Definisjon av et parallellogram: formuler egenskapene til et parallellogram. Et utdrag som karakteriserer parallellogrammet. Et parallellogram er en firkant hvis motsatte vinkler er like
Et parallellogram er en firkant med motsatte sider parvis parallell. Følgende figur viser parallellogram ABCD. Den har side AB parallell med side CD og side BC parallell med side AD.
Som du kanskje har gjettet, er et parallellogram en konveks firkant. La oss vurdere de grunnleggende egenskapene til et parallellogram.
Egenskaper til et parallellogram
1. I et parallellogram er motsatte vinkler og motsatte sider like. La oss bevise denne egenskapen - tenk på parallellogrammet presentert i følgende figur.
Diagonal BD deler den inn i to like trekanter: ABD og CBD. De er like langs siden BD og de to vinklene ved siden av den, siden vinklene som ligger på kryss og tvers ved sekanten BD til henholdsvis parallelle linjer BC og AD og AB og CD. Derfor AB = CD og
BC = AD. Og fra likheten til vinkel 1, 2, 3 og 4 følger det at vinkel A = vinkel1 + vinkel3 = vinkel2 + vinkel4 = vinkel C.
2. Diagonalene til et parallellogram er delt i to med skjæringspunktet. La punktet O være skjæringspunktet for diagonalene AC og BD til parallellogrammet ABCD.
Da er trekant AOB og trekant COD lik hverandre, langs siden og to tilstøtende vinkler. (AB = CD siden disse er motsatte sider av parallellogrammet. Og vinkel1 = vinkel2 og vinkel3 = vinkel4 er som kryssvinkler når linjene AB og CD skjærer hverandre med henholdsvis sekantene AC og BD.) Av dette følger det at AO = OC og OB = OD, som og måtte bevises.
Alle hovedegenskapene er illustrert i de følgende tre figurene.
Videokurset "Få en A" inneholder alle emnene du trenger vellykket gjennomføring Unified State Examination i matematikk for 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!
Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.
All nødvendig teori. Raske måter løsninger, fallgruver og hemmeligheter ved Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.
Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.
Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra bunnen til oppgave 13. Forståelse i stedet for å stappe. Visuell forklaring komplekse konsepter. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.
Sammensatt ord "parallelogram"? Og bak den ligger en veldig enkel figur.
Vel, det vil si, vi tok to parallelle linjer:
Krysset av to til:
Og inne er det et parallellogram!
Hvilke egenskaper har et parallellogram?
Egenskaper til et parallellogram.
Det vil si, hva kan du bruke hvis problemet er gitt et parallellogram?
Følgende teorem svarer på dette spørsmålet:
La oss tegne alt i detalj.
Hva betyr det første punkt i teoremet? Og faktum er at hvis du HAR et parallellogram, så vil du sikkert
Det andre punktet betyr at hvis det ER et parallellogram, så igjen, absolutt:
Vel, og til slutt, det tredje punktet betyr at hvis du HAR et parallellogram, så sørg for å:
Ser du hvor stort utvalg det er? Hva skal brukes i problemet? Prøv å fokusere på spørsmålet om oppgaven, eller bare prøv alt en etter en - en "nøkkel" vil gjøre det.
La oss nå stille oss et annet spørsmål: hvordan kan vi gjenkjenne et parallellogram "ved synet"? Hva må skje med en firkant slik at vi har rett til å gi den "tittelen" til et parallellogram?
Flere tegn på et parallellogram svarer på dette spørsmålet.
Tegn på et parallellogram.
Merk følgende! Begynne.
Parallelogram.
Vennligst merk: hvis du fant minst ett tegn i problemet ditt, så har du definitivt et parallellogram, og du kan bruke alle egenskapene til et parallellogram.
2. Rektangel
Jeg tror at det ikke vil være en nyhet for deg i det hele tatt
Første spørsmål: er et rektangel et parallellogram?
