Пропорция и ее свойства примерами. Составить пропорцию. Главное свойство пропорции

Основные свойства пропорций

• Обращение пропорции. Если a : b = c : d , то b : a = d : c
• Перемножение членов пропорции крест-накрест. Если a : b = c : d , то ad = bc .
• Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d , то

a : c = b : d (перестановка средних членов пропорции), d : b = c : a (перестановка крайних членов пропорции).

• Увеличение и уменьшение пропорции. Если a : b = c : d , то

(a + b ) : b = (c + d ) : d (увеличение пропорции), (a – b ) : b = (c – d ) : d (уменьшение пропорции).

• Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a : b = c : d , то

(a + с ) : (b + d ) = a : b = c : d (составление пропорции сложением), (a – с ) : (b – d ) = a : b = c : d (составление пропорции вычитанием).

Составные (непрерывные) пропорции

Историческая справка

Литература

• ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. - пер. с голл. И. Н. Веселовского - М.: ГИФМЛ, 1959

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Пропорция" в других словарях:

- (лат., от pro для, и portio часть, порция). 1) соразмерность, согласование. 2) отношение частей между собою и к их целому. Отношение величин между собою. 3) в архитектуре: удачные размеры. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИЯ, пропорции, жен. (книжн.) (лат. proportio). 1. Соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Правильные пропорции частей тела. Смешать сахар с желтком в такой пропорции: две ложки сахара на один желток. 2. Равенство двух… … Толковый словарь Ушакова

Отношение, соотношение; соразмерность. Ant. диспропорция Словарь русских синонимов. пропорция см. соотношение Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова … Словарь синонимов

Жен., франц. соразмерность; величина или количество, отвечающее чему либо; | мат. равенство содержания, одинаковые отношения двойной четы цифры; арифметическая, если второе число на столько же более или менее, первого, на сколько четвертое против … Толковый словарь Даля

- (лат. proportio) в математике равенство между двумя отношениями четырех величин: a/b =c/d … Большой Энциклопедический словарь

ПРОПОРЦИЯ, в математике равенство между двумя отношениями четырех величин: a/b=с/d. Непрерывной пропорцией называют группу из трех или более величин, каждая из которых имеет одно и то же отношение к последующей величине, как, например, в… … Научно-технический энциклопедический словарь

ПРОПОРЦИЯ, и, жен. 1. В математике: равенство двух отношений (в 3 знач.). 2. Определённое соотношение частей между собой, соразмерность. П. в частях здания. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Англ. proportion; нем. Proportion. 1. Соразмерность, определенное соотношение частей целого между собой. 2. Равенство двух отношений. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии

пропорция - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN ratedegreeDdegdrratio … Справочник технического переводчика

ПРОПОРЦИЯ - равенство двух (см.), т.е. а: b = с: d, где а, b, с, d члены пропорции, причём а и d крайние, b и с средине. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних: ad = bс … Большая политехническая энциклопедия

И; ж. [лат. proportio] 1. Соразмерное соотношение частей между собой. Соблюсти все архитектурные пропорции. Идеальная п. частей тела. 2. Определённое количественное соотношение между чем л. Нарушить пропорцию. Смешав ягоды с песком в пропорции… … Энциклопедический словарь

Книги

• Золотая пропорция , Н. А. Васютинский , Эта книга о золотой пропорции, лежащей в основе гармонии природы и произведений искусства. Рассказано о сути этого замечательного соотношения, истории его открытия и исследований. Описано… Категория: Наука. История науки Издатель: Диля ,
• Арифметика. Сборник занимательных задач для 6 класса. Часть II. Натуральные числа. Обыкновенные дроби. Пропорция. Рациональные числа , Б. Д. Фокин , Во II части пособия представлен материал, который повысит интерес у шестиклассников к математике, покажет, насколько она жива и увлекательна. Сборник включает советы, как запомнить наиболее… Категория: Математика Серия: Методическая библиотека Издатель:

Формула пропорций

Пропо́рция - это равенство двух отношений, когда a:b=c:d

отношение 1 : 10 равно отношению 7 : 70, что также можно записать в виде дроби: 1 10 = 7 70 читается как: «один относится к десяти так же, как семь относится к семидесяти»

Основные свойства пропорции

Произведение крайних членов равно произведению средних членов (крест-накрест): если a:b=c:d , то a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Обращение пропорции: если a:b=c:d , то b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Перестановка средних членов: если a:b=c:d , то a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Перестановка крайних членов: если a:b=c:d , то d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Решение пропорции с одним неизвестным | Уравнение

1 : 10 = x : 70 или 1 10 = x 70

Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Как посчитать пропорцию

Задача: нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?

Составим пропорцию: 1 таблетка - 10 кг x таблеток - 70 кг Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение: 1 таблетка x таблеток ✕ 10 кг 70 кг x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Ответ: 7 таблеток

Задача: за пять часов Вася пишет две статьи. Сколько статей он напишет за 20 часов?

