Ноль и отрицательные числа сравнение. Отрицательные числа. Свойства отрицательных чисел
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0, то получится ряд положительных целых чисел :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Целые отрицательные числа
Рассмотрим небольшой пример. На рисунке слева изображён термометр, который показывает температуру 7° тепла. Если температура понизится на 4°, то термометр будет показывать 3° тепла. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:
Если температура понизится на 7°, то термометр будет показывать 0°. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:
Если же температура понизится на 8°, то термометр покажет -1° (1° мороза). Но результат вычитания 7 - 8 нельзя записать с помощью натуральных чисел и нуля.
Проиллюстрируем вычитание на ряде целых положительных чисел:
1) От числа 7 отсчитаем влево 4 числа и получим 3:
2) От числа 7 отсчитаем влево 7 чисел и получим 0:
Отсчитать в ряду положительных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7 - 8 стало выполнимым, расширим ряд положительных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (справа налево) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак - , показывающий, что это число стоит слева от нуля.
Записи -1, -2, -3, ... читают минус 1 , минус 2 , минус 3 и т. д.:
5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Полученный ряд чисел называют рядом целых чисел . Точки слева и справа в этой записи означают, что ряд можно продолжать неограниченно вправо и влево.
Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными (кратко - положительными ).
Слева от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют целыми отрицательными (кратко - отрицательными ).
Число 0 целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно разделяет положительные и отрицательные числа.
Следовательно, ряд целых чисел состоит из целых отрицательных чисел, нуля и целых положительных чисел .
Сравнение целых чисел
Сравнить два целых числа - значит узнать какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.
Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:
5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
Следовательно, из двух целых чисел больше то число, которое в ряду стоит правее, и меньше то, которое стоит левее , значит:
1) Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа:
1 > 0; 15 > -16
2) Любое отрицательное число меньше нуля:
7 < 0; -357 < 0
3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее.
При решении уравнений и неравенств, а также задач с модулями требуется расположить найденные корни на числовой прямой. Как ты знаешь, найденные корни могут быть разными. Они могут быть такими: , а могут быть и вот такими: , .
Соответственно, если числа не рациональные а иррациональные (если забыл что это, ищи в теме ), или представляют собой сложные математические выражения, то расположить их на числовой прямой весьма проблематично. Тем более, что калькуляторами на экзамене пользоваться нельзя, а приближенный подсчет не дает 100% гарантий, что одно число меньше другого (вдруг разница между сравниваемыми числами?).
Конечно, ты знаешь, что положительные цифры всегда больше отрицательных, и что если мы представим числовую ось, то при сравнении, наибольшие числа будут находиться правее, чем наименьшие: ; ; и т.д.
Но всегда ли все так легко? Где на числовой оси мы отметим, .
Как их сравнить, например, с числом? Вот в этом-то и загвоздка …)
Для начала поговорим в общих чертах как и что сравнивать.
Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся! То есть в ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.
Сравнение дробей
Итак, нам необходимо сравнить две дроби: и.
Есть несколько вариантов, как это сделать.
Вариант 1. Привести дроби к общему знаменателю.
Запишем в виде обыкновенной дроби:
- (как ты видишь, я также сократила на числитель и знаменатель).
Теперь нам необходимо сравнить дроби:
Сейчас мы можем продолжить сравнивать также двумя способами. Мы можем:
- просто привести все к общему знаменателю, представив обе дроби как неправильные (числитель больше знаменателя):
Какое число больше? Правильно, то, у которого числитель больше, то есть первое.
- «отбросим» (считай, что мы из каждой дроби вычли единицу, и соотношение дробей друг с другом, соответственно, не изменилось) и будем сравнивать дроби:
Приводим их также к общему знаменателю:
Мы получили абсолютно точно такой же результат, как и в предыдущем случае - первое число больше, чем второе:
Проверим также, правомерно ли мы вычли единицу? Посчитаем разницу в числителе при первом расчете и втором:
1)
2)
Итак, мы рассмотрели, как сравнивать дроби, приводя их к общему знаменателю. Перейдем к другому методу - сравнение дробей приводя их к общему… числителю.
Вариант 2. Сравнение дробей с помощью приведения к общему числителю.
