Какие элементы могут входить в следующие множества. Элементы теории множеств. Запись числовых множеств
Класс: 2
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели:
- Ввести понятие «множество».
- Ввести понятие «элементы множества».
- Научить определять принадлежность элемента множеству.
Предварительная подготовка:
- Принести мяч.
- Принести картинки, на которых изображены предметы с общим названием (можно использовать карточки детского лото).
Ход урока
Ребята, сегодня на уроке мы с вами узнаем, что такое «множество» и что называют «элементами множества»!
У меня на доске нарисован мешок. Пока он пуст. Давайте соберем в него зверей, которых вы знаете.
Игра:
Учитель ходит с мячом по классу и кидает ученику мяч, а ученик должен быстро назвать какого-либо зверя.
А теперь давайте всех названных зверей соберем в наш мешок.
Дети вспоминают, а учитель выписывает на доске всех названных в игре зверей (или использует карточки с магнитом).
Много в мешке получилось зверей?
В математике такую группу предметов (или живых существ) с общим названием и собранных вместе называют «множеством». «Множество» от слова МНОГО. (Слайд 3,4)
Попробуйте дать название множеству.
«Назови множество»:
Учитель показывает картинки с однородными предметами. Дети должны дать название этому множеству, например – рыбы, птицы, растения, книги.
Это множество рыб . (Слайд 5)
Это множество птиц . (Слайд 6)
Давайте выполним задание №1 в тетради.
Задание №1. (Слайд 7)
Ученики должны назвать и подписать название предлагаемых множеств.
Множество : посуды, животных, обуви, игрушек, банных принадлежностей, предметов для рисования.
Теперь давайте поиграем.
Игра «Назови множество» (Слайды 8,9,10)
Учитель перечисляет ряд предметов, а ученики придумывают название этому множеству.
Платье, брюки, шуба, юбка, кофта, куртка… - одежда .
(- шкаф, стул, стол, диван, тумбочка… - мебель .)
Береза, сосна, ель, тополь, дуб, ива… - деревья .
(- Москва, Одесса, Лондон, Париж, Санкт-Петербург… - города .)
Стрекоза, кузнечик, бабочка, муха, пчела… - насекомые .
После игры на доске появляется еще один мешок, в котором перечислены названия предметов, но нет общего названия. Его дети должны придумать сами. Например, сапоги, валенки, кроссовки, ботинки, тапочки.
Это множество обуви .
Все предметы из этого множества называют элементами этого множества . (Слайд 11,12)
Выполним задание №2.
Задание №2 .(Слайд 13)
При выполнении задания для каждой картинки следует проверить каждое предлагаемое слово.
Можно сказать, что на лугу пасется стая коров?
А рой коров?
А букет коров?
Значит, для коров, пасущихся на лугу, подходит только слово «стадо».
Аналогично для остальных картинок перебираются возможные варианты, и выбирается подходящее слово.
Итак, для некоторых групп предметов есть определенные слова, называющие эти группы, например, «стадо коров». Но сказать «рой коров» уже нельзя. Но зато любую группу предметов, собранных вместе, можно назвать «множеством»: множество коров, множество рыб, множество цветов.
Сейчас снова будем играть. Для игры нам понадобятся ваши ладошки.
Игра «Найди лишнего» (Слайды 14,15,16)
Учитель называет какое-либо множество и начинает перечислять его элементы. Ученики должны хлопнуть в ладоши, если какой-либо названный предмет не является элементом заданного множества.
Мы идем по парку и видим деревья : березу, дуб, розу (хлопок), тополь, сосну, ромашку (хлопок), ель, сирень (хлопок) …
Мы заходим в магазин и покупаем овощи : помидоры, картошку, апельсины (хлопок), морковь, колбасу (хлопок), огурцы, свекла, яблоки (хлопок)…
В спортивном зале мы видим спортивные принадлежности : мяч, лыжи, гантели, кресло (хлопок), теннисные ракетки, расческу (хлопок), коньки, стул (хлопок)…
Выполняем задания в тетради.
Задание №3 . (Слайд 17)
Ученики должны определить предмет, который мешает назвать множество остальных предметов.
В клетке находится множество птиц, а кролик среди них является лишним.
Задание №4 . (Слайд 18)
Аналогично предыдущему.
