Модуль числа, сравнение чисел. Сравнение чисел. Исчерпывающий гид (2019) Сравнимые по модулю числа
Определение 1. Если два числа 1) a и b при делении на p дают один и тот же остаток r , то такие числа называются равноостаточными или сравнимыми по модулю p .
Утверждение 1. Пусть p какое нибудь положительное число. Тогда всякое число a всегда и притом единственным способом может быть представлено в виде
Но эти числа можно получить задав r равным 0, 1, 2,..., p −1. Следовательно sp+r=a получит всевозможные целые значения.
Покажем, что это представление единственно. Предположим, что p можно представить двумя способами a=sp+r и a=s 1 p +r 1 . Тогда
 |
 | (2) |
Так как r 1 принимает один из чисел 0,1, ..., p −1, то абсолютное значение r 1 −r меньше p . Но из (2) следует, что r 1 −r кратно p . Следовательно r 1 =r и s 1 =s .
Число r называется вычетом числа a по модулю p (другими словами, число r называется остатком от деления числа a на p ).
Утверждение 2. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то a−b делится на p .
Действительно. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то они при делении на p имеют один и тот же остаток p . Тогда
делится на p , т.к. правая часть уравнения (3) делится на p .
Утверждение 3. Если разность двух чисел делится на p , то эти числа сравнимы по модулю p .
Доказательство. Обозначим через r и r 1 остатки от деления a и b на p . Тогда
 |
Примеры 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).
Из первого примера следует, что 25 при делении на 7 дает тот же остаток, что и 39. Действительно 25=3·7+4 (остаток 4). 39=3·7+4 (остаток 4). При рассмотрении второго примера нужно учитывать, что остаток должен быть неотрицательным числом, меньшим, чем модуль (т.е. 4). Тогда можно записать: −18=−5·4+2 (остаток 2), 14=3·4+2 (остаток 2). Следовательно −18 при делении на 4 дает остаток 2, и 14 при делении на 4 дает остаток 2.
Свойства сравнений по модулю
Свойство 1. Для любого a и p всегда
не всегда следует сравнение
где λ это наибольший общий делитель чисел m и p .
Доказательство. Пусть λ наибольший общий делитель чисел m и p . Тогда
Так как m(a−b) делится на k , то
Модуль числа
Модуль числа а обозначают $|a|$. Вертикальные черточки справа и слева от числа образуют знак модуля.
Например, модуль любого числа (натурального, целого, рационального или иррационального) записывается так: $|5|$, $|-11|$, $|2,345|$, $|\sqrt{45}|$.
Определение 1
Модуль числа a равен самому числу $a$, если $a$ является положительным, числу $−a$, если $a$ является отрицательным, или $0$, если $a=0$.
Данное определение модуля числа можно записать следующим образом:
$|a|= \begin{cases} a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a
Можно использовать более краткую запись:
$|a|=\begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a
Пример 1
Вычислить модуль чисел $23$ и $-3,45$.
Решение .
Найдем модуль числа $23$.
Число $23$ – положительное, следовательно, по определению модуль положительного числа равен этому числу:
Найдем модуль числа $–3,45$.
Число $–3,45$ – отрицательное число, следовательно согласно определению модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному:
Ответ : $|23|=23$, $|-3,45|=3,45$.
Определение 2
Модуль числа является абсолютной величиной числа.
Таким образом, модуль числа – число под знаком модуля без учета его знака.
Модуль числа как расстояние
Геометрическое значение модуля числа: модуль числа – это расстояние.
Определение 3
Модуль числа a – это расстояние от точки отсчета (нуля) на числовой прямой до точки, которая соответствует числу $a$.
Пример 2
Например , модуль числа $12$ равен $12$, т.к. расстояние от точки отсчета до точки с координатой $12$ равно двенадцати:
Точка с координатой $−8,46$ расположена от начала отсчета на расстоянии $8,46$, поэтому $|-8,46|=8,46$.
Модуль числа как арифметический квадратный корень
Определение 4
Модуль числа a является арифметическим квадратным корнем из $a^2$:
$|a|=\sqrt{a^2}$.
Пример 3
Вычислить модуль числа $–14$ с помощью определения модуля числа через квадратный корень.
Решение .
$|-14|=\sqrt{((-14)^2}=\sqrt{(-14) \cdot (-14)}=\sqrt{14 \cdot 14}=\sqrt{(14)^2}=14$.