Да, да. Это не опечатка. В школе редко кому рассказывают этот метод, но очень часто он весьма удобен. Чтобы ты быстро понял его суть, задам тебе только один вопрос - «в каких случаях значение дроби наибольшее?» Конечно, ты скажешь «когда числитель максимально большой, а знаменатель максимально маленький».
Например, ты же точно скажешь, что Верно? А если нам надо сравнить такие дроби: ? Думаю, ты тоже сразу верно поставишь знак, ведь в первом случае делят на частей, а во втором на целых, значит, во втором случае кусочки получаются совсем маленькие, и соответственно: . Как ты видишь, знаменатели здесь разные, а вот числители одинаковы. Однако, для того, чтобы сравнить эти две дроби, тебе не обязательно искать общий знаменатель. Хотя… найди его и посмотри, вдруг знак сравнения все же неправильный?
А знак-то тот же.
Вернемся к нашему изначальному заданию - сравнить и. Будем сравнивать и. Приведем данные дроби не к общему знаменателю, а к общему числителю. Для этого просто числитель и знаменатель первой дроби умножим на. Получим:
и. Какая дробь больше? Правильно, первая.
Вариант 3. Сравнение дробей с помощью вычитания.
Как сравнивать дроби с помощью вычитания? Да очень просто. Мы из одной дроби вычитаем другую. Если результат получается положительным, то первая дробь (уменьшаемое) больше второй (вычитаемое), а если отрицательным, то наоборот.
В нашем случае попробуем из второй вычесть первую дробь: .
Как ты уже понял, мы так же переводим в обыкновенную дробь и получаем тот же результат - . Наше выражение приобретает вид:
Далее нам все равно придется прибегнуть к приведению к общему знаменателю. Вопрос как: первым способом, преобразуя дроби в неправильные, или вторым, как бы «убирая» единицу? Кстати, это действие имеет вполне математическое обоснование. Смотри:
Мне больше нравится второй вариант, так как перемножение в числителе при приведении к общему знаменателю становится в разы проще.
Приводим к общему знаменателю:
Здесь главное не запутаться, какое число и откуда мы отнимали. Внимательно посмотреть ход решения и случайно не перепутать знаки. Мы отнимали от второго числа первое и получили отрицательный ответ, значит?.. Правильно, первое число больше второго.
Разобрался? Попробуй сравнить дроби:
Стоп, стоп. Не спеши приводить к общему знаменателю или вычитать. Посмотри: можно легко перевести в десятичную дробь. Сколько это будет? Правильно. Что в итоге больше?
Это еще один вариант - сравнение дробей путем приведения к десятичной дроби.
Вариант 4. Сравнение дробей с помощью деления.
Да, да. И так тоже можно. Логика проста: когда мы делим большее число на меньшее, в ответе у нас получается число, больше единицы, а если мы делим меньшее число на большее, то ответ приходится на промежуток от до.
Чтобы запомнить это правило, возьми для сравнения любые два простых числа, например, и. Ты же знаешь, что больше? Теперь разделим на. Наш ответ - . Соответственно, теория верна. Если мы разделим на, что мы получим - меньше единицы, что в свою очередь подтверждает, что на самом деле меньше.
Попробуем применить это правило на обыкновенных дробях. Сравним:
Разделим первую дробь на вторую:
Сократим на и на.
Полученный результат меньше, значит делимое меньше делителя, то есть:
Мы разобрали все возможные варианты сравнения дробей. Как ты видишь их 5:
- приведение к общему знаменателю;
- приведение к общему числителю;
- приведение к виду десятичной дроби;
- вычитание;
- деление.
Готов тренироваться? Сравни дроби оптимальным способом:
Сравним ответы:
- (- перевести в десятичную дробь)
- (поделить одну дробь на другую и сократить на числитель и знаменатель)
- (выделить целую часть и сравнивать дроби по принципу одинакового числителя)
- (поделить одну дробь на другую и сократить на числитель и знаменатель).
2. Сравнение степеней
Теперь представим, что нам необходимо сравнить не просто числа, а выражения, где существует степень ().
Конечно, ты без труда поставишь знак:
Ведь если мы заменим степень умножением, мы получим:
Из этого маленького и примитивного примера вытекает правило:
Попробуй теперь сравнить следующее: . Ты так же без труда поставишь знак:
Потому что, если мы заменим возведение степень на умножение…
В общем, ты все понял, и это совсем несложно.