Почему Незнайка вычеркнул круг?
Потому что все остальные предметы с углами.
А если оставить круг в начальном множестве, то какая другая фигура может быть лишней и почему?
Лишним может быть прямоугольник, как серая фигура.
Задание №5 . (Слайд 19)
Из заданного множества дети должны выделить элементы названных множеств: овощей и фруктов. Исследуется каждый предмет: если это овощ – подчеркивать одной чертой, если фрукт – двумя чертами. Предмет, не входящий ни в одно из названных множеств, подчеркивать не надо.
После этого следует перечислить все полученные множества вслух.
Множество овощей: картошка, свекла, морковь, огурец, помидор, тыква.
Множество фруктов: груша, яблоко, апельсин, лимон, ананас.
Не подчеркнуты: масло, хлеб, колбаса, сыр, мяч.
Задание №6 . (Слайд 20)
Главное в задании, чтобы ученик мог назвать выделенное им множество и перечислить его элементы.
Множество музыкальных инструментов: труба, скрипка, гитара, гармошка, барабан.
Множество спортивных принадлежностей: гантели, мяч, коньки, ракетка.
Множество строительных инструментов: пила, пассатижи, отвертка.
И снова играем. Здесь понадобятся ваши знания.
Игра «Продолжи ряд»:
Учитель перечисляет ряд предметов, а ученики, догадываясь о названии множества по перечисленным предметам, продолжают его своими элементами.
Обязательно в конце каждого этапа подвести итог: что же было перечислено, т.е. дать название множеству.
- сыроежка, мухомор, опенок…(подберезовик, подосиновик, лисичка) – это…множество грибов
- лиса, медведь, слон, бегемот…(волк, заяц, тигр, носорог) – это…множество зверей
- стрекоза, бабочка, кузнечик…(жук, комар, пчела, муха) – это…множество насекомых
- беретка, шляпа, панамка…(платок, кепка, шапка) – это…множество головных уборов
- щука, окунь, сом, плотва…(акула, карась, лещ) – это…множество рыб
Задание №7 . (Слайд 21)
Дети выполняют самостоятельно. Можно 1-2 учеников попросить озвучить свои ответы.
Дорисовал тюльпан, т.к. это множество цветов.
Ребята, назовите известные вам города (дети перечисляют названия городов).
Можно городом назвать «Волгу»?
Нет, это река.
Можно ли назвать городом Россию?
Нет, это страна.
Задание №8 . (Слайд 22)
Выполняется самостоятельно.
Задание №9 . (Слайд 23)
Ученики должны дать название каждому столбцу с тремя предметами (одежда, рыбы, деревья). После чего дуб должен быть вписан в столбец под названием «деревья», т.к. он является деревом.
Аналогично исследуются остальные предметы: окунь, лещ – «рыбы», юбка – «одежда».
Юбка |
Окунь |
|
Итог урока:
Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с такими понятиями, как «множество» и «элементы множества». Научились определять множество, а также принадлежность элемента заданному множеству.
Карточки с заданиями (Слайды 24-30)
Учащимся раздаются карточки с заданиями в виде тестов на два варианта. Проверяется степень усвоения нового материала.
1 вариант:
2 вариант:
Домашнее задание: (Слайд 31)
Дети должны нарисовать любое множество предметов с общим названием и подписать название под картинкой.
Литература:
- Методические рекомендации для учителя, 2 класс, А.В.Горячев, К.И.Горина, Н.И.Суворова.
- Информатика в играх и задачах, 2 класс, часть 2. А.В.Горячев, К.И.Горина, Н.И.Суворова.
- Информатика тесты, 2 класс, О.Н.Крылова.
1.1. Основные понятия и определения теории множеств
Любое понятие дискретной математики можно определить с помощью понятия множества, которое является одним из фундаментальных понятий и было сформулировано впервые немецким математиком Г. Кантором.
Под множеством понимается любая совокупность определенных и различимых между собой объектов, мыслимая как единое целое.
Можно говорить о множестве стульев в комнате, людей, живущих в г. Воронеже, студентов в группе, о множестве натуральных чисел, букв в алфавите, состояний системы и т. п. При этом о множестве можно вести речь только тогда, когда элементы множества различимы между собой. Например, нельзя говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно четко и ясно указать каждую отдельную каплю.
Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества. Так, число 3 – элемент множества натуральных чисел, а буква б – элемент множества букв русского алфавита.
Общим обозначением множества служит пара фигурных скобок { }, внутри которых перечисляются элементы множества. Для обозначения конкретных множеств используют различные прописные буквы A , S , X ... или прописные буквы с индексами А 1 , А 2 . Для обозначения элементов множества в общем виде используют различные строчные буквы а , s , x ... или строчные буквы с индексами а 1 , а 2 ...
Для указания того, что некоторый элемент а S , используется символ Î принадлежности множеству. Запись a ÎS означает, что элемент a принадлежит множеству S , а запись x ÏS означает, что элемент х не принадлежит множеству S . Записью х 1 , x 2 ,... ...,x n ÎS пользуются в качестве сокращения для записи x 1 ÎS , x 2 ÎS ,..., x n ÎS .
Как правило, считается, что все элементы множества различны. Множество с повторяющимися элементами называется мультимножеством. Мультимножества играют важную роль в комбинаторике. В дальнейшем будут рассматриваться множества с различными элементами.
Будем использовать следующие обозначения для числовых множеств:
– множество натуральных чисел, т.е.
– множество целых чисел, т.е. = {0, ±1, ±2, …};
– множество рациональных чисел, ={ / \ , Î ; ¹ 0};
– множество вещественных чисел;
– множество комплексных чисел.
Множества бывают конечными и бесконечными. Множество называют конечным, если число его элементов конечно, т. е. если существует натуральное число n , являющееся числом элементов множества. Множество называют бесконечным , если оно содержит бесконечное число элементов. Количество элементов конечного множества называется мощностью и обозначается =n , если множество X содержит n элементов.
Важным понятием теории множеств является понятие пустого множества. Пустым множеством называют множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множествообозначают символом Например:
{x ÎR | x 2 -x +1=0}=
Понятие пустого множества играет очень важную роль при задании множеств с помощью описания. Так, без понятия пустого множества мы не могли бы говорить о множестве отличников группы или о множестве вещественных корней квадратного уравнения, не убедившись предварительно, есть ли вообще в данной группе отличники или имеет ли данное уравнение вещественные корни. Введение пустого множества позволяет совершенно спокойно оперировать с множеством отличников группы, не заботясь о том, есть или нет в рассматриваемой группе отличники. Пустое множество будем условно относить к конечным множествам.
Множество, содержащие все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается U .
Для того чтобы оперировать с конкретными множествами, нужно уметь их задавать. Существуют два способа задания множеств: перечисление и описание. Задание множества способом перечисления соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество. Так, множество отличников группы можно задать, перечислив студентов, которые учатся на отлично, например {Иванов, Петров, Сидоров}. Для сокращения записи Х ={х 1 , х 2 , ...,х n } иногда вводят множество индексов I ={1, 2,..., n } и пишут X ={x i }, i ÎI . Такой способ удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих небольшое число элементов, но иногда он может применяться и для задания бесконечных множеств, например {2, 4, 6, 8...}. Естественно, что такая запись применима, если вполне ясно, что понимается под многоточием.
Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. При этом используется запись
X ={x | x обладает свойством Q (x )}.
Выражение в скобках читается: множество всех элементов х , которые обладают свойством Q (x ). Так, если М - множество студентов группы, то множество A отличников этой группы запишется в виде А ={х ÎМ | х – отличник группы},
что читается следующим образом: множество А состоит из элементов х множества М , обладающих тем свойством, что х является отличником группы.
В тех случаях, когда не вызывает сомнений, из какого множества берутся элементы х , указание о принадлежности х множеству М можно не делать. При этом множество А запишется в виде
А={х | х – отличник группы}.
Приведем несколько примеров задания множеств методом описания: {x | x – четное} – множество четных чисел;
{х | х 2 –1=0} – множество {+1, –1}.
Пусть Z – множество целых чисел. Тогда {x ÎZ | 0<x £7} есть множество {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Множество нечетных чисел можно определить как {x | x =2k +1 для некоторого k ÎZ }.
