hjem » Virker » Eksamensprofil nivå 17 oppgave. Grunnleggende formler i problemer på innskudd og utlån

Eksamensprofil nivå 17 oppgave. Grunnleggende formler i problemer på innskudd og utlån

15. april er det planlagt å ta opp et lån på 900 tusen rubler fra banken i 11 måneder.
Vilkårene for retur er som følger:
- den 1. dagen i hver måned øker gjelden med p% sammenlignet med slutten av forrige måned;

- på den 15. dagen i hver måned fra den 1. til den 10. måneden, skal gjelden være det samme beløpet mindre enn gjelden den 15. dagen i forrige måned;
- På den 15. dagen i den 10. måneden utgjorde gjelden 200 tusen rubler;
- innen den 15. dagen i den 11. måneden skal gjelden være tilbakebetalt i sin helhet.
Finn p hvis banken ble betalt totalt 1021 tusen rubler.

15. april er det planlagt å ta opp et lån fra banken for 700 tusen rubler for (n + 1) måned.
Vilkårene for retur er som følger:

- fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å betale en del av gjelden i en betaling;
- den 15. hver dag fra 1. til nte måned gjelden må være det samme beløpet mindre enn gjelden den 15. dagen i forrige måned;
- på den 15. dagen i den nte måneden utgjorde gjelden 300 tusen rubler;
- innen den 15. dagen i (n + 1) måneden må gjelden være tilbakebetalt i sin helhet.
Finn n hvis banken ble betalt totalt 755 tusen rubler.

15. august er det planlagt å ta opp et lån på 1 100 tusen rubler fra en bank i 31 måneder.
Vilkårene for retur er som følger:
- den 1. i hver måned øker gjelden med 2 % sammenlignet med slutten av forrige måned;
- fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å betale en del av gjelden i en betaling;
- på den 15. dagen i hver måned fra den 1. til den 30. måneden, skal gjelden være det samme beløpet mindre enn gjelden den 15. dagen i forrige måned;
- innen den 15. dagen i den 31. måneden skal gjelden være tilbakebetalt i sin helhet.
Hvor mange tusen rubler er gjelden på den 15. dagen i den 30. måneden, hvis banken har fått utbetalt totalt 1503 tusen rubler?

15. mars er det planlagt å ta opp banklån på et visst beløp i 11 måneder.
Vilkårene for retur er som følger:
- den 1. i hver måned øker gjelden med 1 % sammenlignet med slutten av forrige måned;
- fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å betale en del av gjelden i en betaling;
- på den 15. dagen i hver måned fra den 1. til den 10. må gjelden være samme beløp mindre enn gjelden den 15. dagen i forrige måned;
- på den 15. dagen i den 10. måneden vil gjelden beløpe seg til 300 tusen rubler;

Hvilket beløp er planlagt å lånes hvis det totale beløpet av betalinger etter full tilbakebetaling er 1388 tusen rubler?

15. desember er det planlagt å ta opp banklån på 11 måneder.
Vilkårene for retur er som følger:

- på den 15. dagen i hver måned fra 1. til 10. må gjelden være 80 tusen rubler mindre enn gjelden den 15. dagen i forrige måned;
- innen den 15. dagen i den 11. måneden skal lånet være tilbakebetalt i sin helhet.
Hvilken gjeld vil være på den 15. dagen i den 10. måneden hvis det totale beløpet for betalinger etter full tilbakebetaling av lånet er 1198 tusen rubler?

15. desember er det planlagt å ta opp et banklån på 300 tusen rubler i 21 måneder. Returbetingelsene er som følger:

- fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
- den 15. dagen i hver måned fra den 1. til den 20. må gjelden være samme beløp mindre enn gjelden den 15. dagen i forrige måned;
- på den 15. dagen i den 20. måneden vil gjelden beløpe seg til 100 tusen rubler;

Finn det totale beløpet for betalinger etter at lånet er tilbakebetalt.

15. desember er det planlagt å ta opp et banklån på 1 000 000 rubler for (n+1) måned. Vilkårene for retur er som følger:
-den 1. i hver måned øker gjelden med r% sammenlignet med slutten av forrige måned;
- fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
- på den 15. dagen i hver måned fra den 1. til den n. må gjelden være 40 tusen rubler mindre enn gjelden på den 15. dagen i forrige måned;
- på den 15. dagen i den nte måneden vil gjelden være 200 tusen rubler;
- innen den 15. dagen i (n + 1) måneden må lånet være tilbakebetalt i sin helhet.
Finn r hvis det er kjent at det totale beløpet av betalinger etter full tilbakebetaling av lånet vil være 1378 tusen rubler.

15. desember planlegges det å ta opp et banklån på 21 måneder. Returbetingelsene er som følger:
- den 1. i hver måned øker gjelden med 3 % sammenlignet med slutten av forrige måned;
- fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
- på den 15. dagen i hver måned fra den 1. til den 20. må gjelden være 30 tusen rubler mindre enn gjelden den 15. dagen i forrige måned;
- innen den 15. dagen i den 21. måneden skal lånet være tilbakebetalt i sin helhet.
Hvilket beløp er planlagt å lånes hvis det totale beløpet av betalinger etter full tilbakebetaling er 1 604 tusen rubler?

25. mai er det planlagt å ta opp banklån på 1,5 år. Vilkårene for retur er som følger:
- den 1. i hver måned øker gjelden med 7 % sammenlignet med slutten av forrige måned;
- fra 1. til 10. i hver måned er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
– Den 25. i hver måned skal gjelden være samme beløp mindre enn gjelden den 25. i forrige måned.
Hvilket beløp må betales til banken hvis den gjennomsnittlige månedlige betalingen for hele låneperioden er lik 18 500 rubler?

Møbelfabrikken produserer bokhyller og skjenker. Produksjonen av én bokhylle krever 4/3 m^2 sponplater, 4/3 m^2 furuplater og 2/3 av en timeverk arbeidstid. Produksjonen av én skjenk krever 2 m^2 sponplate, 1,5 m^2 furuplate og 2 timeverk arbeidstid. Fortjenesten fra salget av en bokhylle er 500 rubler, og en skjenk er 1200 rubler. I løpet av en måned har fabrikken til rådighet: 180 m^2 sponplater, 165 m^2 furuplater og 160 dugnadstimer arbeidstid. Hva er den maksimale forventede månedlige fortjenesten?

Et bestemt foretak produserer produkter av to typer - A og B, ved å bruke tre typer ressurser: M, N og K. Satsene for ressursbruk og deres reserver er vist i tabellen.

Det er nødvendig å bestemme den maksimale mulige inntekten til et foretak ved salg av produkter hvis prisene for produktene A og B er henholdsvis 1500 og 900 rubler per enhet av det tilsvarende produktet. Vennligst oppgi svaret ditt i tusenvis av rubler.

Gutter på tre ellevteklassinger kjøpte blomster til jenter til høytiden 8. mars. Hvis du gir hver jente i første klasse 3 blomster, hver jente i andre klasse 5 blomster og hver jente i tredje klasse 7 blomster, trenger du minst 40 og ikke mer enn 50 blomster.

Hvis du gir hver jente i første klasse 5 blomster, hver jente i andre klasse får 7 blomster, og hver jente i tredje klasse får 3 blomster, så trenger du samme antall blomster som du trenger for å gi hver jente i første klasse 7 blomster, og gi hver jente i andre klasse 3 blomster, og gi hver tredje klasse jente 5 blomster. Finn totalt antall jenter som studerer i 11. klasse hvis det er kjent at det er flere jenter i tredje klasse enn i andre.

Innskuddsbeløpet økte den første dagen i hver måned med 2 % i forhold til beløpet den første dagen i forrige måned. Tilsvarende økte prisen på murstein med 36 % hver måned. Etter å ha utsatt kjøpet av murstein, satte de 1. mai et visst beløp inn i banken. Hvor mye mindre kan du i dette tilfellet kjøpe murstein 1. juli samme år for hele beløpet mottatt fra banken sammen med renter?

Som forberedelse til nyttår ble det besluttet å kjøpe flere juletrepynt av to typer, forutsatt at kostnadene for dekorasjonene forskjellige typer bør ikke avvike med mer enn 2 rubler. Hvis du kjøper 7 dekorasjoner av den første typen og 8 av den andre, må du betale mer enn 165 rubler. Hvis du kjøper 8 dekorasjoner av den første typen og 7 av den andre, må du betale mindre enn 165 rubler. Finn kostnadene for hver type dekorasjon.

Gutter på to ellevteklassinger kjøpte blomster til jenter til høytiden 8. mars. Hvis hver jente i første klasse får 3 blomster, og hver jente i andre klasse får 7 blomster, vil det være behov for mindre enn 70 blomster. Hvis du gir hver jente i første klasse 7 blomster, og hver jente i andre klasse - 3 blomster, vil det være behov for mer enn 70 blomster. Finn antall jenter som studerer i 11. klasse hvis antall jenter i klassene avviker med mindre enn tre.

Anlegget har tre typer samlebånd: A, B, C. Hver av dem produserer to typer produkter. Antall produkter av hver type produsert av hver linje er presentert i tabellen.

I henhold til kontrakten skal det produseres 1030 produkter av den første typen og 181 produkter av den andre typen. Hva er det minste antallet samlebånd som kan brukes?

Tre typer fly flyr mellom byer A og B, for hvilke mulighetene for å transportere passasjerer og lastecontainere er presentert i tabellen

I henhold til kontrakten skal 1.790 passasjerer og 195 lastecontainere transporteres. Finn det minste antallet fly som kreves.

Malm utvinnes ved to gruver: ved den første gruven 100 tonn per dag, ved den andre - 220 tonn per dag. Den utvunne malmen behandles ved to anlegg. Den første er i stand til å behandle ikke mer enn 200 tonn malm per dag, og den andre - ikke mer enn 250 tonn malm per dag. Kostnaden for å frakte ett tonn malm fra gruven til anlegget er presentert i tabellen.

Finn den laveste fraktkostnaden.

Innskyteren bestemte seg for å plassere 1000 tusen rubler i banken for en periode på 1 år. Banken tilbyr to strategier: den første er å belaste 7 % per år hvis innskuddet er plassert i sin helhet. Eller det foreslås å dele bidraget i tre deler. Da vil den mindre delen bli belastet med 15 %, den mellomste - 10 % og den største delen belastes med 5 % per år. Hva er den største fortjenesten som en investor kan motta hvis den største delen må avvike fra den mindre delen med minst 100 tusen rubler, men ikke mer enn 300 tusen rubler?

Låntakeren lånte fra banken i 3 år et beløp tilsvarende 691 000 rubler, til 10% per år, med forutsetning av at den andre betalingen ville være dobbelt så stor som den første, og den tredje - tre ganger så stor som den første, og utbetalinger ble foretatt etter å ha påløpt renter på lånesaldoen. Hva var beløpet for den første betalingen?

16. november tok Nikita ut 1 million rubler på kreditt fra banken. i seks måneder. Vilkårene for tilbakebetaling av lånet er som følger:

Den 28. i hver måned øker gjelden med 10 % sammenlignet med den 16. i inneværende måned;

Fra 1. til 10. i hver måned er det nødvendig å betale ned en del av gjelden;

Ved forsinkelse i betalinger (fra 1 til 5 dager), belastes ytterligere straffer: for hver forsinket dag 1% av beløpet som måtte betales i inneværende måned;

Den 16. i hver måned må gjelden være et visst beløp i henhold til tabellen:

Bestem hvor mange tusen rubler Nikita vil betale banken utover lånet som er tatt, hvis det er kjent at han betalte 7. desember, 12. januar, 10. februar, 9. mars, 1. april og 15. mai.

