Уравнение динамики тела вращающегося вокруг неподвижной оси. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Можно придать другой вид

СКОРОСТЬ - одна из основных величин, применяемых для описания движения материальной точки (тела). С. (мгновенная скорость) – векторная величина, равная пределу отношения перемещения точки к промежутку времени, за который это перемещение произошло, при неограниченном уменьшении последнего. С. направлена по касательной к траектории движения тела. Единица С. в СИ - метр в секунду (м/с ).

СКОРОСТЬ ЗВУКА - скорость распространения звуковых волн в среде. В газах с.з. меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях меньше, чем в твердых телах. В воздухе при нормальных условиях с.з. 330 м/с , в воде - 1500 м/с , в тв. телах 2000 - 6000 м/с .

СКОРОСТЬ РАВНОМЕРНОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ – векторная физическая величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за который это перемещение произошло.

СКОРОСТЬ УГЛОВАЯ – см. угловая скорость .

СКОРОСТЬ ФАЗОВАЯ – физическая величина, равная произведению длины волны на частоту. Скорость, с которой распространяется в пространстве фаза монохроматической синусоидальной волны.

УСКОРЕНИЕ - векторная величина, применяемая для описания движения материальной точки, и равная пределу отношения вектора изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, при неограниченном уменьшении последнего. При равнопеременном (равноускоренном) прямолинейном движении У. равно отношению вектора изменения скорости к соответствующему промежутку времени. При криволинейном движении складывается из касательного (описывает изменение модуля скорости) и нормального (описывает изменение направления скорости) у. Единица в СИ - м/с 2 .

УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ - ускорение, сообщаемое свободной материальной точке силой тяжести. Зависит от географической широты места и его высоты над уровнем моря. Стандартное (нормальное) значение g= 9,80665 м/с 2 .

Второй и третий законы Ньютона.

Импульс тела. Закон сохранения импульса.

Механическая работа. Мощность.

Потенциальная энергия.

Закон сохранения энергии.

МОМЕНТ СИЛЫ относительно некоторой оси – физическая величина, описывающая вращательный эффект силы при действии ее на твердое тело и равная произведению модуля силы на плечо силы (сила расположена в плоскости, перпендикулярной оси вращения). Если вращение происходит против часовой стрелки моменту силы приписывается знак "+", если по часовой стрелке "-". Единица измерения в СИ ньютон-метр (Н . м ).

ИНЕРЦИЯ - явление сохранения скорости прямолинейного равномерного движения или состояния покоя при отсутствии или компенсации внешних воздействий.

Теорема Гюйгенса - Штейнера: Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

,

где - полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Основное уравнение динамики вращательного движения

Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

с учетом (5.9)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.

Кинетическая энергия вращательного движения - энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела - его угловая скорость () иугловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения - момент импульса относительно оси вращения z:

и кинетическая энергия

где I z - момент инерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I 1 , I 2 и I 3 . Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

где ω 1 , ω 2 , и ω 3 - главные компоненты угловой скорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:

, где -тензор инерции.

Закон всемирного тяготения. Сила тяжести.

При наблюдении сложных движений, например движения тела человека (ходьба, бег, прыжки и т.д.), кажется трудным или даже невозможным описать перемещение всех его точек. Однако, анализируя такие движения, можно заметить, что они состоят из более простых - поступательных и вращательных перемещений.

Механика поступательного движения известна читателю, поэтому раздел начинается с рассмотрения вращательного движения. Наиболее простым является вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Этот случай позволяет ознакомиться со спецификой, терминологией и законами вращательного движения.

5.1. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Абсолютно твердым телом называют такое, расстояние между любыми двумя точками которого неизменно.

Размеры и форма абсолютно твердого тела не изменяются при его движении.

Понятие «абсолютно твердое тело» - физическая абстракция, так как любое тело способно к деформациям. Однако во многих случаях деформацией можно пренебречь.

Наиболее простой случай вращательного движения абсолютно твердого тела - вращение относительно неподвижной оси. Это такое движение, при котором точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения.

Известно, что в некоторых случаях для характеристики движения тела необязательно указывать движение всех его точек; так, например, при поступательном движении достаточно указать движение любой одной точки тела.

