Ligning av en linje som går gjennom 2. Ligning av en linje som går gjennom to gitte punkter. Generell ligning for en linje
Denne artikkelen fortsetter emnet for ligningen til en linje på et plan: vi vil vurdere denne typen ligninger som den generelle ligningen til en linje. La oss definere teoremet og gi dets bevis; La oss finne ut hva en ufullstendig generell ligning av en linje er, og hvordan man gjør overganger fra en generell ligning til andre typer ligninger av en linje. Vi vil forsterke hele teorien med illustrasjoner og løsninger på praktiske problemer.
La et rektangulært koordinatsystem O x y angis på planet.
Teorem 1
Enhver ligning av første grad, med formen A x + B y + C = 0, hvor A, B, C er noen reelle tall(A og B er ikke lik null på samme tid) definerer en rett linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan. På sin side bestemmes enhver rett linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan av en ligning som har formen A x + B y + C = 0 for et visst sett med verdier A, B, C.
Bevis
Denne teoremet består av to punkter vi skal bevise hvert av dem.
- La oss bevise at ligningen A x + B y + C = 0 definerer en rett linje på planet.
La det være et punkt M 0 (x 0 , y 0) hvis koordinater tilsvarer ligningen A x + B y + C = 0. Altså: A x 0 + B y 0 + C = 0. Trekk fra venstre og høyre side av ligningen A x + B y + C = 0 venstre og høyre side av ligningen A x 0 + B y 0 + C = 0, får vi en ny ligning som ser ut som A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Det tilsvarer A x + B y + C = 0.
Den resulterende ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 er nødvendig og tilstrekkelig tilstand perpendikularitet av vektorer n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Dermed definerer settet med punkter M (x, y) en rett linje i et rektangulært koordinatsystem vinkelrett på retningen til vektoren n → = (A, B). Vi kan anta at dette ikke er tilfelle, men da ville ikke vektorene n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vært vinkelrett, og likheten A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ville ikke være sant.
Følgelig definerer ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 en bestemt linje i et rektangulært koordinatsystem på planet, og derfor definerer den ekvivalente ligningen A x + B y + C = 0 samme linje. Slik beviste vi den første delen av teoremet.
- La oss gi et bevis på at enhver rett linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan kan spesifiseres med en ligning av første grad A x + B y + C = 0.
La oss definere en rett linje a i et rektangulært koordinatsystem på et plan; punktet M 0 (x 0 , y 0) som denne linjen går gjennom, samt normalvektoren til denne linjen n → = (A, B) .
La det også være et punkt M (x, y) - et flytende punkt på en linje. I dette tilfellet er vektorene n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vinkelrett på hverandre, og deres skalarprodukt er null:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
La oss omskrive ligningen A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definere C: C = - A x 0 - B y 0 og som et endelig resultat får vi ligningen A x + B y + C = 0.
Så vi har bevist den andre delen av teoremet, og vi har bevist hele teoremet som en helhet.
Definisjon 1
En formlikning A x + B y + C = 0 - Dette generell ligning av en linje på et plan i et rektangulært koordinatsystemOksy.
Basert på det påviste teoremet kan vi konkludere med at en rett linje og dens generelle ligning definert på et plan i et fast rektangulært koordinatsystem er uløselig forbundet. Med andre ord tilsvarer den opprinnelige linjen dens generelle ligning; den generelle ligningen til en linje tilsvarer en gitt linje.
Av beviset for teoremet følger det også at koeffisientene A og B for variablene x og y er koordinatene til normalvektoren til linjen, som er gitt av den generelle ligningen til linjen A x + B y + C = 0.
La oss vurdere et spesifikt eksempel på en generell ligning av en rett linje.
La ligningen 2 x + 3 y - 2 = 0 gis, som tilsvarer en rett linje i et gitt rektangulært koordinatsystem. Normalvektoren til denne linjen er vektoren n → = (2, 3). La oss tegne den gitte rette linjen i tegningen.
Vi kan også slå fast følgende: den rette linjen som vi ser på tegningen er bestemt av den generelle ligningen 2 x + 3 y - 2 = 0, siden koordinatene til alle punktene på en gitt rett linje tilsvarer denne ligningen.
Vi kan få ligningen λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ved å multiplisere begge sider av den generelle ligningen til linjen med et tall λ som ikke er lik null. Den resulterende ligningen er ekvivalent med den opprinnelige generelle ligningen, derfor vil den beskrive den samme rette linjen på planet.
Definisjon 2Fullfør generell ligning av en linje– en slik generell ligning av den rette linjen A x + B y + C = 0, der tallene A, B, C er forskjellige fra null. Ellers er ligningen ufullstendig.
La oss analysere alle variasjoner av den ufullstendige generelle ligningen til en linje.