Larin 17) Ivan Petrovich mottok et lån fra en bank til en viss prosentandel per år. Et år senere, for å tilbakebetale lånet, returnerte han til banken 1/6 av det totale beløpet han skyldte banken på det tidspunktet. Og et år senere, for å tilbakebetale lånet fullt ut, deponerte Ivan Petrovich et beløp som var 20% større enn lånebeløpet i banken. Hva er den årlige renten på et lån fra denne banken?

Det er blyanter i to bokser: i den første er det røde, i den andre er det blå, og det var færre røde enn blå. Først ble 40% av blyantene fra den første boksen overført til den andre. Deretter ble 20 % av blyantene i den andre boksen overført til den første, og halvparten av de overførte blyantene var blå. Etter dette var det 26 flere røde blyanter i den første boksen enn i den andre, og det totale antallet blyanter i den andre boksen økte sammenlignet med originalen med mer enn 5 %. Finn det totale antallet blå blyanter.

I juli planlegger Victor å ta opp et lån på 2,5 millioner rubler. Vilkårene for retur er som følger:

Hver januar øker gjelden med 20 % sammenlignet med året før;

Fra februar til juni hvert år må Victor betale ned noe av gjelden.

For hva minimal mengdeår gammel, kan Victor ta opp et lån slik at de årlige betalingene ikke er mer enn 760 tusen rubler?

Etter hvor mange hele år vil Sergey ha minst 950 000 rubler på kontoen sin hvis han har til hensikt å sette inn 260 000 rubler på kontoen hvert år, forutsatt at banken belaster 10 % av tilgjengelig beløp en gang i året 31. desember.

Mitrofan ønsker å ta ut 1,7 millioner rubler på kreditt. Nedbetaling av lån skjer en gang i året like beløp(unntatt kanskje den siste) etter at renten er beregnet. Renten er 10 % per år. For hvilket minimum antall år kan Mitrofan ta opp et lån slik at årlige utbetalinger ikke er mer enn 300 tusen rubler?

31. desember 2016 tok Vasily ut 5 460 000 rubler på kreditt fra banken til 20% per år. Nedbetalingsordningen for lån er som følger - 31. desember hvert neste år belaster banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (det vil si at det øker gjelden med 20%), deretter overfører Vasily x rubler til banken. Hva skal beløpet være for at Vasily skal betale ned gjelden i tre like betalinger (det vil si over tre år)?

I august er det planlagt å ta opp et banklån på et visst beløp. Vilkårene for retur er som følger:

Fra februar til juli hvert år er det nødvendig å betale ned en del av gjelden som tilsvarer 1 080 tusen rubler. Hvor mange tusen rubler ble lånt fra banken hvis det er kjent at lånet ble fullstendig tilbakebetalt i tre like betalinger (det vil si over 3 år)?

Pensjonskassen eier verdipapirer som er verdt [b]10t tusen rubler ved utgangen av år t (t = 1;2;3;...). Ved utgangen av ethvert år kan pensjonskassen selge verdipapirer og sette inn penger på bankkonto, og ved utgangen av hvert påfølgende år vil beløpet på kontoen øke 1+r ganger. Pensjonskassen ønsker å selge verdipapirer ved utgangen av året slik at ved utgangen av det tjuefemte året vil beløpet på kontoen være størst. Beregninger viste at for dette må verdipapirer selges strengt tatt ved utgangen av det ellevte året. Ved hvilke positive verdier av r er dette mulig?

Vadim er eier av to fabrikker i forskjellige byer. Fabrikker produserer nøyaktig de samme produktene ved hjelp av samme teknologier. Hvis arbeidere ved en av fabrikkene jobber totalt t^2 timer per uke, produserer de i løpet av denne uken t vareenheter. For hver time med arbeid på et anlegg som ligger i den første byen, betaler Vadim en arbeider 500 rubler, og på et anlegg i den andre byen - 300 rubler. Vadim er klar til å bevilge 1 200 000 rubler i uken for å betale arbeidere. Hvilken største antall vareenheter kan produseres på en uke ved disse to fabrikkene?

I juli 2016 planlegger Inga å ta opp et lån i seks år på 4,2 millioner rubler. Vilkårene for retur er som følger:

I juli 2017, 2018, 2019 og 2020 forblir gjelden lik 4,2 millioner rubler;

Betalinger i 2021 og 2022 er like;

Innen juli 2022 vil gjelden være betalt i sin helhet.

Hvor mange millioner rubler vil den siste betalingen være større enn den første?

I juli 2016 planlegger Timur å ta opp et banklån i fire år på S millioner rubler, der S er et heltall. Vilkårene for retur er som følger:

Hver januar øker gjelden med 15 % sammenlignet med slutten av året før;

Betaling må skje en gang i året fra februar til juni;

I juli hvert år skal gjelden utgjøre en del av lånet i henhold til følgende tabell:

Finne høyeste verdi S, der det totale beløpet for Timurs betalinger vil være mindre enn 30 millioner rubler.

I juli 2020 er det planlagt å ta opp et banklån på 400 000 rubler. Vilkårene for retur er som følger:

Hver januar øker gjelden med r% sammenlignet med slutten av året før;

Finn tallet r hvis det er kjent at lånet ble fullstendig tilbakebetalt på to år, og det første året ble 330 000 rubler overført, og i det andre året - 121 000 rubler.

I juli 2020 er det planlagt å ta opp et banklån på et visst beløp. Vilkårene for retur er som følger:

Hver januar øker gjelden med 20 % sammenlignet med slutten av året før;

Fra februar til juni hvert år er det nødvendig å betale deler av gjelden i én betaling

Hvor mange rubler ble tatt fra banken hvis det er kjent at lånet ble fullstendig tilbakebetalt i tre like betalinger (det vil si over 3 år) og betalingsbeløpet overstiger beløpet som ble tatt fra banken med 77 200 rubler?

I juli er det planlagt å ta opp et banklån på et visst beløp. Vilkårene for retur er som følger:

Hver januar øker gjelden med r% sammenlignet med slutten av året før;

Fra februar til juni hvert år er det nødvendig å betale deler av gjelden

Finn r hvis det er kjent at hvis du betaler 777 600 rubler, vil lånet bli tilbakebetalt om 4 år, og hvis du betaler 1 317 600 rubler årlig, vil lånet være fullt tilbakebetalt om 2 år?

I juli er det planlagt å ta opp et banklån på 18 millioner rubler for en viss periode (et helt antall år). Vilkårene for retur er som følger:
- hver januar øker gjelden med 10 % sammenlignet med slutten av året før;

Hvor mange år ble lånet tatt opp i, hvis det er kjent at det totale beløpet for betalinger etter tilbakebetalingen var 27 millioner rubler?

I juli er det planlagt å ta opp et banklån på 9 millioner rubler for en viss periode (et helt antall år). Vilkårene for retur er som følger:

Hver januar øker gjelden med 20 % sammenlignet med slutten av året før;
- fra februar til juni hvert år er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
- i juli hvert år må gjelden være samme beløp mindre enn gjelden for juli året før.

Hva vil være det totale beløpet for betalinger etter full tilbakebetaling av lånet hvis den største årlige betalingen er 3,6 millioner rubler?

I juli 2026 er det planlagt å ta opp et banklån i tre år på S millioner rubler, der S er et heltall. Vilkårene for retur er som følger:

Hver januar øker gjelden med 20 % sammenlignet med slutten av året før.

Fra februar til juni hvert år er det nødvendig å betale deler av gjelden i én betaling

I juli hvert år skal gjelden utgjøre en del av lånet i henhold til følgende tabell

Finn den største verdien av S der hver betaling vil være mindre enn 5 millioner rubler.

Pensjonskassen eier verdipapirer som koster t^2 rubler. ved slutten av hvert år t(t=1;2...) ved slutten av ethvert år kan pensjonskassen selge verdipapirer og sette inn penger på en bankkonto, og ved slutten av hvert påfølgende år beløpet i konto vil øke med (1+ r) én gang. Pensjonskassen ønsker å selge verdipapirer ved utgangen av året slik at ved utgangen av det tjuefemte året vil beløpet på kontoen være størst.Beregninger har vist at for dette må verdipapirene selges strengt tatt ved utgangen av det tjueførste året. For hvilken positiv r er dette mulig?

Dyreparken deler ut 111 kg. kjøtt mellom rever, leoparder og løver. Hver rev har rett til 2 kg. kjøtt, leopard - 14 kg, løve 21 kg. Det er kjent at hver løve har 230 besøkende hver dag, hver leopard - 160, hver rev 20. Hvor mange rever, leoparder og løver skal det være i dyrehagen slik at antall besøkende til disse dyrene daglig er størst?

På aksjonærmøtet ble det besluttet å øke fortjenesten til bedriften ved å utvide produktutvalget. Økonomiske analyser viste det

1) tilleggsinntekter knyttet til hver ny type produkt vil være lik 70 millioner rubler. i år;

2) tilleggskostnader for utviklingen av en ny type vil beløpe seg til 11 millioner rubler. per år, og utviklingen av hver påfølgende type vil kreve 7 millioner rubler. per år er det flere utgifter enn utviklingen til den forrige. Finn verdien av maksimalt mulig økning i profitt.

En borger satte inn 1 million rubler i en bank i 4 år. Ved utgangen av hvert år legges 10 % til det utestående beløpet. Han bestemte seg for å ta ut det samme beløpet ved slutten av hvert av de første 3 årene (etter at det var påløpt renter). Dette beløpet skal være slik at etter 4 år etter påløping av renter for det fjerde året, har han minst 1 200 tusen rubler på kontoen sin. Hva er det maksimale beløpet en innbygger kan ta ut? Rund svaret ditt ned til nærmeste tusen.

Sasha og Pasha satte inn 100 tusen rubler hver. til banken med 10 % per år i tre år. Samtidig trakk Pasha n tusen rubler et år senere. (n er et heltall), og et år senere rapporterte han igjen n tusen rubler. for egen regning. For hva er den minste verdien av n, etter tre år vil forskjellen mellom beløpene i Sashas og Pashas kontoer være minst 3 tusen rubler.

Det er planlagt å utstede et lån for et helt antall millioner rubler i 5 år. I midten av hvert låneår øker låntakers gjeld med 10 % i forhold til begynnelsen av året. Ved slutten av 1., 2. og 3. år betaler låntakeren kun renten på lånet, og etterlater gjelden lik den opprinnelige. Ved slutten av år 4 og 5 betaler låntakeren like betalinger, og betaler tilbake hele gjelden i sin helhet. Finn den største lånestørrelsen der det totale beløpet av betalinger fra låntakeren vil være mindre enn 6 millioner rubler.

En bonde kan selge poteter til en pris av 10 000 rubler. per hundrevekt, og rødbeter - til en pris på 18 000 rubler. prosent. Hva er den høyeste inntekten en bonde kan få?

På nyttårsaften la julenissene like mye godteri i gaveposer, og disse posene ble lagt i poser, 2 poser i en pose. De kunne legge de samme godterier i poser slik at hver av dem ville inneholde 5 mindre godterier enn før, men da ville hver pose inneholde 3 poser, og 2 færre poser ville være nødvendig. Hva er det største antallet godteri som julenissene kunne dele ut?