При вращательном движении вокруг оси точки тела перемещаются по разным траекториям, но за одно и то же время все точки и само тело поворачивается на одинаковый угол. Для характеристики вращения

проведем в плоскости, перпендикулярной оси, радиус-вектор к некоторой точке i (рис. 5.1). Временная зависимость угла α поворота радиуса-вектора относительно некоторого выделенного направления ОХ является уравнением вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

Быстрота вращения тела характеризуется угловой скоростью, равной первой производной от угла поворота радиуса-вектора по времени:

Угловая скорость есть вектор, который направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого винта (рис. 5.2). Вектор угловой скорости в отличие от векторов скорости и силы является скользящим: у него нет определенной точки приложения, и он может быть расположен в любом месте на оси вращения. Таким образом, задание вектора ω указывает положение оси вращения, направление вращения и модуль угловой скорости.

Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением, равным первой производной от угловой скорости по времени:

или в векторной форме:

Из (5.4) видно, что вектор углового ускорения совпадает по направлению с элементарным, достаточно малым изменением вектора угловой скорости dω : при ускоренном вращении угловое ускорение направлено так же, как и угловая скорость, при замедленном вращении - противоположно ей.

Так как угловое перемещение всех точек абсолютно твердого тела одинаково, то, согласно (5.2) и (5.3), одновременно все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение. Линейные характеристики - перемещение, скорость, ускорение - различны для разных точек. Укажем в скалярном виде связь, которая может быть выведена самостоятельно, между линейными и угловыми характеристиками для i-й точки, движущейся по окружности радиусом r i:

Рис. 5.3

В заключение приведем полученные путем интегрирования соответствующих выражений формулы кинематики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

уравнение равномерного вращательного движения [см. (5.2)]:

зависимость угловой скорости от времени в равнопеременном вращательном движении [см. (5.3)]:

уравнение равнопеременного вращательного движения [см. (5.1) и (5.6)]:

Полезно сопоставить эти формулы с аналогичными зависимостями для поступательного движения.

5.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Момент силы _

Пусть к некоторой точке i твердого тела приложена сила F^, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 5.4).

Моментом силы относительно оси вращения называют векторное произведение радиуса-вектора точки i на силу:

Раскрывая его, можно записать:

где β - угол между векторами r i и F i . Так как плечо силы h i = r i sinβ (см. рис. 5.4), то

Если сила действует под некоторым углом α к плоскости вращения (рис. 5.5), то ее можно разложить на две составляющие. Одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а другая параллельна этой этой оси и не оказывает влияния на вращение тела (в реальном случае она действует лишь на подшипники). Далее будут рассматриваться только силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Рис. 5.4

Рис. 5.5

Работа во вращательном движении

Пусть при действии силы F i (см. рис. 5.4) тело поворачивается на достаточно малый угол dα. Найдем работу этой силы.

Известное из средней школы выражение для работы силы в данном случае следует записать так:

Итак,

элементарная работа силы во вращательном движении равна произведению момента силы на элементарный угол поворота тела.

Если на тело действует несколько сил, то элементарная работа, совершенная всеми ими, определяется аналогично (5.12):

где М - суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело.

Если при повороте тела положение радиуса-вектора изменилось от α 1 до α 2 , то работа внешних сил может быть найдена интегрированием выражения (5.13):

Момент инерции

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от распределения ее в пространстве относительно оси. Мера инертности тела при вращении характеризуется моментом инерции тела относительно оси вращения. Укажем сначала, что

моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют величину, равную произведению массы точки на квадрат расстояния ее от оси:

Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции всех материальных точек, из которых состоит тело:

В качестве примера выведем формулу момента инерции тонкого однородного стержня длиной l и массой т относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (рис. 5.6). Выберем достаточно малый участок стержня длиной dx и массой dm, удаленный от оси 00" на расстояние х. Ввиду малости этого участка он может быть принят за материальную точку, его момент инерции [см. (5.15)] равен:

Масса элементарного участка равна произведению линейной плотности т/l, умноженной на длину элементарного участка: dm = (m/l) dx Подставив это выражение в (5.18), получим

Чтобы найти момент инерции всего стержня, проинтегрируем выражение (5.19) по всему стержню, т.е. в пределах от -1/2 до +1/2:

Приведем выражения для моментов инерции разных симметричных тел массой т:

полого однородного цилиндра (обруча) с внутренним радиусом r и внешним R относительно оси ОО", совпадающей с геометрической осью цилиндра (рис. 5.7):

