Пример алгебраической дроби с одной переменной. Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби. Что значит сократить алгебраическую дробь

В этой статье мы подробно остановимся на сокращении алгебраических дробей . Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.

Навигация по странице.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Изучая , мы говорили про их сокращение. мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9 .

Под сокращением алгебраической дроби понимают аналогичное действие. Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен , в частности, одночлен или число.

Например, алгебраическую дробь можно сократить на число 3 , что даст дробь . Также можно выполнить сокращение на переменную x , что приведет к выражению . Исходную алгебраическую дробь можно подвергнуть сокращению на одночлен 3·x , а также на любой из многочленов x+2·y , 3·x+6·y , x 2 +2·x·y или 3·x 2 +6·x·y .

Конечная цель сокращения алгебраической дроби состоит в получении дроби более простого вида, в лучшем случае – несократимой дроби.

Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению?

Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на . Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению.

Алгебраические дроби также могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. При наличии общих множителей возможно сокращение алгебраической дроби. Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно.

В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение. Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны. Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3 . Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x , на y или сразу на x·y . Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1 , но этот общий множитель явно не присутствует в записи. А алгебраическую дробь сократить невозможно, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Вообще, вопрос о сократимости алгебраической дроби очень непростой. И порой проще решить задачу, работая с алгебраической дробью в исходном виде, чем выяснить, можно ли эту дробь предварительно сократить. Но все же существуют преобразования, которые в некоторых случаях позволяют с относительно небольшими усилиями найти общие множители числителя и знаменателя, если таковые имеются, либо сделать вывод о несократимости исходной алгебраической дроби. Эта информация будет раскрыта в следующем пункте.

Правило сокращения алгебраических дробей

Информация предыдущих пунктов позволяет естественным образом воспринять следующее правило сокращения алгебраических дробей , которое состоит из двух шагов:

• сначала находятся общие множители числителя и знаменателя исходной дроби;
• если таковые имеются, то проводится сокращение на эти множители.

Указанные шаги озвученного правила нуждаются в разъяснении.

Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов , находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби. При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет.

Если общих множителей нет, то можно делать вывод о несократимости алгебраической дроби. Если же общие множители обнаружены, то на втором шаге они сокращаются. В результате получается новая дробь более простого вида.

В основе правила сокращения алгебраических дробей лежит основное свойство алгебраической дроби , которое выражается равенством , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c – ненулевые. На первом шаге исходная алгебраическая дробь приводится к виду , из которого становится виден общий множитель c , а на втором шаге выполняется сокращение – переход к дроби .

Переходим к решению примеров с использованием данного правила. На них мы и разберем все возможные нюансы, возникающие при разложении числителя и знаменателя алгебраической дроби на множители и последующем сокращении.

Характерные примеры

Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например,
и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби , после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться . В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 2 2 ·3 . Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .

По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.

Пример.

Сократите алгебраическую дробь .

Решение.

Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:

Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:

Ответ:

.

Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю , его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выполните сокращение дроби .

Решение.

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10 . В этом случае имеем .

Ответ:

.

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя

Логично перейти к разговору о действиях с алгебраическими дробями . С алгебраическими дробями определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в натуральную степень. Причем все эти действия замкнуты, в том смысле, что в результате их выполнения получается алгебраическая дробь. Разберем каждое из них по порядку.

Да, сразу стоит заметить, что действия с алгебраическими дробями являются обобщениями соответствующих действий с обыкновенными дробями. Поэтому соответствующие правила практически дословно совпадают с правилами выполнения сложения и вычитания, умножения, деления и возведения в степень обыкновенных дробей.

Навигация по странице.

Сложение алгебраических дробей

Сложение любых алгебраических дробей подходит под один из двух следующих случаев: в первом складываются дроби с одинаковыми знаменателями, во втором – с разными. Начнем с правила сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним.

Озвученное правило позволяет перейти от сложения алгебраических дробей к сложению многочленов , находящихся в числителях. Например, .