- Når A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, har den generelle ligningen formen B y + C = 0. En slik ufullstendig generell ligning definerer i et rektangulært koordinatsystem O x y en rett linje som er parallell med O x-aksen, siden for enhver reell verdi av x vil variabelen y ta verdien - C B . Med andre ord, den generelle ligningen for linjen A x + B y + C = 0, når A = 0, B ≠ 0, spesifiserer lokuset til punktene (x, y), hvis koordinater er lik det samme tallet - C B .
- Hvis A = 0, B ≠ 0, C = 0, har den generelle ligningen formen y = 0. Denne ufullstendige ligningen definerer x-aksen O x .
- Når A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, får vi en ufullstendig generell ligning A x + C = 0, som definerer en rett linje parallelt med ordinaten.
- La A ≠ 0, B = 0, C = 0, så vil den ufullstendige generelle ligningen ha formen x = 0, og dette er ligningen til koordinatlinjen O y.
- Til slutt, for A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, har den ufullstendige generelle ligningen formen A x + B y = 0. Og denne ligningen beskriver en rett linje som går gjennom origo. Faktisk tilsvarer tallparet (0, 0) likheten A x + B y = 0, siden A · 0 + B · 0 = 0.
La oss grafisk illustrere alle de ovennevnte typene av ufullstendig generell ligning av en rett linje.
Eksempel 1
Det er kjent at den gitte rette linjen er parallell med ordinataksen og går gjennom punktet 2 7, - 11. Det er nødvendig å skrive ned den generelle ligningen til den gitte linjen.
Løsning
En rett linje parallelt med ordinataksen er gitt ved en ligning på formen A x + C = 0, hvor A ≠ 0. Betingelsen spesifiserer også koordinatene til punktet som linjen går gjennom, og koordinatene til dette punktet oppfyller betingelsene for den ufullstendige generelle ligningen A x + C = 0, dvs. likheten er sann:
A 2 7 + C = 0
Fra det er det mulig å bestemme C hvis vi gir A en verdi som ikke er null, for eksempel A = 7. I dette tilfellet får vi: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Vi kjenner begge koeffisientene A og C, bytter dem inn i ligningen A x + C = 0 og får den nødvendige rettlinjeligningen: 7 x - 2 = 0
Svar: 7 x - 2 = 0
Eksempel 2
Tegningen viser en rett linje du trenger for å skrive ned ligningen.
Løsning
Den gitte tegningen lar oss enkelt ta de første dataene for å løse problemet. Vi ser på tegningen at den gitte rette linjen er parallell med O x-aksen og går gjennom punktet (0, 3).
Den rette linjen, som er parallell med abscissen, bestemmes av den ufullstendige generelle ligningen B y + C = 0. La oss finne verdiene til B og C. Koordinatene til punktet (0, 3), siden den gitte linjen går gjennom det, vil tilfredsstille ligningen til linjen B y + C = 0, da er likheten gyldig: B · 3 + C = 0. La oss sette B til en annen verdi enn null. La oss si B = 1, i så fall fra likheten B · 3 + C = 0 kan vi finne C: C = - 3. Vi bruker kjente verdier B og C, får vi den nødvendige ligningen for den rette linjen: y - 3 = 0.
Svar: y - 3 = 0 .
Generell ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt i et plan
La den gitte linjen passere gjennom punktet M 0 (x 0 , y 0), så tilsvarer dens koordinater den generelle ligningen til linjen, dvs. likheten er sann: A x 0 + B y 0 + C = 0. La oss trekke venstre og høyre side av denne ligningen fra venstre og høyre side av den generelle komplette ligningen til linjen. Vi får: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, denne ligningen er ekvivalent med den opprinnelige generelle, går gjennom punktet M 0 (x 0, y 0) og har en normal vektor n → = (A, B).
Resultatet vi oppnådde gjør det mulig å skrive ned den generelle ligningen til en linje med kjente koordinater til normalvektoren til linjen og koordinatene til et bestemt punkt på denne linjen.
Eksempel 3
Gitt et punkt M 0 (- 3, 4) som en linje går gjennom, og normalvektoren til denne linjen n → = (1, - 2). Det er nødvendig å skrive ned ligningen til den gitte linjen.
Løsning
De innledende betingelsene lar oss få de nødvendige dataene for å komponere ligningen: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Deretter:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
Problemet kunne vært løst annerledes. Den generelle ligningen for en rett linje er A x + B y + C = 0. Den gitte normalvektoren lar oss oppnå verdiene til koeffisientene A og B, da:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
La oss nå finne verdien av C ved å bruke punktet M 0 (- 3, 4) spesifisert av tilstanden til problemet, som den rette linjen går gjennom. Koordinatene til dette punktet tilsvarer ligningen x - 2 · y + C = 0, dvs. - 3 - 2 4 + C = 0. Derfor C = 11. Den nødvendige rettlinjeligningen har formen: x - 2 · y + 11 = 0.