сплошного однородного цилиндра (r = 0) или диска [см. (5.21)]:

однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:

прямоугольною параллелепипеда относительно оси ОО", проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания (рис. 5.8):

Во всех перечисленных примерах ось вращения проходит через центр масс тела. При решении задач для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно воспользоваться теоремой Гюйгенса. Согласно этой теореме, момент инерции тела относительно некоторой оси OO":

где J 0 - момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела OO"; т - масса тела; d - расстояние между двумя параллельными осями (рис. 5.9). Единицей момента инерции является килограмм-метр в квадрате (кг-м 2).

Момент импульса

Моментом импульса (момент количества движения) материальной точки, вращающейся относительно некоторой оси, называется величина, равная произведению импульса точки на расстоянии ее до оси вращения:

Момент импульса тела, вращающегося относительно некоторой оси, равен сумме моментов импульсов точек, из которых состоит данное тело:

Так как угловая скорость всех точек твердого тела одинакова, выне-ся ω за знак суммы [см. (5.29)], получим:

(/ - момент инерции тела относительно оси), или в векторной форме:

Итак, момент импульса равен произведению момента инерции точки на угловую скорость. Отсюда следует, что направления векторов момента импульса и угловой скорости совпадают. Единицей момента импульса является килограмм-метр в квадрате в секунду (кг? м 2 ? с -1).

Формулу (5.31) полезно сравнить с аналогичной формулой для импульса в поступательном движении.

Кинетическая энергия вращающегося тела

При вращении тела его кинетическая энергия складывается из кинетических энергий отдельных точек тела. Для твердого тела:

Полезно сопоставить выражение (5.32) с аналогичным выражением для поступательного движения.

Продифференцировав (5.32), получим элементарное изменение кинетической энергии во вращательном движении:

Основное уравнение динамики вращательного движения

Пусть твердое тело, на которое действовали внешние силы, повернулось на достаточно малый угол da. Приравняем элементарную работу всех внешних сил при таком повороте [см. (5.13)] элементарному изменению кинетической энергии [см. (5.33)]: M dα = J ω dω , откуда:

Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения. Из (5.35) видно, что момент инерции характеризует инерционные свойства тела во вращательном движении: при действии внешних сил угловое ускорение тела тем больше, чем меньше момент инерции тела.

Основное уравнение для вращательного движения играет ту же роль, что и второй закон Ньютона для поступательного. Физические величины, входящие в это уравнение, аналогичны соответственно силе, массе и ускорению.

Из (5.34) следует, что:

Производная от момента импульса тела по времени равна равнодействующему моменту всех внешних сил.

Зависимость углового ускорения от момента силы и момента инерции можно продемонстрировать с по-

мощью прибора, изображенного на рис. 5.10. Под действием груза 1, подвешенного на нити, перекинутой через блок, крестовина ускоренно вращается. Перемещая грузики 2 на разные расстояния от оси вращения, можно изменять момент инерции крестовины. Меняя грузы, т.е. моменты сил, и момент инерции, можно убедиться, что угловое ускорение возрастает при увеличении момента силы или уменьшении момента инерции.

5.3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Рассмотрим частный случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. Как видно из (5.37), dL/dt = 0 при М = 0, откуда

Это положение известно под названием закона сохранения момента импульса: если суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса этою тела остается постоянным.

Опуская доказательство, отметим, что закон сохранения момента импульса справедлив не только для абсолютно твердого тела.

Наиболее интересные применения этого закона связаны с вращением системы тел вокруг общей оси. При этом необходимо учитывать векторный характер момента импульса и угловых скоростей. Так, для системы, состоящей из N тел, вращающихся вокруг общей оси, закон сохранения момента импульса можно записать в форме:

Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие этот закон.

Гимнаст, выполняющий сальто (рис. 5.11), в начальной фазе сгибает колени и прижимает их к груди, уменьшая тем самым момент инерции и увеличивая угловую скорость вращения вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс. В конце прыжка тело выпрямляется, момент инерции возрастает, угловая скорость уменьшается. Фигурист, совершающий вращение вокруг вертикальной оси (рис. 5.12), в начале вращения приближает руки к корпусу, тем самым уменьшая момент инерции и увеличивая угловую скорость. В конце вращения происходит обратный процесс: при разведении рук увеличивается момент инерции и уменьшается угловая скорость, что позволяет легко остановиться.

