведем некоторые сведения из дифференциальной геометрии, необходимые для определения ускорения при естественном способе задания движения.

Пусть точка М движется по некоторой пространственной кривой. С каждой точкой этой кривой связаны три взаимно ортогональные направления (касательная, нормаль и бинормаль), однозначно характеризующие пространственную ориентацию бесконечно малого элемента кривой вблизи данной точки. Ниже приводится описание процесса определения указанных направлений.

Для того чтобы провести касательную к кривой в точке М , проведем через нее и близлежащую точку М 1 секущую ММ 1 .

Рис. 2.10. Определение касательной к траектории движения точки

Касательная к кривой в точке М определяется как предельное положение секущей ММ 1 при стремлении точки М 1 к точке М (рис. 2.10). Единичный вектор касательной принято обозначать греческой буквой .

Проведем единичные векторы касательных к траектории в точках М и М 1 . Перенесем вектор в точку М (рис. 2.11) и образуем плоскость, проходящую через эту точку и векторы и . Повторяя процесс образования аналогичных плоскостей при стремлении точки М 1 к точке М , мы получаем в пределе плоскость, называемую соприкасающейся плоскостью.

Рис. 2.11. Определение соприкасающейся плоскости

Очевидно, что для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит сама эта кривая. Плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормальной плоскостью. Пересечение соприкасающейся и нормальной плоскостей образует прямую, называемую главной нормалью (рис. 2.12).

Рассмотрен пример решения задачи со сложным движением точки. Точка движется по прямой вдоль пластины. Пластина вращается вокруг неподвижной оси. Определяется абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки.

Содержание

Условие задачи

Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 6 t 2 - 3 t 3 . Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. Ось вращения OO 1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD движется точка M . Задан закон ее относительного движения, т. е. зависимость s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40 (s - в сантиметрах, t - в секундах). Расстояние b = 20 см . На рисунке точка M показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка M находится по другую сторону от точки A ).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени t 1 = 1 с .

Указания . Эта задача - на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений (теорема Кориолиса). Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка M на пластине в момент времени t 1 = 1 с , и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунке к задаче).

Решение задачи

Дано: b = 20 см , φ = 6 t 2 - 3 t 3 , s = |AM| = 40(t - 2 t 3) - 40 , t 1 = 1 c .

Найти: v абс , a абс

Определение положения точки

Определяем положение точки в момент времени t = t 1 = 1 c .
s = 40(t 1 - 2 t 1 3) - 40 = 40(1 - 2·1 3) - 40 = -80 см.
Поскольку s < 0 , то точка M ближе к точке B, чем к D.
|AM| = |-80| = 80 см.
Делаем рисунок.

Согласно теореме о сложении скоростей , абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Определение относительной скорости точки

Определяем относительную скорость . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD . Дифференцируя s по времени t , находим проекцию скорости на направление BD :
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
см/с.
Поскольку , то вектор направлен в направлении, противоположном BD . То есть от точки M к точке B . Модуль относительной скорости
v от = 200 см/с .

Определение переносной скорости точки

Определяем переносную скорость . Для этого считаем, что точка M жестко связана с пластиной, а пластина совершает заданное движение. То есть пластина вращается вокруг оси OO 1 . Дифференцируя φ по времени t , находим угловую скорость вращения пластины:
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
.
Поскольку , то вектор угловой скорости направлен в сторону положительного угла поворота φ , то есть от точки O к точке O 1 . Модуль угловой скорости:
ω = 3 с -1 .
Изображаем вектор угловой скорости пластины на рисунке.

Из точки M опустим перпендикуляр HM на ось OO 1 .
При переносном движении точка M движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H .
|HM| = |HK| + |KM| = 3 b + |AM| sin 30° = 60 + 80·0,5 = 100 см ;
Переносная скорость:
v пер = ω|HM| = 3·100 = 300 см/с .

Вектор направлен по касательной к окружности в сторону вращения.

Определение абсолютной скорости точки

Определяем абсолютную скорость . Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Проводим оси неподвижной системы координат Oxyz . Ось z направим вдоль оси вращения пластины. Пусть в рассматриваемый момент времени ось x перпендикулярна пластине, ось y лежит в плоскости пластины. Тогда вектор относительной скорости лежит в плоскости yz . Вектор переносной скорости направлен противоположно оси x . Поскольку вектор перпендикулярен вектору , то по теореме Пифагора, модуль абсолютной скорости:
.

Определение абсолютного ускорения точки

Согласно теореме о сложении ускорений (теорема Кориолиса) , абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.

Определение относительного ускорения

Определяем относительное ускорение . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD . Дважды дифференцируя s по времени t , находим проекцию ускорения на направление BD :
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
см/с 2 .
Поскольку , то вектор направлен в направлении, противоположном BD . То есть от точки M к точке B . Модуль относительного ускорения
a от = 480 см/с 2 .
Изображаем вектор на рисунке.