Сложности возникают только тогда, когда при сравнении у степеней разные и основания, и показатели. В этом случае необходимо попробовать привести к общему основанию. Например:
Разумеется, ты знаешь, что это, соответственно, выражение приобретает вид:
Раскроем скобки и сравним то, что получится:
Несколько особый случай, когда основание степени () меньше единицы.
Если, то из двух степеней и больше та, показатель которой меньше.
Попробуем доказать это правило. Пусть.
Введем некоторое натуральное число, как разницу между и.
Логично, неправда ли?
А теперь еще раз обратим внимание на условие - .
Соответственно: . Следовательно, .
Например:
Как ты понял, мы рассмотрели случай, когда основания степеней равны. Теперь посмотрим, когда основание находится в промежутке от до, но равны показатели степени. Здесь все очень просто.
Запомним, как это сравнивать на примере:
Конечно, ты быстро посчитал:
Поэтому, когда тебе будут попадаться похожие задачи для сравнения, держи в голове какой-нибудь простой аналогичный пример, который ты можешь быстро просчитать, и на основе этого примера проставляй знаки в более сложном.
Выполняя преобразования, помни, что если ты домножаешь, складываешь, вычитаешь или делишь, то все действия необходимо делать и с левой и с правой частью (если ты умножаешь на, то умножать необходимо и то, и другое).
Кроме этого, бывают случаи, когда делать какие-либо манипуляции просто невыгодно. Например, тебе нужно сравнить. В данном случае, не так сложно возвести в степень, и расставить знак исходя из этого:
Давай потренируемся. Сравни степени:
Готов сравнивать ответы? Вот что у меня получилось:
- - то же самое, что
- - то же самое, что
- - то же самое, что
- - то же самое, что
3. Сравнение чисел с корнем
Для начала вспомним, что такое корни? Вот эту запись помнишь?
Корнем степени из действительного числа называется такое число, для которого выполняется равенство.
Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени - только для положительных.
Значением корня часто является бесконечная десятичная дробь, что затрудняет его точное вычисление, поэтому важно уметь сравнивать корни.
Если ты подзабыл, что это такое и с чем его едят - . Если все помнишь - давай учиться поэтапно сравнивать корни.
Допустим, нам необходимо сравнить:
Чтобы сравнить эти два корня, не нужно делать никаких вычислений, просто проанализируй само понятие «корень». Понял, о чем я говорю? Да вот об этом: иначе можно записать как третья степень какого-то числа, равна подкоренному выражению.
А что больше? или? Это ты, конечно, сравнишь без всякого труда. Чем большее число мы возводим в степень, тем больше будет значение.
Итак. Выведем правило.
Если показатели степени корней одинаковы (в нашем случае это), то необходимо сравнивать подкоренные выражения (и) - чем больше подкоренное число, тем больше значение корня при равных показателях.
Сложно запомнить? Тогда просто держи в голове пример и. Что больше?
Показатели степени корней одинаковы, так как корень квадратный. Подкоренное выражение одного числа () больше другого (), значит, правило действительно верное.
А что, если подкоренные выражения одинаковые, а вот степени корней разные? Например: .
Тоже вполне понятно, что при извлечении корня большей степени получится меньшее число. Возьмем для примера:
Обозначим значение первого корня как, а второго - как, то:
Ты без труда видишь, что в данных уравнениях должно быть больше, следовательно:
Если подкоренные выражения одинаковы (в нашем случае), а показатели степени корней различны (в нашем случае это и), то необходимо сравнивать показатели степени (и) - чем больше показатель, тем меньше данное выражение .
Попробуй сравнить следующие корни:
Сравним полученные результаты?
С этим благополучно разобрались:). Возникает другой вопрос: а что если у нас все разное? И степень, и подкоренное выражение? Не все так сложно нам нужно всего- навсего… «избавиться» от корня. Да, да. Именно избавиться)
Если у нас различные и степени и подкоренные выражения, необходимо найти наименьшее общее кратное (читай раздел про ) для показателей корней и возвести оба выражения в степень, равную наименьшему общему кратному.
Что мы все на словах и на словах. Приведем пример:
- Смотрим показатели корней - и. Наименьшее общее кратное у них - .