Такое же явление может быть продемонстрировано на скамье Жуковского, которая представляет собой легкую горизонтальную платформу, вращающуюся с малым трением вокруг вертикальной оси. При изменении положения рук изменяются момент инерции и угловая скорость (рис. 5.13), момент импульса остается постоянным. Для усиления демонстрационного эффекта в руках человека гантели. На скамье Жуковского можно продемонстрировать векторный характер закона сохранения момента импульса.

Экспериментатор, стоящий на неподвижной скамье, получает от помощника велосипедное колесо, вращающееся вокруг вертикальной оси (рис. 5.14, слева). В этом случае момент импульса системы человек и платформа-колесо определяется только моментом импульса колеса:

здесь J ч - момент инерции человека и платформы; J K и ω κ - момент инерции и угловая скорость колеса. Так как момент внешних сил относительно вертикальной оси равен нулю, то L сохраняется (L = const).

Если экспериментатор повернет ось вращения колеса на 180° (рис. 5.14, справа), то момент импульса колеса будет направлен противоположно первоначальному и равен J K ω K . Так как вектор момента импульса колеса изменяется, а момент импульса системы сохраняется, то неизбежно должен измениться и момент импульса, человека и платформы, он уже не будет равен нулю 1 . Момент импульса системы в этом случае

1 Небольшим несовпадением оси колеса с осью вращения платформы можно пренебречь.

По формуле (5.42) можно приближенно оценить момент инерции тела человека вместе с платформой, для чего необходимо измерить ω κ , ω 4 и найти J k . Способ измерения угловых скоростей равномерного вращения известен читателю. Зная массу колеса и предполагая, что в основном масса распределена по ободу, по формуле (5.22) можно определить J k . Для уменьшения ошибки можно утяжелить обод велосипедного колеса, проложив по нему специальные шины. Человек должен располагаться симметрично оси вращения.

Более простой вариант рассмотренной демонстрации состоит в том, что человек, стоящий на скамье Жуковского, сам приводит во вращение колесо, которое он держит на вертикальной оси. При этом человек и платформа начинают вращаться в противоположные стороны (рис. 5.15).

5.4. ПОНЯТИЕ О СВОБОДНЫХ ОСЯХ ВРАЩЕНИЯ

Тело, вращающееся вокруг фиксированной оси, в общем случае действует на подшипники или другие устройства, которые сохраняют неизменным положение этой оси. При больших угловых скоростях и моментах инерции эти воздействия могут быть значительными. Однако в любом теле можно выбрать такие оси, направление которых при вращении будет сохраняться без каких-либо специальных устройств. Чтобы понять, какому условию должен удовлетворять выбор таких осей, рассмотрим следующий пример.

Сопоставляя (5.43) с координатами центра масс, замечаем, что силы, действующие на ось, уравновешиваются, если ось вращения проходит через центр масс.

Таким образом, если ось вращения проходит перпендикулярно стержню через центр масс, то воздействия на эту ось со стороны вращающегося тела не будет. Если при этом убрать подшипники, то ось вращения начнет перемещаться, сохраняя неизменным положение в пространстве, а тело будет продолжать вращение вокруг этой оси.

Оси вращения, которые без специального закрепления сохраняют свое направление в пространстве, называют свободными. Примерами таких осей являются оси вращения Земли и волчка, ось всякого брошенного и свободно вращающегося тела и т.п.

У тела произвольной формы всегда имеется по крайней мере три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс, которые могут быть свободными осями вращения. Эти оси называют главными осями инерции. Хотя все три главные оси инерции являются свободными, наиболее устойчивым будет вращение вокруг оси с наибольшим моментом инерции. Дело в том, что в результате неизбежного действия внешних сил, например трения, а также в связи с тем, что трудно задать вращение точно вокруг определенной оси, вращение вокруг остальных свободных осей неустойчиво.

В некоторых случаях, когда тело вращается около свободной оси с малым моментом инерции, оно само изменяет эту ось на ось с наибольшим моментом.