Den første bilen forlot punkt A til punkt B med en hastighet på 80 km/t, og etter en tid dro den andre bilen med konstant hastighet. Etter å ha stoppet i 20 minutter ved punkt B, kjørte den andre bilen tilbake i samme hastighet. Etter 48 km møtte han den første bilen som kom fra motsatt retning, og var 120 km fra B i det øyeblikket den første bilen ankom punkt B. Finn avstanden fra A til stedet for det første møtet hvis avstanden mellom punkt A og B er 480 km.

Butikken mottok varer av klasse I og II for et samlet beløp på 4,5 millioner rubler. Hvis alle varene selges til en annen klasses pris, vil tapet være 0,5 millioner rubler, og hvis alle varene selges til en førsteklasses pris, vil det bli en fortjeneste på 0,3 millioner rubler. For hvor mye ble varer av klasse I og II kjøpt separat?

To gruver produserer aluminium og nikkel. I den første gruven er det 80 arbeidere, som hver er villig til å jobbe 5 timer om dagen. I dette tilfellet trekker en arbeider ut 1 kg aluminium eller 2 kg nikkel per time. I den andre gruven er det 200 arbeidere, som hver er villig til å jobbe 5 timer om dagen. I dette tilfellet produserer en arbeider 2 kg aluminium eller 1 kg nikkel i timen.

Begge gruvene leverer det utvunnede metallet til anlegget, hvor det produseres en legering av aluminium og nikkel for industrielle behov, hvor 2 kg aluminium utgjør 1 kg nikkel. Samtidig avtaler gruvene seg imellom om å utvinne metaller slik at anlegget kan produsere størst mengde legering. Hvor mange kilo legering kan planten produsere daglig under slike forhold?

En viss bedrift genererer tap på 300 millioner rubler. i år. For å gjøre det lønnsomt ble det foreslått å øke produktutvalget. Beregninger har vist at tilleggsinntekter knyttet til hver ny type produkt vil utgjøre 84 millioner rubler. per år, og tilleggskostnader vil være lik 5 millioner rubler. per år når du mestrer en ny art, men å mestre hver påfølgende vil kreve 5 millioner rubler. per år er det flere utgifter enn utviklingen til den forrige. Hva er minimum antall typer nye produkter som må utvikles for at bedriften skal bli lønnsom? Hva er det største årlige overskuddet selskapet kan oppnå ved å øke produktutvalget?

Kostnader ved å utvikle en elektronisk versjon av læreboken
noen publikasjoner er lik 800 tusen rubler. Utgifter
for produksjon av x tusenvis av slike elektroniske lærebøker
i dette forlaget er lik (x^2+6x+22100) tusen rubler
i år. Hvis lærebøker selges til en pris av rubler. for en enhet,
da vil forlagets overskudd for ett år være ax-(x^2+6x+22100).
Forlaget skal produsere lærebøker i slike mengder som
slik at overskuddet blir størst. Ved hvilken minimumsverdi av a
Vil utviklingen av en lærebok betale seg tilbake på ikke mer enn 2 år?

16. november tok tvillingene Sasha og Pasha et banklån på 500 tusen rubler. hver for en periode på fire måneder. Vilkårene for tilbakebetaling av lånet er som følger:

Den 28. i hver måned øker gjelden med 10 % sammenlignet med den 16. i inneværende måned;

Fra 1. til 15. i hver måned er det nødvendig å betale ned en del av gjelden; Den 16. i hver måned skal gjelden være et visst beløp i samsvar med tabellen foreslått for hver av dem:

Hvilken bror vil betale minst beløp til banken på fire måneder? Hvor mange rubler?

1. mars 2016 satte Valery inn 100 tusen rubler i banken. med 10 % per år i en periode på 4 år. Om to år planlegger han å ta ut tusen rubler fra kontoen sin. (n er et heltall) slik at innen 1. mars 2020 har han minst 130 tusen rubler på kontoen sin. Hva er det største beløpet som Valery kan ta ut fra kontoen sin 1. mars 2018?

To fotgjengere går mot hverandre: den ene fra A til B og den andre fra B til A. De dro samtidig, og da den første gikk halve veien, hadde den andre 1,5 time igjen, og da andre gikk halvveis, den første Det var fortsatt 45 minutter igjen. Hvor mange minutter tidligere vil den første fotgjengeren fullføre reisen enn den andre?

I begynnelsen av januar 2017 er det planlagt å ta opp et lån fra en bank på S millioner rubler, hvor S er et heltall, i 4 år. Vilkårene for retur er som følger:

Hver juli øker gjelden med 10 % sammenlignet med begynnelsen av inneværende år;
- fra august til desember hvert år er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
- i januar hvert år skal gjelden utgjøre en del av lånet i henhold til følgende tabell:

Finn den største verdien av S der forskjellen mellom de største og minste betalingene ikke vil overstige 2 millioner rubler.

For "Classic"-innskuddet planlegger banken å akkumulere 12% per år ved slutten av hvert år, og for "Bonus"-innskuddet - å øke innskuddsbeløpet med 7% det første året og med samme heltall n prosent i de påfølgende årene.

Finn den minste verdien av n som, over 4 års lagring, vil «Bonus»-innskuddet være mer lønnsomt enn «Classic»-innskuddet med like store innledende bidrag.

I mai 2017 er det planlagt å ta opp et banklån i seks år på S millioner rubler. Vilkårene for retur er som følger:

Hver desember hvert år øker gjelden med 10 %;
- fra januar til april hvert år er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
- i mai 2018, 2019 og 2020 forblir gjelden lik S millioner rubler;
- betalinger i 2021, 2022 og 2023 er like;
- innen mai 2023 vil gjelden være betalt i sin helhet.

Finn det minste heltall S som det totale beløpet av betalinger ikke overstiger 13 millioner rubler.

46 personer gikk inn i det første året av spesialiteten «Utstyr og maskiner»: 34 gutter og 12 jenter. De er delt inn i to grupper på 22 og 24 personer, med minst en jente i hver gruppe. Hva skal fordelingen på gruppe være slik at summen av tallene lik andelen jenter i første og andre gruppe blir størst?

Leo tok opp et banklån for en periode på 40 måneder. I følge avtalen skal Leo betale tilbake lånet i månedlige betalinger. Ved slutten av hver måned legges p% av dette beløpet til restgjeldsbeløpet, etterfulgt av Levs betaling.

Månedlige betalinger velges slik at gjelden minker jevnt.

Det er kjent at Leos største betaling var 25 ganger mindre enn det opprinnelige gjeldsbeløpet. Finn s.

Den 18. desember 2015 tok Andrey ut 85 400 rubler på kreditt fra banken til 13,5% per år. Lånets tilbakebetalingsordning er som følger: 18. desember hvert neste år belaster banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet, deretter overfører Andrey X rubler til banken. Hva skal beløpet X være for at Andrey skal betale hele gjelden i to like betalinger?

Ivan ønsker å låne 1 million rubler. Lånet tilbakebetales en gang i året med like store beløp (unntatt kanskje det siste) etter påløping av renter. Renten er 10 % per år. For hvilket minimum antall år kan Ivan ta opp et lån slik at årlige utbetalinger ikke overstiger 250 tusen rubler?

1. februar 2016 tok Andrei Petrovich ut 1,6 millioner rubler på kreditt fra banken. Lånets tilbakebetalingsordning er som følger: den 1. i hver neste måned belaster banken 1% av det gjenværende gjeldsbeløpet, deretter overfører Andrei Petrovich betalingen til banken. For hvilket minimum antall måneder bør Andrei Petrovich ta opp et lån slik at månedlige betalinger ikke overstiger 350 tusen rubler?

Den 12. november 2015 tok Dmitry ut 1 803 050 rubler på kreditt fra banken til 19% per år. Lånetilbakebetalingsordningen er som følger: 12. november hvert neste år belaster banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet, deretter overfører Dmitry X rubler til banken. Hva skal beløpet X være for at Dmitry skal betale hele gjelden i tre like betalinger?

Langs to innbyrdes vinkelrette motorveier begynner to biler å bevege seg samtidig i retningen av krysset deres: en med en hastighet på 80 km/t, den andre med 60 km/t. I det første øyeblikket er hver bil i en avstand på 100 km fra krysset. Bestem tiden etter starten av bevegelsen hvor avstanden mellom bilene vil være minst. Hva er denne avstanden?

Arkady, Semyon, Efim og Boris grunnla et selskap med en autorisert kapital på 200 000 rubler. Arkady bidro med 14% av den autoriserte kapitalen, Semyon - 42 000 rubler, Efim - 12% av den autoriserte kapitalen, og Boris bidro med resten av kapitalen. Stifterne ble enige om å dele årsoverskuddet i forhold til innskuddet til den autoriserte kapitalen. Hvor mye fortjeneste på 500 000 rubler skyldes Boris? Gi svaret ditt i rubler.

I to regioner er det 250 arbeidere, som hver er villige til å jobbe 5 timer om dagen med å utvinne aluminium eller nikkel. I det første området utvinner én arbeider 0,2 kg aluminium eller 0,1 kg nikkel i timen. I den andre regionen krever det å utvinne x kg aluminium per dag x^2 arbeidstimer, og å utvinne q kg nikkel per dag krever y^2 arbeidstimer.

I to regioner er det 50 arbeidere hver, som hver er villige til å jobbe 10 timer om dagen med å utvinne aluminium eller nikkel. I det første området utvinner én arbeider 0,2 kg aluminium eller 0,1 kg nikkel i timen. I det andre området krever gruvedrift x kg aluminium per dag x^2 arbeidstimer, og gruvedrift av kg nikkel per dag krever y^2 arbeidstimer.

Begge regioner leverer det utvunnede metallet til anlegget, hvor det produseres en legering av aluminium og nikkel for industrielle behov, hvor 1 kg aluminium utgjør 2 kg nikkel. Samtidig avtaler regionene seg imellom om å utvinne metaller slik at anlegget kan produsere størst mengde legering. Hvor mange kilo legering kan planten produsere daglig under slike forhold?

Timofey ønsker å ta opp et lån på 1,1 millioner rubler. Lånet tilbakebetales en gang i året med like store beløp (unntatt kanskje det siste) etter påløping av renter. Renten er 10 % per år. For hvilket minimum antall år kan Timofey ta opp et lån slik at årlige utbetalinger ikke er mer enn 270 tusen rubler?

Galina tok opp et lån på 12 millioner rubler for en periode på 24 måneder. Ifølge avtalen skal Galina returnere deler av pengene til banken i slutten av hver måned. Hver måned øker det totale gjeldsbeløpet med 3%, og reduseres deretter med beløpet Galina betalte til banken i slutten av måneden. Beløpene som betales av Galina er valgt slik at gjeldsbeløpet reduseres jevnt, det vil si med samme beløp hver måned. Hvor mange flere rubler vil Galina returnere til banken i løpet av det første låneåret sammenlignet med det andre året?

15. januar er det planlagt å ta opp banklån på 15 måneder. Vilkårene for retur er som følger:
- den 1. i hver måned øker gjelden med 3 % sammenlignet med slutten av forrige måned;
- fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;

Det er kjent at den åttende betalingen utgjorde 99,2 tusen rubler. Hvilket beløp skal tilbakeføres til banken under hele låneperioden?