Selvfølgelig er det det! Tross alt har han - husk, vårt tegn 3?
Og herfra følger det selvfølgelig at i et rektangel, som i et hvilket som helst parallellogram, er diagonalene delt i to av skjæringspunktet.
Men rektangelet har også én særegen egenskap.
Rektangel eiendom
Hvorfor er denne egenskapen særegen? Fordi ingen andre parallellogram har like diagonaler. La oss formulere det klarere.
Vær oppmerksom på: for å bli et rektangel, må en firkant først bli et parallellogram, og deretter demonstrere likheten mellom diagonalene.
3. Diamant
Og igjen spørsmålet: er en rombe et parallellogram eller ikke?
Med full rett - et parallellogram, fordi det har og (husk vår funksjon 2).
Og igjen, siden en rombe er et parallellogram, må den ha alle egenskapene til et parallellogram. Dette betyr at i en rombe er motsatte vinkler like, motsatte sider er parallelle og diagonalene halverer i skjæringspunktet.
Egenskaper til en rombe
Se på bildet:
Som i tilfellet med et rektangel, er disse egenskapene særegne, det vil si at for hver av disse egenskapene kan vi konkludere med at dette ikke bare er et parallellogram, men en rombe.
Tegn på en diamant
Og igjen, vær oppmerksom: det må ikke bare være en firkant hvis diagonaler er vinkelrette, men et parallellogram. Forsikre:
Nei, selvfølgelig, selv om diagonalene er vinkelrette, og diagonalen er halveringslinjen til vinklene og. Men ... diagonaler er ikke delt i to av skjæringspunktet, derfor - IKKE et parallellogram, og derfor IKKE en rombe.
Det vil si at en firkant er et rektangel og en rombe på samme tid. La oss se hva som skjer.
Er det klart hvorfor? - rombe er halveringslinjen til vinkel A, som er lik. Dette betyr at den deler seg (og også) i to vinkler langs.
Vel, det er helt klart: diagonalene til et rektangel er like; Diagonalene til en rombe er vinkelrette, og generelt er et parallellogram av diagonaler delt i to av skjæringspunktet.
GJENNOMSNITTLIG NIVÅ
Egenskaper til firkanter. Parallelogram
Egenskaper til et parallellogram
Merk følgende! Ord" egenskapene til et parallellogram"mener at hvis du er i oppgaven din Det er parallellogram, så kan alt av følgende brukes.
Teorem om egenskapene til et parallellogram.
I ethvert parallellogram:
La oss forstå hvorfor alt dette er sant, med andre ord VI SKAL BEVISE teorem.
Så hvorfor er 1) sant?
Hvis det er et parallellogram, så:
- liggende på kryss og tvers
- ligger som kors.
Dette betyr (i henhold til kriterium II: og - generelt.)
Vel, det er det, det er det! - bevist.
Men forresten! Vi beviste også 2)!
Hvorfor? Men (se på bildet), altså nettopp fordi.
Kun 3 igjen).
For å gjøre dette må du fortsatt tegne en andre diagonal.
Og nå ser vi det - i henhold til II-karakteristikken (vinkler og siden "mellom" dem).
Egenskaper bevist! La oss gå videre til skiltene.
Tegn på et parallellogram
Husk at parallellogramtegnet svarer på spørsmålet "hvordan vet du at en figur er et parallellogram".
I ikoner er det slik:
Hvorfor? Det ville vært fint å forstå hvorfor - det er nok. Men se:
Vel, vi fant ut hvorfor tegn 1 er sant.
Vel, det er enda enklere! La oss tegne en diagonal igjen.
Som betyr:
OG Det er også enkelt. Men...annerledes!
Midler, . Wow! Men også - innvendig ensidig med sekant!
Derfor det faktum som betyr det.
Og hvis du ser fra den andre siden, så - innvendig ensidig med en sekant! Og derfor.