Svar: x - 2 y + 11 = 0 .
Eksempel 4
Gitt en linje 2 3 x - y - 1 2 = 0 og et punkt M 0 som ligger på denne linjen. Bare abscissen til dette punktet er kjent, og den er lik - 3. Det er nødvendig å bestemme ordinaten til et gitt punkt.
Løsning
La oss angi koordinatene til punktet M 0 som x 0 og y 0 . Kildedataene indikerer at x 0 = - 3. Siden punktet tilhører en gitt linje, tilsvarer dets koordinater den generelle ligningen til denne linjen. Da vil likheten være sann:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
Definer y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
Svar: - 5 2
Overgang fra den generelle ligningen til en linje til andre typer ligninger av en linje og omvendt
Som vi vet, er det flere typer ligninger for den samme rette linjen på et plan. Valget av ligningstype avhenger av forholdene til problemet; det er mulig å velge den som er mer praktisk for å løse det. Ferdigheten til å konvertere en ligning av en type til en ligning av en annen type er veldig nyttig her.
La oss først vurdere overgangen fra den generelle ligningen på formen A x + B y + C = 0 til den kanoniske ligningen x - x 1 a x = y - y 1 a y.
Hvis A ≠ 0, overfører vi begrepet B y til høyre side generell ligning. På venstre side tar vi A ut av parentes. Som et resultat får vi: A x + C A = - B y.
Denne likheten kan skrives som en proporsjon: x + C A - B = y A.
Hvis B ≠ 0, lar vi bare begrepet A x stå på venstre side av den generelle ligningen, overføre de andre til høyre side, vi får: A x = - B y - C. Vi tar – B ut av parentes, så: A x = - B y + C B .
La oss omskrive likheten i form av en proporsjon: x - B = y + C B A.
Selvfølgelig er det ikke nødvendig å huske de resulterende formlene. Det er nok å kjenne algoritmen til handlinger når du går fra en generell ligning til en kanonisk.
Eksempel 5
Den generelle ligningen for linjen 3 y - 4 = 0 er gitt. Det må konverteres til kanonisk ligning.
Løsning
La oss skrive den opprinnelige ligningen som 3 y - 4 = 0. Deretter fortsetter vi i henhold til algoritmen: begrepet 0 x forblir på venstre side; og på høyre side legger vi - 3 ut av parentes; vi får: 0 x = - 3 y - 4 3 .
La oss skrive den resulterende likheten som en proporsjon: x - 3 = y - 4 3 0 . Dermed har vi fått en likning av kanonisk form.
Svar: x - 3 = y - 4 3 0.
For å transformere den generelle likningen til en linje til parametriske, gjøres først en overgang til den kanoniske formen, og deretter en overgang fra den kanoniske likningen til en linje til parametriske likninger.
Eksempel 6
Den rette linjen er gitt av ligningen 2 x - 5 y - 1 = 0. Skriv det ned parametriske ligninger denne rette linjen.
Løsning
La oss gjøre overgangen fra den generelle ligningen til den kanoniske:
2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Nå tar vi begge sider av den resulterende kanoniske ligningen lik λ, så:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Svar:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Den generelle ligningen kan konverteres til en ligning av en rett linje med helning y = k · x + b, men bare når B ≠ 0. For overgangen lar vi begrepet B y stå på venstre side, resten overføres til høyre. Vi får: B y = - A x - C . La oss dele begge sider av den resulterende likheten med B, forskjellig fra null: y = - A B x - C B.
Eksempel 7
Linjens generelle ligning er gitt: 2 x + 7 y = 0. Du må konvertere den ligningen til en helningsligning.
Løsning
Vi skal produsere nødvendige handlinger i henhold til algoritmen:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
Svar: y = - 2 7 x .
Fra den generelle ligningen til en linje er det nok å bare få en ligning i segmenter av formen x a + y b = 1. For å gjøre en slik overgang flytter vi tallet C til høyre side av likheten, deler begge sider av den resulterende likheten med – C og overfører til slutt koeffisientene for variablene x og y til nevnerne:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
Eksempel 8
Det er nødvendig å transformere den generelle ligningen til linjen x - 7 y + 1 2 = 0 til ligningen til linjen i segmenter.
Løsning
La oss flytte 1 2 til høyre side: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
La oss dele begge sider av likheten med -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
Svar: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .
Generelt er den omvendte overgangen også enkel: fra andre typer ligninger til den generelle.