Для сложения алгебраических дробей с разными знаменателями действовать нужно по следующему правилу: привести их к общему знаменателю, после чего сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Например, при сложении алгебраических дробей и их сначала нужно привести к общему знаменателю, в результате они примут вид и соответственно, после чего выполняется сложение этих дробей с одинаковыми знаменателями: .

Вычитание

Следующее действие – вычитание алгебраических дробей – выполняется аналогично сложению. Если знаменатели исходных алгебраических дробей одинаковые, то нужно просто выполнить вычитание многочленов в числителях, а знаменатель оставить прежним. Если же знаменатели различны, то сначала выполняется приведение к общему знаменателю, после чего выполняется вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Приведем примеры.

Выполним вычитание алгебраических дробей и , их знаменатели одинаковые, поэтому . Полученную алгебраическую дробь можно еще сократить: .

Теперь вычтем из дроби дробь . Эти алгебраические дроби с разными знаменателями, поэтому, сначала приводим их к общему знаменателю, который в данном случае есть 5·x·(x-1) , имеем и . Осталось выполнить вычитание:

Умножение алгебраических дробей

Алгебраические дроби можно умножать. Выполнение этого действия проводится аналогично умножению обыкновенных дробей по следующему правилу: чтобы умножить алгебраические дроби нужно отдельно перемножить числители, и отдельно – знаменатели.

Приведем пример. Умножим алгебраическую дробь на дробь . Согласно озвученному правилу имеем . Осталось полученную дробь преобразовать к алгебраической дроби, для этого в данном случае нужно выполнить умножение одночлена и многочлена (а в общем случае - умножение многочленов) в числителе и знаменателе: .

Стоит заметить, что перед умножением алгебраических дробей желательно разложить на множители многочлены , находящиеся в их числителях и знаменателях. Это связано с возможностью сокращения получаемой дроби. Например,
.

Более детально это действие разобрано в статье .

Деление

Движемся дальше по действиям с алгебраическими дробями. На очереди – деление алгебраических дробей. Следующее правило сводит деление алгебраических дробей к умножению: чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Под алгебраической дробью, обратной к данной дроби, понимается дробь с переставленными местами числителем и знаменателем. Иными словами, две алгебраические дроби считаются взаимно обратными, если их произведение тождественно равно единице (по аналогии с ).

Приведем пример. Выполним деление . Дробь, обратная делителю , есть . Таким образом, .

Для получения более детальной информации обращайтесь к упомянутой в предыдущем пункте статье умножение и деление алгебраических дробей .

Возведение алгебраической дроби в степень

Наконец, переходим к последнему действию с алгебраическими дробями – возведению в натуральную степень. , а также то, как мы определили умножение алгебраических дробей, позволяет записать правило возведения алгебраической дроби в степень: нужно в эту степень отдельно возвести числитель, и отдельно – знаменатель.

Покажем пример выполнения этого действия. Возведем алгебраическую дробь во вторую степень. По приведенному правилу имеем . Осталось возвести в степень одночлен в числителе, а также возвести в степень многочлен в знаменателе, что даст алгебраическую дробь вида .

Решение других характерных примеров показаны в статье возведение алгебраической дроби в степень.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Другими словами, алгебраическая дробь - это деление двух многочленов, записанное с помощью дробной черты.

Любую алгебраическую дробь можно представить в виде выражения:

Примеры алгебраических дробей:

Сокращение алгебраических дробей

Основное свойство алгебраической дроби:

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же многочлен, то получится дробь, равная данной.

В виде буквенной формулы основное свойство алгебраической дроби можно записать так:

где c ≠0.

Используя основное свойство алгебраических дробей, выполняют их сокращение. Сокращение алгебраических дробей - это деление числителя и знаменателя дроби на их общий множитель.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, надо числитель и знаменатель разложить на множители. Если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если у числителя и знаменателя общих множителей нет, то дробь является несократимой.