Ser du hvor flott det er?!
Og igjen enkelt:
Akkurat det samme, og.
Følg med: hvis du fant i det minste ett tegn på et parallellogram i problemet ditt, så har du nøyaktig parallellogram og du kan bruke alle egenskapene til et parallellogram.
For fullstendig klarhet, se på diagrammet:
Egenskaper til firkanter. Rektangel.
Rektangelegenskaper:
Punkt 1) er ganske åpenbart - tross alt er tegn 3 () rett og slett oppfylt
Og punkt 2) - veldig viktig. Så la oss bevise det
Dette betyr på to sider (og - generelt).
Vel, siden trekantene er like, så er hypotenusene deres også like.
Beviste det!
Og forestill deg at likhet av diagonaler er en særegen egenskap til et rektangel blant alle parallellogrammer. Det vil si at denne uttalelsen er sann^
La oss forstå hvorfor?
Dette betyr (som betyr vinklene til et parallellogram). Men la oss igjen huske at det er et parallellogram, og derfor.
Midler, . Vel, selvfølgelig følger det at hver av dem! Tross alt må de gi totalt!
Så de beviste at hvis parallellogram plutselig (!) viser diagonalene seg å være like, da dette akkurat et rektangel.
Men! Følg med! Dette handler om parallellogrammer! Ikke hvem som helst en firkant med like diagonaler er et rektangel, og bare parallellogram!
Egenskaper til firkanter. Rombe
Og igjen spørsmålet: er en rombe et parallellogram eller ikke?
Med full rett - et parallellogram, fordi det har (Husk vår funksjon 2).
Og igjen, siden en rombe er et parallellogram, må den ha alle egenskapene til et parallellogram. Dette betyr at i en rombe er motsatte vinkler like, motsatte sider er parallelle og diagonalene halverer i skjæringspunktet.
Men det er også spesielle egenskaper. La oss formulere det.
Egenskaper til en rombe
Hvorfor? Vel, siden en rombe er et parallellogram, er diagonalene delt i to.
Hvorfor? Ja, det er derfor!
Diagonalene viste seg med andre ord å være halveringslinjer for hjørnene på romben.
Som i tilfellet med et rektangel, er disse egenskapene særegne, hver av dem er også et tegn på en rombe.
Tegn på en diamant.
Hvorfor er det sånn? Og se,
Det betyr både Disse trekantene er likebente.
For å være en rombe, må en firkant først "bli" et parallellogram, og deretter vise funksjon 1 eller funksjon 2.
Egenskaper til firkanter. Torget
Det vil si at en firkant er et rektangel og en rombe på samme tid. La oss se hva som skjer.
Er det klart hvorfor? En firkant - en rombe - er halveringslinjen til en vinkel som er lik. Dette betyr at den deler seg (og også) i to vinkler langs.
Vel, det er ganske klart: diagonalene til et rektangel er like; Diagonalene til en rombe er vinkelrette, og generelt er et parallellogram av diagonaler delt i to av skjæringspunktet.
Hvorfor? Vel, la oss bare bruke Pythagoras teorem på...
SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER
Egenskaper til et parallellogram:
- Motstående sider er like: , .
- Motstående vinkler er like: , .
- Vinklene på den ene siden utgjør: , .
- Diagonalene er delt i to av skjæringspunktet: .
Rektangelegenskaper:
- Diagonalene til rektangelet er like: .
- Et rektangel er et parallellogram (for et rektangel er alle egenskapene til et parallellogram oppfylt).
Egenskaper til en rombe:
- Diagonalene til en rombe er vinkelrette: .
- Diagonalene til en rombe er halveringslinjene til vinklene: ; ; ; .
- En rombe er et parallellogram (for en rombe er alle egenskapene til et parallellogram oppfylt).