31. desember 2014 tok Oleg ut et visst beløp på kreditt fra banken til en viss prosentandel per år. Nedbetalingsordningen for lån er som følger - 31. desember hvert neste år belaster banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (det vil si at det øker gjelden med a%), deretter overfører Oleg neste transje. Hvis han betaler 328 050 rubler hvert år, vil han betale ned gjelden om 4 år. Hvis 587 250 rubler hver, så i 2 år. Finn en.

To like bassenger begynte å fylles med vann samtidig. Det første bassenget mottar 30 m^3 mer vann i timen enn det andre. På et tidspunkt inneholdt de to bassengene til sammen like mye vann som volumet til hver av dem. Etter dette, etter 2 timer 40 minutter, ble det første bassenget fylt, og etter ytterligere 3 timer 20 minutter, det andre. Hvor mye vann kom inn i det andre bassenget i timen? Hvor lang tid tok det før det andre bassenget ble fylt?

Den 1. i hver måned øker gjelden med 2 % sammenlignet med slutten av forrige måned;

Fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å betale ned en del av gjelden;

Den 15. i hver måned skal gjelden være samme beløp mindre enn gjelden den 15. i forrige måned.

Hvor stor prosentandel av lånebeløpet er det totale beløpet som må betales til banken over hele låneperioden?

20. desember tok Valery opp et banklån på 500 tusen rubler. for en periode på fem måneder. Vilkårene for tilbakebetaling av lånet er som følger:

Den 5. hver måned øker gjelden med et heltall n prosent sammenlignet med forrige måned;

Fra den 6. til den 19. i hver måned er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;

Den 20. i hver måned må gjelden være et visst beløp i henhold til tabellen:

Finn den minste n hvor beløpet av betalinger utover lånet tatt (rentebetalinger) vil være mer enn 200 tusen rubler.

Tre automatiske maskiner med forskjellig kraft må produsere 800 deler hver. Først ble den første maskinen lansert, etter 20 minutter - den andre, og etter ytterligere 35 minutter - den tredje. Hver av dem jobbet uten feil eller stopp, og under arbeidet var det et øyeblikk da hver maskin fullførte den samme delen av oppgaven. Hvor mange minutter før den andre maskinen fullførte den tredje jobben hvis den første fullførte oppgaven 1 time og 28 minutter etter den tredje?

Det er 90 arbeidere i to regioner, som hver er villige til å jobbe 5 timer om dagen med å utvinne aluminium eller nikkel. I det første området utvinner én arbeider 0,3 kg aluminium eller 0,1 kg nikkel i timen. I det andre området kreves x^2 arbeidstimer for å utvinne x kg aluminium per dag, og y^2 arbeidstimer kreves for å utvinne y kg nikkel per dag.

For industrielle behov kan enten aluminium eller nikkel brukes, og 1 kg aluminium kan erstattes med 1 kg nikkel. Hva er den største metallmassen som kan utvinnes i to regioner totalt for industrielle behov?

I juli 2016 er det planlagt å ta opp et banklån i tre år på S millioner rubler, der S er et heltall. Vilkårene for retur er som følger:

Hver januar øker gjelden med 25 % sammenlignet med slutten av året før;
- fra februar til juni hvert år er det nødvendig å betale en del av gjelden i en betaling;
- i juli hvert år skal gjelden utgjøre en del av lånet i henhold til følgende tabell.

Finn den minste verdien av S der hver betaling vil være mer enn 5 millioner rubler

1. august 2016 åpnet Valery en "Top up"-konto i banken i fire år til 10% per år, og investerte 100 tusen rubler.

1. august 2017 og 1. august 2019 planlegger han å rapportere n tusen rubler til kontoen sin. Finn det minste heltall n slik at innen 1. august 2020 vil Valery ha minst 200 tusen rubler på kontoen sin.

15. januar er det planlagt å ta opp et banklån i seks måneder på 1 million rubler. Vilkårene for retur er som følger:

Den 1. i hver måned øker gjelden med r prosent sammenlignet med slutten av forrige måned, der r er et heltall;

Fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å betale ned en del av gjelden;

Den 15. hver måned skal gjelden være et visst beløp i henhold til følgende tabell

Finn den største verdien av r der det totale betalingsbeløpet vil være mindre enn 1,2 millioner rubler.

I juli ble det tatt opp et lån på 8,8 millioner rubler i flere år. Ved begynnelsen av hvert påfølgende år øker gjeldssaldoen med 25 % sammenlignet med slutten av året før. Før 1. juli hvert år skal oppdragsgiver nedbetale deler av gjelden på en slik måte at gjelden fra og med 1. juli årlig reduseres med samme beløp. Den siste betalingen er 1 million rubler. Finn det totale beløpet for betalinger til banken.

I juli er det planlagt å ta opp et banklån på 14 millioner rubler for en viss periode (et helt antall år). Vilkårene for retur er som følger:

Hver januar øker gjelden med 10 % sammenlignet med slutten av året før;
- fra februar til juni hvert år er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
- i juli hvert år skal gjelden være samme beløp mindre enn gjelden for juli året før

Hva vil være det totale beløpet for betalinger etter full tilbakebetaling av lånet hvis den minste årlige betalingen er 3,85 millioner rubler?

I begynnelsen av året velger Zhilstroyservice-selskapet en bank for å motta et lån blant flere banker som låner ut til forskjellige rentesatser. Selskapet planlegger å bruke det mottatte lånet som følger: 75 % av lånet skal brukes til bygging av hytter, og de resterende 25 % til levering av eiendomstjenester til befolkningen. Det første prosjektet kan gi fortjeneste i mengden 36% til 44% per år, og det andre - fra 20% til 24% per år. Ved utgangen av året skal selskapet returnere lånet til banken med renter og forventer samtidig et netto overskudd fra denne type aktiviteter på minst 13 %, men ikke mer enn 21 % per år av hele lånet mottatt. Hva bør være de laveste og høyeste utlånsrentene for de utvalgte bankene for at selskapet skal være garantert å forsyne seg med overskuddsnivået ovenfor?

15. januar 2012 utstedte banken et lån på 1 million rubler. Betingelsene for hans retur var som følger:
- 1. januar hvert år øker gjelden med en % sammenlignet med slutten av året før;
- betaling av en del av gjelden skjer i januar hvert år etter at renter er påløpt.
Lånet ble tilbakebetalt på to år, og det første året ble et beløp på 600 tusen rubler overført, og i det andre året - 550 tusen rubler.
Finn en.

Bygging av et nytt anlegg koster 78 millioner rubler. Produksjonskostnader x tusen enheter. produkter på et slikt anlegg er lik 0,5x²+2x+6 millioner rubler per år. Hvis anleggets produkter selges til en pris på r tusen rubler per enhet, vil selskapets fortjeneste (i millioner rubler) i ett år være (px-(0,5x²+2x+6)). Når anlegget er bygget vil selskapet produsere produkter i slike mengder at fortjenesten blir størst. Ved hvilken minimumsverdi av p vil byggingen av anlegget betale seg på ikke mer enn 3 år?

I begynnelsen av 2001 kjøpte Alexey en sikkerhet for 25 000 rubler. På slutten av hvert år øker prisen på papir med 3000 rubler. I begynnelsen av ethvert år kan Alexey selge papiret og sette inn inntektene på en bankkonto. Hvert år vil beløpet på kontoen øke med 10 %. I begynnelsen av hvilket år skal Alexey selge verdipapiret slik at beløpet på bankkontoen femten år etter kjøpet av dette verdipapiret vil være størst?

Hvert av de to anleggene sysselsetter 1800 personer. På det første anlegget produserer en arbeider 1 del A eller 2 deler B per skift. På det andre anlegget kreves det t^2 mannskift for å produsere t deler (både A og B).

Hvert av de to anleggene sysselsetter 200 personer. Ved det første anlegget produserer en arbeider 1 del A eller 3 deler B per skift. Ved det andre anlegget kreves det t^2 mannskift for å produsere t deler (både A og B).

Begge disse anleggene leverer deler til anlegget, hvorfra de setter sammen et produkt, hvis fremstilling krever 1 del A og 1 del B. Samtidig avtaler anleggene seg imellom å produsere deler slik at det største antallet produkter kan settes sammen. Hvor mange produkter kan anlegget sette sammen per skift under slike forhold?

Ved hvert av de to anleggene produseres deler A og B. Det første anlegget sysselsetter 40 personer, og en arbeider produserer 15 deler A eller 5 deler B per skift. Det andre anlegget sysselsetter 160 personer, og en arbeider produserer 5 deler A eller 15 per skift. detaljer V.

Begge disse anleggene leverer deler til anlegget, hvorfra de setter sammen et produkt, hvis fremstilling krever 2 deler A og 1 del B. Samtidig avtaler anleggene seg imellom å produsere deler slik at det største antallet produkter kan settes sammen. Hvor mange produkter kan anlegget sette sammen per skift under slike forhold?

For å produsere et bestemt produkt B som inneholder 40% alkohol, kan Alexey kjøpe råvarer fra to leverandører A og B. Leverandør A tilbyr en 90% alkoholløsning i 1000 liters dunker til en pris av 100 tusen rubler. per beholder. Leverandør B tilbyr en 80% alkoholløsning i 2000 liters beholdere til en pris av 160 tusen rubler. per beholder. Produkt B oppnådd under produksjonen tappes på 0,5 liters flasker. Hva er det minste beløpet Alexey bør bruke på råvarer hvis han planlegger å produsere nøyaktig 60 000 flasker med produkt B?

1. mars 2016 deponerte Ivan Lvovich 20 000 rubler i et bankinnskudd for en periode på 1 år med månedlig renteopptjening og kapitalisering på 21 % per år. Dette betyr at den første dagen i hver måned øker innskuddsbeløpet med samme rentebeløp, regnet på en slik måte at det over 12 måneder vil øke med nøyaktig 21 %. Om hvor mange måneder vil innskuddsbeløpet overstige 22 000 rubler for første gang?

15. mai planla forretningsmannen å ta opp et banklån på 12 millioner rubler i 19 måneder. Vilkårene for retur er som følger:

Den 1. i hver måned øker gjelden med 2 % sammenlignet med slutten av forrige måned;

Fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å betale ned en del av gjelden;

Den 15. i hver måned skal gjelden være samme beløp mindre enn gjelden den 15. i forrige måned.

Hvor mye mer renter må en forretningsmann betale i forhold til lånet som er tatt?

Vladimir eier to fabrikker for produksjon av kjøleskap. Produktiviteten til det første anlegget overstiger ikke 950 kjøleskap per dag. Produktiviteten til det andre anlegget var opprinnelig 95 % av produktiviteten til det første. Etter å ha tatt i bruk en ekstra linje, økte det andre anlegget produksjonen av kjøleskap per dag med nøyaktig 23% av antall kjøleskap produsert ved det første anlegget, og begynte å produsere mer enn 1000 av dem. Hvor mange kjøleskap produserte hvert anlegg per dag før gjenoppbyggingen av det andre anlegget?

Den 1. i hver måned øker gjelden med 2 % sammenlignet med slutten av forrige måned;

Fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å betale ned en del av gjelden;

Den 15. i hver måned skal gjelden være samme beløp mindre enn gjelden den 15. i forrige måned.

