Ligning av en rett linje. Ligning av en linje - typer ligning for en linje: passerer gjennom et punkt, generell, kanonisk, parametrisk, etc. Parametrisk ligning for en linje
Hvis du trenger å heve et spesifikt tall til en potens, kan du bruke . Nå skal vi se nærmere på egenskaper til grader.
Eksponentielle tallåpner opp for store muligheter, de lar oss transformere multiplikasjon til addisjon, og addering er mye enklere enn å multiplisere.
For eksempel må vi multiplisere 16 med 64. Produktet av å multiplisere disse to tallene er 1024. Men 16 er 4x4, og 64 er 4x4x4. Det vil si 16 x 64 = 4x4x4x4x4, som også er lik 1024.
Tallet 16 kan også representeres som 2x2x2x2, og 64 som 2x2x2x2x2x2, og hvis vi multipliserer, får vi igjen 1024.
La oss nå bruke regelen. 16=4 2, eller 2 4, 64=4 3 eller 2 6, samtidig 1024=6 4 =4 5, eller 2 10.
Derfor kan oppgaven vår skrives annerledes: 4 2 x4 3 =4 5 eller 2 4 x2 6 =2 10, og hver gang får vi 1024.
Vi kan løse en rekke lignende eksempler og se at multiplisering av tall med potenser reduserer til legge til eksponenter, eller eksponentiell, selvfølgelig, forutsatt at basene til faktorene er like.
Dermed, uten å utføre multiplikasjon, kan vi umiddelbart si at 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.
Denne regelen gjelder også når du deler tall med potenser, men i dette tilfellet eksponenten til divisoren trekkes fra eksponenten for utbyttet. Dermed er 2 5:2 3 =2 2, som i vanlige tall er lik 32:8 = 4, det vil si 2 2. La oss oppsummere:
a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, hvor m og n er heltall.
Ved første øyekast kan det se ut til at dette er multiplisere og dele tall med potenser ikke veldig praktisk, fordi først må du representere tallet i eksponentiell form. Det er ikke vanskelig å representere tallene 8 og 16, det vil si 2 3 og 2 4, i denne formen, men hvordan gjør man dette med tallene 7 og 17? Eller hva du skal gjøre i tilfeller der et tall kan representeres i eksponentiell form, men grunnlaget for eksponentielle uttrykk for tall er svært forskjellige. For eksempel er 8x9 2 3 x 3 2, i så fall kan vi ikke summere eksponentene. Verken 2 5 eller 3 5 er svaret, og svaret ligger heller ikke i intervallet mellom disse to tallene.
Så er det i det hele tatt verdt å bry seg med denne metoden? Absolutt verdt det. Det gir enorme fordeler, spesielt for komplekse og tidkrevende beregninger.
Hvordan multiplisere potenser? Hvilke potenser kan multipliseres og hvilke kan ikke? Hvordan multiplisere et tall med en potens?
I algebra kan du finne et produkt av potenser i to tilfeller:
1) hvis gradene har samme base;
2) hvis gradene har samme indikatorer.
Når du multipliserer potenser med de samme grunnene, må grunntallet være det samme, og eksponentene må legges til:
Når du multipliserer grader med de samme indikatorene, kan den samlede indikatoren tas ut av parentes:
La oss se på hvordan du multipliserer potenser ved å bruke spesifikke eksempler.
Enheten er ikke skrevet i eksponenten, men når du multipliserer potenser, tar de hensyn til:
Når du multipliserer, kan det være et hvilket som helst antall potenser. Det bør huskes at du ikke trenger å skrive multiplikasjonstegnet før bokstaven:
I uttrykk gjøres eksponentisering først.
Hvis du trenger å multiplisere et tall med en potens, bør du først utføre eksponentieringen, og først deretter multiplikasjonen:
www.algebraclass.ru
Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og deling av potenser
Addisjon og subtraksjon av potenser
Det er åpenbart at tall med potenser kan legges til som andre størrelser , ved å legge dem etter hverandre med deres tegn.
Så summen av a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen av a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.
Odds like potenser av identiske variabler kan legges til eller trekkes fra.
Så summen av 2a 2 og 3a 2 er lik 5a 2.
Det er også åpenbart at hvis du tar to ruter a, eller tre ruter a, eller fem ruter a.
Men grader ulike variabler Og ulike grader identiske variabler, må komponeres ved å legge dem til med deres tegn.
Så summen av en 2 og en 3 er summen av en 2 + en 3.
Det er åpenbart at kvadratet av a, og terningen av a, ikke er lik to ganger kvadratet av a, men to ganger terningen av a.
Summen av a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.
Subtraksjon krefter utføres på samme måte som addisjon, bortsett fra at tegnene til subtrahendene må endres tilsvarende.
Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3t 2 b 6 — 4t 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Multiplisere potenser
Tall med potenser kan multipliseres, som andre størrelser, ved å skrive dem etter hverandre, med eller uten multiplikasjonstegn mellom dem.
Dermed er resultatet av å multiplisere a 3 med b 2 a 3 b 2 eller aaabb.
Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Resultatet i det siste eksemplet kan bestilles ved å legge til identiske variabler.
Uttrykket vil ha formen: a 5 b 5 y 3.
Ved å sammenligne flere tall (variabler) med potenser, kan vi se at hvis to av dem multipliseres, så er resultatet et tall (variabel) med potens lik beløp grader av termer.
Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Her er 5 potensen til multiplikasjonsresultatet, som er lik 2 + 3, summen av potensene til leddene.
Så, a n.a m = a m+n.
For a n tas a som en faktor like mange ganger som potensen til n;
Og en m tas som en faktor like mange ganger som graden m er lik;
Derfor, potenser med samme grunntall kan multipliseres ved å legge til potensens eksponenter.
Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multipliser (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multipliser (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Denne regelen gjelder også for tall hvis eksponenter er negativ.
1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n.y-m = y-n-m.
3. a -n .a m = a m-n .
Hvis a + b multipliseres med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: altså
Resultatet av å multiplisere summen eller differansen av to tall lik summen eller forskjellen på rutene deres.
Hvis du multipliserer summen og differansen av to tall hevet til torget, vil resultatet være lik summen eller differansen av disse tallene i fjerde grader.
Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Inndeling av grader
Tall med potenser kan deles som andre tall, ved å trekke fra utbyttet, eller ved å plassere dem i brøkform.
Dermed er a 3 b 2 delt på b 2 lik a 3.
Å skrive en 5 delt på en 3 ser ut som $\frac $. Men dette er lik en 2 . I en rekke tall
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ethvert tall kan deles på et annet, og eksponenten vil være lik forskjell indikatorer på delbare tall.
Når du deler grader med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra..
Så, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil si $\frac = y$.
Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil si $\frac = a^n$.
Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Regelen gjelder også for tall med negativ verdier av grader.
Resultatet av å dele en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Det er nødvendig å mestre multiplikasjon og deling av potenser veldig godt, siden slike operasjoner er veldig mye brukt i algebra.
Eksempler på å løse eksempler med brøker som inneholder tall med potenser
1. Reduser eksponentene med $\frac $ Svar: $\frac $.
2. Reduser eksponenter med $\frac$. Svar: $\frac$ eller 2x.
3. Reduser eksponentene a 2 /a 3 og a -3 /a -4 og før til fellesnevner.
a 2 .a -4 er a -2 den første telleren.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den andre telleren.
a 3 .a -4 er en -1 , den vanlige telleren.
Etter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .
4. Reduser eksponentene 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og kom med til en fellesnevner.
Svar: 2a 3 /5a 7 og 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 og 5/5a 2.
5. Multipliser (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.
6. Multipliser (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).
7. Multipliser b 4 /a -2 med h -3 /x og a n /y -3 .
8. Del a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.
Gradens egenskaper
Vi minner om at i denne leksjonen ordner det opp egenskaper til grader med naturlige indikatorer og null. Potenser med rasjonelle eksponenter og deres egenskaper vil bli diskutert i leksjoner for 8. klasse.