- Возведем оба выражения в степень:
- Преобразуем выражение и раскроем скобки (подробнее в главе ):
- Посчитаем, что у нас получилось, и поставим знак:
4. Сравнение логарифмов
Вот так, медленно, но верно, мы подошли к вопросу как же сравнивать логарифмы. Если ты не помнишь что это за зверь такой, советую для начала прочитать теорию из раздела . Прочитал? Тогда ответь на несколько важных вопросов:
- Что называется аргументом логарифма, а что его основанием?
- От чего зависит, возрастает ли функция или убывает?
Если все помнишь и отлично усвоил - приступаем!
Для того, чтобы сравнивать логарифмы между собой, необходимо знать всего 3 приема:
- приведение к одинаковому основанию;
- приведение к одинаковому аргументу;
- сравнение с третьим числом.
Изначально, обрати внимание на основание логарифма. Ты помнишь, что если оно меньше, то функция убывает, а если больше, то возрастает. Именно на этом будет основаны наши суждения.
Рассмотрим сравнение логарифмов, которые уже приведены к одинаковому основанию, либо аргументу.
Для начала упростим задачу: пусть в сравниваемых логарифмах равные основания . Тогда:
- Функция, при возрастает на промежутке от, значит по определению, то («прямое сравнение»).
- Пример: - основания одинаковы,соответственно сравниваем аргументы: , следовательно:
- Функция, при, убывает на промежутке от, значит по определению, то («обратное сравнение»). - основания одинаковы, соответственно сравниваем аргументы: , однако, знак у логарифмов будет «обратный», так как функция убывает: .
Теперь рассмотрим случаи, когда основания различны, но одинаковы аргументы.
- Основание больше.
- . В этом случае используем «обратное сравнение». Например: - аргументы одинаковы, и. Сравниваем основания: однако, знак у логарифмов будет «обратный»:
- Основание а находится в промежутке.
- . В этом случае используем «прямое сравнение». Например:
- . В этом случае используем «обратное сравнение». Например:
Запишем все в общем табличном виде:
| , при этом | , при этом | |
Соответственно, как ты уже понял, при сравнении логарифмов нам необходимо привести к одинаковому основанию, либо аргументу, К одинаковому основанию мы приходим, используя формулу перехода от одного основания к другому.
Можно также сравнивать логарифмы с третьим числом и на основании этого делать вывод о том, что меньше, а что больше. Например, подумай, как сравнить вот эти два логарифма?
Небольшая подсказка - для сравнения тебе очень поможет логарифм, аргумент которого будет равен.
Подумал? Давай решать вместе.
Мы легко сравним с тобой эти два логарифма:
Не знаешь как? Смотри выше. Мы только что это разбирали. Какой знак там будет? Правильно:
Согласен?
Сравним между собой:
У тебя должно получиться следующее:
А теперь соедини все наши выводы в один. Получилось?
5. Сравнение тригонометрических выражений.
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чего нужна единичная окружность и как на ней найти значение тригонометрических функций? Если ты не знаешь ответы на эти вопросы, очень рекомендую тебе прочитать теорию по этой теме. А если знаешь, то сравнить тригонометрические выражения между собой для тебя не составляет труда!
Немного освежим память. Нарисуем единичную тригонометрическую окружность и вписанный в нее треугольник. Справился? Теперь отметь, по какой стороне у нас откладывается косинус, а по какой синус, используя стороны треугольника. (ты, конечно помнишь, что синус, это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, а косинус прилежащей?). Нарисовал? Отлично! Последний штрих - проставь, где у нас будет, где и так далее. Проставил? Фух) Сравниваем, что получилось у меня и у тебя.
Фух! А теперь приступаем к сравнению!
Допустим, нам необходимо сравнить и. Нарисуй эти углы, используя подсказки в рамочках (где у нас отмечено, где), откладывая точки на единичной окружности. Справился? Вот что у меня получилось.
Теперь опустим перпендикуляр из точек, отмеченных нами на окружности на ось … Какую? Какая ось у нас показывает значение синусов? Правильно, . Вот что у тебя должно получиться:
Глядя на этот рисунок, что больше: или? Конечно, ведь точка находится выше точки.
Аналогичным образом мы сравниваем значение косинусов. Только перпендикуляр мы опускаем на ось… Верно, . Соответственно, смотрим, какая точка находится правее (ну или выше, как в случае с синусами), то значение и больше.
Наверное, ты уже догадываешься, как сравнивать тангенсы, верно? Все, что нужно, знать что такое тангенс. Так что такое тангенс?) Правильно, отношение синуса к косинусу.
Чтобы сравнить тангенсы мы так же рисуем угол, как и в предыдущем случае. Допустим, нам необходимо сравнить:
Нарисовал? Теперь так же отмечаем значения синуса на координатной оси. Отметил? А теперь укажи значения косинуса на координатной прямой. Получилось? Давай сравним:
А теперь проанализируй написанное. - мы большой отрезок делим на маленький. В ответе будет значение, которое точно больше единицы. Верно?
А при мы маленький делим на большой. В ответе будет число, которое точно меньше единицы.
Так значение какого тригонометрического выражения больше?
Правильно:
Как ты теперь понимаешь, сравнение котангенсов - то же самое, только наоборот: мы смотрим, как относятся друг к другу отрезки, определяющие косинус и синус.
Попробуй самостоятельно сравнить следующие тригонометрические выражения:
Примеры.
Ответы.
СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ.
Какое из чисел больше: или? Ответ очевиден. А теперь: или? Уже не так очевидно, правда? А так: или?
Часто нужно знать, какое из числовых выражений больше. Например, чтобы при решении неравенства расставить точки на оси в правильном порядке.
Сейчас научу тебя сравнивать такие числа.
Если надо сравнить числа и, между ними ставим знак (происходит от латинского слова Versus или сокращенно vs. - против): . Этот знак заменяет неизвестный нам знак неравенства (). Далее будем выполнять тождественные преобразования до тех пор, пока не станет ясно, какой именно знак нужно поставить между числами.
Суть сравнения чисел состоит в следующем: мы относимся к знаку так, будто это какой-то знак неравенства. И с выражением мы можем делать все то же, что делаем обычно с неравенствами:
- прибавить любое число к обеим частям (и вычесть, конечно, тоже можем)
- «перенести все в одну сторону», то есть вычесть из обеих частей одно из сравниваемых выражений. На месте вычитаемого выражения останется: .
- домножать или делить на одно и то же число. Если это число отрицательное, знак неравенства меняется на противоположный: .
- возводить обе части в одну и ту же степень. Если эта степень - четная, необходимо убедиться, что обе части имеют одинаковый знак; если обе части положительны, при возведении в степень знак не меняется, а если отрицательны, тогда меняется на противоположный.
- извлечь корень одинаковой степени из обеих частей. Если извлекаем корень четной степени, необходимо предварительно убедиться, что оба выражения неотрицательны.
- любые другие равносильные преобразования.
Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся! То есть в ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.
Разберем несколько типичных ситуаций.
1. Возведение в степень.
Пример.
Что больше: или?
Решение.
Поскольку обе части неравенства положительны, можем возвести в квадрат, чтобы избавиться от корня:
Пример.
Что больше: или?
Решение.
Здесь тоже можем возвести в квадрат, но это нам поможет избавиться только от квадратного корня. Здесь надо возводить в такую степень, чтобы оба корня исчезли. Значит, показатель этой степени должен делиться и на (степень первого корня), и на. Таким числом является, значит, возводим в -ю степень:
2. Умножение на сопряженное.
Пример.
Что больше: или?
Решение.
Домножим и разделим каждую разность на сопряженную сумму:
Очевидно, что знаменатель в правой части больше знаменателя в левой. Поэтому правая дробь меньше левой:
3. Вычитание
Вспомним, что.
Пример.
Что больше: или?
Решение.
Конечно, мы могли бы возвести все в квадрат, перегруппировать, и снова возвести в квадрат. Но можно поступить хитрее:
Видно, что в левой части каждое слагаемое меньше каждого слагаемого, находящегося в правой части.
Соответственно, сумма всех слагаемых, находящихся в левой части, меньше суммы всех слагаемых, находящихся в правой части.
Но будь внимателен! У нас спрашивали что больше...
Правая часть больше.
Пример.
Сравните числа и.
Решение.
Вспоминаем формулы тригонометрии:
Проверим, в каких четвертях на тригонометрической окружности лежат точки и.
4. Деление.
Здесь тоже используем простое правило: .
При или, то есть.
При знак меняется: .
Пример.
Выполни сравнение: .
Решение.
5. Сравните числа с третьим числом
Если и, то (закон транзитивности).
Пример.
Сравните.
Решение.
Сравним числа не друг с другом, а с числом.
Очевидно, что.
С другой стороны, .
Пример.
Что больше: или?
Решение.
Оба числа больше, но меньше. Подберем такое число, чтобы оно было больше одного, но меньше другого. Например, . Проверим:
6. Что делать с логарифмами?
Ничего особенного. Как избавляться от логарифмов, подробно описано в теме . Основные правила такие:
\[{\log _a}x \vee b{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee {a^b}\;{\rm{при}}\;a > 1}\\{x \wedge {a^b}\;{\rm{при}}\;0 < a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a > 1}\\{x \wedge y\;{\rm{при}}\;0 < a < 1}\end{array}} \right.\]
Также можем добавить правило про логарифмы с разными основаниями и одинаковым аргументом:
Объяснить его можно так: чем больше основание, тем в меньшую степень его придется возвести, чтобы получить один и тот же. Если же основание меньше, то все наоборот, так как соответствующая функция монотонно убывающая.
Пример.
Сравните числа: и.
Решение.
Согласно вышеописанным правилам:
А теперь формула для продвинутых.
Правило сравнения логарифмов можно записать и короче:
Пример.
Что больше: или?
Решение.
Пример.
Сравните, какое из чисел больше: .
Решение.
СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
1. Возведение в степень
Если обе части неравенства положительны, их можно возвести в квадрат, чтобы избавиться от корня
2. Умножение на сопряженное
Сопряженным называется множитель, дополняющий выражение до формулы разности квадратов: - сопряженное для и наоборот, т.к. .
3. Вычитаение
4. Деление
При или то есть
При знак меняется:
5. Сравнение с третьим числом
Если и, то
6. Сравнение логарифмов
Основные правила:
Логарифмы с разными основаниями и одинаковым аргументом:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Технологическая карта урока №35Ф.И.О. учителя:
Иванова Ольга Анатольевна
Предмет:
Математика
Класс: 6 А
Наименование учебно-методического комплекта (УМК): Математика. Учебник для 6 класса / Никольский С.М., Потапов М.К.
Тема урока: отрицательные целые числа
Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний
Место урока в системе уроков : Урок 1 в теме «Целые числа»
Цели урока :
Обучающая: научиться находить с помощью показаний термометра разницу температур, познакомиться с правилом вычитания чисел с помощью ряда целых чисел;
Развивающая: развивать аналитическое мышление, выделять главное и обобщать
Воспитательная: воспитывать чувство взаимного сотрудничества, умения слушать
Дидактическая задача урока: ввести понятие отрицательного, положительного чисел, ряда целых чисел; усвоить правила вычитания чисел с помощью термометра и ряда целых чисел
Планируемые результаты
Предметные результаты: знать ипонимать смысл понятий: положительное число, отрицательное число, ряд целых чисел, уметь вычитать числа с помощью ряда целых чисел, применять полученные знания на других уроках.
Метапредметные результаты:
Познавательные: способность понимать учебную задачу урока, выделять и формулировать познавательные цели, строить логическую цепочку рассуждений.
Регулятивные: контролировать и оценивать собственную деятельность и деятельность партнеров, планировать и корректировать свою деятельность;
Коммуникативные: уметь достаточно полно и чётко выражать свои мысли, слушать собеседника и вести диалог.
Личностные: иметь мотивацию к учебной деятельности, принимать и осваивать социальную роль обучающегося, использовать приобретенные знания учебного сотрудничества со взрослыми и сверстниками в разных ситуациях.
Основные понятия: отрицательные числа, положительные числа, ряд целых чисел
Межпредметные связи: физика
Ресурсы: http :// www . uroki . net ; http :// www . zavuch . info
Формы работы: фронтальная беседа, работа в парах, индивидуальная работа.
Этапы урока
Деятельность учителя
Деятельность учеников
время
Формируемые УУД
1.
Организационный этап
Приветствие учащихся. Контроль готовности к уроку.
Проверьте, все ли у вас в порядке? Книжки, ручки и тетрадки? Прозвенел сейчас звонок: начинается урок!
На уроке работайте старательно, и успех вас ждет обязательно!
Подготовка к началу урока
Личностные: положительно относятся к учению, познавательной деятельности, желают приобретать новые знания, умения, совершенствовать имеющиеся.