Det er kjent at i den fjerde måneden med utlån må du betale 54 tusen rubler. Hvilket beløp skal tilbakeføres til banken under hele låneperioden?

I juli tok klienten opp et lån på 8,8 millioner rubler i flere år.

Vilkårene for retur er som følger:

Ved begynnelsen av hvert påfølgende år øker gjeldssaldoen med 25 % sammenlignet med slutten av året før.
-før 1. juli hvert år skal klienten tilbakebetale deler av gjelden til banken på en slik måte at gjelden i forhold til 1. juli reduseres årlig med samme beløp.

Det er kjent at den siste betalingen vil være 1 million rubler. Finn det totale beløpet for betalinger som kunden skal betale til banken.

Venninnene Polina og Christina drømmer om å bli modeller. 1. januar bestemte de seg for å begynne å gå ned i vekt. Samtidig viste Polinas vekt å være 10% mer enn Christinas.

I februar planlegger Christina å tape ytterligere 2 %.

A) Hva er den minste heltallsprosenten som Polina trenger for å gå ned i vekt i februar, slik at vekten hennes innen 1. mars blir mindre enn Christinas?

B) Hvor mye vil Christina veie innen utgangen av februar, hvis det er kjent at Polina 1. januar veide 55 kg?

Depotet er planlagt åpnet i fire år. Det første innskuddet er et heltall på millioner av rubler. På slutten av hvert år øker bidraget med 10% sammenlignet med størrelsen ved begynnelsen av året, og i tillegg, i begynnelsen av det tredje og fjerde året, etterfylles bidraget årlig med 3 millioner rubler. Finn det største beløpet av det første innskuddet, hvor etter fire år vil innskuddet være mindre enn 25 millioner rubler.

Hvert av de to anleggene sysselsetter 20 personer. På det første anlegget produserer en arbeider 2 deler A eller 2 deler B per skift. På det andre anlegget kreves det t^2 mannskift for å produsere t deler (både A og B).

Den 1. i hver måned øker gjelden med 2 % sammenlignet med slutten av forrige måned;

Fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å betale ned en del av gjelden;

Den 15. i hver måned skal gjelden være samme beløp mindre enn gjelden den 15. i forrige måned.

Det er kjent at i den femte måneden (fra 2. juni til 14. juni) med utlån må du betale banken 44 tusen rubler. Hvilket beløp skal betales til banken i hele låneperioden?

Bonden har 2 felt, hver med et areal på 10 hektar. På hver åker kan du dyrke poteter og rødbeter, åkeren kan deles mellom disse avlingene i alle forhold. Potetavlingen i det første feltet er 300 c/ha, og i det andre feltet - 200 c/ha. Beteutbyttet i det første feltet er 200 c/ha, og i det andre - 300 c/ha.

En bonde kan selge poteter for 4000 rubler. per hundrevekt, og rødbeter til en pris av 5000 rubler. prosent. Hva er den høyeste inntekten en bonde kan få?

Verkstedet fikk en bestilling på produksjon av 2000 deler av type A og 14000 deler av type B. Hver av de 146 arbeiderne i verkstedet bruker tid på produksjon av én del av type A, hvor han kunne produsere 2 deler av type B. Hvordan skal arbeiderne på verkstedet deles inn i to team for å fullføre bestillingen på kortest tid, forutsatt at begge teamene begynner å jobbe samtidig, og hvert av teamene er opptatt med å produsere deler av kun én type?

Hvert av de to anleggene sysselsetter 100 personer. Ved det første anlegget produserer en arbeider 3 deler A eller 1 del B per skift. På det andre anlegget kreves det t^2 mannskift for å produsere t deler (både A og B).

Begge disse anleggene leverer deler til anlegget, hvorfra de setter sammen et produkt, hvis fremstilling krever 1 del A og 3 deler B. Samtidig avtaler anleggene seg imellom å produsere deler slik at det største antallet produkter kan settes sammen. Hvor mange produkter kan anlegget sette sammen per skift under slike forhold?

Den 17. desember 2014 lånte Anna 232 050 rubler fra banken til 10 % per år. Nedbetalingsordningen for lån er som følger: Den 17. desember hvert neste år tar banken renter på det resterende gjeldsbeløpet, og deretter overfører Anna X rubler til banken. Hvor mye må X være for at Anna skal betale tilbake hele gjelden i fire like store betalinger?

Disse er:
- den 1. i hver måned øker gjelden med 3 % sammenlignet med slutten av forrige måned;
- fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
– Den 15. i hver måned skal gjelden være samme beløp mindre enn gjelden den 15. i forrige måned.
Hvilket beløp må tilbakeføres til banken i løpet av det første året (første 12 måneder) med utlån?

I følge forretningsplanen er det planlagt å investere 10 millioner rubler i det fireårige prosjektet. På slutten av hvert år er det planlagt å øke investerte midler med 15 % sammenlignet med begynnelsen av året. De påløpte rentene forblir investert i prosjektet. I tillegg, umiddelbart etter renteopptjening, er det nødvendig med ytterligere investeringer: et heltall n millioner rubler i det første og andre året, samt et heltall m millioner rubler i det tredje og fjerde året.

Finne minste verdier n og m, hvor den opprinnelige investeringen vil minst dobles på to år, og minst tredobles på fire år

I to regioner er det 100 arbeidere hver, som hver er villige til å jobbe 10 timer om dagen med å utvinne aluminium eller nikkel. I det første området utvinner én arbeider 0,3 kg aluminium eller 0,1 kg nikkel i timen. I den andre regionen krever det å utvinne x kg aluminium per dag x^2 arbeidstimer, og å utvinne q kg nikkel per dag krever y^2 arbeidstimer.

Begge regioner leverer det utvunnede metallet til anlegget, hvor det produseres en legering av aluminium og nikkel for industrielle behov, hvor 2 kg aluminium utgjør 1 kg nikkel. Samtidig avtaler regionene seg imellom om å utvinne metaller slik at anlegget kan produsere størst mengde legering. Hvor mange kilo legering kan planten produsere daglig under slike forhold?

I hvor mange år planlegger du å ta opp et lån hvis du vet at det totale beløpet for betalinger etter full tilbakebetaling vil være 18 millioner rubler?

Bonden har to jorder, hver med et areal på 10 hektar. På hver åker kan du dyrke poteter og rødbeter, åkrene kan deles mellom disse avlingene i alle forhold. Potetavlingen i det første feltet er 500 c/ha, og i det andre feltet - 300 c/ha. Beteutbyttet i det første feltet er 300 c/ha, og i det andre - 500 c/ha.
En bonde kan selge poteter for 2000 rubler. per hundrevekt, og rødbeter - til en pris på 3000 rubler. prosent. Hva er den høyeste inntekten en bonde kan få?

10. juni tok vi opp lån i banken på 15 måneder. Dessuten, den 3. dagen i hver måned øker gjelden med en % sammenlignet med slutten av forrige måned, fra den 4. til den 9. dagen i hver måned må en del av gjelden betales, og den 10. skal gjelden være samme beløp fratrukket gjeld per 10. dag i forrige måned.

Den 1. i hver måned øker gjelden med 1 % sammenlignet med slutten av forrige måned;

Fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å betale ned en del av gjelden;

Den 15. i hver måned skal gjelden være samme beløp mindre enn gjelden den 15. i forrige måned. Det er kjent at i løpet av de første 12 månedene må du betale banken 177,75 tusen rubler. Hvor mye har du tenkt å låne?

En gründer kjøpte en bygning og planlegger å åpne et hotell i den. Hotellet kan ha standardrom med et areal på 21 kvadratmeter og suiter med et areal på 49 kvadratmeter. Samlet areal som kan avsettes til rom er 1099 kvadratmeter. Entreprenøren kan dele dette arealet mellom ulike typer rom slik han selv ønsker. Et vanlig rom gir hotellet 2000 rubler per dag, og et luksusrom gir 4500 rubler per dag. Hva er den største summen en gründer kan tjene på hotellet?

– Den 15. i hver måned skal gjelden være samme beløp mindre enn gjelden den 15. i forrige måned.

Det er kjent at i løpet av de siste 12 månedene må du betale banken 1597,5 tusen rubler. Hvor mye har du tenkt å låne?

15. januar er det planlagt å ta opp banklån på 14 måneder. Vilkårene for retur er som følger:
- Den 1. i hver måned øker gjelden med r% sammenlignet med slutten av forrige måned;
- fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å betale ned en del av gjelden;
- Den 15. dagen i hver måned skal gjelden være samme beløp mindre enn gjelden den 15. dagen i forrige måned.
Det er kjent at det totale beløpet av betalinger etter full tilbakebetaling av lånet er 15% mer enn det lånte beløpet. Finn r.

I begynnelsen av 2001 kjøpte Alexey en sikkerhet for 7000 rubler. På slutten av hvert år øker prisen på papir med 2000 rubler. I begynnelsen av ethvert år kan Alexey selge papiret og sette inn inntektene på en bankkonto. Hvert år vil beløpet på kontoen øke med 10 %. I begynnelsen av hvilket år skal Alexey selge verdipapiret slik at beløpet på bankkontoen femten år etter kjøpet av dette verdipapiret vil være størst?

Gregory er eier av to fabrikker i forskjellige byer. Fabrikkene produserer nøyaktig de samme varene, men fabrikken som ligger i den andre byen bruker mer avansert utstyr.

Som et resultat, hvis arbeidere ved en fabrikk som ligger i den første byen jobber totalt t^2 timer per uke, produserer de i løpet av denne uken 3t enheter med varer; hvis arbeidere ved en fabrikk som ligger i den andre byen jobber totalt t^2 timer per uke, produserer de i løpet av denne uken 4t enheter med varer.
- hver januar øker gjelden med 10 % sammenlignet med slutten av året før;
- fra februar til juni hvert år er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
- i juli hvert år må gjelden være samme beløp mindre enn gjelden for juli året før.
Hvor mange millioner rubler var det totale beløpet for betalinger etter tilbakebetaling av lånet?

I juli er det planlagt å ta opp et banklån på 6 millioner rubler for en viss periode. Vilkårene for retur er som følger:
- hver januar øker gjelden med 20 % sammenlignet med slutten av året før;
- fra februar til juni hvert år er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
- i juli hvert år må gjelden være samme beløp mindre enn gjelden for juli året før.
For hvilken minimumsperiode bør du ta opp et lån slik at den største årlige lånebetalingen ikke overstiger 1,8 millioner rubler?

I juli er det planlagt å ta opp et lån på 4 026 000 rubler. Vilkårene for retur er som følger:
- hver januar øker gjelden med 20 % sammenlignet med slutten av fjoråret.
- fra februar til juni hvert år er det nødvendig å betale ned en del av gjelden.
Hvor mange flere rubler må du betale hvis lånet er fullt tilbakebetalt i fire like betalinger (det vil si om 4 år) sammenlignet med tilfellet hvis lånet er fullt tilbakebetalt i to like betalinger (det vil si om 2 år)?

I juli er det planlagt å ta opp et banklån på 100 000 rubler. Vilkårene for retur er som følger:
- hver januar øker gjelden med en % sammenlignet med slutten av året før;
- fra februar til juni hvert år er det nødvendig å betale ned en del av gjelden.
Finn tallet a hvis det er kjent at lånet ble tilbakebetalt fullt ut på to år, og det første året ble 55 000 rubler overført, og i det andre 69 000 rubler.