En potens med naturlig eksponent har flere viktige egenskaper som gjør at vi kan forenkle beregninger i eksempler med potenser.
Eiendom nr. 1
Produkt av makter
Når potenser multipliseres med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og potensenes eksponenter adderes.
a m · a n = a m + n, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.
Denne egenskapen til potenser gjelder også produktet av tre eller flere potenser.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Vær oppmerksom på at i den angitte egenskapen snakket vi bare om multiplikasjon av potenser med samme baser. Det gjelder ikke tillegget deres.
Du kan ikke erstatte summen (3 3 + 3 2) med 3 5. Dette er forståelig hvis
beregn (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, og 3 5 = 243
Eiendom nr. 2
Delgrader
Når du deler potenser med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og eksponenten til divisoren trekkes fra eksponenten til utbyttet.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Eksempel. Løs ligningen. Vi bruker egenskapen til kvotekrefter.
3 8: t = 3 4
Svar: t = 3 4 = 81
Ved å bruke egenskap nr. 1 og nr. 2 kan du enkelt forenkle uttrykk og utføre beregninger.
- Eksempel. Forenkle uttrykket.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Eksempel. Finn verdien av et uttrykk ved å bruke egenskapene til eksponenter.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Vær oppmerksom på at i Eiendom 2 snakket vi kun om å dele potenser med samme grunnlag.
Du kan ikke erstatte differansen (4 3 −4 2) med 4 1. Dette er forståelig hvis du regner ut (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, og 4 1 = 4
Eiendom nr. 3
Å heve en grad til en makt
Når du hever en grad til en potens, forblir basisen til graden uendret, og eksponentene multipliseres.
(a n) m = a n · m, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.
Vær oppmerksom på at egenskap nr. 4, i likhet med andre egenskaper av grader, også brukes i omvendt rekkefølge.
(a n · b n)= (a · b) n
Det vil si at for å multiplisere potenser med de samme eksponentene, kan du multiplisere basene, men la eksponenten være uendret.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
I mer komplekse eksempler Det kan være tilfeller der multiplikasjon og divisjon må utføres på potenser med forskjellige baser og forskjellige eksponenter. I dette tilfellet anbefaler vi deg å gjøre følgende.
For eksempel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Et eksempel på å heve en desimal til en potens.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Egenskaper 5
Kraften til en kvotient (brøk)
For å heve en kvotient til en potens, kan du heve utbyttet og divisoren separat til denne potensen, og dele det første resultatet med det andre.
(a: b) n = a n: b n, hvor "a", "b" er alle rasjonelle tall, b ≠ 0, n - et hvilket som helst naturlig tall.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Vi minner om at en kvotient kan representeres som en brøk. Derfor vil vi dvele ved temaet å heve en brøk til en potens mer detaljert på neste side.
Krafter og røtter
Operasjoner med krefter og røtter. Grad med negativ ,
null og brøk indikator. Om uttrykk som ikke har noen betydning.
Operasjoner med grader.
1. Når potenser multipliseres med samme grunntall, legges deres eksponenter til:
en m · a n = a m + n .
2. Når du deler grader med samme base, deres eksponenter er trukket fra .
3. Graden av produktet av to eller flere faktorer er lik produktet av gradene av disse faktorene.
4. Graden av et forholdstall (brøk) er lik forholdet mellom gradene av utbytte (teller) og divisor (nevner):
(a/b) n = a n/b n .
5. Når du hever en potens til en potens, multipliseres eksponentene deres:
Alle formlene ovenfor leses og utføres i begge retninger fra venstre til høyre og omvendt.
EKSEMPEL (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operasjoner med røtter. I alle formlene nedenfor betyr symbolet aritmetisk rot(det radikale uttrykket er positivt).