Это явление демонстрируют следующим опытом. К электродвигателю подвешена на нити цилиндрическая палочка, которая может вращаться вокруг своей геометрической оси (рис. 5.17, а). Момент инерции относительно этой оси J 1 = тR 2 /2. При достаточно большой угловой скорости палочка изменит свое положение (рис. 5.17, б). Момент инерции относительно новой оси равен J 2 = ml 2 /12. Если l 2 >6R 2 , то и J 2 > J 1 . Вращение вокруг новой оси будет устойчивым.

Читатель может самостоятельно на опыте убедиться, что вращение брошенной спичечной коробки устойчиво относительно оси, проходящей перпендикулярно большей грани, и неустойчиво или менее устойчиво относительно осей, проходящих перпендикулярно другим граням (см. рис. 5.8).

Вращение животных и человека в свободном полете и при различных прыжках происходит вокруг свободных осей с наибольшим или наименьшим моментом инерции. Так как положение центра масс зависит от позы тела, то при разных позах будут и различные свободные оси.

5.5. ПОНЯТИЕ О СТЕПЕНЯХ СВОБОДЫ

Положение свободной материальной точки в пространстве задается тремя независимыми координатами: х, у, z. Если точка не свободна, а перемещается, например, по некоторой поверхности, то не все три координаты будут независимыми.

Независимые переменные, характеризующие положение механической системы, называют степенями свободы.

У свободной материальной точки три степени свободы, в рассмотренном примере - две степени свободы. Так как молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, следовательно, такая свободная молекула тоже имеет три степени свободы.

Еще некоторые примеры.

Две материальные точки 1 и 2 жестко связаны друг с другом. Положение обеих точек задано шестью координатами x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , на которые наложены одно ограничение и одна связь, математически выражаемая в форме уравнения:

Физически это означает, что расстояние между материальными точками всегда l. В этом случае число степеней свободы равно 5. Рассмотренный пример является моделью двухатомной молекулы.

Три материальные точки 1, 2 и 3 жестко связаны друг с. другом. Девять координат характеризуют положение такой системы: x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , x 3 , y 3 , z 3 . Однако три связи между точками обусловливают независимость только шести координат. Система имеет шесть степеней свободы. Так как положение трех точек, не лежащих на одной прямой, однозначно определяет положение твердого тела, то и твердое тело имеет шесть степеней свободы.

Такое же число степеней свободы (шесть) имеют трехатомные и многоатомные молекулы, если эти молекулы рассматривать как жесткие образования.

1 Если для зависимой координаты из (5.44) получают мнимую величину, это означает, что выбранные независимые координаты не соответствуют каким-либо точкам, расположенным на сфере заданного радиуса.

В реальных многоатомных молекулах атомы находятся в колебательных движениях, поэтому число степеней свободы таких молекул более шести.

Число степеней свободы определяет не только число независимых переменных, характеризующих положение механической системы, но и, что очень важно, число независимых перемещений системы. Так, три степени свободы свободной материальной точки означают, что любое перемещение точки можно разложить на независимые перемещения по трем осям координат. Так как точка не имеет размеров, то говорить о ее вращении не имеет смысла. Итак, материальная точка имеет три степени свободы поступательного движения. Материальная точка на плоскости, сфере или иной поверхности имеет две степени свободы поступательного движения. Перемещение материальной точки вдоль кривой (условный пример - движение поезда по рельсам) соответствует одной степени свободы поступательного движения.

Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы вращательного движения. Колесо поезда имеет две степени свободы: одна - вращательного движения, а другая - поступательного (перемещение оси колеса вдоль рельса). Шесть степеней свободы твердого тела означают, что любое перемещение этого тела можно разложить на составляющие: перемещение центра масс раскладывается на три поступательных движения по осям координат, а вращение состоит из трех более простых поворотов относительно осей координат, проходящих через центр масс.

На рис. 5.18-5.20 показаны шарнирные соединения, соответствующие одной, двум и трем степеням свободы.

Рис. 5.18

Рис. 5.19

Рис. 5.20

5.6. ЦЕНТРИФУГИРОВАНИЕ

Центрифугированием называется процесс разделения (сепарации) неоднородных систем, например частиц от жидкостей, в которых они находятся, обусловленный их вращением.

Рассмотрим разделение неоднородных систем в поле силы тяжести. Предположим, что имеется водная суспензия частиц различной плотности. Со временем благодаря действию силы тяжести и выталкивающей силы F A происходит расслаивание частиц: частицы с большей, чем у воды, плотностью тонут, частицы с меньшей, чем у воды, плотностью всплывают. Результирующая сила, действующая, например, на более плотную отдельную частицу, равна:

где ρ 1 - плотность вещества частицы; ρ - плотность воды; V - объем частицы.

Если значения ρ 1 и ρ мало отличаются друг от друга, то сила F p мала и расслоение (осаждение) происходит достаточно медленно. В центрифуге (сепараторе) такое разделение производят принудительно, вращая разделяемую среду.

Рассмотрим физику этого явления.

Пусть рабочий объем центрифуги (рис. 5.21: а - внешний вид; б - схема рабочего объема) полностью занят какой-либо однородной жидкостью. Выделим мысленно небольшой объем V этой жидкости, находящийся на расстоянии r от оси вращения OO". При равномерном вращении центрифуги на выделенный объем кроме силы тяжести и выталкивающей силы, которые уравновешивают друг друга, действует центростремительная сила. Это сила со стороны окружающей объем жидкости. Она, естественно, направлена к оси вращения и равна:

где ρ - плотность жидкости.

Предположим теперь, что выделенный объем V - это сепарируемая частица, плотность вещества которой ρ 1 (ρ 1 Φ ρ). Сила, действующая на частицу со стороны окружающей жидкости, не изменится, как это видно из формулы (5.45).

Для того чтобы частица вращалась вместе с жидкостью, на нее должна действовать центростремительная сила, равная:

где m 1 - масса частицы, а ρ 1 - соответствующая ей плотность.

Рис. 5.21

Если F > F 1 , то частица перемещается к оси вращения. Если F < F 1 , то воздействия на частицу со стороны жидкости будет недостаточно, чтобы удержать ее на круговой траектории, и частица по инерции начнет перемещаться к периферии. Эффект сепарации определяется превышением силы F, действующей со стороны жидкости на выделенную частицу, над тем значением центростремительной силы F 1 , которое обусловливает движение по окружности:

Это выражение показывает, что эффект центрифугирования тем больше, чем больше различие плотностей сепарируемых частиц и жидкости, а также существенно зависит от угловой скорости вращения 1 .

Сравним разделение центрифугированием с разделением с помощью силы тяжести:

1 Сила тяжести и выталкивающая сила при выводе формулы (5.47) не учитываются, так как они направлены вдоль оси вращения и не оказывают принципиального влияния на центрифугирование.

Ультрацентрифуги способны разделить частицы размером менее 100 нм, взвешенные или растворенные в жидкости. Они нашли широкое применение в медико-биологических исследованиях для разделения биополимеров, вирусов и субклеточных частиц.

Быстрота сепарации особенно важна в биологических и биофизических исследованиях, так как со временем может существенно измениться состояние изучаемых объектов.

Уравнения динамики твердого тела. Общий случай.

В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2 независимых векторных уравнения.

Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые справедливы для системы точек в целом.

Обратимся к опытам.

Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение - траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.

Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную плоскость (рис. 1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня в горизонтальном направлении.

Опыт, который был представлен на рис. 2.2а,в, свидетельствует о том, что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее момент относительно оси вращения.

Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс (физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс, находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.26).

Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с “послушной” и “непослушной” катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления момента силы относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис. 3.3а), либо накатывается на нитку (рис. 3.36). Держа нить достаточно близко к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую “непослушную” катушку.

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики, сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения твердого тела можно использовать:

1. Уравнение движения центра масс

Здесь - скорость центра масс тела, сумма всех внешних сил, приложенных к телу.

2. Уравнение моментов

Здесь - момент импульса твердого тела относительно некоторой точки, М - суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.

К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого тела, необходимо дать следующие комментарии:

1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных точек, невлияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела.

2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели абсолютно твердого тела локальные деформации, возникающие в области приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы при этом не изменится.

3. Векторы и М в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе точки. Во многих задачах и М удобно рассматривать относительно движущегося центра масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально

совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела относительно движущегося центра масс О связан с моментом импульса относительно неподвижной точки О соотношением, полученным в конце лекции №2:

где - радиус-вектор от О к - полный импульс тела. Аналогичное соотношение легко может быть получено и для моментов силы:

где - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело. Поскольку точка О неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):

Здесь учтено, что

Величина есть скорость точки О в лабораторной системе Учитывая (3.4), получим

Поскольку движущаяся точка О - это центр масс тела, то масса тела), то есть уравнение моментов относительно движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной точки. Существенно отметить, что в этом случае, как было показано в конце лекции №2, скорости всех точек тела при определении следует брать относительно центра масс тела.

