Ligning av dynamikken til et legeme som roterer rundt en fast akse. Ligning for dynamikken i rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme rundt en fast akse. Kan gis et annet utseende

HASTIGHET- en av hovedmengdene som brukes til å beskrive bevegelsen til et materialpunkt (kropp). S. (øyeblikkelig hastighet) er en vektormengde lik grensen for forholdet mellom bevegelsen til et punkt og tidsperioden denne bevegelsen skjedde, med en ubegrenset reduksjon i sistnevnte. S. er rettet tangentielt til banen for kroppens bevegelse. Enheten for S. i SI er meter per sekund ( m/s).

LYD HASTIGHET- forplantningshastighet av lydbølger i mediet. I gasser s.z. mindre enn i væsker, og mindre i væsker enn i faste stoffer. I luft under normale forhold, n.s. 330 m/s, i vann - 1500 m/s, på TV kropper 2000 - 6000 m/s.

HASTIGHET PÅ ENHETLIG RETT LINEÆR BEVEGELSE– vektorfysisk mengde lik forholdet mellom bevegelse og tidsperioden denne bevegelsen skjedde.

VINKELHASTIGHET- cm. vinkelhastighet.

FASE HASTIGHET– en fysisk størrelse lik produktet av bølgelengde og frekvens. Hastigheten som fasen til en monokromatisk sinusbølge forplanter seg gjennom rommet.

AKSELERASJON- en vektormengde som brukes til å beskrive bevegelsen til et materialpunkt, og lik grensen for forholdet mellom vektoren for endring i hastighet og tidsperioden denne endringen skjedde, med en ubegrenset reduksjon i sistnevnte. På like varierende(jevnt akselerert) rettlinjet bevegelse er lik forholdet mellom vektoren for endring i hastighet og den tilsvarende tidsperioden. I krumlinjet bevegelse består den av en tangent (beskriver endringen i hastighetsmodul) og normal(beskriver endringen i fartsretningen) y. SI-enhet - m/s 2 .

AKSELERERING AV GRAVITET- akselerasjon gitt til et fritt materialpunkt gravitasjon. Avhenger av stedets geografiske breddegrad og høyde over havet. Standard (normal) verdi g = 9,80665 m/s 2 .

Erfaring: jo større kraft, jo større endring i kroppshastighet (akselerasjon) - .

Kroppsimpuls. Loven om bevaring av momentum.

Mekanisk arbeid. Makt.

A = ΔE

Loven om energisparing.

MAKTENS Øyeblikk i forhold til en viss akse - en fysisk størrelse som beskriver rotasjonseffekten av en kraft når den virker på et fast legeme og er lik produktet av kraftmodulen ved skulderstyrke(kraften er plassert i et plan vinkelrett på rotasjonsaksen). Hvis rotasjonen skjer mot klokken, tildeles kraftmomentet et "+"-tegn, hvis med klokken er det "-". SI-enheten er newtonmeter ( N . m).

TRØGHET- fenomenet med å opprettholde hastigheten på rettlinjet jevn bevegelse eller en hviletilstand i fravær eller kompensasjon av ytre påvirkninger.

Huygens - Steiner teorem: Treghetsmomentet til et fast legeme i forhold til en hvilken som helst akse avhenger av kroppens masse, form og størrelse, samt av kroppens posisjon i forhold til denne aksen. I følge Steiners teorem (Huygens-Steiner-teorem), treghetsmomentet til kroppen J i forhold til en vilkårlig akse er lik summen av treghetsmomentet til denne kroppen J c i forhold til en akse som går gjennom kroppens massesenter parallelt med den aktuelle aksen, og produktet av kroppsmassen m per kvadrat av avstand d mellom akser:

,

hvor er den totale kroppsmassen.

For eksempel er treghetsmomentet til en stang i forhold til en akse som går gjennom dens ende lik:

Grunnleggende ligning av dynamikk rotasjonsbevegelse

I følge ligning (5.8), Newtons andre lov for rotasjonsbevegelse

Per definisjon kan vinkelakselerasjon og deretter denne ligningen være

omskriv som følger

tatt i betraktning (5.9)

Dette uttrykket kalles den grunnleggende ligningen for dynamikken i rotasjonsbevegelse og er formulert som følger: endring i vinkelmomentum fast, er lik farten til alle ytre krefter som virker på denne kroppen.

Kinetisk energirotasjonsbevegelse- energien til en kropp knyttet til dens rotasjon.

De viktigste kinematiske egenskapene til rotasjonsbevegelsen til en kropp er dens vinkelhastighet () og vinkelakselerasjon. De viktigste dynamiske egenskapene til rotasjonsbevegelse - vinkelmoment i forhold til rotasjonsaksen z:

og kinetisk energi

hvor I z er treghetsmomentet til kroppen i forhold til rotasjonsaksen.

Et lignende eksempel kan finnes når man vurderer et roterende molekyl med hovedtreghetsakser Jeg 1 , Jeg 2 Og Jeg 3 . Rotasjonsenergien til et slikt molekyl er gitt av uttrykket

Tar vi i betraktning Hookes ligning, får vi: ω 1 , ω 2 , Og ω 3 - hovedkomponentene i vinkelhastighet.

Generelt er energien under rotasjon med vinkelhastighet finnes ved formelen:

, hvor er treghetstensoren.

Loven om universell gravitasjon. Tyngdekraften.

Når du observerer komplekse bevegelser, som bevegelsen til menneskekroppen (gå, løpe, hoppe, etc.), virker det vanskelig eller til og med umulig å beskrive bevegelsen til alle punktene. Men ved å analysere slike bevegelser kan man legge merke til at de består av enklere - translasjons- og rotasjonsbevegelser.

Mekanikken til translasjonsbevegelse er kjent for leseren, så avsnittet begynner med en vurdering av rotasjonsbevegelse. Det enkleste er rotasjonen av et stivt legeme rundt en fast akse. Denne saken lar deg bli kjent med detaljene, terminologien og lovene for rotasjonsbevegelse.

5.1. KINEMATIKK FOR ROTASJONSBEVEGELSE AV EN ABSOLUT STIV KROPP RUNDT EN FAST AKSE

En absolutt stiv kropp er en hvis avstand mellom to punkter er konstant.

Dimensjonene og formen til en absolutt stiv kropp endres ikke når den beveger seg.