Познавательные: осознают учебно-познавательную задачу.
Регулятивные: планируют в сотрудничестве с учителем, одноклассниками самостоятельно необходимые действия.
Коммуникативные : слушают и слышат друг друга.
2.
Актуализация знаний
Ребята, какой самый главный навык в математике? Проверим, как вы умеете считать: проведем математическую разминку.
На доске записаны примеры, решаем их устно и говорим ответ.
Ребята, что вы можете сказать о числах, написанных в первом и тором столбцах? Какие они?
Какие математические действия с числами вы совершали?
Предлагают варианты ответов (счет)
Устная работа с примерами на доске.
Отвечают на вопросы (натуральные, дробные)
(сложение, вычитание, умножение, деление)
Оценка своем деятельности
Личностные: проявляют устойчивый познавательный интерес к устному счету.
Познавательные: выполняют учебно-познавательные действия в умственной форме; осуществляют для решения учебных задач операции анализа, синтеза, сравнения, квалификации.
Регулятивные : принимают и сохраняют учебную задачу.
Коммуникативные : высказывают и обосновывают свою точку зрения.
3.
Целеполагание
Организация работы с раздаточным материалом.
Ребята, обратите внимание на листы с заданием 1
На демонстрационном термометре показывается решение задачи.
Ребята, с каким новым понятием мы столкнулись? Как нам записать показания термометра? Что означает запись -3 0 С.
От какой точки мы отсчитываем температуру? Как называем температуру, расположенную выше 0? Ниже 0? Какую роль играет 0?
Какая же тема урока?
Учитель корректирует ответы учащихся и озвучивает тему урока. Тема урока: отрицательные целые числа.
Совместно с учащимися:
формулирует цель учебной деятельности;
строит проект (алгоритм) выхода из проблемной ситуации.
Организует и дополняет совместную учебную деятельность
Читают задачу и предлагают варианты решения.
Отвечают на вопросы
Ответы учащихся
Температура вечером -3 0 С
Перед 3 поставить минус.
3 0 С мороза.
Отсчитываем от 0. Плюсовая (положительная), минусовая (отрицательная). граница
Отрицательные температуры (числа)
Учащиеся записывают тему в тетрадь.
Формулируют цель учебной деятельности в диалоге с учителем.
Личностные : ведут диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения и принятия.
Познавательные : извлекают необходимую информацию из объяснения, высказываний одноклассников, систематизируют знания.
Регулятивные : планируют необходимые действия.
Коммуникативные : строят монологические высказывания, осуществляют совместную деятельность.
4
Организация работы с учебником
206 в тетрадях
Проверьте ответы друг у друга
Задание 2
решить примеры с помощью термометра:
10 0 С -5 0 С=+5 0 С
15 0 С -15 0 С=+0 0 С
0 0 С -10 0 С=-10 0 С
10 0 С – 15 0 С=-5 0 С
15 0 С-20 0 С=-5 0 С
Ребята, представьте, что мы с вами расположили термометр горизонтально и получили следующую запись
Как назовем числа, расположенные справа от 0? Слева от 0?
Сформулируйте определение положительного и отрицательного числа
Выполняют работу устно и в тетрадях.
Взаимопроверка
Работа в парах; проверка решения у доски с объяснением с термометром
Оценка деятельности
Положительные, отрицательные.
Формулируют определение
Личностные : конструктивно разрешают возникающие проблемы.
Познавательные : читают и слушают, извлекая нужную информацию.
Регулятивные : контролируют учебные действия, замечают допущенные ошибки; осознают правило контроля и успешно используют его в решении учебной задачи.
Коммуникативные : осуществляют совместную деятельность в парах.
4.
Физкультминутка
А теперь представьте, что ноль это ваши руки сложенные у груди, тогда левая рука покажет расположение каких чисел? Правая?
Покажите мне, где относительно нуля находится число 5? -7? -10? 100? 15? -20?
Проведем разминку
Отвечают на вопросы, показывают расположение чисел
Отвлекаются от учебной деятельности, разминаются.
Личностные: о сознание ценности здоровья
Познавательные : устанавливают причинно-следственные связи между своим здоровьем и физическими упражнениями.
Регулятивные : адекватно самостоятельно оценивают правильность выполнения действия и вносят необходимые коррективы в исполнение как в конце действия, так и по ходу реализации.