Пример 1. Сократить дробь:

Пример 2. Упростить дробь:

Теперь стоит внимательно посмотреть на многочлены, заключённые в скобки:

a + b и b - a

Чтобы многочлен из знаменателя привести к тому же виду, что и у многочлена в числителе, надо поменять у многочлена b - a знак на противоположный и переставить члены местами:

b - a = -(-b + a ) = -(a - b )

Теперь и в числителе и в знаменателе у нас есть общий множитель, который можно сократить:

3(a + b )	=	3(a + b )	= -	3
x (b - a )		-x (a + b )		x

Пример 3. Сократите дробь:

24ab 3 c 5

16a 5 b 3 c

Решение: числитель и знаменатель дроби являются одночленами. Каждый одночлен - это произведение, состоящее из множителей, значит, можно сразу переходит к сокращению:

• Начинаем с числового множителя. Числовые множители можно сократить на их наибольший общий делитель . Для чисел 24 и 16 - это число 8. После сокращения от 24 останется 3, а от 16 - 2.
• Буквенные множители сокращаем на степень с наименьшим встречающимся показателем:
  • a и a 5 сокращаем на a . Единицу в числитель не пишем, а в знаменателе остаётся a 4 .
  • b 3 и b 3 сокращаем на b 3 , единицы в результат не записываем.
  • c 5 и c сокращаем на c , в числитель пишем c 4 , в знаменатель не пишем ничего.

Следовательно:

24ab 3 c 5	=	3c 4
16a 5 b 3 c		2a 4

Тема: Повторение курса алгебры 8-ого класса

Урок: Алгебраические дроби

Для начала давайте вспомним, что же такое алгебраические дроби. Алгебраической дробью называют выражение вида , где - многочлены, - числитель, - знаменатель.

Поскольку - многочлены, то необходимо иметь в виду стандартные действия, возможные с многочленами, а именно: приведение к стандартному виду, разложение на множители, а также сокращение числителя и знаменателя.

Пример №1

Сократите дробь

Воспользуемся формулами сокращённого умножения для квадрата суммы и разности квадратов.

Комментарии: вначале мы разложили дробь на множители с помощью формул сокращённого умножения, а дальше воспользовались одним из основных свойств дроби: и числитель, и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен, в том числе число, который не равен 0. Таким образом получается, что мы и числитель, и знаменатель разделили на многочлен , поэтому обязательно необходимо учесть, что этот многочлен не равен 0, т. е. .

Пример №2

Из условия нам пока не ясно, какая связь между этими двумя функциями. Для этого нам необходимо упростить первую из них методом разложения на множители.

однако необходимо не забыть про условие сокращения дроби, т. е. про то, что

После всех сокращений мы получаем, что

лишь с тем отличием, что .

Построим график двух функций.

Мы видим яркое различие этих двух графиков: по сути они одинаковы, но на первом графике нам необходимо выколоть точку с координатой (1;0), поскольку эта точна не входит в ОДЗ первой функции.

Итого, мы с вами рассмотрели, что такое дробь, решили пару примеров о том, как важно следить за областью определения (областью допустимых значений), т. е. за теми значениями, которые может принимать .

Теперь перейдём к вопросу, какие действия можно производить с алгебраическими дроями, помимо тех, которые уже были упомянуты выше.

Естественно, алгебраические дроби, как и арифметические дроби, можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень, получая при этом рациональные алгебраические выражения (такие выражения, которые составлены из чисел, переменных с помощью арифметических операций и возведения в натуральную степень ). После определённых упрощений подобные выражения сводятся к дробям, для которых исходными выражениями также являются алгебраические дроби.

Список действий / условий, с которыми можно столкнуться, решая задачи на алгебраические дроби:

Упростить рациональные выражения

Доказать тождества

Решать рациональное уравнение

Упростить/вычислить дробь

Пример №3

Решить простейшее рациональное уравнение

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0. В нашем случае знаменатель равен . Значит, решение дроби сводится к линейному уравнению

Пример №4

Решить уравнение

В первую очередь попытаемся сократить дробь

При условии, что .

Поскольку мы уже упростили дробь в левой части исходного уравнения, то можем подставить новое значение и решить уравнение.