Составим пропорцию: 2 статьи - 5 часов x статей - 20 часов x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Ответ: 8 статей

Будущим выпускникам школ могу сказать, что умение составлять пропорции мне пригодилось и , и для того, чтобы пропорционально уменьшать картинки, и в HTML-вёрстке интернет-страницы, и в бытовых ситуациях.

Понятие о пропорции в архитектуре. Одним из важнейших методов построения выразительной и целостной архитектурной формы является пропорционирование.

Пропорция (лат. proportio) - со­размерность, определенно^ соотно­шение частей между собой. В совре­менной литературе понятие пропор­ции употребляется в трех основ­ных, частично перекрывающих друг друга значениях.

Первое - наиболее близкое к понятию соразмерности - означает соотношение основных параметров формы (длина, ширина, высота). Именно это значение имеют в виду, когда говорят о пропорциях какой- либо отдельно. взятой вещи (зда­ния, картины, книги и др.). Про­порция здесь характеризует объект как целое, составляет основу его об­раза. Так, одно только соотношение параметров формы по трем коорди­натам уже способно создать об­раз спокойствия и статичности (куб), динамики (вытянутая призма) и др.

Во втором значении под пропор­цией в архитектуре (так же как и в математике) понимают равенство отношений количественной меры одних и тех же объективных свойств в сопоставляемых формах или их частях и в математической форме записывают как а/в = c/d. Это значение понятия ’’пропорция” используется в подавляющем боль­шинстве работ, посвященных про- порционированию в архитектуре. Из математической записи такого понимания пропорции следует, что здесь в основе образования целост­ной формы лежит принцип геомет­рического подобия. Наиболее рас­пространенным в архитектуре при­мером применения пропорции как равенства математических отноше­ний является образование формы на основе подобных прямоугольни­ков, диагонали которых либо па­раллельны (прямая пропорция), ли­бо перпендикулярны (обратная про­порция) (рис.89 - 91). Пропорцию, средние члены которой равны меж­ду собой, называют непрерывной. Примером непрерывной пропорции может служить ряд подобных пря­моугольников, в котором длина предыдущего прямоугольника рав­на ширине последующего.

Здесь, так же как и в математи­ке, различают два вида отноше­ний - рациональные,

которые могут быть выражены какйм-либо конечным целым или дробным числом, и иррациональ­ные , которые не могут быть выра­жены конечным числом (например, 2, 3, 5 и т.д.).

Однако, если в математике под отношением понимают частное от деления одной величины на дру­гую, то понятие отношения в архи­тектуре гораздо шире и включает в себя все виды взаимосвязи вели­чин, характеризующих объектив­ные свойства формы. Поэтому в третьем и наиболее правильном на наш взгляд случае под пропорцией в архитектуре понимают любую за­кономерность в соотношениях вели­чин, которая связывает отдельные части и параметры формы в единое целое. Таким образом, пропорция в архитектуре есть понятие, отража­ющее однородность (закономер­ность) изменений количественной меры при переходах от одной части формы к другой и к форме в целом. Легко заметить, что первое и вто­рое определения пропорции явля­ются частными случаями последне­го определения.

Виды пропорциональных от­ношений. В теории и практике ар­хитектуры хорошо известны такие виды закономерных (однородных) изменений величин, как арифмети­ческая гармоническая и геометри­ческая прогрессии.

Арифметическая прогрессия вы­ражается рядом чисел, в котором каждое последующее число больше предыдущего на одну и ту же вели­чину. Простейшим примером ариф­метической прогрессии является ряд целых натуральных чисел О, 1, 2, 3, 4, 5 и т.д., образом кото­рого может служить обычная мер­ная линейка. По мере возрастания ряда отношения (математические) между соседними членами развива­ются от контрастных к нюансным, приближаясь в пределе к равенству (сравните, например, 1/2 и 999/1000).

Гармоническая прогрессия - это ряд чисел обратных ряду чисел арифметической прогрессии, напри­мер: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7. Она лежит в основе музыкального строя, так как всю музыкальную гамму можно получить, прижимая струну в точках, отстоящих от кон­ца на рациональное кратное перво­начальной ее длине. Отношения (математические) между соседними членами гармонического ряда по

мере его возрастания так же, как и в арифметической прогрессии, из­меняются от контрастных к нюанс­ным

Геометрическая прогрессия

представляет собой ряд чисел, в ко­тором каждое последующее число больше (или меньше) предыдущего в одно и то же число раз. Напри­мер: 1, 2, 4, 8, 16, ...: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Отношение между сосед­ними членами геометрического ря­да на всем его протяжении остается постоянным, равным знаменателю прогрессии.Ряды чисел могут быть получе­ны и на основе других, более или менее сложных закономерностей. Например, существуют ряды, каж­дый член которых равен предыду­щему, возведенному в какую-либо степень (квадрат, куб и т.д.). Одна­ко излишне контрастные отноше­ния смежных членов таких рядов препятствуют их применению для гармонизации формы.

Наиболее известным и в то же время загадочным рядом средних чисел является так называемое от­ношение золотого сечения. Термин ’’золотое сечение” был введен Лео­нардо да Винчи для известного еще пифагорейцам описанного Эвкли- дом деления отрезка в так называе­мом ’’крайнем и среднем отноше­нии”, при котором большая его часть является средней пропорцио­нальной между всем отрезком и меньшей частью (рис.93). Бели дли­ну отрезка принять за единицу, то его части будут выражаться ирра­циональными числами X = 0,618, а - х = 0,382. На основе этих чи­сел может быть получен геометри­ческий ряд... - 0,146 - 0,236 - 0,382 - 0,618 - 1 - 1,618 - 2,618 - 4,236 - 6,854 - ..., обна­руживаемый при рассмотрении са­мого широкого круга явлений при­роды, искусства и архитектуры. Не случайно знаменитый итальянский философ и математик Фра Лука Паччоли называл золотое сечение ’’божественной пропорцией”, а не­мецкий ученый А.Цейзинг провозг­ласил золотое сечение универсаль­ной пропорцией, равно характер­ной для современных творений природы и искусства. Золотое сече­ние использовал в своем творчестве И.В.Жолтовский, а Ле Корбюзье положил его в основу своего ”Моду- лора”.

Золотое сечение выражают обычно числом 1,618 или обратным ему числом 0,618, для которых по предложению Т.Куба и М.Бара приняты символы Ф и 1/Ф. Эти числа являются знаменателями. возрастающего (Ф) и убывающего, (l/Ф) рядов золотого сечения

Пропорционирование как метод количественного согласования час­тей и целого имеет в своей основе геометрическую или числовую за­кономерность, которая способствует достижению эстетической целостно­сти, гармоничности объемно-про- странственной формы за счет объе­динения ее размеров в какую-либо систему.

Особенности пропорциональных систем тесно связаны со способами строительства и измерения, кото­рые применялись архитекторами той или иной эпохи. В древности пропорциональные системы получа­ли с помощью мерного шнура и кольев путем относительно простых геометрических построений на ос нове треугольника, квадрата, пря моугольника или круга.

Пропорции – это соразмерность, определённое соотношение частей (форм) между собой и с предметом в целом.
В костюме пропорции играют особенно важную роль: от того, в каких соотношениях находятся отдельные его части между собой и фигурой человека, зависит образная выразительность костюма и внешний облик самого человека.
При этом надо принимать во внимание форму и величину головного убора или причёски, форму и высоту каблука, количество и характер украшений, а также цветовое решение костюма. Все эти компоненты оказывают влияние на характер пропорций.

Пропорции бывают следующих видов (рис. 4.1):
пропорции равенства - это когда части костюма равны между собой (принцип одинаковости); такое членение вызывают ощущение покоя, статики;
пропорции неравенства – это когда части костюма не равны между собой (принцип разнообразия); такое членение вызывает ощущение движения, динамики. Неравенство может быть незначительным или построенным по принципу контраста;
пропорции «золотого сечения» (разновидность пропорций неравенства) выражается следующими соотношениями: 3:5 (5:3), 5:8 (8:5), 8:13 (18:8) и т.д. В каждом из этих отношений сумма двух чисел образует целое, которое относится к большему числу так, как большее к меньшему.

1 - «равенство»; 2 - «неравенство»; 3 - «золотое сечение» 3:5
Рис. 4.1. Виды пропорций.

Длина одежды и положение линии талии очень подвержены влиянию моды, но какие бы пропорции не были модны, наиболее гармоничными считаются пропорции, построенные по правилам “золотого сечения”.
В основе строения человеческой фигуры также лежит принцип “золотого сечения”, так как это соотношение выражает естественное членение фигуры линией талии на две неравные части (3:5).

3. Роль отношений и пропорций частей формы одежды в создании образной выразительности в костюме

В зависимости оттого, что входит в понятие красоты в ту или иную эпоху, возникают конкретные формы костюма с соответствующими пропорциями.
Стиль готики характеризуется вытянутыми удлинёнными пропорциями, отношение длины лифа к длине юбки было 1:6, 1:7. Эпоха Возрождения напротив тяготела к некоторой «приземлённости», монументальности; характерны пропорции «золотого сечения», но при этом отношение ширины одежды в плечевом поясе к ширине юбки почти равно единице.
В эпоху классицизма – снова вытянутые пропорции, соотношение длины лифа и юбки: спереди 1:6, со спины 1:7 (шлейф).
Стиль Ампир делает пропорции более умеренными, так как юбки в нижней части расширяются и появляются внизу оборки.
Очень сильно усложняется пропорциональное решение костюма в XX в., когда юбки укоротились и стала видна значительная часть ног. На изменении соотношений открытой части ног и платья основывается в значительной мере формирование и изменение моды.
В 1925 году в моду входят пропорции равенства, талия опускается на бёдра, величины юбки и лифа становятся равными. В дальнейшем юбки укорачиваются, линия членения опускается ещё ниже, пропорции становятся 2 к 1. Такие пропорции придали некоторую неустойчивость фигуре.
Какие бы пропорции не были в моде, при работе над композицией одежды надо считаться с пропорциями фигуры человека.

Подведем итоги:
Существуют следующие отношения частей формы одежды: тождество, нюанс, контраст.
Пропорции – это соразмерность, определённое соотношение частей (форм) между собой и с предметом в целом.
Пропорции бывают следующих видов: пропорции равенства, неравенства, «золотого сечения».
Пропорция «золотого сечения» выражается следующими соотношениями: 3:5 (5:3). В каждом из этих отношений сумма двух чисел образует целое, которое относится к большему числу так, как большее к меньшему.
В зависимости оттого, что входит в понятие красоты в ту или иную эпоху, возникают конкретные формы костюма с соответствующими пропорциями. Какие бы пропорции не были в моде, при работе над композицией одежды надо считаться с пропорциями фигуры человека.

Для решения большинства задач в математике средней школы необходимо знание по составлению пропорций. Это несложное умение поможет не только выполнять сложные упражнения из учебника, но и углубиться в саму суть математической науки. Как составить пропорцию? Сейчас разберем.

Самым простым примером является задача, где известны три параметра, а четвертый необходимо найти. Пропорции бывают, конечно, разные, но часто требуется найти по процентам какое-нибудь число. Например, всего у мальчика было десять яблок. Четвертую часть он подарил своей маме. Сколько осталось яблок у мальчика? Это самый простой пример, который позволит составить пропорцию. Главное это сделать. Изначально было десять яблок. Пусть это 100%. Это мы обозначили все его яблоки. Он отдал одну четвертую часть. 1/4=25/100. Значит, у него осталось: 100% (было изначально) - 25% (он отдал) = 75%. Эта цифра показывает процентное отношение количества оставшихся фруктов к количеству имевшихся сначала. Теперь у нас есть три числа, по которым уже можно решить пропорцию. 10 яблок - 100%, х яблок - 75%, где х - искомое количество фруктов. Как составить пропорцию? Необходимо понимать, что это такое. Математически это выглядит так. Знак равно поставлен для вашего понимания.

10 яблок = 100%;

x яблок = 75%.

Оказывается, что 10/x = 100%/75. Это и есть основное свойство пропорций. Ведь чем больше x, тем больше процентов составляет это число от исходного. Решаем эту пропорцию и получаем, что x=7,5 яблок. Почему мальчик решил отдать нецелое количество, нам неизвестно. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Главное, найти два соотношения, в одном из которых есть искомое неизвестное.

Решение пропорции часто сводится к простому умножению, а потом к делению. В школах детям не объясняют, почему это именно так. Хотя важно понимать, что пропорциональные отношения есть математическая классика, сама суть науки. Для решения пропорций необходимо уметь обращаться с дробями. Например, часто приходится переводить проценты в обыкновенные дроби. То есть запись 95% не подойдет. А если сразу написать 95/100, то можно провести солидные сокращения, не начиная основного подсчета. Сразу стоит сказать, что если ваша пропорция получилась с двумя неизвестными, то ее не решить. Никакой профессор вам здесь не поможет. А ваша задача, скорее всего, имеет более сложный алгоритм правильных действий.

Рассмотрим еще один пример, где нет процентов. Автомобилист купил 5 литров бензина за 150 рублей. Он подумал о том, сколько он бы заплатил за 30 литров топлива. Для решения этой задачи обозначим за x искомое количество денег. Можете самостоятельно решить эту задачу и потом проверить ответ. Если вы еще не поняли, как составить пропорцию, то смотрите. 5 литров бензина - это 150 рублей. Как и в первом примере, запишем 5л - 150р. Теперь найдем третье число. Конечно, это 30 литров. Согласитесь, что пара 30 л - х рублей уместна в данной ситуации. Перейдем на математический язык.

5 литров - 150 рублей;

30 литров - х рублей;

Решаем эту пропорцию:

x = 900 рублей.

Вот и решили. В своей задаче не забудьте проверить на адекватность ответ. Бывает, что при неправильном решении автомобили достигают нереальных скоростей в 5000 километров в час и так далее. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Также вы сможете ее решить. Как видите, в этом нет ничего сложного.