5.
Первичное восприятие и усвоение материала
Ребята, вернемся к записи
7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Что означает данная запись?
Из каких чисел состоит ряд целых чисел?
Найти ответ вам поможет учебник
Как ряд целых чисел может нам помочь при вычитании чисел?
Попробуйте с помощью ряда целых чисел выполнить задание 3
Самостоятельное выполнение упражнения
Выполнение задания 3
Проверим, какие результаты вы получили.
Работа с учебником, поиск ответа на вопрос. (ряд целых чисел)
Ряд целых чисел состоит из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.
При вычитании мы будем передвигаться влево по ряду
Выполнение заданий в тетрадях
Проверка с устным комментированием
Обсуждение решений
Оценка деятельности
Личностные : проявляют потребность в самовыражении и самореализации.
Познавательные : осуществляют поиск необходимой информации (из материалов учебника и рассказа учителя, по воспроизведению в памяти).
Регулятивные : самостоятельно контролируют свое время, отведенное для решения конкретной задачи, и управляют им.
Коммуникативные : отображают во внутренней речи содержание совершаемых действий.
6.
Рефлексия
С каким новым для вас понятием мы познакомились на сегодняшнем уроке?
Чему мы научились на сегодняшнем уроке?
Что было самым трудным?
Подводит итоги урока. Дает оценку работы класса и отдельных учеников.
Дают адекватную оценку своей деятельности.
Личностные : понимают значение знаний для человека.
Познавательные : приобретают умения использовать знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни; устанавливают взаимосвязь между объемом приобретенных на уроке знаний, умений, навыков и операционных, исследовательских, аналитических умений как интегрированных, сложных умений.
Регулятивные : оценивают свою работу; исправляют и объясняют свои ошибки.
Коммуникативные : формулируют собственные мысли, высказывают и обосновывают свою точку зрения.
7
Задает домашнее задание.
425, 426, 434 * в
Учащиеся записывают домашнее задание
Действительно, а почему? Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы запомнили - что вот именно так и больше не задаемся вопросом.
А давайте зададимся...
Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, ... Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.
Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 - 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.
В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).
Рассмотрим для примера уравнение 7x - 17 = 2x - 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.
Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (-15)/(-5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (-15)/(-5) = 3.
Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.
Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.
Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции... Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).
В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.
Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.
Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:
Сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (-A)), что A + (-A) = 0;
-умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.
Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.
Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (-A)·B = -(A·B), а во-вторых (-(-A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (-1)·1 = -(1·1) = -1 и (-1)·(-1) = -((-1)·1) = -(-1) = 1.
Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.
Заметим теперь, что и A, и (-(-A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (-A), поэтому они должны быть равны.
Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (-A))·B = A·B + (-A)·B, то есть (-A)·B противоположно A·B, значит, оно равно -(A·B).
Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.
А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.
Евгений Епифанов
Формулы в Excel помогут посчитать не только положительные, но и отрицательные числа. Какими способами можно написать число с минусом, смотрите в статье "Как ввести отрицательное число в Excel ".
Чтобы найти
сумму отрицательных чисел в Excel
, нужна
функция "СУММЕСЛИ" в Excel
.
Например, у нас есть такая таблица.
В ячейку А7 устанавливаем формулу. Для этого заходим на закладку таблицы Excel «Формулы», выбираем «Математические» и выбираем функцию Excel «СУММЕСЛИ».
Заполняем в появившемся окне строки:
«Диапазон» - указываем все ячейки столбца или строки, в которых складываем числа. О диапазоне в таблице, смотрите в статье "
Что такое диапазон в Excel
" .
«Критерий» - здесь пишем «<0» .
Нажимаем кнопку «ОК».
Получилось так.
Смотрите формулу в строке формул.
Как установить знак «больше» или «меньше» в формуле, смотрите в статье «
Где на клавиатуре кнопка
» .
Сумма только положительных чисел в Excel.
Нужно таким же образом написать формулу, только в строке окна функции «Критерий» написать «>0»
Получилось так.
Функция "СУММЕСЛИ" в Excel может считать значения ячеек не всех подряд, а выборочно по условию, которое мы напишем в формуле. Эта функция удобна для того, чтобы посчитать данные на определенную дату или заказа конкретного покупателя, итоги ученика, т.д. Подробнее о способах применения этой функции, читайте