Konseptet med en "absolutt stiv kropp" er en fysisk abstraksjon, siden enhver kropp er i stand til å deformeres. Imidlertid kan deformasjonen i mange tilfeller neglisjeres.

Det enkleste tilfellet med rotasjonsbevegelse av et absolutt stivt legeme er rotasjon om en fast akse. Dette er en bevegelse der kroppspunkter beveger seg i sirkler, hvis sentre ligger på en rett linje, kalt rotasjonsaksen.

Det er kjent at i noen tilfeller, for å karakterisere bevegelsen til en kropp, er det ikke nødvendig å indikere bevegelsen til alle punktene; så, for eksempel, i translasjonsbevegelse er det nok å indikere bevegelsen til et hvilket som helst punkt i kroppen.

Under rotasjonsbevegelse rundt en akse beveger kroppens punkter seg langs forskjellige baner, men i løpet av samme tid roterer alle punktene og selve kroppen i samme vinkel. For rotasjonsegenskaper

tegne i et plan vinkelrett på aksen en radiusvektor til et bestemt punkt Jeg(Fig. 5.1). Tidsavhengigheten til rotasjonsvinkelen α til radiusvektoren i forhold til en valgt retning OX er ligningen for rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme rundt en fast akse:

Rotasjonshastigheten til et legeme er preget av en vinkelhastighet lik den første deriverte av rotasjonsvinkelen til radiusvektoren med hensyn til tid:

Vinkelhastighet er en vektor som er rettet langs rotasjonsaksen og er relatert til rotasjonsretningen etter regelen til høyre skrue (fig. 5.2). Vinkelhastighetsvektoren, i motsetning til hastighets- og kraftvektorene, glir: den har ikke et spesifikt brukspunkt, og den kan plasseres hvor som helst på rotasjonsaksen. Spesifisering av vektoren ω indikerer således posisjonen til rotasjonsaksen, rotasjonsretningen og størrelsen på vinkelhastigheten.

Endringshastigheten i vinkelhastighet er preget av vinkelakselerasjon lik den første deriverte av vinkelhastigheten med hensyn til tid:

eller i vektorform:

Fra (5.4) er det klart at vinkelakselerasjonsvektoren sammenfaller i retning med en elementær, ganske liten endring i vinkelhastighetsvektoren dω: med akselerert rotasjon rettes vinkelakselerasjonen i samme retning som vinkelhastigheten, med langsom rotasjon - i motsatt retning.

Siden vinkelforskyvningen av alle punkter i et absolutt stivt legeme er likt, har i henhold til (5.2) og (5.3) samtidig alle punkter i kroppen samme vinkelhastighet og samme vinkelakselerasjon. Lineære egenskaper - forskyvning, hastighet, akselerasjon - er forskjellige for forskjellige punkter. La oss indikere i skalarform forholdet, som kan utledes uavhengig, mellom de lineære og vinkelegenskapene for det i-te punktet som beveger seg i en sirkel med radius r jeg:

Ris. 5.3

Avslutningsvis presenterer vi formlene for kinematikken til rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme rundt en fast akse oppnådd ved å integrere de tilsvarende uttrykkene:

ligning for jevn rotasjonsbevegelse[cm. (5.2)]:

avhengighet av vinkelhastighet på tid i jevn rotasjonsbevegelse[cm. (5.3)]:

ligning for jevnt vekslende rotasjonsbevegelse[cm. (5.1) og (5.6)]:

Det er nyttig å sammenligne disse formlene med lignende avhengigheter for translasjonsbevegelse.

5.2. ENKLE KONSEPTER. LIGNING FOR DYNAMIKKEN I ROTASJONSBEVEGELSE

Kraftens øyeblikk _

La til et punkt Jeg kraft påført en stiv kropp F^, liggende i et plan vinkelrett på rotasjonsaksen (fig. 5.4).

Kraftmomentet i forhold til rotasjonsaksen er vektorproduktet av radiusvektoren til punkt i og kraften:

Ved å utvide den kan du skrive:

Tar vi i betraktning Hookes ligning, får vi: β - vinkel mellom vektorer r jeg Og F i. Siden skulderen av kraften h i = r i sinβ (se fig. 5.4), da

Hvis kraften virker i en viss vinkel α til rotasjonsplanet (fig. 5.5), så kan den dekomponeres i to komponenter. En av dem ligger i et plan vinkelrett på rotasjonsaksen, og den andre er parallell med denne aksen og påvirker ikke rotasjonen av kroppen (i det virkelige tilfellet virker den bare på lagrene). Videre vil kun krefter som ligger i planet vinkelrett på rotasjonsaksen bli vurdert.

Ris. 5.4

Ris. 5.5

Arbeid i rotasjonsbevegelse

La under påvirkning av makt F i(se fig. 5.4) roterer kroppen gjennom en tilstrekkelig liten vinkel dα. La oss finne arbeidet utført av denne styrken.

Uttrykket for kraftarbeidet kjent fra videregående bør i denne saken skrives som følger:

Så,

det elementære kraftarbeidet i rotasjonsbevegelse er lik produktet av kraftmomentet og kroppens elementære rotasjonsvinkel.

Hvis flere krefter virker på en kropp, blir det elementære arbeidet utført av dem alle bestemt på samme måte som (5.12):

Tar vi i betraktning Hookes ligning, får vi: M- det totale øyeblikket av alle ytre krefter som virker på kroppen.

Hvis, når kroppen roterer, posisjonen til radiusvektoren endres fra α 1 til α 2, kan arbeidet med ytre krefter bli funnet ved å integrere uttrykk (5.13):

Treghetsmoment

Målet for treghet til legemer under translasjonsbevegelse er masse. Tregheten til legemer under rotasjonsbevegelse avhenger ikke bare av massen, men også av dens fordeling i rommet i forhold til aksen. Treghetsmålet til et legeme under rotasjon er preget av kroppens treghetsmoment i forhold til rotasjonsaksen. La oss først påpeke det

Treghetsmomentet til et materialpunkt i forhold til rotasjonsaksen er en verdi lik produktet av punktets masse med kvadratet på avstanden fra aksen:

Treghetsmomentet til et legeme i forhold til en akse er summen av treghetsmomentene til alle materielle punkter som utgjør kroppen:

Som et eksempel utleder vi formelen treghetsmoment av en tynn homogen stav lengde l og masse T i forhold til aksen vinkelrett på stangen og som går gjennom midten (fig. 5.6). La oss velge en tilstrekkelig liten del av stangen med en lengde dx og masse dm, avstand fra akse 00" med en avstand X. På grunn av det lille området kan det tas som et materiell punkt, dets treghetsmoment [se. (5.15)] er lik:

Massen til en elementær seksjon er lik produktet av lineær tetthet t/l, multiplisert med lengden på elementærseksjonen: dm= (m/l) dx Ved å erstatte dette uttrykket med (5.18), får vi

For å finne treghetsmomentet til hele staven, integrerer vi uttrykk (5.19) over hele staven, dvs. fra -1/2 til +1/2:

La oss presentere uttrykk for treghetsmomentene til forskjellige symmetriske masselegemer T:

hul homogen sylinder(bøyle) med indre radius r og eksterne R i forhold til aksen OO", sammenfallende med sylinderens geometriske akse (fig. 5.7):

kontinuerlig homogen sylinder (r = 0) eller skive [se (5.21)]:

homogen ball i forhold til en akse som går gjennom midten:

rektangulært parallellepipedum i forhold til aksen OO" som går gjennom dens sentrum vinkelrett på planet til basen (fig. 5.8):

I alle eksemplene ovenfor går rotasjonsaksen gjennom kroppens massesenter. Når du løser problemer for å bestemme treghetsmomentet til et legeme om en akse som ikke går gjennom massesenteret, kan du bruke Huygens teorem. I følge denne teoremet, treghetsmomentet til kroppen i forhold til en eller annen akse OO":

hvor J 0 er treghetsmomentet om en parallell akse som går gjennom massesenteret til legemet OO"; T- kroppsmasse; d- avstanden mellom to parallelle akser (fig. 5.9). Enheten for treghetsmoment er kilometer i kvadrat(kg-m2).

Momentum

impulsmoment(vinkelmomentum)et materialpunkt som roterer om en bestemt akse kalles en verdi som er lik produktet av momentumet til punktet i dets avstand fra rotasjonsaksen:

Vinkelmomentet til et legeme som roterer rundt en bestemt akse er lik summen av vinkelmomentet til punktene som utgjør kroppen:

Siden vinkelhastigheten til alle punktene i et stivt legeme er den samme, tar ω ut av tegnet på summen [se. (5.29)], får vi:

(/ - kroppens treghetsmoment i forhold til aksen), eller i vektorform:

Så vinkelmomentet er lik produktet av treghetsmomentet til et punkt og vinkelhastigheten. Det følger at retningene til vinkelmomentet og vinkelhastighetsvektorene faller sammen. Enheten for vinkelmoment er kilogram-meter i kvadrat per sekund(kg? m2? s-1).

Det er nyttig å sammenligne formel (5.31) med en lignende formel for momentum i translasjonsbevegelse.

Kinetisk energi til et roterende legeme

Når en kropp roterer, består dens kinetiske energi av kinetiske energiene til individuelle punkter i kroppen. For en solid:

Det er nyttig å sammenligne uttrykk (5.32) med et lignende uttrykk for translasjonsbevegelse.

Ved å differensiere (5.32), får vi en elementær endring i kinetisk energi i rotasjonsbevegelse:

Grunnleggende ligning for dynamikken i rotasjonsbevegelse

La det stive legemet, som ble påvirket av ytre krefter, rotere gjennom en tilstrekkelig liten vinkel da. La oss sidestille det elementære arbeidet til alle ytre krefter under en slik rotasjon [se. (5.13)] til en elementær endring i kinetisk energi [se. (5,33)]: M dα = Jω dω , hvorfra:

Det er det det er grunnleggendeligning for dynamikk i rotasjonsbevegelse. Fra (5.35) er det klart at treghetsmomentet karakteriserer treghetsegenskapene til et legeme i rotasjonsbevegelse: under påvirkning av ytre krefter er kroppens vinkelakselerasjon større, jo mindre treghetsmomentet til kroppen er.

Den grunnleggende ligningen for rotasjonsbevegelse spiller samme rolle som Newtons andre lov for translasjonsbevegelse. De fysiske størrelsene som inngår i denne ligningen er analoge med henholdsvis kraft, masse og akselerasjon.

Fra (5.34) følger det at:

Den deriverte av vinkelmomentet til et legeme i forhold til tid er lik det resulterende momentet til alle ytre krefter.

Vinkelakselerasjonens avhengighet av kraftmomentet og treghetsmomentet kan demonstreres med

med kraften til enheten vist i fig. 5.10. Under belastning 1, hengt på en tråd kastet over en blokk, roterer krysset raskt. Flytte vekter 2 ved forskjellige avstander fra rotasjonsaksen kan du endre treghetsmomentet til tverrstykket. Skiftende laster, dvs. kraftmomenter, og treghetsmomentet, kan man verifisere at vinkelakselerasjonen øker med en økning i kraftmomentet eller en nedgang i treghetsmomentet.

5.3. LOV OM BEVARING AV MOMENTUM

La oss vurdere det spesielle tilfellet med rotasjonsbevegelse, når det totale øyeblikket av ytre krefter er null. Som det fremgår av (5.37), dL/dt= 0 kl M = 0, hvorfra

Denne bestemmelsen er kjent som loven om bevaring av vinkelmomentum: hvis det totale momentet for alle ytre krefter som virker på et legeme er null, forblir vinkelmomentet til dette legemet konstant.

Utelater beviset, merker vi at loven om bevaring av vinkelmomentum ikke bare er gyldig for en absolutt stiv kropp.

De mest interessante anvendelsene av denne loven er knyttet til rotasjonen av et system av kropper rundt en felles akse. I dette tilfellet er det nødvendig å ta hensyn til vektornaturen til vinkelmomentet og vinkelhastighetene. Altså, for et system som består av N kropper som roterer rundt en felles akse, kan loven om bevaring av vinkelmoment skrives i formen:

La oss se på noen eksempler som illustrerer denne loven.

En turner som utfører en salto (fig. 5.11) i startfasen bøyer knærne og presser dem mot brystet, og reduserer derved treghetsmomentet og øker vinkelhastigheten til rotasjonen rundt en horisontal akse som går gjennom massesenteret. På slutten av hoppet retter kroppen seg, treghetsmomentet øker, og vinkelhastigheten avtar. En skøyteløper som utfører en rotasjon rundt en vertikal akse (Fig. 5.12) i begynnelsen av rotasjonen, bringer hendene nærmere kroppen, og reduserer derved treghetsmomentet og øker vinkelhastigheten. På slutten av rotasjonen skjer den motsatte prosessen: når man beveger armene, øker treghetsmomentet og vinkelhastigheten avtar, noe som gjør det enkelt å stoppe.

Det samme fenomenet kan demonstreres på en Zhukovsky-benk, som er en lett horisontal plattform som roterer med lav friksjon rundt en vertikal akse. Når posisjonen til hendene endres, endres treghetsmomentet og vinkelhastigheten (fig. 5.13), vinkelmomentet forblir konstant. For å forbedre demonstrasjonseffekten er det manualer i hendene på en person. På Zhukovsky-benken kan du demonstrere vektornaturen til loven om bevaring av vinkelmomentum.

Eksperimentatoren, stående på en stasjonær benk, mottar fra en assistent et sykkelhjul som roterer rundt en vertikal akse (fig. 5.14, venstre). I dette tilfellet bestemmes vinkelmomentet til person- og plattformhjulsystemet bare av hjulets vinkelmoment:

her er J h treghetsmomentet til personen og plattformen; J K og ω κ - treghetsmoment og vinkelhastighet til hjulet. Siden øyeblikket av ytre krefter i forhold til den vertikale aksen er null, da L er bevart (L = konst).

Hvis eksperimentatoren roterer hjulets rotasjonsakse med 180° (fig. 5.14, høyre), vil vinkelmomentet til hjulet være rettet motsatt av originalen og lik J K ω K. Siden vinkelmomentvektoren til hjulet endres, men vinkelmomentet til systemet er bevart, må vinkelmomentet til personen og plattformen uunngåelig endres, vil det ikke lenger være lik null 1 . Vinkelmomentet til systemet i dette tilfellet

1 En liten avvik mellom hjulaksen og plattformens rotasjonsakse kan neglisjeres.

Ved å bruke formel (5.42) er det mulig å tilnærmet estimere treghetsmomentet til menneskekroppen sammen med plattformen, for hvilket det er nødvendig å måle ω κ, ω 4 og finne J k. Metoden for å måle vinkelhastigheter med jevn rotasjon er kjent for leseren. Ved å kjenne hjulets masse og anta at massen hovedsakelig er fordelt langs felgen, ved hjelp av formel (5.22) kan vi bestemme J k. For å redusere feilen kan du gjøre felgen på et sykkelhjul tyngre ved å legge spesielle dekk på det. Personen skal plasseres symmetrisk i forhold til rotasjonsaksen.

En enklere versjon av demonstrasjonen som vurderes er at en person som står på en Zhukovsky-benk selv roterer et hjul, som han holder på en vertikal akse. I dette tilfellet begynner personen og plattformen å rotere i motsatte retninger (fig. 5.15).

5.4. KONSEPTET FRI ROTASJONSØKSER

Et legeme som roterer rundt en fast akse, virker vanligvis på lagre eller andre enheter som holder posisjonen til den aksen konstant. Ved høye vinkelhastigheter og treghetsmomenter kan disse effektene være betydelige. Imidlertid er det i enhver kropp mulig å velge akser hvis retning under rotasjon vil bli opprettholdt uten noen spesielle enheter. For å forstå hvilken betingelse valget av slike akser må tilfredsstille, bør du vurdere følgende eksempel.

Ved å sammenligne (5.43) med koordinatene til massesenteret, legger vi merke til at kreftene som virker på aksen balanseres dersom rotasjonsaksen går gjennom massesenteret.

Således, hvis rotasjonsaksen passerer vinkelrett på stangen gjennom massesenteret, vil det ikke være noen innvirkning på denne aksen fra det roterende legemet. Hvis lagrene fjernes, vil rotasjonsaksen begynne å bevege seg, og holde sin posisjon i rommet uendret, og kroppen vil fortsette å rotere rundt denne aksen.

Rotasjonsakser som beholder retningen i rommet uten spesiell feste kalles frie. Eksempler på slike akser er rotasjonsaksene til jorden og toppen, aksen til ethvert kastet og fritt roterende legeme, etc.

Et legeme med vilkårlig form har alltid minst tre innbyrdes vinkelrette akser som går gjennom massesenteret, som kan være frie rotasjonsakser. Disse aksene kalles treghetsaksene. Selv om alle tre treghetsaksene er frie, vil den mest stabile rotasjonen være rundt aksen med størst treghetsmoment. Faktum er at som et resultat av den uunngåelige virkningen av ytre krefter, som friksjon, og også på grunn av det faktum at det er vanskelig å sette rotasjon nøyaktig rundt en bestemt akse, er rotasjon rundt de resterende frie aksene ustabil.

I noen tilfeller, når et legeme roterer rundt en fri akse med et lite treghetsmoment, endrer det selv denne aksen til aksen med det høyeste momentet.

Dette fenomenet demonstreres av følgende eksperiment. En sylindrisk stang er hengt opp fra den elektriske motoren med en gjenge, som kan rotere rundt sin geometriske akse (fig. 5.17, a). Treghetsmoment om denne aksen J1 = mR2/2. Ved tilstrekkelig høy vinkelhastighet vil pinnen endre posisjon (fig. 5.17, b). Treghetsmomentet i forhold til den nye aksen er lik J2 = ml 2/12. Hvis l 2 >6R 2, så J 2 > J 1. Rotasjonen rundt den nye aksen vil være stabil.

Leseren kan selvstendig verifisere av erfaring at rotasjonen til en kastet fyrstikkeske er stabil i forhold til en akse som går vinkelrett på den større flaten, og ustabil eller mindre stabil i forhold til akser som går vinkelrett på andre flater (se fig. 5.8).

Rotasjonen av dyr og mennesker i fri flukt og under ulike hopp skjer rundt frie akser med høyeste eller laveste treghetsmoment. Siden posisjonen til massesenteret avhenger av kroppens holdning, vil det være forskjellige frie akser for forskjellige stillinger.

5.5. BEGREPET FRIHETSGRADER

Posisjonen til et fritt materialpunkt i rommet er spesifisert av tre uavhengige koordinater: x, y, z. Hvis punktet ikke er fritt, men beveger seg for eksempel langs en overflate, vil ikke alle tre koordinatene være uavhengige.

Uavhengige variabler som karakteriserer posisjonen til et mekanisk system kalles frihetsgrader.