Ligningen av en rett linje i segmenter og en ligning med en vinkelkoeffisient kan enkelt konverteres til en generell ved ganske enkelt å samle alle leddene på venstre side av likheten:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Den kanoniske ligningen konverteres til en generell i henhold til følgende skjema:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
For å gå fra parametriske, flytt først til den kanoniske, og deretter til den generelle:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Eksempel 9
De parametriske ligningene til linjen x = - 1 + 2 · λ y = 4 er gitt. Det er nødvendig å skrive ned den generelle ligningen til denne linjen.
Løsning
La oss gjøre overgangen fra parametriske ligninger til kanoniske:
x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
La oss gå fra det kanoniske til det generelle:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
Svar: y - 4 = 0
Eksempel 10
Ligningen for en rett linje i segmentene x 3 + y 1 2 = 1 er gitt. Det er nødvendig å gå over til den generelle formen for ligningen.
Løsning:
Vi skriver ganske enkelt om ligningen i den nødvendige formen:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
Svar: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .
Tegne en generell ligning for en linje
Vi sa ovenfor at den generelle ligningen kan skrives med kjente koordinater til normalvektoren og koordinatene til punktet som linjen går gjennom. En slik rett linje er definert av ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Der analyserte vi også det tilsvarende eksempelet.
La oss nå se på mer komplekse eksempler, der vi først må bestemme koordinatene til normalvektoren.
Eksempel 11
Gitt en linje parallell med linjen 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Punktet M 0 (4, 1) som den gitte linjen går gjennom er også kjent. Det er nødvendig å skrive ned ligningen til den gitte linjen.
Løsning
Startbetingelsene forteller oss at linjene er parallelle, så, som normalvektoren til linjen, hvis ligning må skrives, tar vi retningsvektoren til linjen n → = (2, - 3): 2 x - 3 år + 3 3 = 0. Nå vet vi alle nødvendige data for å lage den generelle ligningen for linjen:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
Svar: 2 x - 3 y - 5 = 0 .
Eksempel 12
Den gitte linjen går gjennom origo vinkelrett på linjen x - 2 3 = y + 4 5. Det er nødvendig å lage en generell ligning for en gitt linje.
Løsning
Normalvektoren til en gitt linje vil være retningsvektoren til linjen x - 2 3 = y + 4 5.
Så n → = (3, 5) . Den rette linjen går gjennom origo, dvs. gjennom punkt O (0, 0). La oss lage en generell ligning for en gitt linje:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Svar: 3 x + 5 y = 0 .
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
La to poeng gis M 1 (x 1, y 1) Og M 2 (x 2, y 2). La oss skrive likningen til linjen i formen (5), hvor k fortsatt ukjent koeffisient:
Siden punktet M 2 tilhører en gitt linje, så tilfredsstiller dens koordinater ligning (5): . Ved å uttrykke herfra og erstatte den i ligning (5), får vi den nødvendige ligningen:
Hvis 
denne ligningen kan skrives om i en form som er mer praktisk for memorering:
(6)
Eksempel. Skriv ned ligningen til en rett linje som går gjennom punktene M 1 (1,2) og M 2 (-2,3)
Løsning. 
. Ved å bruke proporsjonsegenskapen og utføre de nødvendige transformasjonene får vi den generelle ligningen for en rett linje:
Vinkel mellom to rette linjer
Tenk på to rette linjer l 1 Og l 2:
l 1: , , Og
l 2: , ,
φ er vinkelen mellom dem (). Fra fig. 4 er det tydelig: .
 |
Herfra 
, eller
Ved hjelp av formel (7) kan du bestemme en av vinklene mellom rette linjer. Den andre vinkelen er lik .
Eksempel. To linjer er gitt av ligningene y=2x+3 og y=-3x+2. Finn vinkelen mellom disse linjene.
Løsning. Fra ligningene er det klart at k 1 =2, og k 2 =-3. Ved å erstatte disse verdiene i formel (7), finner vi
. Dermed er vinkelen mellom disse linjene lik .
Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av to rette linjer
Hvis rett l 1 Og l 2 er parallelle altså φ=0 Og tgφ=0. fra formel (7) følger det at , hvorfra k 2 = k 1. Dermed er betingelsen for parallellitet til to linjer likheten av deres vinkelkoeffisienter.
Hvis rett l 1 Og l 2 er vinkelrette, da φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Dermed er betingelsen for perpendikulæriteten til to rette linjer at deres vinkelkoeffisienter er invers i størrelse og motsatt i fortegn.
Avstand fra punkt til linje
Teorem. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er gitt, blir avstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 bestemt som
Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av perpendikulæren som faller fra punkt M til en gitt rett linje. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:
Koordinatene x 1 og y 1 kan bli funnet ved å løse likningssystemet:
Den andre ligningen i systemet er ligningen for den rette linjen som går gjennom dette punktet M 0 er vinkelrett på en gitt rett linje.
Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,
så når vi løser, får vi:
Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:
Teoremet er bevist.
Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k2 = 2 tanj=; j = p/4.
Eksempel. Vis at linjene 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.
Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, derfor, rette linjer er vinkelrette.
Eksempel. Oppgitt er toppunktene til trekanten A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.
Vi finner ligningen til siden AB: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Den nødvendige høydeligningen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b.
k= . Da er y = . Fordi høyden går gjennom punktet C, så tilfredsstiller dens koordinater denne ligningen: hvorav b = 17. Totalt: .
Svar: 3x + 2y – 34 = 0.
Avstanden fra et punkt til en linje bestemmes av lengden på vinkelrett tegnet fra punktet til linjen.
Hvis linjen er parallell med projeksjonsplanet (h | | P 1), deretter for å bestemme avstanden fra punktet EN til en rett linje h det er nødvendig å senke en perpendikulær fra et punkt EN til det horisontale h.
La oss vurdere mer komplekst eksempel, når den rette linjen tar generell stilling. La det være nødvendig å bestemme avstanden fra et punkt M til en rett linje EN generell stilling.
Bestemmelsesoppgave avstander mellom parallelle linjer løses på samme måte som den forrige. Et punkt tas på en linje og en perpendikulær slippes fra den til en annen linje. Lengden på en perpendikulær er lik avstanden mellom parallelle linjer.
Andre ordens kurve kalt en linje definert av en ligning av andre grad i forhold til strømmen Kartesiske koordinater. I det generelle tilfellet er Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
hvor A, B, C, D, E, F er reelle tall og minst ett av tallene A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Sirkel
Sirkel sentrum– dette er det geometriske stedet for punkter i planet like langt fra et punkt i planet C(a,b).
Sirkelen er gitt ved følgende ligning:
Der x,y er koordinatene til et vilkårlig punkt på sirkelen, er R sirkelens radius.
Tegn på ligningen til en sirkel
1. Ledet med x, y mangler
2. Koeffisientene for x 2 og y 2 er like
Ellipse
Ellipse kalles det geometriske stedet for punkter i et plan, summen av avstandene til hver av dem fra to gitte punkter i dette planet kalles foci (en konstant verdi).
Den kanoniske ligningen til ellipsen:
X og y tilhører ellipsen.
a – semimajor akse av ellipsen
b – ellipsens semi-minorakse
Ellipsen har 2 symmetriakser OX og OU. Symmetriaksene til en ellipse er dens akser, skjæringspunktet er midten av ellipsen. Aksen som brennpunktene er plassert på kalles brennakse. Skjæringspunktet mellom ellipsen og aksene er ellipsens toppunkt.
Kompresjonsforhold (spenningsforhold): ε = s/a– eksentrisitet (karakteriserer formen på ellipsen), jo mindre den er, jo mindre strekker ellipsen seg langs fokalaksen.
Hvis sentrene til ellipsen ikke er i sentrum C(α, β)
Hyperbel
Overdrivelse kalles det geometriske stedet for punkter i et plan, den absolutte verdien av forskjellen i avstander, som hver fra to gitte punkter i dette planet, kalt foci, er en konstant verdi forskjellig fra null.
Kanonisk hyperbelligning
En hyperbel har 2 symmetriakser:
a – ekte halvakse av symmetri
b – imaginær symmetrihalvakse
Asymptoter av en hyperbel:
Parabel
Parabel er lokuset til punkter i planet like langt fra et gitt punkt F, kalt fokus, og en gitt linje, kalt retningslinjen.
Den kanoniske ligningen til en parabel:
У 2 =2рх, der р er avstanden fra fokus til retningslinjen (parabelparameter)
Hvis toppunktet til parablen er C (α, β), så er ligningen til parablen (y-β) 2 = 2р(x-α)
Hvis fokalaksen tas som ordinataksen, vil ligningen til parablen ha formen: x 2 =2qу
Denne artikkelen er en del av emneligningen for en linje i et plan. Her skal vi se på det fra alle sider: vi starter med beviset for teoremet som spesifiserer formen til den generelle ligningen til en linje, så vil vi vurdere en ufullstendig generell ligning av en linje, vi vil gi eksempler på ufullstendige ligninger av en linje med grafiske illustrasjoner, og avslutningsvis vil vi dvele ved overgangen fra en generell likning av en linje til andre typer likninger av denne linjen og gi detaljerte løsninger på typiske problemer for å komponere den generelle likningen av en rett linje.
Sidenavigering.
Generell ligning av en rett linje - grunnleggende informasjon.
La oss analysere denne algoritmen når vi løser et eksempel.
Eksempel.
Skriv parametriske ligninger for en linje som er gitt av den generelle ligningen til en linje 
.
Løsning.