Beløpet på 3 900 tusen rubler ble plassert i banken til 50% per år. Ved slutten av hvert av de første fire årene med lagring, etter beregning av renter, foretok innskyter et tilleggsinnskudd på samme faste beløp på kontoen. Ved utgangen av det femte året, etter periodisering av renter, viste det seg at størrelsen på innskuddet hadde økt med 725 % sammenlignet med originalen. Hvilket beløp la investoren til innskuddet årlig?

Entreprenøren tok opp et lån fra banken på 9 930 000 rubler til 10% per år. Nedbetalingsordning for lån: en gang i året skal kunden betale samme beløp til banken, som består av to deler. Den første delen er 10 % av restgjeldsbeløpet, og den andre delen tar sikte på å nedbetale restgjeldsbeløpet. Hvert påfølgende år belastes det kun renter av det resterende gjeldsbeløpet. Hva bør det årlige betalingsbeløpet (i rubler) være for at en gründer skal tilbakebetale lånet fullt ut i tre like betalinger?

I dag skal vi ta en liten pause fra standard logaritmer, integraler, trigonometri osv., og sammen skal vi se på et mer vital problem fra Unified State Exam i matematikk, som er direkte relatert til vår tilbakestående russiske råvareøkonomi. For å være presis vil vi vurdere et problem om innskudd, renter og lån. For det er problemer med prosenter som nylig er lagt til andre del av singelen statlig eksamen matematikk. La meg ta en reservasjon med en gang at for å løse dette problemet, i henhold til Unified State Exam-spesifikasjonene, tilbys tre hovedpoeng samtidig, det vil si at sensorer anser denne oppgaven som en av de vanskeligste.

Samtidig, for å løse noen av de spesifiserte problemene fra Unified State Exam i matematikk, trenger du bare å vite to formler, som hver er ganske tilgjengelig for alle skolekandidater, men av grunner som er ukjente for meg, er disse formlene fullstendig ignorert av både skolelærere og kompilatorer av alle slags problemer for forberedelse til Unified State Exam. Derfor vil jeg i dag ikke bare fortelle deg hva disse formlene er og hvordan du bruker dem, men jeg vil utlede hver av disse formlene bokstavelig talt foran øynene dine, med utgangspunkt i oppgavene fra åpen bank Unified State Examination i matematikk.

Derfor viste leksjonen seg å være ganske omfangsrik, ganske informativ, så gjør deg komfortabel, så begynner vi.

Vi investerer penger i banken

Først og fremst vil jeg gjerne gjøre litt lyrisk digresjon, relatert til finans, banker, lån og innskudd, på grunnlag av hvilke vi vil få formlene som vi vil bruke for å løse dette problemet. Så la oss ta en liten pause fra eksamener, fra kommende skoleproblemer, og se på fremtiden.

La oss si at du har blitt voksen og skal kjøpe leilighet. La oss si at du ikke kommer til å kjøpe en dårlig leilighet i utkanten, men en leilighet av god kvalitet for 20 millioner rubler. Samtidig, la oss også anta at du fikk en mer eller mindre normal jobb og tjener 300 tusen rubler i måneden. I dette tilfellet kan du spare omtrent tre millioner rubler per år. Selvfølgelig tjener du 300 tusen rubler i måneden, om et år vil du få et litt større beløp - 3.600.000 - men la disse 600.000 brukes på mat, klær og andre daglige husholdningsgleder. De totale inndataene er som følger: du må tjene tjue millioner rubler, men vi har bare tre millioner rubler i året til rådighet. Et naturlig spørsmål dukker opp: hvor mange år trenger vi å spare tre millioner hver for å få de samme tjue millionene? Dette anses som elementært:

\[\frac(20)(3)=6,....\til 7\]

Men som vi allerede har bemerket, tjener du 300 tusen rubler i måneden, dette betyr at du er smarte mennesker og vil ikke legge penger "under puten", men ta dem til banken. Og derfor vil det påløpe renter årlig på de innskuddene du bringer til banken. La oss si at du velger en pålitelig, men samtidig mer eller mindre lønnsom bank, og derfor vil innskuddene dine vokse årlig med 15% per år. Med andre ord kan vi si at beløpet på kontoene dine vil øke årlig med 1,15 ganger. La meg minne deg på formelen:

La oss beregne hvor mye penger som vil være på kontoene dine etter hvert år:

I det første året, når du bare begynner å spare penger, vil ingen renter samle seg, det vil si ved slutten av året vil du spare tre millioner rubler:

Ved slutten av det andre året vil det allerede påløpe renter på de tre millioner rubler som gjenstår fra det første året, dvs. vi må gange med 1,15. Men i løpet av det andre året rapporterte du også om ytterligere tre millioner rubler. Selvfølgelig er det ennå ikke påløpt renter på disse tre millionene, for ved slutten av det andre året hadde disse tre millionene nettopp dukket opp på kontoen:

Så, tredje året. Ved utgangen av det tredje året vil det bli belastet renter på dette beløpet, dvs. hele beløpet må multipliseres med 1,15. Og igjen, du jobbet hardt gjennom året og sparte også tre millioner rubler:

\[\venstre(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

La oss beregne enda et fjerde år. Igjen multipliseres hele beløpet som vi hadde ved utgangen av det tredje året med 1,15, dvs. Det vil bli belastet renter av hele beløpet. Dette inkluderer renter på renter. Og ytterligere tre millioner legges til dette beløpet, for i løpet av det fjerde året jobbet du også og sparte penger:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

La oss nå åpne parentesene og se hvilket beløp vi vil ha innen utgangen av det fjerde året med å spare penger:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1) ,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\venstre(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \right) \\\end(align)\]

Som du kan se, har vi elementer av en geometrisk progresjon i parentes, det vil si at vi har summen av elementene i en geometrisk progresjon.

La meg minne deg på at hvis en geometrisk progresjon er gitt av elementet $((b)_(1))$, samt nevneren $q$, vil summen av elementene beregnes ved hjelp av følgende formel:

Denne formelen må være kjent og tydelig brukt.

Vennligst merk: formel n-elementet høres slik ut:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

På grunn av denne graden blir mange studenter forvirret. Totalt har vi akkurat n for beløpet n- elementer og seg selv n Det th elementet har grad $n-1$. Med andre ord, hvis vi nå prøver å beregne summen av en geometrisk progresjon, må vi vurdere følgende:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1.15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1.15)^(4))-1)(1.15-1)\]

La oss beregne telleren separat:

\[((1.15)^(4))=((\venstre(((1.15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1.3225 \right ))^(2) )=1,74900625\ca. 1,75\]

Totalt, tilbake til summen av den geometriske progresjonen, får vi:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15)=5\]

Som et resultat får vi at etter fire år med sparing, vil det opprinnelige beløpet ikke øke fire ganger, som om vi ikke hadde satt pengene i banken, men fem ganger, det vil si femten millioner. La oss skrive dette ned separat:

4 år → 5 ganger

Når vi ser fremover, vil jeg si at hvis vi ikke sparte i fire år, men i fem år, ville sparebeløpet til slutt øke med 6,7 ganger:

5 år → 6,7 ganger

Med andre ord, innen utgangen av det femte året vil vi ha følgende beløp på kontoen:

Det vil si at ved slutten av det femte året med sparing, tatt i betraktning renter på innskuddet, ville vi allerede ha mottatt over tjue millioner rubler. Dermed vil den totale sparekontoen på grunn av bankrenter reduseres fra nesten syv år til fem år, det vil si med nesten to år.

Selv til tross for at banken krever en ganske lav rente på våre innskudd (15 %), gir de samme 15 % etter bare fem år en økning som betydelig overstiger vår årlige inntjening. Samtidig har den viktigste multiplikatoreffekten skjedd de siste årene og til og med snarere i I fjor besparelser.

Hvorfor skrev jeg alt dette? Dette er selvsagt ikke for å oppmuntre deg til å ta penger til banken. For hvis du virkelig ønsker å øke sparepengene dine, må du investere dem ikke i en bank, men i en reell driftsvirksomhet, der de samme interessene, dvs. lønnsomheten i den russiske økonomien sjelden faller under 30%, dvs. dobbelt så mye. bankinnskudd.

Men det som virkelig er nyttig i alle disse diskusjonene er en formel som lar oss finne det totale beløpet på innskuddet gjennom mengden av årlige utbetalinger, så vel som gjennom renten som belastes av banken. Så la oss skrive det ned:

\[\tekst(Vklad)=\tekst(platezh)\frac(((\tekst(%))^(n))-1)(\tekst(%)-1)\]

Selve prosentandelen beregnes ved hjelp av følgende formel:

Denne formelen må også være kjent, så vel som den grunnleggende formelen for innskuddsbeløpet. Og på sin side kan den grunnleggende formelen redusere beregningene betydelig i de problemene med prosenter der det er nødvendig å beregne bidraget.

Hvorfor bruke formler i stedet for tabeller?

Mange vil nok ha et spørsmål: hvorfor all denne kompleksiteten?Er det ikke mulig å bare skrive ned hvert år på en tabell, slik det gjøres i mange lærebøker, telle hvert år for seg, og deretter beregne det totale bidragsbeløpet? Selvfølgelig kan du helt glemme summen av den geometriske progresjonen og beregne alt ved å bruke klassiske nettbrett - dette gjøres i de fleste samlinger for å forberede deg til Unified State Exam. For det første øker imidlertid volumet av beregninger kraftig, og for det andre, som en konsekvens, øker sannsynligheten for å gjøre en feil.

Og generelt sett er det å bruke tabeller i stedet for denne fantastiske formelen det samme som å grave grøfter på en byggeplass med hendene i stedet for å bruke en stående gravemaskin som står i nærheten og fungerer fullt ut.

Vel, eller det samme som å multiplisere fem med ti uten å bruke multiplikasjonstabellen, men legge fem til seg selv ti ganger på rad. Imidlertid er jeg allerede distrahert, så jeg vil gjenta det meste hovedide: hvis det er noen måte å forenkle og forkorte beregninger, så er dette metoden som bør brukes.

Renter på lån

Vi har behandlet innskudd, så vi går videre til neste tema, nemlig renter på lån.

Så mens du sparer penger, nøye planlegger budsjettet ditt, tenker på din fremtidige leilighet, bestemte klassekameraten din, og nå en enkel arbeidsledig person, seg for å leve for i dag og tok ganske enkelt opp et lån. Samtidig vil han fortsatt erte og le av deg og si at han har en kreditttelefon og en bruktbil, tatt på kreditt, og du fortsatt tar t-banen og bruker en gammel trykknapptelefon. Selvfølgelig vil din tidligere klassekamerat måtte betale dyrt for alle disse billige "show-offs". Hvor dyrt det er - det er det vi vil beregne akkurat nå.

Først en kort introduksjonsinformasjon. La oss si at din tidligere klassekamerat tok ut to millioner rubler på kreditt. Dessuten, i henhold til avtalen, må han betale x rubler per måned. La oss si at han tok opp et lån med en årlig rente på 20%, som under dagens forhold ser ganske anstendig ut. I tillegg, la oss anta at lånetiden bare er tre måneder. La oss prøve å koble alle disse mengdene til én formel.