Egenskaper til et kvadrat:
Et kvadrat er en rombe og et rektangel på samme tid, derfor er alle egenskapene til et rektangel og en rombe oppfylt for et kvadrat. Og:
Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.
Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!
Nå er det viktigste.
Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.
Problemet er at dette kanskje ikke er nok...
For hva?
For å ha bestått Unified State-eksamenen, for å gå inn på college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.
Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...
Folk som mottok en god utdannelse, tjene mye mer enn de som ikke fikk det. Dette er statistikk.
Men dette er ikke hovedsaken.
Hovedsaken er at de er GLADERE (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...
Men tenk selv...
Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?
FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.
Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.
Du vil trenge løse problemer mot tiden.
Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.
Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.
Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!
Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.
For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.
Hvordan? Det er to alternativer:
- Åpen tilgang for alle skjulte oppgaver I denne artikkelen -
- Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - Kjøp en lærebok - 899 RUR
Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.
Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for HELE nettstedets levetid.
For å konkludere...
Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.
«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.
Finn problemer og løs dem!
Akkurat som i euklidisk geometri er et punkt og en rett linje hovedelementene i teorien om fly, slik er et parallellogram en av nøkkelfigurene til konvekse firkanter. Fra den, som tråder fra en ball, strømmer begrepene "rektangel", "kvadrat", "rombus" og andre geometriske mengder.
I kontakt med
Definisjon av parallellogram
konveks firkant, som består av segmenter, hvor hvert par er parallelle, er kjent i geometri som et parallellogram.
Hvordan et klassisk parallellogram ser ut er avbildet av en firkant ABCD. Sidene kalles baser (AB, BC, CD og AD), vinkelrett trukket fra et hvilket som helst toppunkt til siden motsatt av dette toppunktet kalles høyde (BE og BF), linjene AC og BD kalles diagonaler.
Merk følgende! Firkant, rombe og rektangel er spesielle tilfeller av parallellogram.
Sider og vinkler: trekk ved forholdet
Viktige egenskaper, stort sett, forhåndsbestemt av selve betegnelsen, de er bevist av teoremet. Disse egenskapene er som følger:
- Sidene som er motsatt er identiske i par.
- Vinkler overfor hverandre er like i par.
Bevis: Tenk på ∆ABC og ∆ADC, som oppnås ved å dele firkanten ABCD med den rette linjen AC. ∠BCA=∠CAD og ∠BAC=∠ACD, siden AC er felles for dem (vertikale vinkler for henholdsvis BC||AD og AB||CD). Det følger av dette: ∆ABC = ∆ADC (det andre tegnet på likhet i trekanter).
Segmentene AB og BC i ∆ABC tilsvarer parvis linjene CD og AD i ∆ADC, noe som betyr at de er identiske: AB = CD, BC = AD. Dermed tilsvarer ∠B ∠D og de er like. Siden ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, som også er parvis identiske, så er ∠A = ∠C. Eiendommen er påvist.
Kjennetegn på diagonalene til en figur
Hovedfunksjon av disse linjene i et parallellogram: skjæringspunktet deler dem i to.
Bevis: La dvs. være skjæringspunktet for diagonalene AC og BD til figur ABCD. De danner to tilsvarende trekanter - ∆ABE og ∆CDE.
AB=CD siden de er motsetninger. I henhold til linjene og sekanten, ∠ABE = ∠CDE og ∠BAE = ∠DCE.
Ved det andre likhetskriteriet er ∆ABE = ∆CDE. Dette betyr at elementene ∆ABE og ∆CDE: AE = CE, BE = DE og samtidig er de proporsjonale deler av AC og BD. Eiendommen er påvist.
Funksjoner av tilstøtende hjørner
Tilstøtende sider har en sum av vinkler lik 180°, siden de ligger på samme side parallelle linjer og sekant. For firkant ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Egenskaper til halveringslinjen:
- , senket til den ene siden, er vinkelrett;
- motsatte hjørner har parallelle halveringslinjer;
- trekanten oppnådd ved å tegne en halveringslinje vil være likebenet.
Bestemmelse av karakteristiske trekk ved et parallellogram ved hjelp av teoremet
Egenskapene til denne figuren følger av hovedteoremet, som sier følgende: en firkant regnes som et parallellogram i tilfelle diagonalene skjærer hverandre, og dette punktet deler dem i like segmenter.
Bevis: la linjene AC og BD til firkanten ABCD krysse i d.v.s. Siden ∠AED = ∠BEC, og AE+CE=AC BE+DE=BD, så er ∆AED = ∆BEC (etter det første kriteriet for trekanters likhet). Det vil si ∠EAD = ∠ECB. De er også de indre kryssvinklene til sekanten AC for linjene AD og BC. Dermed, per definisjon av parallellisme - AD || B.C. En lignende egenskap til linjene BC og CD er også utledet. Teoremet er bevist.
Beregning av arealet til en figur
Arealet av denne figuren funnet på flere måter en av de enkleste: multiplisere høyden og basen som den er trukket til.
Bevis: tegn perpendikulære BE og CF fra toppunktene B og C. ∆ABE og ∆DCF er like, siden AB = CD og BE = CF. ABCD er lik størrelse med rektangel EBCF, siden de består av tilsvarende figurer: SABE og S EBCD, samt S DCF og S EBCD. Det følger av dette at området for dette geometrisk figur er plassert på samme måte som et rektangel:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
For å bestemme den generelle formelen for arealet til et parallellogram, la oss betegne høyden som hb, og siden - b. Henholdsvis:
Andre måter å finne området på
Arealberegninger gjennom sidene av parallellogrammet og vinkelen, som de danner, er den andre kjente metoden.
,
Spr-ma - område;
a og b er sidene
α er vinkelen mellom segmentene a og b.
Denne metoden er praktisk talt basert på den første, men i tilfelle den er ukjent. kutter alltid av høyre trekant, hvis parametere er trigonometriske identiteter, det er . Transformere forholdet, får vi . I ligningen til den første metoden erstatter vi høyden med dette produktet og får et bevis på gyldigheten av denne formelen.
Gjennom diagonalene til et parallellogram og vinkelen, som de lager når de krysser hverandre, kan du også finne området.
Bevis: AC og BD krysser hverandre for å danne fire trekanter: ABE, BEC, CDE og AED. Summen deres er lik arealet til denne firkanten.
Arealet til hver av disse ∆ kan finnes ved uttrykket , hvor a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Siden , bruker beregningene en enkelt sinusverdi. Det er . Siden AE+CE=AC= d 1 og BE+DE=BD= d 2, reduseres arealformelen til:
.
Applikasjon i vektoralgebra
Funksjonene til de konstituerende delene av denne firkanten har funnet anvendelse i vektor algebra, nemlig: tillegg av to vektorer. Parallellogramregelen sier det hvis gitt vektorerOgIkkeer kollineære, vil summen deres være lik diagonalen til denne figuren, hvis base tilsvarer disse vektorene.
Bevis: fra en vilkårlig valgt begynnelse - dvs. - konstruere vektorer og . Deretter konstruerer vi et parallellogram OASV, hvor segmentene OA og OB er sider. Dermed ligger OS på vektoren eller summen.
Formler for å beregne parametrene til et parallellogram
Identitetene er gitt under følgende betingelser:
- a og b, α - sider og vinkelen mellom dem;
- d 1 og d 2, γ - diagonaler og ved skjæringspunktet;
- h a og h b - høyder senket til sidene a og b;
| Parameter | Formel |
| Finne sidene | |
| langs diagonalene og cosinus til vinkelen mellom dem | 
|
| langs diagonaler og sider | 
|
| gjennom høyden og motsatt toppunkt | |
| Finne lengden på diagonaler | |
| på sidene og størrelsen på toppen mellom dem | |