Først reduserer vi den opprinnelige generelle ligningen til linjen til den kanoniske ligningen til linjen:
Nå tar vi venstre og høyre side av den resulterende ligningen til å være lik parameteren. Vi har 
Svar:
Fra en generell ligning av en rett linje, er det mulig å få en ligning av en rett linje med en vinkelkoeffisient bare når . Hva må du gjøre for å gjøre overgangen? For det første, på venstre side av den generelle rettlinjeligningen, la bare begrepet være igjen, de resterende leddene må flyttes til høyre side med motsatt fortegn: 
. For det andre, del begge sider av den resulterende likheten med tallet B, som ikke er null, 
. Det er alt.
Eksempel.
En rett linje i et rektangulært koordinatsystem Oxy er gitt ved den generelle ligningen for en rett linje. Få ligningen av denne linjen med helningen.
Løsning.
La oss utføre de nødvendige handlingene: .
Svar:
Når en linje er gitt av den komplette generelle ligningen til linjen, er det lett å få likningen til linjen i segmenter av skjemaet. For å gjøre dette overfører vi tallet C til høyre side av likheten med motsatt fortegn, deler begge sider av den resulterende likheten med –C, og overfører til slutt koeffisientene for variablene x og y til nevnerne: 
Denne artikkelen avslører utledningen av ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter i et rektangulært koordinatsystem plassert på et plan. La oss utlede ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter i et rektangulært koordinatsystem. Vi vil tydelig vise og løse flere eksempler knyttet til materialet som dekkes.
Før du oppnår ligningen til en linje som går gjennom to gitte punkter, er det nødvendig å ta hensyn til noen fakta. Det er et aksiom som sier at gjennom to divergerende punkter på et plan er det mulig å tegne en rett linje og bare ett. Med andre ord, to gitte punkter på et plan er definert av en rett linje som går gjennom disse punktene.
Hvis planet er definert av det rektangulære koordinatsystemet Oxy, vil enhver rett linje som er avbildet i det tilsvare ligningen til en rett linje på planet. Det er også en forbindelse med retningsvektoren til den rette linjen. Disse dataene er tilstrekkelige til å kompilere ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter.
La oss se på et eksempel på å løse et lignende problem. Det er nødvendig å lage en ligning for en rett linje a som går gjennom to divergerende punkter M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2), som ligger i det kartesiske koordinatsystemet.
I den kanoniske ligningen til en linje på et plan, med formen x - x 1 a x = y - y 1 a y, er et rektangulært koordinatsystem O x y spesifisert med en linje som skjærer med det i et punkt med koordinatene M 1 (x 1, y 1) med en ledevektor a → = (a x , a y) .
Det er nødvendig å lage en kanonisk ligning av en rett linje a, som vil gå gjennom to punkter med koordinatene M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2).
Rett a har en retningsvektor M 1 M 2 → med koordinater (x 2 - x 1, y 2 - y 1), siden den skjærer punktene M 1 og M 2. Vi har innhentet de nødvendige dataene for å transformere den kanoniske ligningen med koordinatene til retningsvektoren M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) og koordinatene til punktene M 1 som ligger på dem (x 1, y 1) og M2 (x 2, y 2). Vi får en ligning av formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Tenk på figuren nedenfor.
Etter beregningene skriver vi ned de parametriske ligningene til en linje på et plan som går gjennom to punkter med koordinatene M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2). Vi får en likning av formen x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ eller x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .
La oss se nærmere på å løse flere eksempler.
Eksempel 1
Skriv ned ligningen til en rett linje som går gjennom 2 gitte punkter med koordinatene M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Løsning
Den kanoniske ligningen for en linje som skjærer i to punkter med koordinatene x 1, y 1 og x 2, y 2 har formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. I henhold til betingelsene for oppgaven har vi at x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Det er nødvendig å erstatte numeriske verdier inn i ligningen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Herfra får vi at den kanoniske ligningen har formen x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Svar: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Hvis du trenger å løse et problem med en annen type ligning, kan du først gå til den kanoniske, siden det er lettere å komme fra den til en hvilken som helst annen.
Eksempel 2
Komponer den generelle ligningen for en rett linje som går gjennom punkter med koordinatene M 1 (1, 1) og M 2 (4, 2) i O x y-koordinatsystemet.
Løsning
Først må du skrive ned den kanoniske ligningen til en gitt linje som går gjennom gitte to punkter. Vi får en likning av formen x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
La oss bringe den kanoniske ligningen til ønsket form, så får vi:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Svar: x-3 y + 2 = 0.