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное (вместе с системой начало которой находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанном с телом) и вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно центра масс (или оси, проходящей через центр масс) в том же виде, как и относительно неподвижного начала (или неподвижной оси).

4. Если не зависит от угловой скорости тела, от скорости центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать

независимо друг от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения (3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося твердого тела в вязкой среде.

Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и закрепленного в центре масс.

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением

Здесь - это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси (см. лекцию №2). М - это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), где - составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, - плечо силы относительно оси.

Моментом силы F относительно неподвиж­ной точки О называется физическая вели­чина, определяемая векторным произведе­нием радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

M = [ rF ].

Здесь М - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательно­го движения правого винта при его враще­нии от г к F .

Модуль момента силы

M = Frsin  = Fl , (18.1)

где  - угол между г и F ; rsin  = l - кратчайшее расстояние между линией дей­ствия силы и точкой О - плечо силы.

Моментом силы относительно непод­вижной оси z называется скалярная вели­чина М z , равная проекции на эту ось век­тор а М момента силы, определенного от­носительно произвольной точки О данной оси 2 (рис.26). Значение момента М z не зависит от выбора положения точки О на оси z .

Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращательного дви­жения твердого тела относительно непод­вижной оси.

14. Центр масс системы материальных точек.

В механике Галилея - Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через ско­рость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распре­деление массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

где m i и r i - соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n - число материальных точек в системе;

- масса системы.

Скорость центра масс

Учитывая, что p i = m i v i , а

есть импульс р системы, можно написать

p = m v c , (9.2)

т. е. импульс системы равен произведе­нию массы системы на скорость ее цент­ра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравне­ние (9.1), получим

mdv c / dt = F 1 + F 2 +...+ F n , (9.3)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредото­чена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона со­хранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остает­ся неподвижным

2)Траектория движения. Пройденный путь. Кинематический закон движения.

Траекто­рия движения материальной точки - ли­ния, описываемая этой точкой в простран­стве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис.2). Отсчет времени начнем с момен­та, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, прой­денного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется дли­ной пути As и является скалярной фун­кцией времени:  s =  s (t ). Вектор  r = r - r 0 , проведенный из начального положе­ния движущейся точки в положение ее в. данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматривае­мый промежуток времени), называется пе­ремещением.

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствую­щим участком траектории и модуль пе­ремещения |  r | равен пройденному пу­ти  s .

Вопросы к экзамену по физике (I семестр)

1. Движение. Виды движений. Описание движения. Система отсчета.

2. Траектория движения. Пройденный путь. Кинематический закон движения.

3. Скорость. Средняя скорость. Проекции скорости.

4. Ускорение. Понятие нормального и тангенциального ускорений.

5. Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение.

6. Центростремительное ускорение.

7. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона.

8. Сила. Второй закон Ньютона.

9. Третий закон Ньютона.

10.Виды взаимодействий. Частицы-переносчики взаимодействий.

11.Полевая концепция взаимодействий.

12. Гравитационные силы. Сила тяжести. Вес тела.

13. Силы трения и упругие силы.

14. Центр масс системы материальных точек.

15. Закон сохранения импульса.

16. Момент силы относительно точки и оси.

17. Момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера.

18. Основное уравнение динамики вращательного движения.

19. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

20. Работа. Вычисление работы. Работа упругих сил.

21. Мощность. Вычисление мощности.

22. Потенциальное поле сил. Силы консервативные и неконсервативные.

23. Работа консервативных сил.

24. Энергия. Виды энергии.

25. Кинетическая энергия тела.

26. Потенциальная энергия тела.

27. Полная механическая энергия системы тел.

28. Связь между потенциальной энергией и силой.

29. Условия равновесия механической системы.

30. Соударение тел. Виды соударений.

31. Законы сохранения для различных видов соударений.

32. Линии и трубки тока. Неразрывность струи. 3 3. Уравнение Бернулли.

34. Силы внутреннего трения. Вязкость.

35. Колебательное движение. Виды колебаний.

36. Гармонические колебания. Определение, уравнение, примеры.

37.Автоколебания. Определение, примеры.

38. Вынужденные колебания. Определение, примеры. Резонанс.

39. Внутренняя энергия системы.

40. Первое начало термодинамики. Работа, совершаемая телом при изменениях объема.

41. Температура. Уравнение состояния идеального газа.

42. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа.

43. Уравнение адиабаты идеального газа.

44. Политропические процессы.

45. Ван-дер-ваальсовский газ.

46. Давление газа на стенку. Средняя энергия молекул.

47.Распределение Максвелла.

48. Распределение Больцмана.

Пусть к некоторому телу, которое может вращаться около неподвижной оси О и имеет момент инерции приложена сила с плечом (рис. 62). Определим угловое ускорение приобретаемое телом под действием указанной силы.

Допустим, что за время тело поворачивается с угловой скоростью ( на угол причем точка приложения силы описывает дугу Работа, совершаемая силой за время будет равна или, иначе, Эта работа идет на увеличение кинетической энергии вращения тела, т. е.

Но при неизменности момента инерции тела

Стало быть (произведя сокращение на и введя момент силы получаем:

Мы видим, что это основное уравнение динамики вращательного движения по своему начертанию аналогично основному уравнению динамики поступательного движения

Однако, как и следовало ожидать, в уравнении (13) вместо силы фигурирует момент силы, вместо массы - момент инерции и вместо линейного ускорения - угловое ускорение.

Приняв во внимание возможность изменения момента инерции тела во время вращения, мы вместо уравнения (13) получили бы уравнение

аналогичное уравнению

В уравнение (14) входит величина Выясним ее физический смысл. При вращательном движении тела каждая его частица с массой описывает окружность некоторого радиуса имея при этом некоторую скорость (рис. 63). Произведение есть количество движения данной частицы. Произведение количества движения частицы на кратчайшее расстояние частицы от какой-либо оси, т. е. величина есть момент количества движения относительно оси. Момент количества движения относительно оси рассматривают как вектор, направленный по оси в ту сторону, куда нужно смотреть, чтобы видеть вращение происходящим по часовой стрелке.

Взяв сумму моментов количества движения всех частиц, составляющих вращающееся тело, получим момент количества движения

всего данного тела:

или, вынося за знак суммы общий для всех точек множитель со и замечая, что есть момент инерции находим:

Таким образом, момент количества движения тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции на угловую скорость.

Заметим, что момент количества движения вращающегося тела часто называют импульсом вращения.

Свободные оси. Основное уравнение динамики вращательного движения справедливо для вращения относительно любой возможной оси. Следует, однако, отметить, что в отношении характера и интенсивности взаимодействия вращающегося тела с опорами оси вращения не все оси равноценны.

Рис. 64 Врашение тела вокруг произвольной (а) и свободной (б) осей.

Рис. 65 Свободные оси палочки (а) и диска (б)

Возможны два случая: ось вращения такова, что центробежные силы инерции, развиваемые отдельными материальными точками тела, не уравновешиваются относительно этой оси (рис. 64, а); тогда тело при вращении оказывает Соковое давление на подшипники. Но может случиться, что все центробежные силы инерции уравновешиваются относительно оси вращения (рис. 64, б); такую ось называют свободной осью.

Если тело имеет ось полной симметрии, то, очевидно, эта ось симметрии и будет свободной осью.

Можно доказать, что во всяком теле существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси.

В отношении устойчивости вращения небезразлично, какая именно из свободных осей служит осью вращения Опыт и теория показывают, что вращение около осей с наибольшим и наименьшим

моментом инерции отзывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом, инерции - неустойчивым. Так, если палочку подвесить за конец на нити и другой конец нити привести в быстрое вращение при помощи центробежной машины (рис. 65, а), то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпендикулярной к длине палочки и проходящей через ее середину. Это и есть свободная ось вращения, причем момент инерции палочки при таком положении оси - максимальный.

Точно так же будет вращаться в горизонтальной плоскости тяжелое кольцо или диск (рис. 65, б).

Понятие о свободной оси вращения имеет большое значение для техники. Именно, надо заставлять вращающиеся части машины вращаться около их свободных осей, или, как говорят, надо хорошо их центрировать, иначе давление на ось, особенно при больших скоростях, может иметь вредные последствия вплоть до поломки машины.