Så helt i begynnelsen, så snart din tidligere klassekamerat forlot banken, har han to millioner i lomma, og dette er gjelden hans. Dessuten har det ikke gått et år og ikke en måned, men dette er bare begynnelsen:

Deretter vil det etter en måned bli belastet renter på det skyldige beløpet. Som vi allerede vet, for å beregne renter, er det nok å multiplisere den opprinnelige gjelden med en koeffisient, som beregnes ved hjelp av følgende formel:

I vårt tilfelle vi snakker om om en rate på 20% per år, det vil si at vi kan skrive:

Dette er koeffisienten for beløpet som vil påløpe per år. Men klassekameraten vår er ikke særlig smart, og han leste ikke kontrakten, og faktisk fikk han et lån på ikke 20 % per år, men 20 % per måned. Og innen utgangen av den første måneden vil det påløpe renter på dette beløpet, og det vil øke med 1,2 ganger. Umiddelbart etter dette må personen betale det avtalte beløpet, det vil si x rubler per måned:

\[\venstre(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\]

Og igjen foretar fyren vår en betaling på $x$ rubler.

Så, ved slutten av den tredje måneden, øker gjeldsbeløpet igjen med 20 %:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

Og i henhold til betingelsen må han betale i sin helhet innen tre måneder, det vil si at etter å ha utført den siste tredje betalingen, må gjeldsbeløpet være lik null. Vi kan skrive følgende ligning:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

La oss bestemme:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2) )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\venstre((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(align)\]

Foran oss igjen er en geometrisk progresjon, eller rettere sagt, summen av tre elementer i en geometrisk progresjon. La oss omskrive det i stigende rekkefølge av elementer:

Nå må vi finne summen av tre elementer i en geometrisk progresjon. La oss skrive det ned:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(align)\]

La oss nå finne summen av den geometriske progresjonen:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Det bør huskes at summen av en geometrisk progresjon med slike parametere $\left(((b)_(1));q \right)$ beregnes i henhold til formelen:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Dette er formelen vi nettopp brukte. Vi erstatter denne formelen i uttrykket vårt:

For ytterligere beregninger må vi finne ut hva $((1,2)^(3))$ er lik. Dessverre, i dette tilfellet kan vi ikke lenger skrive det som forrige gang i form av et dobbelt kvadrat, men vi kan beregne det slik:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1.44\cdot 1.2 \\& ((1,2)^(3))=1.728 \\\end(align)\]

La oss omskrive uttrykket vårt:

Dette er et klassisk lineært uttrykk. La oss gå tilbake til følgende formel:

Faktisk, hvis vi generaliserer det, får vi en formel som forbinder renter, lån, betalinger og vilkår. Formelen er som følger:

Her er hun, mest hovedformel dagens videoleksjon, ved hjelp av hvilken minst 80% av alle økonomiske problemer fra Unified State Exam i matematikk i andre del beregnes.

Oftest i virkelige oppgaver vil du bli bedt om en betaling, eller, litt sjeldnere, et lån, det vil si den totale gjelden som klassekameraten vår hadde helt i begynnelsen av betalingene. I mer komplekse problemer vil du bli bedt om å finne prosentandelen, men for svært komplekse, som vi vil analysere i en egen videoleksjon, vil du bli bedt om å finne tidsrammen som, gitt låne- og betalingsparametere, våre arbeidsledig klassekamerat vil fullt ut kunne betale ned på banken.

Kanskje vil noen nå mene at jeg er en voldsom motstander av lån, finans og banksystemet generelt. Altså, ingenting sånt! Tvert imot mener jeg at kredittinstrumenter er svært nyttige og ekstremt nødvendige for økonomien vår, men kun under forutsetning av at lånet tas til næringsutvikling. Som en siste utvei kan du ta opp et lån for å kjøpe bolig, det vil si et boliglån, eller for en nødsituasjon medisinsk behandling– det er det, det er rett og slett ingen andre grunner til å ta opp lån. Og alle slags arbeidsledige som tar opp lån for å kjøpe «show-offs» og samtidig ikke tenker på konsekvensene til slutt og blir årsaken til kriser og problemer i økonomien vår.

For å gå tilbake til temaet for dagens leksjon, vil jeg merke at å kjenne til denne formelen som forbinder lån, betalinger og renter er like nødvendig som summen av en geometrisk progresjon. Det er ved hjelp av disse formlene at reelle økonomiske problemer fra Unified State Examination i matematikk løses. Vel, nå som du vet alt dette veldig godt, når du forstår hva et lån er og hvorfor du ikke bør ta det, la oss gå videre til å løse reelle økonomiske problemer fra Unified State Examination i matematikk.

Løse reelle problemer fra Unified State Examination i matematikk

Eksempel #1

Så, den første oppgaven:

31. desember 2014 tok Alexey ut 9 282 000 rubler på kreditt fra banken til 10% per år. Lånetilbakebetalingsordningen er som følger: 31. desember hvert neste år belaster banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (dvs. øker gjelden med 10%), deretter overfører Alexey X rubler til banken. Hva skal beløpet X være for at Alexey skal betale ned gjelden i fire like betalinger (dvs. over fire år)?

Så dette er et problem med kreditt, så vi skriver umiddelbart ned formelen vår:

Lånet er kjent for oss - 9 282 000 rubler.

Vi skal forholde oss til prosenter nå. Vi snakker om 10 % i problemet. Derfor kan vi oversette dem:

Vi kan lage en ligning:

Vi fikk det vanlige lineær ligning i forhold til $x$, men med ganske formidable odds. La oss prøve å løse det. La oss først finne uttrykket $(((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left((((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

La oss nå omskrive ligningen:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1.4641=x\cdot \frac(1.4641-1)(0.1) \\& 9282000\cdot 1.4641=x\cdot \frac(0, 4641):(0.00)| \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)( 1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641) \cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Det er det, vårt problem med renter er løst.

Dette var selvfølgelig bare det enkleste problemet med prosenter fra Unified State Examination i matematikk. Mest sannsynlig vil en slik oppgave ikke vises i den virkelige eksamen. Og hvis det gjør det, betrakt deg selv som veldig heldig. Vel, for de som liker å telle og ikke liker å ta risiko, la oss gå videre til de neste mer komplekse oppgavene.

Eksempel nr. 2

31. desember 2014 tok Stepan ut 4.004.000 rubler på kreditt fra banken til 20% per år. Nedbetalingsordningen for lån er som følger: 31. desember hvert neste år belaster banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (dvs. øker gjelden med 20%), deretter foretar Stepan en betaling til banken. Stepan betalte ned hele gjelden i 3 like betalinger. Hvor mange mindre rubler ville han gitt til banken hvis han kunne betale ned gjelden i 2 like betalinger?

Vi har et problem med lån, så vi skriver ned formelen vår:

\[\]\

Hva vet vi? For det første vet vi den totale kreditten. Vi kjenner også prosentene. La oss finne koeffisienten:

Når det gjelder $n$, må du lese problemformuleringen nøye. Det vil si, først må vi beregne hvor mye han betalte i tre år, det vil si $n=3$, og deretter utføre de samme trinnene igjen, men beregne betalinger i to år. La oss skrive ligningen for tilfellet når betalingen betales over tre år:

La oss løse denne ligningen. Men først, la oss finne uttrykket $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1.44\cdot 1.2 \\& ((1,2)^(3))=1.728 \\\end(align)\]

La oss omskrive uttrykket vårt:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1.728=x\cdot \frac(1.728-1)(0.2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )( 200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

Totalt vil vår betaling være 1 900 800 rubler. Vær imidlertid oppmerksom: i problemet ble vi pålagt å finne ikke den månedlige betalingen, men hvor mye Stepan ville betale totalt for tre like betalinger, det vil si for hele brukstiden for lånet. Derfor må den resulterende verdien multipliseres med tre igjen. La oss telle:

Totalt vil Stepan betale 5 702 400 rubler for tre like betalinger. Så mye vil det koste ham å bruke lånet i tre år.

La oss nå vurdere den andre situasjonen, da Stepan tok seg sammen, tok seg sammen og betalte ned hele lånet ikke i tre, men i to like betalinger. Vi skriver ned vår samme formel:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Men det er ikke alt, for nå har vi beregnet bare én av de to betalingene, så totalt vil Stepan betale nøyaktig dobbelt så mye:

Flott, nå er vi nærmere det endelige svaret. Men vær oppmerksom på at vi ikke i noe tilfelle har mottatt det endelige svaret ennå, for for tre års betalinger vil Stepan betale 5 702 400 rubler, og for to års betalinger vil han betale 5 241 600 rubler, det vil si litt mindre. Hvor mye mindre? For å finne det ut må du trekke det andre betalingsbeløpet fra det første betalingsbeløpet:

Det totale endelige svaret er 460 800 rubler. Nøyaktig hvor mye Stepan vil spare hvis han ikke betaler for tre år, men for to.

Som du kan se, forenkler formelen som forbinder renter, vilkår og betalinger betydelig beregninger sammenlignet med klassiske tabeller, og dessverre, av ukjente årsaker, brukes fortsatt tabeller i de fleste problemsamlinger.

Separat vil jeg gjøre deg oppmerksom på løpetiden som lånet ble tatt for og mengden av månedlige betalinger. Faktum er at denne sammenhengen ikke er direkte synlig fra formlene som vi har skrevet ned, men forståelsen er nødvendig for rask og effektiv løsning reelle eksamensproblemer. Faktisk er denne sammenhengen veldig enkel: jo lenger lånet er tatt opp, jo mindre beløp vil være i månedlige betalinger, men jo større beløp vil akkumuleres over hele låneperioden. Og omvendt: jo kortere løpetid, jo høyere er den månedlige betalingen, men den endelige overbetalingen er lavere og den totale kostnaden for lånet er lavere.

Selvfølgelig vil alle disse utsagnene være like bare hvis lånebeløpet og renten er den samme i begge tilfeller. Generelt, for nå bare husk dette faktum - det vil bli brukt til å løse de mest komplekse problemene om dette emnet, men for nå vil vi analysere mer enkel oppgave, hvor du bare trenger å finne totalbeløpet på det opprinnelige lånet.

Eksempel nr. 3

Så en oppgave til for kreditt og også den siste oppgaven i dagens videoleksjon.

31. desember 2014 tok Vasily ut et visst beløp på kreditt fra banken til 13% per år. Lånetilbakebetalingsordningen er som følger: 31. desember hvert neste år belaster banken renter på det gjenværende gjeldsbeløpet (dvs. øker gjelden med 13%), deretter overfører Vasily 5 107 600 rubler til banken. Hvilket beløp tok Vasily fra banken hvis han betalte ned gjelden i to like betalinger (over to år)?

Så først av alt handler dette problemet igjen om lån, så vi skriver ned vår fantastiske formel:

La oss se hva vi vet fra problemformuleringen. For det første er betalingen lik 5 107 600 rubler per år. For det andre er det en prosentandel, så vi kan finne koeffisienten:

I tillegg, i henhold til betingelsene for problemet, tok Vasily opp et lån fra banken i to år, dvs. betales i to like betalinger, derfor $n=2$. La oss erstatte alt og også legge merke til at lånet er ukjent for oss, dvs. beløpet han tok, og la oss betegne det med $x$. Vi får:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

La oss omskrive ligningen vår ved å ta hensyn til dette faktum:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1.2769-1)(0.13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000) )=\ frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769)\ \& x =4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

Det er det, dette er det endelige svaret. Dette er nøyaktig beløpet Vasily tok ut på kreditt helt i begynnelsen.