Ответ : $|-14|=14$.
Сравнение отрицательных чисел
Сравнение отрицательных чисел основывается на сравнении модулей этих чисел.
Замечание 1
Правило сравнения отрицательных чисел:
- Если модуль одного из отрицательных чисел больше, то такое число является меньшим;
- если модуль одного из отрицательных чисел меньше, то такое число является большим;
- если модули чисел равны, то отрицательные числа равны.
Замечание 2
На числовой прямой меньшее отрицательное число располагается левее большего отрицательного числа.
Пример 4
Сравнить отрицательные числа $−27$ и $−4$.
Решение .
Согласно правилу сравнения отрицательных чисел найдем сначала модули чисел $–27$ и $–4$, а затем сравним полученные положительные числа.
Таким образом, получаем, что $–27 |-4|$.
Ответ : $–27
При сравнении отрицательных рациональных чисел необходимо преобразовать оба числа к виду обыкновенных дробей или десятичных дробей.
Обозначим на координатной прямой две точки, которые соответствуют числам −4 и 2.
Точка A, соответствующая числу −4, находится на расстоянии 4 единичных отрезков от точки 0 (начала отсчёта), то есть длина отрезка OA равна 4 единицам.
Число 4 (длина отрезка OA) называют модулем числа −4.
Обозначают модуль числа так: |−4| = 4
Читают символы выше следующим образом: «модуль числа минус четыре равен четырём».
Точка B, соответствующая числу +2, находится на расстоянии двух единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OB равна двум единицам.
Число 2 называют модулем числа +2 и записывают: |+2| = 2 или |2| = 2.
Если взять некоторое число «a» и изобразить его точкой A на координатной прямой, то расстояние от точки A до начала отсчёта (другими словами длина отрезка OA) и будет называться модулем числа «a».
Запомните
Модулем рационального числа называют расстояние от начала отсчётадо точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Так как расстояние (длина отрезка) может выражаться только положительным числом или нулём, можно сказать, что модуль числа не может быть отрицательным.
Запомните
Запишем свойства модуля с помощью буквенных выражений,рассмотрев
все возможные случаи.
1. Модуль положительного числа равен самому числу. |a| = a, если a > 0;
2. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу. |−a| = a, если a < 0;
3. Модуль нуля равен нулю. |0| = 0, если a = 0;
4. Противоположные числа имеют равные модули.
Примеры модулей рациональных чисел:
· |−4,8| = 4,8
· 
|0| = 0
· |−3/8| = |3/8|
Из двух чисел на координатной прямой больше то, которое расположено правее, а меньше то, которое расположено левее.
Запомните
· любое положительное число больше нуля и больше любого
отрицательного числа;
· любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого
положительного числа.
Пример.
Сравнивать рациональные числа удобно с помощью понятия модуля .
Большее из двух положительных чисел изображается точкой, расположенной на координатной прямой правее, то есть дальше от начала отсчёта. Значит, это число имеет больший модуль.
Запомните
Из двух положительных чисел больше то, чей модуль больше.
При сравнении двух отрицательных чисел большее будет расположено правее, то есть ближе к началу отсчёта. Значит, его модуль (длина отрезка от нуля до числа) будет меньше.
Для двух целых числа х и у введем отношение сравнимости по четности, если их разность - четное число. Легко проверить, что при этом выполняются все три ранее введенные условия эквивалентности. Введенное таким образом отношение эквивалентности разбивает все множество целых чисел на два непересекающихся подмножества: подмножество четных чисел и подмножество нечетных чисел.
Обобщая этот случай, будем говорить, что два целых числа, отличающиеся на кратное какого-нибудь фиксированного натурального числа, эквивалентны. На этом основано понятие сравнимости по модулю, введенное Гауссом.
Число а , сравнимо с b по модулю m , если их разность делится на фиксированное натуральное число m , то есть а - b делится на m . Символически это записывается в виде:
а ≡ b(mod m) ,
а читается так: а сравнимо с b по модулю m .
Введенное таким образом отношение, благодаря глубокой аналогии между сравнениями и равенствами, упрощает вычисления, в которых числа, отличающиеся на кратное m , фактически не различаются (так как сравнение есть равенство с точностью до некоторого кратного m).
Например, числа 7 и 19 сравнимы по модулю 4, но не сравнимы по модулю 5, т.к. 19-7=12 делится на 4 и не делится на 5.
Можно сказать также, что число х по модулю m равно остатку от деления нацело числа х на m , так как
x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1 .
Легко проверить, что сравнимость чисел по данному модулю обладает всеми свойствами эквивалентности. Поэтому множество целых чисел разбивается на классы чисел, сравнимых между собой по модулю m . Число таких классов равно m , и все числа одного класса при делении на m дают один и тот же остаток. Например, если m = 3, то получается три класса: класс чисел, кратных 3 (дающих при делении на 3 остаток 0), класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 1, класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 2.
Примеры использования сравнений доставляются хорошо известными признаками делимости. Обычное представление числа n цифрами в десятичной системе счисления имеет вид:
n = c10 2 + b10 1 + a10 0 ,
где а, b, с, - цифры числа, записанные справа налево, так что а - число единиц, b - числе десятков и т.д. Так как 10 k ≡ 1(mod9) при любом к≥0, то из написанного следует, что
n ≡ c + b + a (mod9),
откуда вытекает признак делимости на 9: n делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Это рассуждение проходит также и при замене 9 на 3.
Получим признак делимости на 11. Имеют место сравнения:
10≡- 1(mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11), и так далее. Поэтому n ≡ c - b + a - …. (mod11).
Следовательно, n делится на 11 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его цифр а - b + с -... делится на 11.
Например, знакопеременная сумма цифр числа 9581 есть 1 - 8 + 5 - 9 = -11, она делится на 11, значит и число 9581 делится на 11.
Если имеют места сравнения: , то их можно почленно складывать, вычитать и перемножать так же, как и равенства:
Сравнение всегда можно умножить на целое число:
если , то
Однако сокращение сравнения на какой-либо множитель не всегда возможно, Например, , но нельзя произвести сокращение на общий для чисел 42 и 12 множитель 6; такое сокращение приводит к неверному результату, поскольку .
Из определения сравнимости по модулю следует, что сокращение на множитель допустимо, если этот множитель взаимно прост с модулем.
Выше было уже отмечено, что любое целое число сравнимо по mod m с одним из следующих чисел: 0, 1, 2,... , m-1.
Помимо этого ряда, имеются и другие ряды чисел, обладающие тем же свойством; так, например, любое число сравнимо по mod 5 с одним из следующих чисел: 0, 1, 2, 3, 4, но так же сравнимо с одним из следующих чисел: 0, -4, -3, -2, -1, или 0, 1, -1, 2, -2. Любой такой ряд чисел называется полной системой вычетов по модулю 5.
Таким образом, полной системой вычетов по modm называется любой ряд из m чисел, никакие два из которых несравнимы друг с другом. Обычно используется полная система вычетов, состоящая из чисел: 0, 1, 2, ..., m -1. Вычетом числа n по модулю m является остаток от деления n на m , что следует из представления n = km + r , 0<r <m - 1.
Сравнение чисел по модулю
Подготовила проект: Зутикова Ирина
МАОУ «Лицей №6»
Класс: 10«а»
Научный руководитель: Желтова Ольга Николаевна
Тамбов
2016
- Проблема
- Цель проекта
- Гипотеза
- Задачи проекта и план их достижения
- Сравнения и их свойства
- Примеры задач и их решения
- Используемые сайты и литература
Проблема:
Большинство учеников редко используют сравнение чисел по модулю для решений нестандартных и олимпиадных заданий.
Цель проекта:
Показать, как с помощью сравнения чисел по модулю можно решать нестандартные и олимпиадные задания.
Гипотеза:
Более глубокое изучение темы «Сравнение чисел по модулю» поможет ученикам решать некоторые нестандартные и олимпиадные задания.
Задачи проекта и план их достижения:
1.Подробно изучить тему «Сравнение чисел по модулю».
2.Решить несколько нестандартных и олимпиадных заданий, используя сравнение чисел по модулю.
3.Создать памятку для учеников на тему «Сравнение чисел по модулю».
4.Провести урок по теме «Сравнение чисел по модулю» в 10«а» классе.
5.Дать классу домашнее задание по теме «Сравнение по модулю».
6.Сравнить время выполнения задания до и после изучения темы «Сравнение по модулю».
7.Сделать выводы.
Прежде чем начать подробно изучать тему «Сравнение чисел по модулю», я решила сравнить, как она представлена в различных учебниках.
- Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс (Ю.М.Колягин и др.)
- Математика: алгебра, функции, анализ данных. 7 класс (Л.Г.Петерсон и др.)
- Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. 10 класс (Е.П.Нелин и др.)
- Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. 10 класс (Г.К.Муравин и др.)
Как я выяснила, в некоторых учебниках эта тема даже не затрагивается, не смотря на углубленный уровень. А наиболее понятно и доступно тема представлена в учебнике Л.Г.Петерсона (Глава: Введение в теорию делимости), поэтому попробуем разобраться в «Сравнении чисел по модулю», опираясь на теорию из этого учебника.
Сравнения и их свойства.
Определение: Если два целых числа a и b имеют одинаковые остатки при делении на некоторое целое число m (m>0), то говорят, что a и b сравнимы по модулю m , и пишут:
Теорема: тогда и только тогда, когда разность aи bделится на m.
Свойства:
- Рефлексивность сравнений. Любое число aсравнимо само с собой по модулю m (m>0; a,m-целые числа).
- Симметричность сравнений. Если число a сравнимо с числом b по модулю m, то число b сравнимо с числом a по тому же модулю(m>0; a,b,m-целые числа).
- Транзитивность сравнений. Если число a сравнимо с числом b по модулю m, а число b сравнимо с числом cпо тому же модулю, то число a сравнимо с числом c по модулю m(m>0; a,b,c,m-целые числа).
- Если число a сравнимо с числом b по модулю m, то число a n сравнимо счислом b n по модулю m(m>0; a,b,m-целые числа;n-натуральное число).
Примеры задач и их решения.
1.Найти последнюю цифру числа 3 999 .
Решение:
Т.к. последняя цифра числа - это остаток от деления на 10, то
3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7(mod 10)
(Т.к. 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (по свойству))
Ответ:7.
2.Доказать,что 2 4n -1 делится на 15 без остатка. (Физтех2012)
Решение:
Т.к. 16 1(mod 15), то
16 n -1 0(mod 15) (по свойству); 16n= (2 4 ) n
2 4n -1 0(mod 15)
3.Доказать, что 12 2n+1 +11 n+2 делится без остатка на 133.
Решение:
12 2n+1 =12*144 n 12*11 n (mod 133) (по свойству)
12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133
Число (11 n *133)без остатка делится на 133. Следовательно,(12 2n+1 +11 n+2 )делится без остатка на 133.
4.Найти остаток от деления на 15 числа 2 2015 .
Решение:
Т.к.16 1(mod 15), то
2 2015 8(mod 15)
Ответ:8.
5.Найти остаток от деления на 17 числа 2 2015 . (Физтех2015)
Решение:
2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503
Т.к.16 -1(mod 17), то
2 2015 -8(mod 15)
8 9(mod 17)
Ответ:9.
6.Доказать, что число 11 100 -1 делится на 100 без остатка. (Физтех2015)
Решение:
11 100 =121 50
121 50 21 50 (mod 100) (по свойству)
21 50 =441 25
441 25 41 25 (mod 100) (по свойству)
41 25 =41*1681 12
1681 12 (-19) 12 (mod 100) (по свойству)
41*(-19) 12 =41*361 6
361 6 (-39) 6 (mod 100)(по свойству)
41*(-39) 6 =41*1521 3
1521 3 21 3 (mod100) (по свойству)
41*21 3 =41*21*441
441 41(mod 100) (по свойству)
21*41 2 =21*1681
1681 -19(mod 100) (по свойству)
21*(-19)=-399
399 1(mod 100) (по свойству)
Значит 11 100 1(mod 100)
11 100 -1 0(mod 100) (по свойству)
7.Даны три числа: 1771,1935,2222. Найти число, при делении на которое остатки трёх данных чисел будут равны. (ВШЭ2016)
Решение:
Пусть неизвестное нам число будет равно а,тогда
2222 1935(mod a); 1935 1771(mod a); 2222 1771(mod a)
2222-1935 0(moda) (посвойству); 1935-1771 0(moda) (по свойству); 2222-1771 0(moda) (по свойству)
287 0(mod a); 164 0(mod a); 451 0(mod a)
287-164 0(moda) (по свойству); 451-287 0(moda)(по свойству)
123 0(mod a); 164 0(mod a)
164-123 0(mod a) (посвойству)
41