Определение переносного ускорения

Определяем переносное ускорение . При переносном движении точка M жестко связана с пластиной, то есть движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H . Разложим переносное ускорение на касательное к окружности и нормальное ускорения:
.
Дважды дифференцируя φ по времени t , находим проекцию углового ускорения пластины на ось OO 1 :
.
В момент времени t = t 1 = 1 с ,
с -2 .
Поскольку , то вектор углового ускорения направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ , то есть от точки O 1 к точке O. Модуль углового ускорения:
ε = 6 с -2 .
Изображаем вектор углового ускорения пластины на рисунке.

Переносное касательное ускорение :
a τ пер = ε |HM| = 6·100 = 600 см/с 2 .
Вектор направлен по касательной к окружности. Поскольку вектор углового ускорения направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ , то направлен в сторону, противоположную положительному направлению поворота φ . То есть направлен в сторону оси x .

Переносное нормальное ускорение :
a n пер = ω 2 |HM| = 3 2 ·100 = 900 см/с 2 .
Вектор направлен к центру окружности. То есть в сторону, противоположную оси y .

Определение кориолисова ускорения

Кориолисово (поворотное) ускорение :
.
Вектор угловой скорости направлен вдоль оси z . Вектор относительной скорости направлен вдоль прямой |DB| . Угол между этими векторами равен 150° . По свойству векторного произведения,
.
Направление вектора определяется по правилу буравчика. Если ручку буравчика повернуть из положения в положение , то винт буравчика переместится в направлении, противоположном оси x .

Определение абсолютного ускорения

Абсолютное ускорение :
.
Спроектируем это векторное уравнение на оси xyz системы координат.

;

;

.
Модуль абсолютного ускорения:

.

Абсолютная скорость ;
абсолютное ускорение .

1. Способы задания движения точки в заданной системе отсчета

Основными задачами кинематики точки являются:

1. Описание способов задания движения точки.

2. Определение кинематических характеристик движения точки (скорости, ускорения) по заданному закону движения.

Механическое движение − изменение положения одного тела относительно другого (тела отсчета), с которым связана система координат, называемая системой отсчета .

Геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траектория точки.

Задать движение − это дать способ, с помощью которого можно определить положение точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета. К основным способам задания движения точки относятся:

векторный, координатный и естественный .

1.Векторный способ задания движения (рис. 1).

Положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки, связанной с телом отсчета: − векторное уравнение движения точки.

2.Координатный способ задания движения (рис. 2).

В этом случае задаются координаты точки как функции времени:

- уравнения движения точки в координатной форме.

Это и параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время . Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них . В случае пространственной траектории, исключив , получим:

В случае плоской траектории

исключив , получим:

Или .

3. Естественный способ задания движения (рис. 3).

В этом случае задаются:

1)траектория точки,

2)начало отсчета на траектории,

3) положительное направление отсчета,

4)закон изменения дуговой координаты: .

Этим способом удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна.

2. Скорость и ускорение точки

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени (рис. 4):

Тогда − средняя скорость точки за промежуток времени .

Скорость точки в данный момент времени находится как предел средней скорости при :

Скорость точки − это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Среднее ускорениехарактеризует изменение вектора скорости за малый промежуток времени (рис. 5).

Ускорение точки в данный момент времени находится как предел среднего ускорения при :

Ускорение точки − это мера изменения ее скорости, равная производной по времени от скорости этой точки или второй производной от радиус-вектора точки по времени .

Ускорение точки характеризует изменение вектора скорости по величине и направлению. Вектор ускорения направлен в сторону вогнутости траектории.

3. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением

(рис. 6).

Из определения скорости:

Проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени

, , . .

Модуль и направление скорости определяются выражениями:

Точкой сверху здесь и в дальнейшем обозначается дифференцирование по времени

Из определения ускорения:

Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени:

, , .

Модуль и направление ускорения определяются выражениями:

, , .

4 Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

4.1 Естественные оси.

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения

Естественные оси (касательная, главная нормаль, бинормаль) − это оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся точке. Их положение определяется траекторией движения. Касательная (с единичным вектором ) направлена по касательной в положительном направлении отсчета дуговой координаты и находится как предельное положение секущей, проходящей через данную точку (рис.9). Через касательную проходит соприкасающаяся плоскость (рис. 10), которая находится как предельное положение плоскости p при стремлении точки M1 к точке M. Нормальная плоскость перпендикулярна касательной. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей − главная нормаль. Единичный вектор главной нормали направлен в сторону вогнутости траектории. Бинормаль (с единичным вектором ) направлена перпендикулярно касательной и главной нормали так, что орты , и образуют правую тройку векторов. Координатные плоскости введенной подвижной системы координат (соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая) образуют естественный трехгранник, который перемещается вместе с движущейся точкой, как твердое тело. Его движение в пространстве определяется траекторией и законом изменения дуговой координаты.

Из определения скорости точки

где , − единичный вектор касательной.

Тогда

, .

Алгебраическая скорость − проекция вектора скорости на касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если производная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты.

Из определения ускорения

− переменный по направлению вектор и

Производная определяется только видом траектории в окрестности данной точки, при этом, вводя в рассмотрение угол поворота касательной, имеем , где − единичный вектор главной нормали, − кривизна траектории, − радиус кривизны траектории в данной точке.

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение. В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

V 2 > v 1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

V 2 < v 1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.