Et fritt materiell punkt har tre frihetsgrader, i det betraktede eksemplet - to frihetsgrader. Siden et molekyl av en monoatomisk gass kan betraktes som et materiell punkt, har derfor et slikt fritt molekyl også tre frihetsgrader.

Noen flere eksempler.

To materialpunkter 1 og 2 er stivt forbundet med hverandre. Plasseringen av begge punktene er spesifisert med seks koordinater x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, som er underlagt én begrensning og én forbindelse, matematisk uttrykt i form av en ligning:

Fysisk betyr dette at avstanden mellom materialpunkter alltid er l. I dette tilfellet er antallet frihetsgrader 5. Eksemplet som vurderes er en modell av et diatomisk molekyl.

Tre materialpunkter 1, 2 og 3 er stivt forbundet med hverandre. venn. Ni koordinater karakteriserer posisjonen til et slikt system: x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, x 3 y 3 , z 3 . Tre forbindelser mellom punkter bestemmer imidlertid uavhengigheten til bare seks koordinater. Systemet har seks frihetsgrader. Siden posisjonen til tre punkter som ikke ligger på samme rette linje unikt bestemmer posisjonen til en stiv kropp, har den stive kroppen seks frihetsgrader.

Triatomiske og polyatomiske molekyler har samme antall frihetsgrader (seks), hvis disse molekylene betraktes som stive formasjoner.

1 Hvis det oppnås en tenkt verdi for den avhengige koordinaten fra (5.44), betyr dette at de valgte uavhengige koordinatene ikke samsvarer med noen punkter som ligger på en kule med en gitt radius.

I ekte polyatomiske molekyler er atomene i vibrasjonsbevegelse, så antallet frihetsgrader for slike molekyler er mer enn seks.

Antallet frihetsgrader bestemmer ikke bare antall uavhengige variabler som karakteriserer posisjonen til det mekaniske systemet, men også, noe som er veldig viktig, antallet uavhengige bevegelser av systemet. Dermed betyr tre frihetsgrader for et fritt materialepunkt at enhver bevegelse av punktet kan dekomponeres til uavhengige bevegelser langs tre koordinatakser. Siden et punkt ikke har noen dimensjoner, gir det ingen mening å snakke om rotasjonen. Så et materiell punkt har tre grader av frihet for translasjonsbevegelse. Et materialpunkt på et plan, en kule eller annen overflate har to grader av frihet for translasjonsbevegelse. Bevegelsen av et materialpunkt langs en kurve (et konvensjonelt eksempel er bevegelsen til et tog på skinner) tilsvarer en grad av frihet for translasjonsbevegelse.

Et stivt legeme som roterer rundt en fast akse har én grad av frihet for rotasjonsbevegelse. Toghjulet har to frihetsgrader: den ene er rotasjonsbevegelse, og den andre er translasjonell (beveger hjulaksen langs skinnen). Seks frihetsgrader for et stivt legeme betyr at enhver bevegelse av denne kroppen kan dekomponeres i komponenter: bevegelsen til massesenteret dekomponeres i tre translasjonsbevegelser langs koordinataksene, og rotasjon består av tre enklere rotasjoner om koordinataksene passerer gjennom massesenteret.

I fig. 5.18-5.20 viser hengselskjøter tilsvarende en, to og tre frihetsgrader.

Ris. 5.18

Ris. 5.19

Ris. 5.20

5.6. SENTRIFUGERING

Sentrifugering er prosessen med separasjon (separasjon) av heterogene systemer, for eksempel partikler fra væskene de befinner seg i, på grunn av deres rotasjon.

La oss vurdere separasjonen av inhomogene systemer i et gravitasjonsfelt. La oss anta at det er en vandig suspensjon av partikler med varierende tetthet. Over tid, på grunn av tyngdekraften og flytekraften F A partikkelseparasjon forekommer: partikler med en tetthet større enn vann synker, partikler med en tetthet mindre enn vann flyter. Den resulterende kraften som virker for eksempel på en tettere individuell partikkel er lik:

Tar vi i betraktning Hookes ligning, får vi: ρ 1 - partikkelstofftetthet; ρ er tettheten til vann; V- partikkelvolum.

Hvis verdiene til ρ 1 og ρ avviker lite fra hverandre, så er kraften Fp er liten og separasjon (avsetning) skjer ganske sakte. I en sentrifuge (separator) utføres slik separering med makt ved å rotere det separerte mediet.

La oss vurdere fysikken til dette fenomenet.

La arbeidsvolumet til sentrifugen (fig. 5.21: a - utseende; b - diagram over arbeidsvolumet) være fullstendig opptatt av en eller annen homogen væske. La oss mentalt velge et lite volum V av denne væsken plassert på avstand r fra rotasjonsaksen OO". Med jevn rotasjon av sentrifugen, i tillegg til tyngdekraft og oppdriftskraft, som balanserer hverandre, virker en sentripetalkraft på det valgte volumet. Dette er kraften fra væsken som omgir volumet. Det er naturlig rettet mot rotasjonsaksen og er lik:

Tar vi i betraktning Hookes ligning, får vi: ρ er tettheten til væsken.

La oss nå anta at det tildelte volumet V er en separert partikkel hvis stofftetthet er ρ 1 (ρ 1 Φ ρ). Kraften som virker på partikkelen fra den omgivende væsken vil ikke endre seg, som man kan se av formel (5.45).

For at en partikkel skal rotere med væsken, må den påvirkes av en sentripetalkraft lik:

Tar vi i betraktning Hookes ligning, får vi: m 1 er massen til partikkelen, og ρ 1 er den tilsvarende tettheten.

Ris. 5.21

Hvis F> F 1, så beveger partikkelen seg mot rotasjonsaksen. Hvis F< F 1, da vil påvirkningen på partikkelen fra væsken ikke være nok til å holde den på en sirkulær bane, og partikkelen vil begynne å bevege seg til periferien ved treghet. Separasjonseffekten bestemmes av overskuddskraften F, virker fra siden av væsken på den valgte partikkelen, over denne verdien sentripetal kraft F 1, som forårsaker sirkulær bevegelse:

Dette uttrykket viser at effekten av sentrifugering er større, jo større forskjellen er i tetthetene til de separerte partiklene og væsken, og avhenger også betydelig av vinkelhastigheten til rotasjon 1.

La oss sammenligne separasjon ved sentrifugering med separasjon ved bruk av gravitasjon:

1 Tyngdekraft og flytekraft tas ikke i betraktning ved utledning av formel (5.47), siden de er rettet langs rotasjonsaksen og ikke har en grunnleggende effekt på sentrifugering.

Ultrasentrifuger er i stand til å separere partikler mindre enn 100 nm, suspendert eller oppløst i væske. De har funnet bred anvendelse i biomedisinsk forskning for separasjon av biopolymerer, virus og subcellulære partikler.

Separasjonshastigheten er spesielt viktig i biologisk og biofysisk forskning, siden tilstanden til objektene som studeres kan endre seg betydelig over tid.

Ligninger for stiv kroppsdynamikk. Generell sak.

I det generelle tilfellet har et absolutt stivt legeme 6 frihetsgrader, og for å beskrive bevegelsen er det nødvendig med 6 uavhengige skalarlikninger eller 2 uavhengige vektorligninger.

La oss huske at et stivt legeme kan betraktes som et system av materielle punkter, og derfor er de dynamikkligningene som er gyldige for poengsystemet som helhet, gjeldende for det.

La oss gå til eksperimenter.

La oss ta en gummipinne, vektet i den ene enden og med en lyspære nøyaktig i massesenteret (fig. 3.1). La oss tenne en lyspære og kaste en pinne fra den ene enden av publikum til den andre, og gi den en vilkårlig rotasjon - lyspærens bane vil være en parabel - en kurve langs hvilken en liten kropp kastes i en vinkel mot horisonten ville fly.

En stang som hviler i den ene enden på et jevnt horisontalt plan (fig. 1.16) faller på en slik måte at massesenteret forblir på samme vertikal - det er ingen krefter som vil forskyve massesenteret til stangen i horisontal retning .

Eksperimentet, som ble presentert i fig. 2.2a,c, indikerer at for å endre vinkelmomentet til et legeme, er det ikke bare kraften som er viktig, men momentet i forhold til rotasjonsaksen.

Et legeme som er suspendert i et punkt som ikke sammenfaller med massesenteret (fysisk pendel) begynner å svinge (fig. 3.2a) - det er et tyngdemoment i forhold til opphengspunktet, og returnerer den avbøyde pendelen til likevektsposisjonen. Men den samme pendelen, opphengt i massesenteret, er på plass likegyldig likevekt(Fig. 3.26).

Kraftmomentets rolle kommer tydelig til uttrykk i eksperimenter med «lydige» og «ulydige» spoler (fig. 3.3). Planbevegelsen til disse spolene kan representeres som ren rotasjon rundt en momentan akse som går gjennom kontaktpunktet for spolen med planet. Avhengig av retningen til kraftmomentet i forhold til den momentane aksen, ruller spolen enten tilbake (fig. 3.3a) eller ruller på gjengen (fig. 3.36). Ved å holde tråden nær nok til horisontalplanet, kan du tvinge den mest "uregjerlige" spolen til å adlyde.

Alle disse eksperimentene er ganske konsistente med de kjente dynamikklovene formulert for et system av materielle punkter: bevegelsesloven til massesenteret og loven om endring i vinkelmomentet til systemet under påvirkning av øyeblikket av ytre krefter . Altså som to vektorligninger Stive kroppsbevegelser kan brukes:

1. Bevegelsesligning for massesenteret

Her er hastigheten til kroppens massesenter, summen av alle ytre krefter som påføres kroppen.

2. Momentlikning

Her er vinkelmomentet til et stivt legeme i forhold til et bestemt punkt, M er det totale momentet av ytre krefter i forhold til samme punkt.

Følgende kommentarer må gis til ligningene (3.1) og (3.2), som er ligninger for stiv kroppsdynamikk:

1. Interne krefter, som i tilfellet med et vilkårlig system av materielle punkter, påvirker ikke bevegelsen til massesenteret og kan ikke endre vinkelmomentet til kroppen.

2. Påføringspunktet for den ytre kraften kan beveges vilkårlig langs linjen som kraften virker langs. Dette følger av at i modellen av et absolutt stivt legeme, tas det ikke hensyn til lokale deformasjoner som oppstår i området hvor kraften påføres. Den angitte overføringen vil ikke påvirke kraftmomentet i forhold til noe punkt, siden kraftens arm ikke vil endre seg.

3. Vektorer og M i ligning (3.2) regnes som regel i forhold til et eller annet fast punkt i laboratoriesystemet. I mange problemer er det praktisk å vurdere M i forhold til det bevegelige massesenteret til kroppen. I dette tilfellet har øyeblikksligningen formen, formelt

sammenfallende med (3.2). Faktisk er vinkelmomentet til et legeme i forhold til et bevegelig massesenter O relatert til vinkelmomentet i forhold til et stasjonært punkt O ved forholdet oppnådd på slutten av forelesning nr. 2:

hvor er radiusvektoren fra O til er kroppens totale bevegelsesmengde. Et lignende forhold kan lett oppnås for øyeblikk med kraft:

hvor er den geometriske summen av alle krefter som virker på et stivt legeme. Siden punkt O er ubevegelig, er momentligningen (3.2) gyldig:

Her er det tatt hensyn til at

Mengden er hastigheten til punkt O i laboratoriesystemet. Tar vi hensyn til (3.4), får vi

Siden det bevegelige punktet O er massesenteret til kroppen, så kroppens masse), det vil si at ligningen av momenter i forhold til det bevegelige massesenteret har samme form som i forhold til et stasjonært punkt. Det er viktig å merke seg at i dette tilfellet, som det ble vist på slutten av forelesning nr. 2, bør hastighetene til alle punkter på kroppen ved bestemmelse tas i forhold til kroppens massesenter.

Tidligere ble det vist at vilkårlig bevegelse av et stivt legeme kan dekomponeres til translasjonell (sammen med systemet, hvor begynnelsen på et eller annet tidspunkt er - en pol, stivt forbundet med kroppen) og rotasjon (rundt en øyeblikkelig akse som går gjennom stangen). Fra et kinematikksynspunkt er valget av pol ikke spesielt viktig fra et dynamikksynspunkt, polen er, som nå klart, beleilig plassert i massesenteret. Det er i dette tilfellet momentligningen (3.2) kan skrives i forhold til massesenteret (eller en akse som går gjennom massesenteret) i samme form som i forhold til en fast origo (eller en fast akse).

4. Hvis det ikke avhenger av kroppens vinkelhastighet, av hastigheten til massesenteret, så kan ligningene (3.1) og (3.2) vurderes

uavhengig av hverandre. I dette tilfellet tilsvarer ligning (3.1) ganske enkelt et problem fra punktmekanikk, og ligning (3.2) tilsvarer problemet med rotasjonen av et stivt legeme rundt et fast punkt eller en fast akse. Et eksempel på en situasjon der ligningene (3.1) og (3.2) ikke kan vurderes uavhengig er bevegelsen til et roterende stivt legeme i et viskøst medium.

Senere i denne forelesningen vil vi vurdere dynamikkligningene for tre spesielle tilfeller av bevegelse av et stivt legeme: rotasjon rundt en fast akse, plan bevegelse, og til slutt, bevegelsen til et stivt legeme som har en symmetriakse og festet ved massesenter.

I. Rotasjon av et stivt legeme rundt en fast akse.

I dette tilfellet bestemmes bevegelsen til et stivt legeme av ligningen

Her er vinkelmomentet i forhold til rotasjonsaksen, det vil si projeksjonen på aksen til vinkelmomentet definert i forhold til et punkt som hører til aksen (se forelesning nr. 2). M er øyeblikket av eksterne krefter i forhold til rotasjonsaksen, det vil si projeksjonen på aksen til det resulterende øyeblikket av ytre krefter, bestemt i forhold til et bestemt punkt som tilhører aksen, og valget av dette punktet på aksen , som i tilfellet med c, spiller ingen rolle. Faktisk (fig. 3.4), hvor er komponenten av kraften som påføres det faste legemet, vinkelrett på rotasjonsaksen, og er armen til kraften i forhold til aksen.

Et øyeblikk av makt F i forhold til et fast punkt O er en fysisk størrelse bestemt av vektorproduktet av radiusvektoren r trukket fra punkt O til punkt A for påføring av kraft og kraftF (Fig. 25):

M = [ rF ].

HerM - pseudo-vektor, retningen sammenfaller med retningen for translasjonsbevegelsen til høyre propell når den roterer fraG TilF .

Modulus for kraftmoment

M = Frsin = Fl, (18.1)

Hvor - vinkel mellomG OgF ; rsin = l- den korteste avstanden mellom kraftens virkningslinje og punktet O -skulder av styrke.

Kraftmoment om en fast akse zkalt den skalære mengden M z , lik projeksjonen på denne aksen til vektoren aM kraftmoment bestemt i forhold til et vilkårlig punkt O på en gitt akse 2 (fig. 26). Momentverdi M z er ikke avhengig av valget av posisjonen til punktet O på aksenz.

Ligning (18.3) erligning av dynamikk av rotasjonsbevegelse av et stivt legeme i forhold til en fast akse.

14. Massesenter for et system av materialpunkter.

I Galileo-Newton-mekanikk, på grunn av massens uavhengighet fra hastighet, kan momentumet til et system uttrykkes i form av hastigheten til dets massesenter.Massesenter (ellertreghetssenter) system av materialpunkter kalles et imaginært punkt C, hvis posisjon karakteriserer fordelingen av massen til dette systemet. Radiusvektoren er lik

Hvorm Jeg Ogr Jeg - henholdsvis masse og radiusvektorJegmaterialet punkt;n- antall materialpunkter i systemet;

- massen til systemet.

Sentrum av massehastighet

Vurderer) = -AE Jeg = m Jeg v Jeg , A

det er fartR systemer, kan du skrive

) = -AE = mv c , (9.2)

det vil si at systemets bevegelsesmengde er lik produktet av systemets masse og hastigheten til dets massesenter.

Ved å erstatte uttrykk (9.2) i ligning (9.1), får vi

mdv c / dt= F 1 + F 2 +...+ F n , (9.3)

det vil si at systemets massesenter beveger seg som et materialpunkt der massen til hele systemet er konsentrert og som en kraft virker på lik den geometriske summen av alle ytre krefter som virker på systemet. Uttrykk (9.3) erbevegelsesloven til massesenteret.

I samsvar med (9.2) følger det av loven om bevaring av momentum at massesenteret til et lukket system enten beveger seg rettlinjet og jevnt eller forblir ubevegelig

2) Bevegelsesbane. Tilbakelagt avstand. Kinematisk bevegelseslov.

Bane bevegelse av et materialpunkt - en linje beskrevet av dette punktet i rommet. Avhengig av formen på banen kan bevegelsen være rettlinjet eller buet.

La oss vurdere bevegelsen til et materiell punkt langs en vilkårlig bane (fig. 2). Vi vil begynne å telle tid fra øyeblikket da punktet var i posisjon A. Lengden på seksjonen av bane AB som materialpunktet har gått gjennom siden starten av telletiden kallesbanelengde Somog er en skalarfunksjon av tid: s =  s(t). Vektor r= r- r 0 , tegnet fra startposisjonen til det bevegelige punktet til dets posisjon i. et gitt tidspunkt (økning av radiusvektoren til et punkt over tidsperioden som vurderes) kallesflytte.

Under rettlinjet bevegelse faller forskyvningsvektoren sammen med den tilsvarende delen av banen og forskyvningsmodulen | r| lik tilbakelagt avstand s.

Spørsmål til eksamen i fysikk (1 semester)

1. Bevegelse. Typer bevegelser. Beskrivelse av bevegelsen. Referansesystem.

2. Bevegelsesbane. Tilbakelagt avstand. Kinematisk bevegelseslov.

3. Hastighet. Gjennomsnittshastighet. Hastighetsprojeksjoner.

4. Akselerasjon. Konseptet med normal og tangentiell akselerasjon.

5. Rotasjonsbevegelse. Vinkelhastighet og vinkelakselerasjon.

6. Sentripetalakselerasjon.

7. Treghetsreferansesystemer. Newtons første lov.

8. Styrke. Newtons andre lov.

9. Newtons tredje lov.

10.Typer interaksjoner. Interaksjonsbærerpartikler.

11. Feltbegrepet interaksjoner.

12. Gravitasjonskrefter. Tyngdekraften. Kroppsvekt.

13. Friksjonskrefter og elastiske krefter.

14. Massesenter for et system av materialpunkter.

15. Lov om bevaring av momentum.

16. Kraftmoment i forhold til et punkt og en akse.

17. Treghetsmoment for en stiv kropp. Steiners teorem.

18. Grunnleggende ligning for dynamikken i rotasjonsbevegelse.

19. Momentum. Loven om bevaring av vinkelmomentum.

20. Arbeid. Beregning av arbeid. Arbeid av elastiske krefter.

21. Kraft. Effektberegning.

22. Potensielt felt av krefter. Konservative og ikke-konservative krefter.

23. Konservative krefters arbeid.

24. Energi. Typer energi.

25. Kroppens kinetiske energi.

26. Potensiell energi i kroppen.

27. Total mekanisk energi til et system av kropper.

28. Forholdet mellom potensiell energi og kraft.

29. Betingelser for likevekt i et mekanisk system.

30. Kollisjon av kropper. Typer kollisjoner.

31. Fredningslover for ulike typer kollisjoner.

32. Strømledninger og rør. Kontinuitet i strømmen. 3 3. Bernoullis ligning.

34. Krefter av indre friksjon. Viskositet.

35. Oscillerende bevegelse. Typer vibrasjoner.

36. Harmoniske vibrasjoner. Definisjon, ligning, eksempler.

37. Selvsvingninger. Definisjon, eksempler.

38. Tvangsvibrasjoner. Definisjon, eksempler. Resonans.

39. Systemets indre energi.

40. Termodynamikkens første lov. Arbeid utført av en kropp når volumet endres.

41. Temperatur. Tilstandsligning for en ideell gass.

42. Intern energi og varmekapasitet til en ideell gass.

43. Adiabatisk ligning for en ideell gass.

44. Polytropiske prosesser.

45. Van der Waals gass.

46. ​​Gasstrykk på veggen. Gjennomsnittlig energi til molekyler.

47.Maxwell distribusjon.

48. Boltzmann distribusjon.

La en kraft med en skulder påføres et bestemt legeme som kan rotere om en fast akse O og har et treghetsmoment (fig. 62). La oss bestemme vinkelakselerasjonen som kroppen oppnår under påvirkning av den angitte kraften.

La oss anta at kroppen over tid roterer med vinkelhastighet (i en vinkel og påføringspunktet for kraften beskriver en bue. Arbeidet som utføres av kraften over tid vil være lik eller, ellers, Dette arbeidet går for å øke kinetisk energi for rotasjon av kroppen, dvs.

Men hvis treghetsmomentet til kroppen forblir uendret

Derfor (ved å redusere med og introdusere kraftmomentet får vi:

Vi ser at denne grunnleggende ligningen for dynamikken i rotasjonsbevegelse er lik den grunnleggende ligningen for dynamikken til translasjonsbevegelse

Imidlertid, som man kunne forvente, i ligning (13) vises kraftmomentet i stedet for kraft, treghetsmomentet vises i stedet for masse, og vinkelakselerasjon vises i stedet for lineær akselerasjon.

Tar vi i betraktning muligheten for å endre treghetsmomentet til kroppen under rotasjon, i stedet for ligning (13), ville vi oppnå ligningen

ligner på ligning

Ligning (14) inkluderer mengden La oss finne ut dens fysiske betydning. Under rotasjonsbevegelsen til et legeme beskriver hver av partikler med masse en sirkel med en viss radius mens de har en viss hastighet (fig. 63). Produktet er mengden bevegelse av en gitt partikkel. Produktet av momentumet til en partikkel og den korteste avstanden til partikkelen fra en hvilken som helst akse, dvs. mengden er vinkelmomentet i forhold til aksen. Momentum av momentum rundt en akse betraktes som en vektor rettet langs aksen i retningen der du må se for å se rotasjonen som skjer med klokken.

Ved å ta summen av vinkelmomentet til alle partiklene som utgjør det roterende legemet, får vi vinkelmomentet

av hele den gitte kroppen:

eller ved å ta ut faktoren som er felles for alle punkter utenfor sumtegnet og merke seg at det er et treghetsmoment, finner vi:

Dermed er vinkelmomentet til et legeme i forhold til rotasjonsaksen lik produktet av treghetsmomentet og vinkelhastigheten.

Merk at vinkelmomentet til et roterende legeme ofte kalles rotasjonsmomentet.

Frie aksler. Den grunnleggende ligningen for dynamikken til rotasjonsbevegelse er gyldig for rotasjon om enhver mulig akse. Det skal imidlertid bemerkes at med hensyn til arten og intensiteten av samspillet mellom det roterende legemet og støttene til rotasjonsaksen, er ikke alle akser likeverdige.

Ris. 64 Rotasjon av et legeme rundt vilkårlige (a) og frie (b) akser.

Ris. 65 frie akser av stokk (a) og skive (b)

To tilfeller er mulige: rotasjonsaksen er slik at sentrifugalkrefter tregheten utviklet av individuelle materielle punkter i kroppen er ikke balansert i forhold til denne aksen (fig. 64, a); da kroppen, når den roterer, utøver press på lagrene. Men det kan skje at alle sentrifugale treghetskrefter er balansert i forhold til rotasjonsaksen (fig. 64, b); en slik akse kalles en fri akse.

Hvis et legeme har en fullstendig symmetriakse, vil denne symmetriaksen åpenbart være en fri akse.

Det kan bevises at det i enhver kropp er tre innbyrdes vinkelrette frie akser.

Med hensyn til rotasjonsstabiliteten er det ikke likegyldig hvilken av de frie aksene som fungerer som rotasjonsakse Erfaring og teori viser at rotasjon rundt aksene med størst og minste

treghetsmomentet er stabilt, og rotasjon om en akse med gjennomsnittlig treghetsmoment er ustabilt. Så hvis en pinne er opphengt i enden på en gjenge og den andre enden av tråden bringes i rask rotasjon ved hjelp av en sentrifugalmaskin (fig. 65, a), vil pinnen rotere i et horisontalt plan om en vertikal akse vinkelrett på lengden av pinnen og passerer gjennom midten. Dette er den frie rotasjonsaksen, og treghetsmomentet til staven i denne posisjonen av aksen er maksimalt.

På samme måte vil en tung ring eller skive rotere i et horisontalt plan (fig. 65, b).

Konseptet med en fri rotasjonsakse har veldig viktig for teknologi. Det er nemlig nødvendig å tvinge de roterende delene av maskinen til å rotere rundt sine frie akser, eller som man sier må de være godt sentrert, ellers kan trykket på akselen, spesielt ved høye hastigheter, få skadelige konsekvenser, bl.a. havari av maskinen.