Nå er det klart hvorfor vi i denne oppgaven blir bedt om å ta opp et lån i bare to år, fordi det er tosifrede prosenter involvert, nemlig 13 %, som når det er kvadratisk gir et ganske "brutalt" tall. Men dette er ikke grensen - i neste separate leksjon vil vi se på mer komplekse problemer der vi må finne lånetiden, og rentesatsen vil være en, to eller tre prosent.

Generelt, lær å løse problemer med innskudd og lån, forberede deg til eksamener og bestå dem "utmerket". Og hvis noe er uklart i materialene til dagens videoleksjon, så ikke nøl - skriv, ring, så skal jeg prøve å hjelpe deg.

Unified State eksamen i matematikk profilnivå

Arbeidet består av 19 oppgaver.
Del 1:
8 korte svaroppgaver med grunnleggende vanskelighetsgrad.
Del 2:
4 korte svarspørsmål
7 oppgaver med detaljerte svar høy level vanskeligheter.

Spilletid - 3 timer 55 minutter.

Eksempler på Unified State Examination-oppgaver

Løse Unified State Examination-oppgaver i matematikk.

For å løse det selv:

1 kilowatt-time strøm koster 1 rubel 80 kopek.
Strømmåleren viste 12.625 kilowattimer 1. november, og 12.802 kilowattimer 1. desember.
Hvor mye bør jeg betale for strøm for november?
Gi svaret ditt i rubler.

Problem med løsning:

I en vanlig trekantet pyramide ABCS med base ABC er følgende kanter kjent: AB = 5 røtter av 3, SC = 13.
Finn vinkelen som dannes av grunnplanet og den rette linjen som går gjennom midten av kantene AS og BC.

Løsning:

1. Siden SABC er vanlig pyramide, da er ABC en likesidet trekant, og de resterende flatene er like hverandre likebente trekanter.
Det vil si at alle sidene av basen er lik 5 sqrt(3), og alle laterale ribber er lik 13.

2. La D være midtpunktet til BC, E midtpunktet til AS, SH høyden gikk ned fra punkt S til bunnen av pyramiden, EP høyden gikk ned fra punkt E til bunnen av pyramiden.

3. Finn AD fra den rettvinklede trekanten CAD ved å bruke Pythagoras teorem. Det viser seg 15/2 = 7,5.

4. Siden pyramiden er regulær, er punktet H skjæringspunktet mellom høydene/medianene/halveringslinjene til trekant ABC, og deler derfor AD i forholdet 2:1 (AH = 2 AD).

5. Finn SH fra rettvinklet ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, ifølge Pythagoras teorem SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Trekanter AEP og ASH er begge rektangulære og har felles vinkel A, derfor lignende. Etter betingelse er AE = AS/2, som betyr AP = AH/2 og EP = SH/2.

7. Det gjenstår å vurdere høyre trekant EDP (vi er bare interessert i EDP-vinkelen).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Vinkeltangens EDP = EP/DP = 6/5,
Vinkel EDP = arctan(6/5)

Svar:

Unified State Exam 2019 i matematikk oppgave 17 med løsning

Demo Unified State Exam-alternativet 2019 i matematikk

Unified State Exam in Mathematics 2019 i pdf-format Grunnnivå | Profilnivå

Oppgaver for forberedelse til Unified State Exam i matematikk: grunnleggende og spesialisert nivå med svar og løsninger.

Finansiell matematikk

For å fullføre oppgaven riktig uten feil vil du motta 3 poeng.

Det tar ca 35 minutter.

For å løse oppgave 17 i matematikk på profilnivå må du vite:

Oppgaven er delt inn i flere typer:
- oppgaver knyttet til banker, innskudd og utlån;
- optimale valgproblemer.
Formel for beregning av månedlig betaling: S kreditt = S/12t
Formel for beregning av enkel rente: S=α (1 + tp/m)
Formel for beregning av renters rente: C = x (1 + a%)n

Prosent - det er en hundredel av en hvilken som helst verdi.

x*(1 + p/100) - verdi xøkt med s%
x*(1 - k/100) - verdi x redusert med k%
x*(1 + p/100) k - verdi xøkt med s% k en gang
x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – verdi X først økt med s%, og deretter redusert med k%

Oppgaver for å tilbakebetale lånet med like betalinger:

Lånebeløpet tas som X. Bankinteresse - EN. Nedbetaling av lån – S.

Ett år etter at det påløper renter og beløpet er betalt S gjeldsbeløp - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

Gjeldsbeløp etter 2 år: (xp – S)p – S
Gjeldsbeløp etter 3 år: ((xp – S)p – S)p – S
Gjeldsbeløp gjennom når: xp n – S(p n-1 + … + p 3 + p 2 + p + 1)

Oppgaver for opplæring

15. januar er det planlagt å ta opp et banklån i seks måneder på 1 million rubler. Vilkårene for retur er som følger:

Den 1. i hver måned øker gjelden med r prosent sammenlignet med slutten av forrige måned, hvor r- heltall;
fra 2. til 14. i hver måned er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
Den 15. i hver måned skal gjelden være et visst beløp i henhold til følgende tabell.

Finn den største verdien r, der det totale beløpet av betalinger vil være mindre enn 1,2 millioner rubler.

Løsning

9 måneder. Returbetingelsene er som følger:
- Den 1. i hver måned øker gjelden med r prosent sammenlignet med slutten av forrige måned, og r− heltall;
- fra 2. til 19. i hver måned er det nødvendig å tilbakebetale en del av gjelden;
- På den 20. dagen i hver måned må gjelden være et visst beløp presentert i følgende tabell:
Finn den største verdien av r der det totale betalingsbeløpet ikke overstiger 2 millioner rubler.

Løsning
Alice skal ta opp et banklån i 10 måneder. Bankansatte ga henne følgende informasjon om lånet:
- Ved slutten av måneden øker det gjenværende lånebeløpet med samme månedlige rente og reduseres med beløpet Alice har betalt.
- Låneutbetalingsbeløpene ved utgangen av hver måned er de samme, og velges slik at lånebeløpet avtar jevnt hver måned.
- Det totale beløpet som betales av Alice vil overstige lånebeløpet med 60 %.
Finn den månedlige renten på lånet.

Løsning
I 2014 standard lønn per person per måned i Primorsky-territoriet var 23 040 rubler. Hvert år var den prosentvise inntektsøkningen 50. Og i Khabarovsk-territoriet var standardlønnen per person per måned i 2014 45 000 rubler. Hvert år økte prosentandelen av den totale inntekten til innbyggere i Khabarovsk-territoriet med 44 i løpet av tre år, hvert år økte prosentandelen av befolkningen med q. Standard månedslønn i Primorsky-territoriet og Khabarovsk-territoriet var lik i 2017. Finn q.

I denne artikkelen vil vi vurdere å løse problemer fra Oppgave 17, der det kreves å distribuere produksjonen optimalt for å oppnå maksimal fortjeneste.

Oppgave 1. Hermetikkfabrikken produserer fruktkompotter i to typer beholdere - glass og tinn. Produksjonskapasiteten til anlegget tillater produksjon av 90 kvint kompotter i glassbeholdere eller 80 kvintaler i blikkbeholdere per dag. For å oppfylle sortimentskravene som kjeder stiller, må det produseres minst 20 kvints produkter i hver type container. Tabellen viser kostnad og salgspris for anlegget per 1 kvintal produkter for begge typer beholdere.

Forutsatt at alle anleggets produkter er etterspurt (selges uten reserve), finn maksimalt mulig fortjeneste av anlegget på en dag (fortjeneste er forskjellen mellom salgsprisen på alle produktene og kostnadene).

Mengden av overskudd avhenger av hvordan de skal fordeles produksjonskapasitet ved anlegget, det vil si hvilken del av kapasiteten som skal tildeles til produksjon av kompotter i glassbeholdere, og hvilken del - i tinn. Vi vil ta verdien som fortjenesten avhenger av som ukjent.

La verdien være den delen av anleggets kapasitet som er rettet mot å produsere kompotter i glassbeholdere. Da er den resterende kapasiteten, det vil si rettet mot å produsere kompotter i blikkbeholdere.

I dette tilfellet vil anlegget produsere quintals av kompott i glassbeholdere og quintals i tinnbeholdere.

Fortjeneste fra hundrevekt av produktet er lik forskjellen mellom salgsprisen og kostnaden. Dermed

1 kvintal kompotter i glassbeholdere gir fortjeneste RUR

1 kvintal kompotter i tinnbeholdere gir en fortjeneste på rubler

Som et resultat mottatt overskudd, avhengig av

La oss forenkle uttrykket for funksjonen

Koeffisienten ved er større enn null, derfor er dette en økende funksjon, og jo større verdi, jo større fortjeneste. Men i henhold til betingelsene for problemet er det umulig å bruke all kapasitet til produksjon av kompotter i glassbeholdere: For å oppfylle sortimentsvilkårene som er pålagt av butikkjedene, må det produseres minst 20 kvints produkter i hver type container.

La oss finne hvilken del av kapasiteten som må vies til produksjon av kompotter i tinnbeholdere:

Det er nødvendig å allokere en del av anleggets totale kapasitet til produksjon av kompotter i tinnbeholdere, derfor kan maksimalt av alle kapasiteter tildeles til produksjon av kompotter i glassbeholdere.

Svar: .

Oppgave 2. Bonden har to jorder, hver med et areal på 10 hektar. På hver åker kan du dyrke poteter og rødbeter, åkrene kan deles mellom disse avlingene i alle forhold. Potetavlingen i det første feltet er 500 c/ha, og i det andre feltet - 300 c/ha. Beteavlingen i det første feltet er 300 c/ha, og i det andre feltet – 500 c/ha.

En bonde kan selge poteter for 5000 rubler. per centner, og rødbeter - til en pris av 8000 rubler. prosent. Hva er den høyeste inntekten en bonde kan tjene?

(fra samlingen Typiske testoppgaver i matematikk, redigert av I. V. Yashchenko. 2016)

Bondens inntekt avhenger av hvordan arealet på hvert felt er fordelt mellom planting av poteter og rødbeter.

La bonden bevilge et hektar i det første feltet for poteter. Da er det et hektar igjen til rødbeter.

Potetavlingen i det første feltet er 500 c/ha, og beteavlingen er 300 c/ha.

I dette tilfellet vil overskuddet fra det første feltet være - vi har en økende funksjon som tar størst verdi på maksimalt mulig. Siden bonden ikke har noen begrensninger på fordelingen av plantearealer mellom poteter og rødbeter, er det lønnsomt for ham å gi hele det første feltet til poteter, da vil han tjene penger:

Gni.

La oss gjøre det samme med det andre feltet.

La bonden bevilge en hektar i det andre feltet for poteter. Da er det et hektar igjen til rødbeter.

Potetavlingen i det andre feltet er 300 c/ha, og beteavlingen er 500 c/ha.

Hvis du tenker på det, trenger du ikke engang å lage en funksjon her, siden utbyttet av rødbeter i det andre feltet er høyere enn poteter, og kostnadene for hundrevekter rødbeter er også høyere. Derfor er det åpenbart at det er mer lønnsomt for bonden å dyrke kun rødbeter i det andre feltet. I dette tilfellet vil fortjenesten fra det andre feltet være

Gni.

Bondens totale fortjeneste er Rs.

Svar:

Type