Способ задания множества с помощью свойств таит некоторые опасности, поскольку «неправильно» заданные свойства могут привести к противоречию. Приведем один из наиболее типичных парадоксов – парадокс Рассела. Рассмотрим множество всех множеств, которые не являются своими собственными элементами: . Спросим теперь, является ли множества К своим элементом? Если К ÎК , то должно выполняться свойство, задающее множество К , т.е. К ÏК , что приводит к противоречию. Если К ÏК , то, поскольку выполняется свойство, задающее К , приходим к тому, что К ÎК , а это противоречит предположению. Таким образом, не всякое свойство приводит к осмысленному заданию множества.
Кроме того, множество можно задать с помощью характеристической функции, значения которой указывают является ли (да или нет) х элементом множества Х :
Заметим, что для любых элементов = 0; = 1.
Пример. Пусть на универсуме U ={a,b,c,d,e } определено множество X ={a,c,d }, тогда
Для произвольных множеств X и Y можно определить два типа отношений – отношение равенства и отношение включения.
Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Принято обозначение X =Y , если X и Y равны, и X Y – иначе.
Легко видеть, что для любых множеств X , Y , Z справедливы соотношения
Из определения равенства множеств вытекает, что порядок элементов в множестве несуществен. Так, например, множества {3, 4, 5, 6} и {4, 5, 6, 3} представляют собой одно и то же множество.
Если каждый элемент множества X является элементом множества Y , то говорят, что X включено в Y и обозначают :
В этом случае говорят, что множество X является подмножеством множества Y . В частности X и Y могут совпадать, поэтому называется также отношением нестрогого включения. Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающее из его определения:
Если и , то говорят, что X есть собственное подмножество Y и обозначают , отношение между множествами в этом случае называется отношением нестрогого включения. Для отношения строгого включения справедливо
Невключение подмножества X в множество Y обозначается X . Такое множество называется семейством множества или булеаном множества X и обозначается P (X ) Так как включено в любое множество, то .
Пример. Пусть . Тогда
9-10 классы
Модуль 1: Основы теории множеств
. . .
Задание 1.
А) Объясните, из каких элементов состоят множества N , Z , Q , R .
Б) Назовите несколько чисел, являющихся элементами для каждого множества.
В) Назовите числа, которые являются элементами одного из множеств, и не являются элементами остальных трех.
Г) Нарисуйте диаграмму, показывающую взаимосвязь этих множеств между собой.
Ответ.
В) Такие элементы есть только во множестве R . Например, R , но N , Z , Q . Элементы любого из множеств N , Z , Q обязательно входят и в множество R .
Г
N
–
множество натуральных чисел;
Z
–
множество целых чисел;
Q
–
множество рациональных чисел;
R
–
множество действительных чисел.
Учителю.
Рассматривая материал, мы не выходим за множество действительных чисел.
Задание 2.
Задайте множество:
А) учителей математики Вашей школы;
Б) нечетных чисел;
В) корней уравнения х 2 + 5 = 0;
Г) решений неравенства х > 4;
Ответ: Б) {х х = 2n - 1; n Z };
Г) (4; +).
Учителю.
При необходимости можно повторить запись числовых множеств решений неравенств разного вида (приложение «Таблица»).
Равные множества.
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, считают равными.
Например, А = {1, 2, 3 }; В ={ х (х - 1)(х - 2)(х - 3) = 0 }. А = В.
Отношение равенства для множеств, как и отношение равенства для чисел, обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
А = А (рефлексивность);
Если А = В, то В = А (симметричность);
Если А = В и В = С, то А = С (транзитивность).
Мощность множества. Для множества, имеющего конечное число элементов, мощностью называется количество его элементов.
А = {а; b ; c ; d }. Его мощность: А = 4.
Если два множества имеют одинаковую мощность, говорят, что они равномощны. Множество А равномощно множеству времен года.
Интересно, что сначала человек научился сравнивать множества по количеству элементов, а позднее – считать предметы. Сравнить два множества по количеству элементов можно так: каждому элементу одного множества ставить в соответствие элемент второго. Если все элементы «встанут» по парам, то множества равномощны. Если же при сопоставлении некоторые элементы одного из множеств останутся без пары, то оно содержит больше элементов.
Все конечные множества можно мысленно рассортировать, относя в один и тот же класс все множества с одинаковым количеством элементов. И каждому классу поставить в соответствие как характеристику этого множества некоторое число. Таким образом, натуральное число 1 - это общая характеристика всех множеств, имеющих один элемент, натуральное число 5 - это общая характеристика всех множеств, имеющих пять элементов.