1. Roten til produktet av flere faktorer er lik produktet av røttene til disse faktorene:
2. Roten av et forholdstall er lik forholdet mellom røttene til utbyttet og divisoren:
3. Når du hever en rot til en makt, er det nok å heve til denne makten radikalt tall:
4. Hvis du øker graden av roten med m ganger og samtidig hever det radikale tallet til mth potens, vil verdien av roten ikke endres:
5. Hvis du reduserer graden av roten med m ganger og samtidig trekker ut månedsroten av radikaltallet, vil verdien av roten ikke endres:
Utvide gradsbegrepet. Så langt har vi vurdert grader kun med naturlige eksponenter; men operasjoner med krefter og røtter kan også føre til negativ, null Og brøkdel indikatorer. Alle disse eksponentene krever ytterligere definisjon.
En grad med negativ eksponent. Potensen til et visst tall med en negativ (heltalls) eksponent er definert som en dividert med potensen til samme tall med en eksponent lik den absolutte verdien av den negative eksponenten:
Nå formelen en m : en n = a m - n kan brukes ikke bare til m, mer enn n, men også med m, mindre enn n .
EKSEMPEL en 4: en 7 =a 4 — 7 =a — 3 .
Hvis vi vil ha formelen en m : en n = en m — n var rettferdig når m = n, trenger vi en definisjon av grad null.
En grad med nullindeks. Potensen til ethvert tall som ikke er null med eksponent null er 1.
EKSEMPLER. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Grad med en brøkeksponent. For å bygge ekte nummer og til potensen m / n, må du trekke ut den n-te roten av m-potensen til dette tallet a:
Om uttrykk som ikke har noen betydning. Det finnes flere slike uttrykk.
Hvor en ≠ 0 , eksisterer ikke.
Faktisk, hvis vi antar det x er et visst tall, så har vi i samsvar med definisjonen av divisjonsoperasjonen: en = 0· x, dvs. en= 0, som motsier betingelsen: en ≠ 0
— hvilket som helst tall.
Faktisk, hvis vi antar at dette uttrykket er lik et eller annet tall x, så har vi i henhold til definisjonen av divisjonsoperasjonen: 0 = 0 · x. Men denne likheten oppstår når et hvilket som helst tall x, som var det som måtte bevises.
0 0 — hvilket som helst tall.
Løsning La oss vurdere tre hovedsaker:
1) x = 0 – denne verdien tilfredsstiller ikke denne ligningen
2) når x> 0 får vi: x/x= 1, dvs. 1 = 1, som betyr
Hva x– et hvilket som helst tall; men tatt i betraktning det i
i vårt tilfelle x> 0, er svaret x > 0 ;
Regler for å multiplisere potenser med forskjellige baser
GRAD MED RASJONELL INDIKATOR,
STRØMFUNKSJON IV
§ 69. Multiplikasjon og deling av potenser med samme grunntall
Teorem 1. For å multiplisere potenser med de samme grunnene, er det nok å legge til eksponentene og la grunntallet være det samme, dvs.
Bevis. Etter definisjon av grad
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Vi så på produktet av to potenser. Faktisk er den påviste egenskapen sann for et hvilket som helst antall krefter med samme baser.
Teorem 2. For å dele potenser med samme grunnlag, når indeksen til utbyttet er større enn indeksen til divisor, er det nok å trekke indeksen til divisor fra indeksen for utbytte, og la grunnlaget være det samme, dvs. på t > s
(en =/= 0)
Bevis. Husk at kvotienten for å dele ett tall med et annet er tallet som, multiplisert med divisoren, gir utbyttet. Bevis derfor formelen hvor en =/= 0, det er det samme som å bevise formelen
Hvis t > s , deretter nummeret t - s vil være naturlig; derfor ved teorem 1
Teorem 2 er bevist.
Det skal bemerkes at formelen
vi har bevist det bare under antagelsen om at t > s . Derfor, fra det som er bevist, er det ennå ikke mulig å trekke for eksempel følgende konklusjoner:
I tillegg grader med negative indikatorer vi har ennå ikke vurdert, og vi vet ennå ikke hvilken betydning uttrykk 3 kan gis - 2 .
Teorem 3. For å heve en grad til en potens, er det nok å multiplisere eksponentene, slik at bunnen av graden er den samme, det er
Bevis. Ved å bruke definisjonen av grad og teorem 1 i denne delen får vi:
Q.E.D.
For eksempel, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Muntlig) Bestem X fra ligningene:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Sett nr.) Forenkle:
520. (Sett nr.) Forenkle:
521. Presenter disse uttrykkene i form av grader med samme grunnlag:
1) 32 og 64; 3) 8 5 og 16 3; 5) 4 100 og 32 50;
2) -1000 og 100; 4) -27 og -243; 6) 81 75 8 200 og 3 600 4 150.
La linjen gå gjennom punktene M 1 (x 1; y 1) og M 2 (x 2; y 2). Ligningen til en rett linje som går gjennom punktet M 1 har formen y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Hvor k - fortsatt ukjent koeffisient.
Siden den rette linjen går gjennom punktet M 2 (x 2 y 2), må koordinatene til dette punktet tilfredsstille ligning (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Herfra finner vi Substituting the found value k
inn i ligning (10.6), får vi ligningen til en rett linje som går gjennom punktene M 1 og M 2: 
Det antas at i denne ligningen x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Hvis x 1 = x 2, så er den rette linjen som går gjennom punktene M 1 (x 1,y I) og M 2 (x 2,y 2) parallell med ordinataksen. Dens ligning er x = x 1 .
Hvis y 2 = y I, så kan linjens ligning skrives som y = y 1, den rette linjen M 1 M 2 er parallell med abscisseaksen.
Ligning av en linje i segmenter
La den rette linjen skjære Ox-aksen i punktet M 1 (a;0), og Oy-aksen i punktet M 2 (0;b). Ligningen vil ha formen: 
de. 
. Denne ligningen kalles ligning av en rett linje i segmenter, fordi tallene a og b indikerer hvilke segmenter linjen skjærer av på koordinataksene.
Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor
La oss finne ligningen for den rette linjen som går gjennom dette punktet Mo (x O; y o) er vinkelrett på den gitte vektoren som ikke er null n = (A; B).
La oss ta et vilkårlig punkt M(x; y) på linjen og vurdere vektoren M 0 M (x - x 0; y - y o) (se fig. 1). Siden vektorene n og M o M er vinkelrette, er deres skalarprodukt lik null: dvs.
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Ligning (10.8) kalles likning av en rett linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor .
Vektor n= (A; B), vinkelrett på linjen, kalles normal normal vektor for denne linjen .
Ligning (10.8) kan skrives om som Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
hvor A og B er koordinatene til normalvektoren, C = -Ax o - Vu o er frileddet. Ligning (10,9) er den generelle ligningen til linjen(se fig. 2).
Fig.1 Fig.2
Kanoniske ligninger av linjen
,
Hvor 
- koordinater til punktet som linjen går gjennom, og 
- retningsvektor.
Andre ordens kurver Sirkel
En sirkel er settet av alle punkter i planet like langt fra et gitt punkt, som kalles sentrum.
Kanonisk ligning av en sirkel med radius
R sentrert på et punkt 
:
Spesielt hvis sentrum av innsatsen sammenfaller med opprinnelsen til koordinatene, vil ligningen se slik ut: 
Ellipse
En ellipse er et sett med punkter på et plan, summen av avstandene fra hver til to gitte punkter
Og 
, som kalles foci, er en konstant størrelse 
, større enn avstanden mellom foci 
.
Den kanoniske ligningen til en ellipse hvis brennpunkter ligger på okseaksen, og opprinnelsen til koordinatene i midten mellom brennpunktene har formen 
G 
de en semi-hovedakse lengde; b – lengden på halv-molaksen (fig. 2).
Avhengighet mellom ellipseparametere
Og 
uttrykkes ved forholdet:
(4)
Ellipse eksentrisitetkalt interfokal avstandsforhold2stil hovedaksen2a:
Rektorer
ellipse er rette linjer parallelle med Oy-aksen, som ligger i en avstand fra denne aksen. Directrix-ligninger: 
.
Hvis i ellipsens ligning 
, da er brennpunktene til ellipsen på Oy-aksen.
Så, 