Теперь давайте попробуем выделить полный квадрат из полученного квадратного уравнения

Воспользуемся формулой сокращённого умножения для разности квадратов

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. К тому же не забываем, что в начале у нас появилось условие существования нашего выражения в виде . Запишем же систему уравнений.

=> => Мы видим, что противоречит нашему условию, что , поэтому у нас остаётся только один ответ .

Итак, посмотрим на особенности, которые имеет решённый нами выше пример:

1. Числитель с разностью кубов и знаменатель желательно сократить сразу, поскольку это возможно в данном случае и сильно упростит дальнейшее решение уравнения, однако обязательно нужно помнить о том, что знаменатель дроби не может равняться, 0 и записать это условие.

2. Приведя дробь к квадратному уравнению, мы вспомнили один из методов решения квадратных уравнений - метод выделения полного квадрата.

Мы с вами на данном уроке вспомнили, что такое алгебраическая дробь, какие действия необходимо производить с числителем и знаменателем при решении таких дробей, какие действия в общем можно производить с дробями такого вида и решили несколько простых задач.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. - М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.

1. Вся элементарная математика ().
2. Школьный помощник ().
3. Интернет-портал Testmath.com.ua ().

Домашнее задание

После полученных начальных сведений о дробях перейдем к действиям с алгебраическими дробями. С ними можно выполнять любые действия вплоть до возведения в степень. При их выполнении мы в итоге получаем алгебраическую дробь. Все пункты необходимо разбирать последовательно.

Действия с алгебраическими дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями. Поэтому стоит отметить, что правила являются совпадающими при любых выполняемых с ними действиями.

Сложение алгебраических дробей

Сложение может выполняться в двух случаях: при одинаковых знаменателях, при наличии разных знаменателей.

Если необходимо произвести сложение дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить числители, а знаменатель оставить без изменения. Это правило позволяет воспользоваться сложением дробей и многочленов, которые находятся в числителях. Получим, что

a 2 + a · b a · b - 5 + 2 · a · b + 3 a · b - 5 + 2 · b 4 - 4 a · b - 5 = a 2 + a · b + 2 · a · b + 3 + 2 · b 4 - 4 a · b - 5 = = a 2 + 3 · a · b - 1 + 2 · b 4 a · b - 5

Если имеются числители дроби с разными числителями, тогда необходимо применить правило: воспользоваться приведением к общему знаменателю, выполнить сложение полученных дробей.

Пример 1

Нужно произвести сложение дробей x x 2 - 1 и 3 x 2 - x

Решение

Приводим к общему знаменателю вида x 2 x · x - 1 · x + 1 и 3 · x + 3 x · (x - 1) · (x + 1) .

Выполним сложение и получим, что

x 2 x · (x - 1) · (x + 1) + 3 · x + 3 x · (x - 1) · (x + 1) = x 2 + 3 · x + 3 x · (x - 1) · (x + 1) = x 2 + 3 · x + 3 x 3 - x

Ответ: x 2 + 3 · x + 3 x 3 - x

Статья о сложении и вычитании таких дробей имеет подробную информацию, где подробно описано каждое действие, производимое над дробями. При выполнении сложения возможно появление сократимой дроби.

Вычитание

Вычитание выполняется аналогично сложению. При одинаковых знаменателях действия выполняются только в числителе, знаменатель остается неизменным. При различных знаменателях выполняется приведение к общему. Только после этого можно приступать к вычислениям.

Пример 2

Перейдем к вычитанию дробей a + 5 a 2 + 2 и 1 - 2 · a 2 + a a 2 + 2 .

Решение

Видно, что знаменатели идентичны, что означает a + 5 a 2 + 2 - 1 - 2 · a 2 + a a 2 + 2 = a + 5 - (1 - 2 · a 2 + a) a 2 + 2 = 2 · a 2 + 4 a 2 + 2 .

Произведем сокращение дроби 2 · a 2 + 4 a 2 + 2 = 2 · a 2 + 2 a 2 + 2 = 2 .

Ответ: 2

Пример 3

Выполним вычитание 4 5 · x и 3 x - 1 .