Взаимно-однозначное соответствие можно установить и для бесконечных множеств. Например, запишем в один ряд все натуральные числа, а в другой – все четные, элемент под элементом.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 . . .
Мы видим, что все числа первого множества имеют однозначно определенную пару во втором множестве и наоборот. То есть множество натуральных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество натуральных четных. То есть они равномощны.
Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, называются счетными. Интересно, что счетным является, например, множество положительных рациональных чисел.
Мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума. Мощность континуум имеют также все множества, равномощные интервалу (0,1). Таким образом, множество всех действительных чисел равномощно интервалу (0,1).
Отношение равномощности также обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
То есть, для любых множеств А и В справедливо:
А = А
Если А = В, то В = А;
Если А = В и В = С, то А = С .
Задание 3 . Найдите мощность множеств:
А) Т - множество трехзначных натуральных чисел;
Б) К – множество граней куба;
В) Р – множество натуральных чисел, кратных 7.
Г) Приведите примеры множеств, равномощных каждому из п. А-В.
Ответ:
А) Т= 900; Б) К= 6; В) множество К – счетное.
Учителю
. Проговорите с учащимися о различии понятий равенство множеств и равномощность множеств.
Задание 4. А – множество букв слова «КОЛЬЦО», В – множество букв слова «ЦОКОЛЬ», С -
множество букв слова «УЛИЦА». Укажите равные и равномощные множества.
Ответ: А = {К, О, Л, Ь, Ц}, В = {Ц, О, К, Л, Ь}, С = {У, Л, И, Ц, А}. Мощность всех трех множеств равна 5, значит, они равномощны.
Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения
страница 1
|
|
Здесь на первый план выступает как раз то, что мы до сих пор принципиально оставляли в стороне, а именно, вопрос о том, как имеющиеся в множествах одинаковой мощности отношения порядка различают эти множества. Ведь те взаимно однозначные отображения самого общего вида, которые мы до сих пор допускали, нарушали все эти отношения - вспомните хотя бы только об отображении квадрата на отрезок! Я бы хотел особенно подчеркнуть значение именно этого второго раздела учения о множествах; ведь не может же это учение иметь своей целью устранить посредством введения новых, более общих понятий те различия, которые с давних пор вошли в обиход математики; скорее, наоборот, это учение может и должно служить тому, чтобы с помощью общих понятий познать эти различия в их самой глубокой сущности.
Порядковые типы счетных множеств.
Теперь наша цель заключается в том, чтобы проиллюстрировать на определенных, общеизвестных примерах понятие различных возможных расположений элементов множества в определенном порядке. Если начинать со счетных множеств, то мы уже знаем три совершенно разные примера расположения элементов в таких множествах, столь различные между собой, что равенство их мощностей составляло, как мы видели, особую и ни в каком случае не самоочевидную теорему; это следующие множества:
1) множество натуральных чисел;
2) множество всех (отрицательных и положительных) целых чисел;
3) множество всех рациональных чисел и множество всех алгебраических чисел.
Расположение элементов во всех этих трех множествах имеет одно общее свойство, в силу которого оно называется линейным порядком в множестве. Это свойство состоит в следующем: из каждых двух элементов какой-нибудь один всегда предшествует другому, т. е., выражаясь алгебраически, всегда известно, какой элемент меньше и какой больше, и, далее, если из трех элементов а, b, с элемент а предшествует элементу b, а элемент b - элементу с, то всегда а предшествует элементу с (если , то
Но, с другой стороны, в рассмотренных примерах имеют место такие характерные различия: в первом множестве существует первый элемент (нуль), который предшествует всем остальным, но нет последнего элемента, который следовал бы за всеми другими; во втором множестве нет ни первого, ни последнего элемента. Но в обоих этих множествах есть то общее, что за всяким элементом непосредственно следует определенный ближайший элемент, и всякому элементу непосредственно предшествует определенный другой элемент.
В противоположность этому у третьего множества между каждыми двумя элементами всегда есть, как мы уже видели выше, бесконечно много других элементов; такое свойство множества мы обозначали термином «всюду плотное множество», так что, в частности, среди всех рациональных или алгебраических чисел, лежащих между а и b, если не считать самих этих чисел, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа. Таким образом, способы расположения элементов в этих трех множествах, т. е. их порядковые типы, различны между собой, хотя сами множества имеют одинаковые мощности. С этим можно связать - и это действительно делают представители теории множеств - вопрос о всех вообще возможных порядковых типах счетных множеств.
Непрерывность континуума. Перейдем теперь к рассмотрению множеств мощности континуума; здесь нам известно одно множество с имеющимся в нем линейным порядком, а именно, континуум всех действительных чисел. Но наряду с ним в двумерном и многомерных случаях мы имеем примеры множеств с расположением элементов, отличным от того, который мы назвали «линейным». Так, в случае множества для того чтобы определить взаимное расположение двух точек, небходимы уже не одно, а два соотношения типа неравенств.
Здесь наиболее важно проанализировать понятие непрерывности одномерного континуума; открытие того, что это понятие действительно основано только лишь на простых свойствах порядка, свойственного множеству является первой замечательной заслугой учения о множествах в деле выяснения основных математических понятий, а именно, оказывается, что все свойства непрерывности континуума проистекают из того, что последний представляет собой линейно упорядоченное множество со следующими двумя свойствами:
1. Если разделить множество на какие-либо две части А, В, но таким образом, чтобы, всякий элемент принадлежал какой-либо одной из этих частей и чтобы все элементы, входящие в часть А, предшествовали всем элементам части В, то в таком случае либо А имеет последний элемент, либо В имеет первый элемент.
Вспоминая дедекиндово определение иррациональных чисел мы можем выразить это свойство еще так: всякое «сечение» в нашем множестве производится одним из его элементов.
2. Между любыми двумя элементами множества имеется бесконечно много других элементов.
Этим вторым свойством обладают не только континуум но и счетное множество всех рациональных чисел; первое же свойство указывает на существенное различие между этими упорядоченными множествами. Всякое линейно упорядоченное множество, обладающее обоими этими свойствами, в учении о множествах называют непрерывным по той причине, что для него действительно можно доказать все теоремы, которые имеют место для континуума в силу его непрерывности.
Я хочу указать еще на то, что эти свойства непрерывности можно формулировать также несколько иначе, а именно, исходя из так называемых «основных» рядов Кантора. Основным рядом называют такую счетную последовательность элементов данного множества, что в самом множестве либо либо Некоторый элемент а множества называют предельным элементом основного ряда, если - в первом случае - в основном ряду всегда найдутся элементы, большие всякого элемента, лежащего в данном множестве до а, но вовсе нет элементов, бблыпих хотя бы одного элемента, расположенного после аналогично определяют предельный элемент во втором случае. Если множество обладает тем свойством, что всякому входящему в его состав основному ряду соответствует в нем предельный элемент, то множество называют замкнутым-, если же, наоборот, всякий элемент множества является предельным элементом некоторого основного ряда, выделенного из него, то множество называют плотным. Непрерывность множеств, имеющих мощность континуума, состоит, существенным об» разом, в соединении обоих этих свойств.
Попутно я хочу здесь напомнить, что при беседе о дифференциальном и интегральном исчислениях мы говорили, еще и о другом континууме - о континууме
Веронезе, который возникает из обыкновенного континуума посредством присоединения актуально бесконечно малых величин. Хотя таким путем получается тоже линейно упорядоченное множество, но тем не менее этот континуум обладает, конечно, совершенно иным типом расположения, чем обычный континуум теорема о том, что всякий основной ряд имеет предельный элемент, здесь уже места не имеет.
Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.
Навигация по странице.
Запись числовых множеств
Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:
- N – множество всех натуральных чисел;
- Z – множество целых чисел;
- Q – множество рациональных чисел;
- J – множество иррациональных чисел;
- R – множество действительных чисел;
- C – множество комплексных чисел.
Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .
Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.
Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ - принадлежит и ∉ - не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.
И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.
Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.
Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .
Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .
Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .
Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .
В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).
Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .
Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.
Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .
Изображение числовых множеств на координатной прямой
На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.
Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R
. Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:
А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:
Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2}
. Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2
, −0,5
и 1,2
будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:
Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:
Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.
И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
{log 2 5, 5}∪(17, +∞)
:
И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5
или x≠−1
, x≠2
, x≠3,7
и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям 
(это множество по сути есть ):
Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