Eksempler på slike oppgaver ble diskutert i skolebøkene under algebratimene. Skoleproblemer skilte seg ved at ligningen av en rett linje med en vinkelkoeffisient var kjent, med formen y = k x + b. Hvis du trenger å finne verdien av helningen k og tallet b som ligningen y = k x + b definerer en linje for i O x y-systemet som går gjennom punktene M 1 (x 1, y 1) og M 2 ( x 2, y 2) , hvor x 1 ≠ x 2. Når x 1 = x 2 , så får vinkelkoeffisienten verdien av uendelig, og den rette linjen M 1 M 2 er definert av en generell ufullstendig ligning på formen x - x 1 = 0 .
Fordi poengene M 1 Og M 2 er på en rett linje, så tilfredsstiller koordinatene deres ligningen y 1 = k x 1 + b og y 2 = k x 2 + b. Det er nødvendig å løse likningssystemet y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b for k og b.
For å gjøre dette finner vi k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Med disse verdiene av k og b, blir ligningen til en linje som går gjennom de gitte to punktene y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Det er umulig å huske et så stort antall formler på en gang. For å gjøre dette er det nødvendig å øke antall repetisjoner for å løse problemer.
Eksempel 3
Skriv ned ligningen til en rett linje med en vinkelkoeffisient som går gjennom punkter med koordinatene M 2 (2, 1) og y = k x + b.
Løsning
For å løse oppgaven bruker vi en formel med en vinkelkoeffisient på formen y = k x + b. Koeffisientene k og b må ha en slik verdi at denne ligningen tilsvarer en rett linje som går gjennom to punkter med koordinatene M 1 (- 7, - 5) og M 2 (2, 1).
Poeng M 1 Og M 2 er plassert på en rett linje, må deres koordinater gjøre ligningen y = k x + b til en sann likhet. Fra dette får vi at - 5 = k · (- 7) + b og 1 = k · 2 + b. La oss kombinere ligningen til systemet - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b og løse.
Ved bytte får vi det
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Nå erstattes verdiene k = 2 3 og b = - 1 3 inn i ligningen y = k x + b. Vi finner at den nødvendige ligningen som går gjennom de gitte punktene vil være en ligning av formen y = 2 3 x - 1 3 .
Denne løsningsmetoden forhåndsbestemmer utgifter stor kvantitet tid. Det er en måte oppgaven løses i bokstavelig talt to trinn.
La oss skrive den kanoniske ligningen til linjen som går gjennom M 2 (2, 1) og M 1 (- 7, - 5), med formen x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
La oss nå gå videre til helningsligningen. Vi får det: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Svar: y = 2 3 x - 1 3 .
Hvis det i tredimensjonalt rom er et rektangulært koordinatsystem O x y z med to gitte ikke-sammenfallende punkter med koordinatene M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2), rett linje M som går gjennom dem 1 M 2, er det nødvendig å få ligningen til denne linjen.
Vi har at kanoniske likninger av formen x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z og parametriske likninger av formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ er i stand til å definere en linje i koordinatsystemet O x y z, som går gjennom punkter som har koordinater (x 1, y 1, z 1) med en retningsvektor a → = (a x, a y, a z).
Rett M 1 M 2 har en retningsvektor på formen M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), der den rette linjen går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2 , y 2 , z 2), derfor kan den kanoniske ligningen ha formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, i sin tur parametrisk x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ eller x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Tenk på en tegning som viser 2 gitte punkter i rommet og ligningen til en rett linje.
Eksempel 4
Skriv ligningen til en linje definert i et rektangulært koordinatsystem O x y z av tredimensjonalt rom, som går gjennom gitte to punkter med koordinatene M 1 (2, - 3, 0) og M 2 (1, - 3, - 5).
Løsning
Det er nødvendig å finne den kanoniske ligningen. Fordi vi snakker om om tredimensjonalt rom, som betyr at når en rett linje går gjennom gitte punkter, vil den ønskede kanoniske ligningen ha formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Som betingelse har vi at x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Det følger at de nødvendige ligningene vil bli skrevet som følger:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Svar: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Egenskaper til en rett linje i euklidisk geometri.
Et uendelig antall rette linjer kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt.
Gjennom to ikke-sammenfallende punkter kan en enkelt rett linje trekkes.
To divergerende linjer i et plan enten krysser hverandre i et enkelt punkt eller er
parallell (følger av den forrige).
I tredimensjonalt rom er det tre alternativer relativ posisjon to rette linjer:
- linjer krysser hverandre;
- linjene er parallelle;
- rette linjer krysser hverandre.
Rett linje— algebraisk kurve av første orden: en rett linje i det kartesiske koordinatsystemet
er gitt på planet av en ligning av første grad (lineær ligning).
Generell ligning for en rett linje.
Definisjon. Enhver rett linje på planet kan spesifiseres med en førsteordens ligning
Axe + Wu + C = 0,
og konstant A, B er ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles generell
ligning av en rett linje. Avhengig av verdiene til konstantene A, B Og MED Følgende spesielle tilfeller er mulige:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- en rett linje går gjennom origo
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- rett linje parallelt med aksen Åh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- rett linje parallelt med aksen OU
. B = C = 0, A ≠ 0- den rette linjen faller sammen med aksen OU
. A = C = 0, B ≠ 0- den rette linjen faller sammen med aksen Åh
Ligningen til en rett linje kan presenteres i forskjellige former avhengig av hvilken som helst gitt
Innledende forhold.
Ligning av en rett linje fra et punkt og en normalvektor.
Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)
vinkelrett på den rette linjen, gitt av ligningen
Axe + Wu + C = 0.
Eksempel. Finn ligningen til en linje som går gjennom et punkt A(1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).
Løsning. Med A = 3 og B = -1, la oss komponere ligningen for den rette linjen: 3x - y + C = 0. For å finne koeffisienten C
La oss erstatte koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket. Vi får derfor: 3 - 2 + C = 0
C = -1. Totalt: den nødvendige ligningen: 3x - y - 1 = 0.
Ligning av en linje som går gjennom to punkter.
La to poeng gis i rom M 1 (x 1, y 1, z 1) Og M2 (x 2, y 2, z 2), Deretter ligning av en linje,
passerer gjennom disse punktene:
Hvis noen av nevnerne er null, skal den tilsvarende telleren settes lik null. På
planet, er ligningen til den rette linjen skrevet ovenfor forenklet:
Hvis x 1 ≠ x 2 Og x = x 1, Hvis x 1 = x 2 .
Brøkdel = k kalt skråningen rett.
Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).
Løsning. Ved å bruke formelen skrevet ovenfor får vi:
Ligning av en rett linje ved hjelp av et punkt og en helning.
Hvis den generelle ligningen av linjen Axe + Wu + C = 0 føre til:
og utpeke 
, så kalles den resulterende ligningen
ligning av en rett linje med helning k.
Ligning av en rett linje fra et punkt og en retningsvektor.
I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du gå inn i oppgaven
en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor til en rett linje.
Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1 , α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen
Aα 1 + Bα 2 = 0 kalt retningsvektor for en rett linje.
Axe + Wu + C = 0.
Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punktet A(1, 2).
Løsning. Vi vil se etter ligningen til ønsket linje i skjemaet: Axe + By + C = 0. I henhold til definisjonen,
koeffisienter må tilfredsstille følgende betingelser:
1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.
Da har ligningen for den rette linjen formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0.
på x = 1, y = 2 vi får C/A = -3, dvs. nødvendig ligning:
x + y - 3 = 0
Ligning av en rett linje i segmenter.
Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, ved å dele med -С:
eller hvor
Geometrisk betydning koeffisienter er at koeffisient a er koordinaten til skjæringspunktet
rett med akse Åh, EN b- koordinat for skjæringspunktet mellom linjen og aksen OU.
Eksempel. Den generelle ligningen for en rett linje er gitt x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne linjen i segmenter.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normal ligning av en linje.
Hvis begge sider av ligningen Axe + Wu + C = 0 dividere med tall 
som kalles
normaliserende faktor, så får vi
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning av en linje.
Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ*C< 0.
R- lengden på perpendikulæren falt fra origo til den rette linjen,
EN φ - vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til aksen Åh.
Eksempel. Den generelle ligningen for linjen er gitt 12x - 5y - 65 = 0. Nødvendig for å skrive forskjellige typer ligninger
denne rette linjen.
Ligningen til denne linjen i segmenter:
Ligningen av denne linjen med helningen: (del med 5)
Ligning av en linje:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer,
parallelt med aksene eller passerer gjennom origo.
Vinkelen mellom rette linjer på et plan.
Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, Det skarpt hjørne mellom disse linjene
vil bli definert som
To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette
Hvis k 1 = -1/ k 2 .
Teorem.
Direkte Axe + Wu + C = 0 Og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallell når koeffisientene er proporsjonale
A 1 = λA, B 1 = λB. Hvis også С 1 = λС, da faller linjene sammen. Koordinater til skjæringspunktet mellom to linjer
finnes som en løsning på likningssystemet til disse linjene.
Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt linje.
Definisjon. Linje som går gjennom et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y = kx + b
representert ved ligningen:
Avstand fra et punkt til en linje.
Teorem. Hvis det gis et poeng M(x 0, y 0), deretter avstanden til den rette linjen Axe + Wu + C = 0 definert som:
Bevis. La poenget M 1 (x 1, y 1)- bunnen av en perpendikulær falt fra et punkt M for en gitt
direkte. Deretter avstanden mellom punktene M Og M 1:
(1)
Koordinater x 1 Og kl 1 kan finnes som en løsning på ligningssystemet:
Den andre ligningen i systemet er ligningen av en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett
gitt rett linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,
så når vi løser, får vi:
Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:
Teoremet er bevist.