Решение

Знаменатели разные, поэтому приведем к общему 5 · x · (x - 1) , получаем 4 5 · x = 4 · x - 1 5 · x · (x - 1) = 4 · x - 4 5 · x · (x - 1) и 3 x - 1 = 3 · 5 · x (x - 1) · 5 · x = 15 · x 5 · x · (x - 1) .

Теперь выполним

4 5 · x - 3 x - 1 = 4 · x - 4 5 · x · (x - 1) - 15 · x 5 · x · (x - 1) = 4 · x - 4 - 15 · x 5 · x · (x - 1) = = - 4 - 11 · x 5 · x · (x - 1) = - 4 - 11 · x 5 · x 2 - 5 · x

Ответ: - 4 - 11 · x 5 · x 2 - 5 · x

Детальная информация указана в статье о сложении и вычитании алгебраических дробей.

Умножение алгебраических дробей

С дробями можно производить умножение аналогичное умножению обыкновенных дробей: для того, чтобы умножить дроби, необходимо произвести умножение числителей и знаменателей отдельно.

Рассмотрим пример такого плана.

Пример 4

При умножении 2 x + 2 на x - x · y y из правила получаем, что 2 x + 2 · x - x · y y = 2 · (x - x · y) (x + 2) · y .

Теперь необходимо выполнить преобразования, то есть умножить одночлен на многочлен. Получаем, что

2 · x - x · y (x + 2) · y = 2 · x - 2 · x · y x · y + 2 · y

Предварительно следует произвести разложение дроби на многочлены для того, чтобы упростить дробь. После можно производить сокращение. Имеем, что

2 · x 3 - 8 · x 3 · x · y - y · 6 · y 5 x 2 + 2 · x = 2 · x · (x - 2) · (x + 2) y · (3 · x - 1) · 6 · y 5 x · (x + 2) = = 2 · x · (x - 2) · (x + 2) · 6 · y 5 y · (3 · x - 1) · x · x + 2 = 12 · (x - 2) · y 4 3 · x - 1 = 12 · x · y 4 - 24 · y 4 3 · x - 1

Подробное рассмотрение данного действия можно найти в статье умножения и деления дробей.

Деление

Рассмотрим деление с алгебраическими дробями. Применим правило: для того, чтобы разделить дроби, необходимо первую умножить на обратную вторую.

Дробь, которая обратная данной считается дробь с поменянными местами числителем и знаменателем. То есть, эта дробь называется взаимообратной.

Рассмотрим пример.

Пример 5

Выполнить деление x 2 - x · y 9 · y 2: 2 · x 3 · y .

Решение

Тогда обратная 2 · x 3 · y дробь запишется как 3 · y 2 · x . Значит, получим, что x 2 - x · y 9 · y 2: 2 · x 3 · y = x 2 - x · y 9 · y 2 · 3 · y 2 · x = x · x - y · 3 · y 9 · y 2 · 2 · x = x - y 6 · y .

Ответ: x 2 - x · y 9 · y 2: 2 · x 3 · y = x - y 6 · y

Возведение алгебраической дроби в степень

Если имеется натуральная степень, тогда необходимо применять правило действий с возведением в натуральную степень. При таких вычислениях используем правило: при возведении в степень нужно числитель и знаменатель отдельно возводить в степени, после чего записать результат.

Пример 6

Рассмотрим на примере дроби 2 · x x - y . Если необходимо возвести ее в степень равную 2 , тогда выполняем действия: 2 · x x - y 2 = 2 · x 2 (x - y) 2 . После чего возводим в степень получившийся одночлен. Выполнив действия, получим, что дроби примет вид 4 · x 2 x 2 - 2 · x · y + y 2 .

Детальное решение подобных примеров рассматривается в статье про возведение алгебраической дроби в степень.

При работе со степенью дроби необходимо помнить, что числитель и знаменатель отдельно возводятся в степень. Это заметно упрощает процесс решения и дальнейшего упрощения дроби. Стоит обращать внимание и на знак перед степенью. Если имеется знак «минус», то такую дробь следует переворачивать для простоты вычисления.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter