Прямоугольник определение признак вывод его. Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника. Краткое изложение и основные формулы

География, биология, химия, алгебра, геометрия... Школьникам приходится иметь дело с множеством сведений из самых различных наук. Однако есть области знаний, в которых достаточно просто разобраться, ознакомившись с их основными законами. К ним относится и геометрия. Чтобы познать все тонкости этой науки, надо обязательно познакомиться с ее азами, аксиомами. Ведь без основ в геометрии никуда.

Определение прямоугольника

Прямоугольник - это геометрическая фигура с четырьмя прямыми углами. Определение довольно простое, но не стоит думать, что у школьника не возникнет проблем с изучением такой темы, ведь здесь есть ряд особенностей. Размеры прямоугольника зависят от длины его сторон, которые наиболее часто обозначаются латинскими буквами а и b.

Свойства прямоугольника

• стороны, лежащие друга против друга, равны и параллельны;
• диагонали фигуры равны;
• точка пересечения диагоналей делит их пополам;
• прямоугольник можно поделить на два равных

Признаки прямоугольника

Существует всего три признака, которыми обладает прямоугольник. Вот они:

• параллелограмм с равными диагоналями - это прямоугольник;
• параллелограмм с одним прямым углом - это прямоугольник;
• четырехугольник с тремя прямыми углами - это прямоугольник.

Еще немного интересного

Итак, что такое прямоугольник, теперь понятно, но какую роль он играет в геометрических задачах и при измерениях на практике, еще предстоит разобраться. Так, в первую очередь надо сказать, что это наиболее удобная геометрическая фигура, при помощи которой можно делить площадь на участки и на открытой местности, и в помещениях.

Что такое прямоугольник? Как известно, он является четырехугольником. Существует множество разновидностей последнего, среди которых можно назвать трапецию (только две стороны равны), параллелограмм (противоположные стороны параллельны), квадрат (все углы и стороны одинаковые), ромб (параллелограмм с равными сторонами) и другие. Частным же случаем прямоугольника является квадрат, у которого все углы прямые, а стороны равны.

Нельзя говорить о том, что такое прямоугольник, и не упомянуть о том, как же определить его размеры. Площадью этой принято считать произведение ее ширины на длину, а периметр же, как и у любой фигуры, равняется сумме длин всех сторон. В данном случае он также равен удвоенной сумме длины и ширины, поскольку противолежащие стороны прямоугольника равны. Теперь вы знаете, что такое прямоугольник и что с ним делать, решая задачи и постигая секреты такой загадочной и таинственной науки, как геометрия.

Прямоугольник уникален своей простотой. На основе этой фигуры ученики начинают познавать основы геометрии. Поэтому в старших классах теряются, не зная основных свойств и признаков прямоугольника, напрасно считая эту фигуру излишне простой.

Прямоугольник

Определение прямоугольника известно с начальной школы: это параллелограмм, у которого все углы равны 90 градусам. Возникает вопрос: что же такое параллелограмм?

Несмотря на заковыристое название, эта фигура столь же проста, как и прямоугольник. Параллелограмм это выпуклый четырехугольник, стороны которого попарно равны и параллельны.

В определении обязательно выделять слово выпуклый. Поскольку выпуклые и невыпуклые четырехугольники четко разделяются в геометрии. Причем невыпуклые фигуры вообще не изучаются в школьном курсе математики, так как они куда более непредсказуемы в своих свойствах.

Рис. 1. Выпуклые четырехугольники

Прямоугольник это частный случай параллелограмма. При этом существуют как другие частные случаи параллелограмма, например, ромб; так и другие частные случаи прямоугольника - квадрат. Поэтому перед тем, как доказывать, что фигура является прямоугольником, нужно доказать, что она является параллелограммом.

Свойства прямоугольника

Свойства прямоугольника можно разбить на две группу: свойства параллелограмма и свойства прямоугольника.

Свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны попарно равны и параллельны.
• Противоположные углы равны.

Рис. 2. Свойства параллелограмма

Свойства прямоугольника:

• Все углы равны 90 градусам, что проистекает из определения фигуры.
• Диагонали прямоугольника разбивает фигуру на два малых равных прямоугольных треугольника. Это свойство легко доказать. Треугольники будут прямоугольными, так как включат в себя по одному углу в 90 градусов. При этом диагональ будет являться общей стороной,а катеты окажутся равными, так как противоположные стороны прямоугольника попарно равны и параллельны.
• Диагонали прямоугольника равны.

Рис. 3. Луч

Признаки прямоугольника

У прямоугольника всего три основных признака:

• По углу. Если один из углов параллелограмма равен 90 градусам, то параллелограмм является прямоугольником.
• Если три угла четырехугольника равны 90 градусам, то такой четырехугольник является прямоугольником. Обратите внимание, что в этом случае нет необходимости доказывать, что перед нами параллелограмм. Достаточно знать значения углов четырехугольника.
• По диагонали: если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм является прямоугольником.

Обращайте внимание на то, к какой фигуре применяется признак, это имеет значение при доказательстве.

В чем разница признака и свойства? Признак это отличие по которому можно выделить фигуру среди других. Как имя у человека. Вы видите знакомого, вспоминаете его имя и сразу знаете, что от него ожидать. А вот ожидания от человека это уже свойства. Свойства можно применять только после того, как вы доказали, что перед вами та или иная фигура. А для этого доказательства нам и необходимы признаки.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое параллелограмм. Поговорили о частных случаях параллелограмма, в том числе и о самом распространенном - прямоугольнике. Выделили свойства и признаки прямоугольника. Обратили внимание на то, что часть признаков действительно для любого четырехугольника, а часть только для параллелограмма.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.1 . Всего получено оценок: 268.

Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

2 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

3 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями.

Трапеция называется равнобедренной (равнобочной) , если ее боковые стороны равны. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции . Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство. Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат есть частный вид прямоугольника, а также частный вид ромба. Поэтому он имеет все их свойства.

Свойства:
1. Все углы квадрата прямые

2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Урок по теме « Прямоугольник и его свойства»

Цели урока:

Повторить понятие прямоугольника, опираясь на полученные знания учащихся в курсе математики 1 – 6 классов.

Рассмотреть свойства прямоугольника как частного вида параллелограмма.

Рассмотреть частное свойство прямоугольника.

Показать применение свойств к решению задач.

Ход урока .

I O рганизационный момент.

Сообщить цель урока, тему урока.

II Изучение нового материала .

Повторить:

1. Какая фигура называется параллелограммом?

2. Какими свойствами обладает параллелограмм?

● Ввести понятие прямоугольника.

Какой параллелограмм можно назвать прямоугольником?

Определение: Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. (слайд 3)

Значит, раз прямоугольник – это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Раз у прямоугольника другое название, то должно быть своё свойство (слайд 4).

● Задание для учащихся (самостоятельно): исследуйте стороны, углы и диагонали параллелограмма и прямоугольника, записав результаты в таблицу.

Параллелограмм

Прямоугольник

Стороны

Углы

Диагонали

Сделать вывод: диагонали прямоугольника равны.

● Этот вывод и является частным свойством прямоугольника:

Теорема. Диагонали прямоугольника равны.

Дано : АВСD – прямоугольник,

АС и BD диагонали.

Доказать : АС = BD

Доказательство:

1) Рассмотрим ∆ АСD и ∆ АВD :

а)
АD С =
D АВ = 90°,

б) А D – общая,

в) АВ = СD – противоположные стороны прямоугольника,

следовательно треугольники равны по двум катетам.

2)Так как треугольники равны, то АС = ВD .

●Рассмотрим свойства прямоугольника, зная, что он является параллелограммом.

Свойство 1: сумма углов прямоугольника равна 360°.

Доказательство : а) так как у прямоугольника четыре угла по 90°, то их сумма равна 360°.

б) так как прямоугольник – это четырехугольник, то сумма углов четырехугольника равна (n – 2) ∙180° = (4 – 2) ∙180° = 2∙180° = 360°.

Свойство 2: противоположные стороны прямоугольника равны.

Доказательство : а) так как прямоугольник – это параллелограмм, а у параллелограмма противоположные стороны равны, то и у прямоугольника противоположные стороны тоже будут равными.

Как еще можно доказать этот факт?

б) если провести диагональ АС, то из равенства прямоугольных треугольников АВС и С D А (по гипотенузе и острому углу) будет следовать равенство противоположных сторон прямоугольника.

Свойство 3: диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство : а) так как прямоугольник – это параллелограмм, а у параллелограмма диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то и у прямоугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Существует ли ещё одно доказательство этого свойства?

б) Да, через равенство треугольников АОВ и D ОС (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Свойство 4: биссектриса угла прямоугольника отсекает от него равнобедренный треугольник.

Доказательство: а) так как прямоугольник – это параллелограмм, а у параллелограмма биссектриса острого угла отсекает от него равнобедренный треугольник, то и у прямоугольника биссектриса любого угла отсекает от него равнобедренный треугольник.

Можно ли ещё каким либо другим способом доказать это свойство?

б) Можно. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВК и докажем равенство углов ВАК и ВКА. Тогда можно сделать вывод о равенстве сторон АВ и ВК.

Все свойства доказываются, используя свойства параллелограмма.

Получили, что прямоугольник обладает пятью свойствами:

III Закрепление изученного материала.

Задания классу: 1. Найди периметр прямоугольника (устно)

а)б)

Решение:

а) Р = (6+4)∙2, Р= 20(дм) (противоположные стороны прямоугольника равны)

б) т.к. диагонали прямоугольника равны, то ∆ M ОK и ∆ M ОN равнобедренные, ОВ и ОА являются медианами, следовательно они являются и высотами. Тогда 2ВО = MN = 8, 2АО = МK = 4.

Р = (8 + 4)∙2, Р = 24(дм)

2. Найди стороны прямоугольника, зная, что его периметр равен 24 см.

Решение: 1) ∆АВМ – равнобедренный, так как АМ – биссектриса,

значит АВ = ВМ.

2) 24 = (АВ + ВМ + МС) ∙2,

12 = АВ + ВМ + МС,

12 = ВМ + ВМ +МС,

12 = МС + 2∙ВМ.

3)

3 МВ = 9, МВ = 3, МС = 6

4) АВ = СD = 3, AD = BC = 3 +6 = 9

Ответ: 3 см, 9 см, 3 см, 9 см.

№ 403 (учебник)

Дано: АВСО - прямоугольник, D = 30°,

значит СD = 0,5АС = 6 см.

2) АВ = СD = 6 см.

3) В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, т. е. АО = ВО = 6 см.

4) Р(аов) = АО + ВО + АВ = 6 +6+ 6 = 18см.

Ответ: 18 см.

IV Подведение итогов урока.

Прямоугольник обладает следующими свойствами:

1. Сумма углов прямоугольника равна 360°.

2. Противоположные стороны прямоугольника равны.

3. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

4. Биссектриса угла прямоугольника отсекает от него равнобедренный треугольник.

5. Диагонали прямоугольника равны.

V Домашнее задание.

П. 45, вопросы 12,13. №399, 401 а), 404

Дома самостоятельно рассмотреть признак прямоугольника.

4. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диагональ квадрата :

5. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диаметр окружности (описанной):

6. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны противолежащей этому углу:

7. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через косинус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны у этого угла:

8. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

Угол между стороной и диагональю прямоугольника.

Формулы для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника:

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:

Угол между диагоналями прямоугольника.

Формулы для определения угла меж диагоналей прямоугольника:

1. Формула определения угла меж диагоналей прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

β = 2α

2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ.