Termeh forelesninger. Grunnleggende mekanikk for dummies. Introduksjon. Forbindelser og reaksjoner av forbindelser

Teoretisk mekanikk er en del av mekanikken som beskriver de grunnleggende lovene for mekanisk bevegelse og mekanisk interaksjon mellom materielle legemer.

Teoretisk mekanikk er en vitenskap som studerer kroppens bevegelse over tid (mekaniske bevegelser). Det tjener som grunnlag for andre grener av mekanikk (teori om elastisitet, materialers styrke, teori om plastisitet, teori om mekanismer og maskiner, hydroaerodynamikk) og mange tekniske disipliner.

Mekanisk bevegelse- dette er en endring over tid i den relative posisjonen i rommet til materielle legemer.

Mekanisk interaksjon- dette er en interaksjon som et resultat av at den mekaniske bevegelsen endres eller den relative posisjonen til kroppsdeler endres.

Stiv kroppsstatikk

Statikk- dette er seksjonen teoretisk mekanikk, som vurderer problemer med likevekt av faste kropper og transformasjon av ett system av krefter til et annet, tilsvarende det.

Grunnleggende begreper og lover for statikk
• Absolutt fast (fast kropp, kropp) er en materiell kropp, hvor avstanden mellom alle punkter ikke endres.
• Materialpunkt er en kropp hvis dimensjoner, i henhold til forholdene til problemet, kan neglisjeres.
• Fri kropp- Dette er et organ på bevegelsen som det ikke er pålagt restriksjoner på.
• Ufri (bundet) kropp er en kropp hvis bevegelse er underlagt restriksjoner.
• Tilkoblinger– dette er kropper som hindrer bevegelse av den aktuelle gjenstanden (en kropp eller et system av kropper).
• Kommunikasjonsreaksjon er en kraft som karakteriserer virkningen av en binding på et fast legeme. Hvis vi anser kraften som et fast legeme virker på en binding som en handling, så er bindingens reaksjon en reaksjon. I dette tilfellet påføres kraften - handlingen på forbindelsen, og reaksjonen av forbindelsen påføres den faste kroppen.
• Mekanisk system er en samling av sammenkoblede kropper eller materielle punkter.
• Fast kan betraktes som et mekanisk system, hvis posisjoner og avstander mellom punktene ikke endres.
• Makt er en vektormengde som karakteriserer den mekaniske virkningen av en materialkropp på en annen.
  Kraft som vektor er preget av påføringspunkt, handlingsretning og absolutt verdi. Enheten for kraftmodul er Newton.
• kraftlinje er en rett linje som kraftvektoren er rettet langs.
• Fokusert kraft– kraft påført på ett punkt.
• Fordelte krefter (fordelt last)- dette er krefter som virker på alle punkter av volumet, overflaten eller lengden av et legeme.
  Den fordelte lasten er spesifisert av kraften som virker per volumenhet (overflate, lengde).
  Dimensjon fordelt belastning– N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Ekstern kraft er en kraft som virker fra et legeme som ikke tilhører det mekaniske systemet som vurderes.
• Indre styrke er en kraft som virker på et materialpunkt i et mekanisk system fra et annet materialpunkt som tilhører det aktuelle systemet.
• Force system er et sett med krefter som virker på et mekanisk system.
• Flat kraftsystem er et system av krefter hvis handlingslinjer ligger i samme plan.
• Romlig kraftsystem er et system av krefter hvis handlingslinjer ikke ligger i samme plan.
• System av konvergerende krefter er et system av krefter hvis handlingslinjer krysser hverandre i ett punkt.
• Vilkårlig styrkesystem er et system av krefter hvis handlingslinjer ikke krysser hverandre på ett punkt.
• Ekvivalente kraftsystemer- dette er kraftsystemer, hvis utskifting med en annen ikke endrer kroppens mekaniske tilstand.
  Akseptert betegnelse:.
• Likevekt- dette er en tilstand der en kropp, under påvirkning av krefter, forblir ubevegelig eller beveger seg jevnt i en rett linje.
• Balansert kraftsystem- dette er et kraftsystem som, når det påføres et fritt fast legeme, ikke endrer sin mekaniske tilstand (ikke kaster det ut av balanse).
  .
• Resulterende kraft er en kraft hvis virkning på et legeme tilsvarer virkningen av et kraftsystem.
  .
• Kraftens øyeblikk er en størrelse som karakteriserer rotasjonsevnen til en kraft.
• Et par krefter er et system med to parallelle krefter av samme størrelse og motsatt rettet.
  Akseptert betegnelse:.
  Under påvirkning av et par krefter vil kroppen utføre en rotasjonsbevegelse.
• Projeksjon av kraft på aksen- dette er et segment innelukket mellom perpendikulære tegnet fra begynnelsen og slutten av kraftvektoren til denne aksen.
  Projeksjonen er positiv hvis retningen til segmentet faller sammen med den positive retningen til aksen.
• Projeksjon av kraft på et fly er en vektor på et plan, innelukket mellom perpendikulære tegnet fra begynnelsen og slutten av kraftvektoren til dette planet.
• Lov 1 (treghetslov). Et isolert materialpunkt er i ro eller beveger seg jevnt og rettlinjet.
  Den jevne og rettlinjede bevegelsen til et materialpunkt er treghetsbevegelse. Likevektstilstanden til et materiell punkt og en stiv kropp forstås ikke bare som en hviletilstand, men også som bevegelse ved treghet. For et stivt legeme finnes det ulike typer treghetighetsbevegelser, for eksempel jevn rotasjon av den stive kroppen rundt fast akse.
• lov 2. Et stivt legeme er i likevekt under påvirkning av to krefter bare hvis disse kreftene er like store og rettet i motsatte retninger langs en felles handlingslinje.
  Disse to kreftene kalles balansering.
  Generelt kalles krefter balansert hvis det faste legemet som disse kreftene påføres er i ro.
• lov 3. Uten å forstyrre tilstanden (ordet "tilstand" betyr her tilstanden av bevegelse eller hvile) til en stiv kropp, kan man legge til og avvise balanserende krefter.
  Konsekvens. Uten å forstyrre tilstanden til den faste kroppen, kan kraften overføres langs dens virkelinje til et hvilket som helst punkt på kroppen.
  To kraftsystemer kalles ekvivalente hvis det ene av dem kan erstattes av det andre uten å forstyrre tilstanden til det faste legemet.
• lov 4. Resultaten av to krefter påført på ett punkt, påført på samme punkt, er lik diagonalen til et parallellogram konstruert på disse kreftene, og er rettet langs denne
  diagonaler.
  Den absolutte verdien av resultanten er:
  
• Lov 5 (loven om like handling og reaksjon). Kraftene som to legemer virker på hverandre med er like store og rettet i motsatte retninger langs den samme rette linjen.
  Det bør man ha i bakhodet handling- kraft påført kroppen B, Og motstand- kraft påført kroppen EN, er ikke balansert, siden de brukes på forskjellige kropper.
• Lov 6 (lov om størkning). Likevekten til et ikke-fast legeme blir ikke forstyrret når det størkner.
  Det bør ikke glemmes at likevektsforholdene, som er nødvendige og tilstrekkelige for et fast legeme, er nødvendige, men utilstrekkelige for det tilsvarende ikke-faste legeme.
• Lov 7 (lov om frigjøring fra bånd). En ikke-fri fast kropp kan betraktes som fri hvis den er mentalt frigjort fra bindinger, og erstatter virkningen av bindingene med de tilsvarende reaksjonene til bindingene.

Forbindelser og deres reaksjoner
• Glatt overflate begrenser bevegelsen normalt på støtteflaten. Reaksjonen er rettet vinkelrett på overflaten.
• Leddet bevegelig støtte begrenser kroppens bevegelse normalt til referanseplanet. Reaksjonen er rettet normalt mot underlagets overflate.
• Leddet fast støtte motvirker enhver bevegelse i et plan vinkelrett på rotasjonsaksen.
• Leddet vektløs stang motvirker kroppens bevegelse langs stangens linje. Reaksjonen vil bli rettet langs linjen til stangen.
• Blind tetning motvirker enhver bevegelse og rotasjon i planet. Virkningen kan erstattes av en kraft representert i form av to komponenter og et par krefter med et moment.

Kinematikk

Kinematikk- en del av teoretisk mekanikk som undersøker de generelle geometriske egenskapene til mekanisk bevegelse som en prosess som skjer i rom og tid. Objekter i bevegelse betraktes som geometriske punkter eller geometriske kropper.

Grunnleggende begreper i kinematikk
• Lov om bevegelse av et punkt (kropp)– dette er avhengigheten av posisjonen til et punkt (kropp) i rommet på tid.
• Punktbane– dette er den geometriske plasseringen av et punkt i rommet under dets bevegelse.
• Hastigheten til et punkt (kropp)– dette er en karakteristikk av endringen i tid av posisjonen til et punkt (kropp) i rommet.
• Akselerasjon av et punkt (kropp)– dette er en karakteristikk av endringen i tid av hastigheten til et punkt (kropp).

Bestemmelse av kinematiske egenskaper til et punkt
• Punktbane
  I et vektorreferansesystem beskrives banen ved uttrykket: .
  I koordinatreferansesystemet er banen bestemt av punktets bevegelseslov og beskrives av uttrykkene z = f(x,y)- i verdensrommet, eller y = f(x)- i et fly.
  I et naturlig referansesystem er banen spesifisert på forhånd.
• Bestemme hastigheten til et punkt i et vektorkoordinatsystem
  Når du spesifiserer bevegelsen til et punkt i et vektorkoordinatsystem, kalles forholdet mellom bevegelse og et tidsintervall gjennomsnittsverdien av hastighet over dette tidsintervallet: .
  Ved å ta tidsintervallet til å være uendelig, får vi hastighetsverdien i dette øyeblikket tid ( øyeblikkelig verdi hastighet): .
  Vektor gjennomsnittshastighet er rettet langs vektoren i retning av punktets bevegelse, er den momentane hastighetsvektoren rettet tangentielt til banen i retning av punktets bevegelse.
  Konklusjon: hastigheten til et punkt er en vektormengde lik den tidsderiverte av bevegelsesloven.
  Avledet egenskap: den deriverte av enhver mengde med hensyn til tid bestemmer endringshastigheten for denne mengden.
• Bestemme hastigheten til et punkt i et koordinatreferansesystem
  Hastighet for endring av punktkoordinater:
  .
  Modulen til den totale hastigheten til et punkt med et rektangulært koordinatsystem vil være lik:
  .
  Retningen til hastighetsvektoren bestemmes av cosinusene til retningsvinklene:
  ,
  hvor er vinklene mellom hastighetsvektoren og koordinataksene.
• Bestemme hastigheten til et punkt i et naturlig referansesystem
  Hastigheten til et punkt i det naturlige referansesystemet er definert som den deriverte av punktets bevegelseslov: .
  I følge tidligere konklusjoner er hastighetsvektoren rettet tangentielt til banen i retning av punktets bevegelse og i aksene bestemmes kun av én projeksjon.

Stiv kroppskinematikk
• I kinematikken til stive legemer løses to hovedproblemer:
  1) å stille inn bevegelsen og bestemme de kinematiske egenskapene til kroppen som helhet;
  2) bestemmelse av kinematiske egenskaper til kroppspunkter.
• Bevegelse fremover fast
  Translasjonsbevegelse er en bevegelse der en rett linje trukket gjennom to punkter på en kropp forblir parallell med dens opprinnelige posisjon.
  Teorem: under translasjonsbevegelse beveger alle punkter i kroppen seg langs identiske baner og har til hvert øyeblikk samme størrelse og retning av hastighet og akselerasjon.
  Konklusjon: translasjonsbevegelsen til et stivt legeme bestemmes av bevegelsen til noen av dets punkter, og derfor reduseres oppgaven og studien av bevegelsen til punktets kinematikk.
• Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp rundt en fast akse
  Rotasjonsbevegelse av et stivt legeme rundt en fast akse er bevegelsen til et stivt legeme der to punkter som tilhører kroppen forblir ubevegelige under hele bevegelsestiden.
  Kroppens posisjon bestemmes av rotasjonsvinkelen. Måleenheten for vinkel er radian. (Radian er den sentrale vinkelen til en sirkel hvis buelengde er lik radiusen, full vinkel sirkel inneholder 2π radian.)
  Loven om rotasjonsbevegelse av et legeme rundt en fast akse.
  Vi bestemmer vinkelhastigheten og vinkelakselerasjonen til kroppen ved å bruke differensieringsmetoden:
  — vinkelhastighet, rad/s;
  — vinkelakselerasjon, rad/s².
  Hvis du dissekerer kroppen med et plan vinkelrett på aksen, velg et punkt på rotasjonsaksen MED og et vilkårlig poeng M, så pek M vil beskrive rundt et punkt MED sirkelradius R. I løpet av dt det er en elementær rotasjon gjennom en vinkel , og punktet M vil bevege seg langs banen et stykke .
  Lineær hastighetsmodul:
  .
  Punktakselerasjon M med en kjent bane bestemmes den av komponentene:
  ,
  Hvor .
  Som et resultat får vi formlene
  tangentiell akselerasjon: ;
  normal akselerasjon: .

Dynamikk

Dynamikk er en del av teoretisk mekanikk der de mekaniske bevegelsene til materielle legemer studeres avhengig av årsakene som forårsaker dem.

Grunnleggende begreper om dynamikk
• Treghet- dette er egenskapen til materielle kropper for å opprettholde en hviletilstand eller uniform rettlinjet bevegelse inntil ytre krefter endrer denne tilstanden.
• Vekt er et kvantitativt mål på tregheten til en kropp. Masseenheten er kilogram (kg).
• Materialpunkt- dette er en kropp med masse, hvis dimensjoner blir neglisjert når du løser dette problemet.
• Massesenteret til et mekanisk system- et geometrisk punkt hvis koordinater bestemmes av formlene:
  
  Hvor m k, x k, y k, z k— masse og koordinater k- det punktet av det mekaniske systemet, m— massen til systemet.
  I et ensartet tyngdefelt faller posisjonen til massesenteret sammen med posisjonen til tyngdepunktet.
• Treghetsmoment for en materiell kropp i forhold til en akse er et kvantitativt mål på treghet under rotasjonsbevegelse.
  Treghetsmomentet til et materialpunkt i forhold til aksen er lik produktet av punktets masse med kvadratet av avstanden til punktet fra aksen:
  .
  Treghetsmomentet til systemet (kroppen) i forhold til aksen er lik den aritmetiske summen av treghetsmomentene til alle punkter:
  
• Treghetskraften til et materialpunkt er en vektormengde lik i modul med produktet av massen til et punkt og akselerasjonsmodulen og rettet motsatt av akselerasjonsvektoren:
• Treghetskraften til en materiell kropp er en vektormengde som i modul er lik produktet av kroppsmassen og akselerasjonsmodulen til kroppens massesenter og rettet motsatt av akselerasjonsvektoren til massesenteret: ,
  hvor er akselerasjonen til kroppens massesenter.
• Elementær kraftimpuls er en vektormengde lik produktet av kraftvektoren og en uendelig liten tidsperiode dt:
  .
  Den totale kraftimpulsen for Δt er lik integralet av de elementære impulsene:
  .
• Elementært kraftarbeid er en skalar mengde dA, lik skalarproi

Utsikt: denne artikkelen er lest 32852 ganger

Pdf Velg språk... Russisk ukrainsk engelsk

Kort anmeldelse

Hele materialet lastes ned ovenfor, etter valg av språk

• Statikk
  • Grunnleggende begreper om statikk
  • Typer krefter
  • Aksiomer for statikk
  • Forbindelser og deres reaksjoner
  • System av konvergerende krefter
    • Metoder for å bestemme det resulterende systemet av konvergerende krefter
    • Likevektsbetingelser for et system med konvergerende krefter
  • Kraftmoment om sentrum som vektor
    • Algebraisk verdi av kraftmoment
    • Egenskaper for kraftmomentet i forhold til sentrum (punkt)
  • Force par teori
    • Addisjon av to parallelle krefter rettet i samme retning
    • Addisjon av to parallelle krefter rettet i forskjellige retninger
    • Tvinge par
    • Parkraftteoremer
    • Likevektsbetingelser for et system av kraftpar
  • Spakarm
  • Vilkårlig flatt kraftsystem
    • Tilfeller av støping flatt system styrke til mer enkel utsikt
    • Analytiske likevektsforhold
  • Sentrum av parallelle krefter. Tyngdepunkt
    • Senter for parallelle styrker
    • Tyngdepunktet til en stiv kropp og dens koordinater
    • Tyngdepunkt for volum, plan og linje
    • Metoder for å bestemme plasseringen av tyngdepunktet
• Grunnleggende om styrkeløpssett
  • Mål og metoder for styrke av materialer
  • Lastklassifisering
  • Klassifisering av strukturelle elementer
  • Stangdeformasjon
  • Grunnleggende hypoteser og prinsipper
  • Interne krefter. Seksjonsmetode
  • Spenninger
  • Spenning og kompresjon
  • Materialets mekaniske egenskaper
  • Tillatte påkjenninger
  • Hardhet av materialer
  • Diagrammer over langsgående krefter og spenninger
  • Skifte
  • Geometriske egenskaper seksjoner
  • Torsjon
  • Bøye
    • Differensielle avhengigheter under bøying
    • Fleksibilitetsstyrke
    • Normale spenninger. Styrkeberegning
    • Skjærspenning under bøying
    • Bøyestivhet
  • Elementer generell teori stresset tilstand
  • Styrketeorier
  • Bøyer med torsjon
• Kinematikk
  • Kinematikk av et punkt
    • Bane for et punkts bevegelse
    • Metoder for å spesifisere punktbevegelse
    • Punkthastighet
    • Punktakselerasjon
  • Stiv kroppskinematikk
    • Translasjonsbevegelse av en stiv kropp
    • Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp
    • Kinematikk av girmekanismer
    • Planparallell bevegelse av en stiv kropp
  • Kompleks punktbevegelse
• Dynamikk
  • Grunnleggende lover for dynamikk
  • Dynamikken til et punkt
    • Differensialligninger for et fritt materiale punkt
    • Topunkts dynamikkproblemer
  • Stiv kroppsdynamikk
    • Klassifisering av krefter som virker på et mekanisk system
    • Differensialligninger for bevegelse av et mekanisk system
  • Generelle teoremer om dynamikk
    • Teorem om bevegelsen til massesenteret til et mekanisk system
    • Momentum endring teorem
    • Teorem om endring i vinkelmomentum
    • Endre teorem kinetisk energi
• Krefter som virker i maskiner
  • Krefter i inngrepet av et sylindrisk tannhjul
  • Friksjon i mekanismer og maskiner
    • Glidende friksjon
    • Rullende friksjon
  • Koeffisient nyttig handling
• Maskindeler
  • Mekaniske gir
    • Typer mekaniske gir
    • Grunnleggende og avledede parametere for mekaniske gir
    • Gears
    • Gir med fleksible lenker
  • Skaft
    • Formål og klassifisering
    • Designberegning
    • Sjekk utregning av aksler
  • Kulelager
    • Glattlager
    • Rullende lagre
  • Koble til maskindeler
    • Typer avtakbare og permanente koblinger
    • Tastede tilkoblinger
• Standardisering av normer, utskiftbarhet
  • Toleranser og landinger
  • ett system toleranser og landinger (ESDP)
  • Avvik i form og plassering

Format: pdf

Størrelse: 4MB

russisk språk

Regneeksempel på et sylindrisk tannhjul
Et eksempel på beregning av et sylindrisk tannhjul. Materialvalg, beregning av tillatte spenninger, beregning av kontakt og bøyestyrke er utført.

Et eksempel på løsning av et bjelkebøyningsproblem
I eksemplet ble det konstruert diagrammer over tverrkrefter og bøyemomenter, et farlig snitt ble funnet og en I-bjelke ble valgt. Problemet analyserte konstruksjonen av diagrammer ved hjelp av differensielle avhengigheter, utført komparativ analyse ulike tverrsnitt av bjelken.

Et eksempel på løsning av et akseltorsjonsproblem
Oppgaven er å teste styrken til en stålaksel ved en gitt diameter, materiale og tillatt spenning. Under løsningen konstrueres diagrammer over dreiemomenter, skjærspenninger og vridningsvinkler. Det tas ikke hensyn til skaftets egenvekt

Et eksempel på å løse et problem med spenningskomprimering av en stang
Oppgaven er å teste styrken til en stålstang ved spesifiserte tillatte spenninger. Under løsningen konstrueres diagrammer over langsgående krefter, normalspenninger og forskyvninger. Det tas ikke hensyn til stangens egenvekt

Anvendelse av teoremet om bevaring av kinetisk energi
Et eksempel på å løse et problem ved å bruke teoremet om bevaring av kinetisk energi til et mekanisk system

Bestemme hastigheten og akselerasjonen til et punkt ved hjelp av gitte bevegelsesligninger
Et eksempel på å løse et problem for å bestemme hastigheten og akselerasjonen til et punkt ved gitte ligninger bevegelse

Bestemmelse av hastigheter og akselerasjoner av punkter i et stivt legeme under planparallell bevegelse
Et eksempel på å løse et problem for å bestemme hastighetene og akselerasjonene til punktene til et stivt legeme under planparallell bevegelse

Bestemmelse av krefter i stengene til et flatt fagverk
Et eksempel på å løse problemet med å bestemme kreftene i stengene til et flatt fagverk ved hjelp av Ritter-metoden og metoden for å kutte noder

Som en del av ethvert utdanningskurs begynner fysikkstudiet med mekanikk. Ikke teoretisk, ikke anvendt, ikke beregningsmessig, men god gammel klassisk mekanikk. Denne mekanikken kalles også newtonsk mekanikk. Ifølge legenden gikk en vitenskapsmann i hagen, så et eple falle, og det var dette fenomenet som fikk ham til å oppdage loven universell gravitasjon. Selvfølgelig har loven alltid eksistert, og Newton ga den bare en form som var forståelig for folk, men hans fortjeneste er uvurderlig. I denne artikkelen vil vi ikke beskrive lovene til newtonsk mekanikk så detaljert som mulig, men vi vil skissere det grunnleggende, grunnleggende kunnskap, definisjoner og formler som alltid kan spille i hendene dine.

Mekanikk er en gren av fysikk, en vitenskap som studerer bevegelsen til materielle kropper og interaksjonene mellom dem.

Selve ordet er av gresk opprinnelse og er oversatt som «kunsten å bygge maskiner». Men før vi bygger maskiner, er vi fortsatt som månen, så la oss følge i fotsporene til våre forfedre og studere bevegelsen av steiner kastet i vinkel mot horisonten, og epler som faller på hodet fra en høyde h.

Hvorfor begynner studiet av fysikk med mekanikk? Fordi dette er helt naturlig, burde vi ikke starte med termodynamisk likevekt?!

Mekanikk er en av de eldste vitenskapene, og historisk begynte studiet av fysikk nettopp med grunnlaget for mekanikk. Plassert innenfor rammen av tid og rom, kunne folk faktisk ikke begynne med noe annet, uansett hvor mye de ville. Bevegelige kropper er det første vi legger merke til.

Hva er bevegelse?

Mekanisk bevegelse er en endring i posisjonen til legemer i rommet i forhold til hverandre over tid.

Det er etter denne definisjonen vi ganske naturlig kommer til begrepet en referanseramme. Endre posisjonen til kropper i rommet i forhold til hverandre. Stikkord her: i forhold til hverandre . Tross alt beveger en passasjer i en bil seg i forhold til personen som står på siden av veien med en viss hastighet, og er i ro i forhold til naboen i setet ved siden av ham, og beveger seg i en annen hastighet i forhold til passasjeren i bilen som kjører forbi dem.

Det er derfor, for å normalt måle parametrene til bevegelige objekter og ikke bli forvirret, trenger vi referansesystem - stivt sammenkoblet referanselegeme, koordinatsystem og klokke. For eksempel beveger jorden seg rundt solen i en heliosentrisk referanseramme. I hverdagen utfører vi nesten alle våre målinger i geosentrisk system referanse knyttet til jorden. Jorden er et referanselegeme i forhold til hvilke biler, fly, mennesker og dyr beveger seg.

Mekanikk, som vitenskap, har sin egen oppgave. Mekanikkens oppgave er å vite posisjonen til en kropp i rommet til enhver tid. Med andre ord, mekanikk bygger matematisk beskrivelse bevegelser og finner sammenhenger mellom fysiske mengder, som kjennetegner den.

For å komme videre trenger vi konseptet " materiell poeng " De sier at fysikk er en eksakt vitenskap, men fysikere vet hvor mange tilnærminger og antakelser som må gjøres for å bli enige om akkurat denne nøyaktigheten. Ingen har noen gang sett et materiell punkt eller luktet en ideell gass, men de eksisterer! De er rett og slett mye lettere å leve med.

Et materiell punkt er en kropp hvis størrelse og form kan neglisjeres i sammenheng med dette problemet.

Seksjoner av klassisk mekanikk

Mekanikk består av flere seksjoner

• Kinematikk
• Dynamikk
• Statikk

Kinematikk fra et fysisk synspunkt studerer den nøyaktig hvordan en kropp beveger seg. Denne delen tar med andre ord for seg de kvantitative egenskapene til bevegelse. Finn hastighet, vei - typiske kinematikkproblemer

Dynamikk løser spørsmålet om hvorfor den beveger seg som den gjør. Det vil si at den tar hensyn til kreftene som virker på kroppen.

Statikk studerer balansen mellom kropper under påvirkning av krefter, det vil si svarer på spørsmålet: hvorfor faller det ikke i det hele tatt?

Anvendelsesgrenser for klassisk mekanikk

Klassisk mekanikk hevder ikke lenger å være en vitenskap som forklarer alt (på begynnelsen av forrige århundre var alt helt annerledes), og har en klar ramme for anvendelighet. Generelt gjelder lover for klassisk mekanikk i den verden vi er vant til i størrelse (makroworld). De slutter å virke i tilfellet med partikkelverdenen, når den klassiske erstattes av kvantemekanikk. Klassisk mekanikk er heller ikke aktuelt i tilfeller der bevegelser av kropper skjer med en hastighet nær lysets hastighet. I slike tilfeller blir relativistiske effekter uttalt. Grovt sett, innenfor rammen av kvante- og relativistisk mekanikk, er klassisk mekanikk spesielt tilfelle, når kroppsstørrelsen er stor og hastigheten er lav.

Generelt sett forsvinner ikke kvanteeffekter og relativistiske effekter også under den vanlige bevegelsen til makroskopiske legemer med en hastighet som er mye lavere enn lysets hastighet. En annen ting er at effekten av disse effektene er så liten at den ikke går utover de mest nøyaktige målingene. Klassisk mekanikk vil dermed aldri miste sin grunnleggende betydning.

Vi vil fortsette å studere fysiske fundamenter mekanikk i de følgende artiklene. For en bedre forståelse av mekanikken kan du alltid henvise til til våre forfattere, som individuelt vil kaste lys over den mørke flekken til den vanskeligste oppgaven.

Forelesninger om teoretisk mekanikk

Dynamikken til et punkt

Forelesning 1

Grunnleggende begreper om dynamikk

I kapittel Dynamikk bevegelsen av kropper under påvirkning av krefter påført dem studeres. Derfor, i tillegg til de konseptene som ble introdusert i avsnitt Kinematikk, her er det nødvendig å bruke nye begreper som gjenspeiler spesifikasjonene av påvirkningen av krefter på ulike kropper og kroppens reaksjon på disse påvirkningene. La oss vurdere hoveddelen av disse konseptene.

a) styrke

Kraft er det kvantitative resultatet av påvirkningen på en gitt kropp fra andre kropper. Kraft er en vektorstørrelse (fig. 1).

Punkt A i begynnelsen av kraftvektoren F kalt kraftpåføringspunkt. Den rette linjen MN som kraftvektoren er plassert på kalles kraftens virkelinje. Lengden på kraftvektoren, målt på en bestemt skala, kalles numerisk verdi eller størrelse på kraftvektoren. Kraftmodulen er betegnet som eller. Virkningen av en kraft på en kropp manifesteres enten i dens deformasjon, hvis kroppen er ubevegelig, eller i å gi akselerasjon til den når kroppen beveger seg. Utformingen av ulike enheter (kraftmålere eller dynamometre) for måling av krefter er basert på disse kraftmanifestasjonene.

b) styrkesystem

Det betraktede settet med krefter dannes styrkesystem. Ethvert system som består av n krefter kan skrives i følgende form:

c) fri kropp

En kropp som kan bevege seg i rommet i alle retninger uten å oppleve direkte (mekanisk) interaksjon med andre kropper kalles gratis eller isolert. Påvirkningen av et bestemt kraftsystem på en kropp kan bare avklares hvis denne kroppen er fri.

d) resulterende kraft

Hvis en kraft har samme effekt på et fritt legeme som et kraftsystem, kalles denne kraften resultat av et gitt kraftsystem. Dette er skrevet som følger:

,

hva betyr det ekvivalens innflytelse på den samme frie kroppen av resultanten og et eller annet system av n krefter.

La oss nå gå videre til å vurdere mer komplekse konsepter knyttet til den kvantitative bestemmelsen av rotasjonseffektene av krefter.

e) kraftmoment i forhold til et punkt (sentrum)

Hvis et legeme under påvirkning av en kraft kan rotere rundt et eller annet fast punkt O (fig. 2), så for å kvantifisere denne rotasjonseffekten introduseres en fysisk størrelse, som kalles kraftmoment i forhold til et punkt (sentrum).

Planet som går gjennom et gitt fast punkt og kraftens virkningslinje kalles kraftplan. I fig. 2 er dette planet OAB.

Momentet til en kraft i forhold til et punkt (sentrum) er en vektormengde lik vektorproduktet av radiusvektoren til punktet for påføring av kraften av kraftvektoren:

( 1)

I henhold til regelen for vektormultiplikasjon av to vektorer, er deres vektorprodukt en vektor vinkelrett på plasseringsplanet til faktorvektorene (i dette tilfellet planet til trekanten OAB), rettet i retningen som den korteste rotasjonen av den første faktorvektoren til den andre faktorvektoren synlig mot klokken (fig. 2). Med denne rekkefølgen av vektorene til faktorene til vektorproduktet (1), vil rotasjonen av kroppen under påvirkning av kraften være synlig mot klokken (fig. 2 Siden vektoren er vinkelrett på virkningsplanet til). kraft, dens plassering i rommet bestemmer posisjonen til kraftens virkningsplan Den numeriske verdien av vektoren til kraftmomentet i forhold til sentrum er lik to ganger arealet OAB og kan bestemmes av formelen:

, (2)

Hvor omfangeth, lik den korteste avstanden fra et gitt punkt O til kraftens virkelinje, kalles kraftens arm.

Hvis posisjonen til kraftens handlingsplan i rommet ikke er avgjørende for å karakterisere kraftens rotasjonsvirkning, bruk i dette tilfellet for å karakterisere kraftens rotasjonsvirkning i stedet for vektoren til kraftmomentet. algebraisk kraftmoment:

(3)

Det algebraiske momentet til en kraft i forhold til et gitt senter er lik produktet av kraftmodulen og dens skulder tatt med et pluss- eller minustegn. I dette tilfellet tilsvarer det positive momentet rotasjonen av kroppen under påvirkning av en gitt kraft mot klokken, og det negative momentet tilsvarer kroppens rotasjon i retning med klokken. Fra formlene (1), (2) og (3) følger det at momentet til en kraft i forhold til et punkt er null bare hvis armen til denne kraftenhlik null. En slik kraft kan ikke rotere et legeme rundt et gitt punkt.

e) Kraftmoment om aksen

Hvis et legeme, under påvirkning av en kraft, kan rotere rundt en fast akse (for eksempel rotasjonen av en dør eller vindusramme i hengslene når de åpnes eller lukkes), så for å kvantifisere denne rotasjonseffekten, er en fysisk størrelse introdusert, som kalles kraftmoment om en gitt akse.

z

 b Fxy

Figur 3 viser et diagram i henhold til hvilket kraftmomentet i forhold til z-aksen bestemmes:

Vinkel  er dannet av to vinkelrette retninger z og til planene til trekantene O ab og OAV, henholdsvis. Siden  O ab er projeksjonen av OAB på xy-planet, så har vi i henhold til stereometristeoremet på projeksjonen av en plan figur på et gitt plan:

hvor plusstegnet tilsvarer en positiv cos-verdi, dvs. skarpe hjørner, og minustegnet tilsvarer en negativ cos-verdi, dvs. stumpe vinkler, som bestemmes av retningen til vektoren . I sin tur, SO ab=1/2abh, Hvor h  ab . Størrelsen på segmentet ab er lik projeksjonen av kraften på xy-planet, dvs. . ab = F xy .

Basert på ovenstående, samt likheter (4) og (5), bestemmer vi kraftmomentet i forhold til z-aksen som følger:

Likhet (6) lar oss formulere følgende definisjon av kraftmomentet i forhold til en hvilken som helst akse: Kraftmomentet i forhold til en gitt akse er lik projeksjonen på denne aksen av vektoren til denne kraftmomentet i forhold til evt. punktet på denne aksen og er definert som produktet av projeksjonen av kraften tatt med et pluss- eller minustegn på et plan vinkelrett på den gitte aksen på denne projeksjonens skulder i forhold til skjæringspunktet mellom aksen og projeksjonsplanet . I dette tilfellet anses øyeblikkets tegn som positivt hvis, sett fra den positive retningen til aksen, rotasjonen av kroppen rundt denne aksen er synlig mot klokken. Ellers blir kraftmomentet i forhold til aksen tatt negativt. Siden denne definisjonen av kraftmomentet rundt en akse er ganske vanskelig å huske, anbefales det å huske formel (6) og fig. 3, som forklarer denne formelen.

Av formel (6) følger det at kraftmomentet om aksen er null if den er parallell med aksen (i dette tilfellet er projeksjonen på planet vinkelrett på aksen null), eller kraftlinjen skjærer aksen (da projeksjonsarmen h=0). Dette samsvarer fullt ut med den fysiske betydningen av kraftmomentet om en akse som en kvantitativ karakteristikk av rotasjonseffekten av en kraft på et legeme som har en rotasjonsakse.

g) kroppsvekt

Det har lenge vært lagt merke til at under påvirkning av kraft, øker kroppen gradvis fart og fortsetter å bevege seg hvis kraften fjernes. Denne egenskapen til kropper til å motstå endringer i bevegelsen ble kalt treghet eller treghet i kropper. Et kvantitativt mål på tregheten til en kropp er dens masse. I tillegg, Kroppsmasse er et kvantitativt mål på effekten av gravitasjonskrefter på en gitt kropp Jo større massen til kroppen er, desto større er gravitasjonskraften som virker på kroppen. Som det vil bli vist nedenfor, eh Disse to definisjonene av kroppsvekt henger sammen.

De resterende begrepene og definisjonene av dynamikk vil bli diskutert senere i avsnittene der de først dukker opp.

2. Forbindelser og reaksjoner av forbindelser

Tidligere, i § 1, ledd (c), ble begrepet en fri kropp gitt, som en kropp som kan bevege seg i rommet i alle retninger uten å være i direkte kontakt med andre kropper. De fleste av de virkelige kroppene rundt oss er i direkte kontakt med andre kropper og kan ikke bevege seg i en eller annen retning. Så for eksempel kan kropper plassert på bordflaten bevege seg i alle retninger, bortsett fra i retningen vinkelrett på bordflaten nedover. Dører festet på hengsler kan utføre rotasjonsbevegelser, men kan ikke bevege seg translasjonsmessig osv. Kropp som ikke kan bevege seg i rommet i en eller annen retning kalles ikke gratis.

Alt som begrenser bevegelsen til en gitt kropp i rommet kalles begrensninger. Dette kan være noen andre kropper som hindrer bevegelse av denne kroppen i noen retninger ( fysiske forbindelser); i bredere forstand kan det være noen betingelser pålagt kroppens bevegelser som begrenser den bevegelsen. Dermed kan man sette betingelsen om at bevegelsen til et materialpunkt skjer langs en gitt kurve. I dette tilfellet spesifiseres forbindelsen matematisk i form av ligningen ( forbindelsesligning). Spørsmålet om typer tilkoblinger vil bli diskutert mer detaljert nedenfor.

De fleste forbindelsene som pålegges kropper er praktisk talt fysiske forbindelser. Derfor oppstår spørsmålet om samspillet til en gitt kropp og forbindelsen som pålegges denne kroppen. Dette spørsmålet besvares av aksiomet om legemers samspill: To legemer virker på hverandre med krefter like store, motsatte i retning og plassert på samme rette linje. Disse kreftene kalles interaksjonskrefter. Interaksjonskrefter påføres ulike samvirkende kropper. Så, for eksempel, under samspillet mellom et gitt legeme og en forbindelse, påføres en av samhandlingskreftene fra siden av kroppen til forbindelsen, og den andre samhandlingskraften påføres fra siden av forbindelsen til denne kroppen. Denne siste kraften kalles bindingsreaksjonskraft eller rett og slett, kommunikasjonsreaksjon.

Når du løser praktiske problemer med dynamikk, er det nødvendig å kunne finne retningen for reaksjoner av ulike typer sammenhenger. En generell regel for å bestemme retningen for reaksjonen til en forbindelse kan noen ganger hjelpe med dette: Reaksjonen til en forbindelse er alltid rettet motsatt av retningen som denne forbindelsen forhindrer bevegelsen til en gitt kropp. Hvis denne retningen kan spesifiseres definitivt, vil reaksjonen til bindingen bli bestemt av retningen. Ellers er retningen for koblingsreaksjonen usikker og kan bare finnes fra de tilsvarende bevegelses- eller likevektslikningene til kroppen. Spørsmålet om typene bindinger og retningen av deres reaksjoner bør studeres mer detaljert ved hjelp av læreboken: S.M. Targ Kort kurs i teoretisk mekanikk "Higher School", M., 1986. Kapittel 1, §3.

I seksjon 1, ledd (c), ble det sagt at påvirkningen av ethvert kraftsystem kan bestemmes fullstendig bare hvis dette kraftsystemet påføres et fritt legeme. Siden de fleste kropper i virkeligheten ikke er frie, så, for å studere bevegelsen til disse kroppene, oppstår spørsmålet om hvordan man kan gjøre disse kroppene frie. Dette spørsmålet er besvart aksiom for forelesningsforbindelser Av filosofi hjemme. Forelesninger var... sosialpsykologi og etnopsykologi. 3. Teoretisk resultater i sosialdarwinismen var det...

Teoretisk Mekanikk

Studieveiledning >> Fysikk

Abstrakt forelesninger Av Emne TEORETISK MEKANIKK For studenter av spesialiteten: 260501.65 ... - heltidsnotater forelesninger satt sammen på grunnlag av: Butorin L.V., Busygina E.B. Teoretisk Mekanikk. Pedagogisk og praktisk manual...

1 lysbilde

Forelesningskurs om teoretisk mekanikk Dynamikk (Del I) Bondarenko A.N. Moskva - 2007 Det elektroniske opplæringskurset ble skrevet på grunnlag av forelesninger gitt av forfatteren for studenter som studerer i spesialitetene SZhD, PGS og SDM ved NIIZhT og MIIT (1974-2006). Pedagogisk materiale tilsvarer kalenderplaner for tre semestre. For å realisere animasjonseffekter fullt ut under en presentasjon, må du bruke en fremviser Power Point ikke lavere enn den som er innebygd i Microsoft Office operativsystem Windows XP Professional. Kommentarer og forslag kan sendes på e-post: [e-postbeskyttet]. Moskva State University Jernbane (MIIT) Institutt for teoretisk mekanikk Vitenskapelig og teknisk senter transportteknologier

2 lysbilde

Innhold Forelesning 1. Introduksjon til dynamikk. Lover og aksiomer for dynamikken til et materiell punkt. Grunnleggende ligning av dynamikk. Differensial- og naturlige bevegelsesligninger. To hovedproblemer med dynamikk. Eksempler på løsning av et direkte dynamikkproblem Forelesning 2. Løsning av et inverst dynamikkproblem. Generelle instruksjoner for å løse det omvendte problemet med dynamikk. Eksempler på å løse det omvendte problemet med dynamikk. Bevegelsen av en kropp kastet i vinkel mot horisontalen, uten å ta hensyn til luftmotstand. Forelesning 3. Rettlinjede oscillasjoner av et materialpunkt. Betingelse for forekomst av svingninger. Klassifisering av vibrasjoner. Frie vibrasjoner uten å ta hensyn til motstandskrefter. Dempede svingninger. Reduksjon av svingninger. Forelesning 4. Tvangssvingninger av et materialpunkt. Resonans. Påvirkningen av motstand mot bevegelse under tvungne vibrasjoner. Forelesning 5. Relativ bevegelse av et materiell punkt. Treghetskrefter. Spesielle tilfeller av bevegelse for ulike typer bærbar bevegelse. Påvirkningen av jordens rotasjon på kroppens balanse og bevegelse. Forelesning 6. Dynamikk i et mekanisk system. Mekanisk system. Ytre og indre krefter. Systemets massesenter. Teorem om bevegelsen til massesenteret. Bevaringslover. Et eksempel på å løse et problem ved å bruke teoremet om massesenterets bevegelse. Forelesning 7. Kraftimpuls. Mengde bevegelse. Teorem om endring i momentum. Bevaringslover. Eulers teorem. Et eksempel på å løse et problem ved å bruke teoremet om endring i momentum. Momentum. Teorem om endring i vinkelmoment Forelesning 8. Bevaringslover. Elementer i teorien om treghetsmomenter. Kinetisk øyeblikk av en stiv kropp. Differensial ligning rotasjon av et stivt legeme. Et eksempel på å løse et problem ved å bruke teoremet om endringen i vinkelmomentet til et system. Elementær teori om gyroskopet. Anbefalt litteratur 1. Yablonsky A.A. Kurs i teoretisk mekanikk. Del 2. M.: forskerskolen. 1977 368 s. 2. Meshchersky I.V. Samling av problemer om teoretisk mekanikk. M.: Vitenskap. 1986 416 s. 3. Samling av oppgaver for kurs/Red. A.A. Yablonsky. M.: Videregående skole. 1985 366 s. 4. Bondarenko A.N. «Teoretisk mekanikk i eksempler og problemer. Dynamikk" ( elektronisk manual www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

3 lysbilde

Forelesning 1 Dynamikk er en del av teoretisk mekanikk som studerer mekanisk bevegelse helt fra starten felles poeng syn. Bevegelse vurderes i sammenheng med kreftene som virker på en gjenstand. Seksjonen består av tre seksjoner: Dynamikk til et materialpunkt Dynamikk Dynamikk til et mekanisk system Analytisk mekanikk ■ Dynamikk til et punkt – studerer bevegelsen til et materialpunkt, tar hensyn til kreftene som forårsaker denne bevegelsen. Hovedobjektet er et materiell punkt - en materiell kropp med masse, hvis dimensjoner kan neglisjeres. Grunnleggende antakelser: – det er absolutt rom (har ren geometriske egenskaper, uavhengig av materie og dens bevegelse. – absolutt tid eksisterer (avhenger ikke av materie og dens bevegelse). Av dette følger: – det er et absolutt ubevegelig referansesystem. – tiden avhenger ikke av referanserammens bevegelse. – massene av bevegelige punkter er ikke avhengig av referanserammens bevegelse. Disse antakelsene brukes i klassisk mekanikk, skapt av Galileo og Newton. Det har fortsatt et ganske bredt anvendelsesområde, siden de mekaniske systemene som vurderes i anvendt vitenskap ikke har så store masser og bevegelseshastigheter, som krever at man tar hensyn til deres innflytelse på geometrien til rom, tid, bevegelse, som det gjøres i relativistisk mekanikk (relativitetsteori) . ■ Dynamikkens grunnleggende lover – først oppdaget av Galileo og formulert av Newton – danner grunnlaget for alle metoder for å beskrive og analysere bevegelsen til mekaniske systemer og deres dynamiske samspill under påvirkning av ulike krefter. ■ Treghetslov (Galileo-Newton lov) – Et isolert materiell punkt, en kropp, opprettholder sin hviletilstand eller jevne lineære bevegelse inntil påførte krefter tvinger den til å endre denne tilstanden. Dette innebærer ekvivalensen av tilstanden hvile og bevegelse ved treghet (Galileos relativitetslov). Referansesystemet i forhold til som treghetsloven gjelder kalles treghet. Egenskapen til et materialpunkt for å strebe etter å opprettholde konstant bevegelseshastigheten (dets kinematiske tilstand) kalles treghet. ■ Lov om proporsjonalitet for kraft og akselerasjon (Grunnleggende dynamikkligning - Newtons II lov) – Akselerasjonen som tildeles et materiell punkt av en kraft er direkte proporsjonal med kraften og omvendt proporsjonal med massen til dette punktet: eller her er m punktets masse (et treghetsmål), målt i kg, numerisk lik vekt delt på akselerasjonen av fritt fall: F er den virkende kraften, målt i N (1 N gir en akselerasjon på 1 m/s2 til et punktveiing 1 kg, 1 N = 1/9,81 kg-s). ■ Dynamikk i et mekanisk system - studerer bevegelsen til et sett med materielle punkter og faste kropper, forent av generelle lover for samhandling, tar hensyn til kreftene som forårsaker denne bevegelsen. ■ Analytisk mekanikk – studerer bevegelsen til begrensede mekaniske systemer ved bruk av generelle analytiske metoder. 1

4 lysbilde

Forelesning 1 (forts. – 1.2) Differensialligninger for bevegelse av et materialpunkt: - differensialligning for bevegelse av et punkt i vektorform. - differensialligninger for bevegelse av et punkt i koordinatform. Dette resultatet kan oppnås ved formelt å projisere vektordifferensialligningen (1). Etter gruppering brytes vektorforholdet ned i tre skalare ligninger: I koordinatform: Vi bruker forbindelsen mellom radiusvektoren med koordinater og kraftvektoren med projeksjoner: eller: Vi erstatter akselerasjonen til et punkt med en vektorbevegelse spesifisert i grunnleggende dynamikkligning: Naturlige bevegelsesligninger for et materialpunkt oppnås ved å projisere vektordifferensialligningen for bevegelse på naturlige (bevegende) koordinatakser: eller: - naturlige bevegelsesligninger for et punkt. ■ Grunnleggende dynamikkligning: - tilsvarer vektormetoden for å spesifisere bevegelsen til et punkt. ■ Lov om uavhengighet av krefters virkning - Akselerasjonen til et materiell punkt under påvirkning av flere krefter er lik den geometriske summen av akselerasjonene til punktet fra virkningen av hver av kreftene separat: eller Loven er gyldig for enhver kinematisk tilstand av legemer. Interaksjonskrefter som påføres forskjellige punkter (kropper), er ikke balansert. ■ Loven om likhet mellom handling og reaksjon (Newtons III lov) – Hver handling tilsvarer en like stor og motsatt rettet reaksjon: 2

5 lysbilde

To hovedproblemer med dynamikk: 1. Direkte problem: Bevegelse er gitt (bevegelsesligninger, bane). Det er nødvendig å bestemme kreftene under påvirkning av hvilke en gitt bevegelse oppstår. 2. Omvendt problemstilling: Kraftene som bevegelsen skjer under påvirkning er gitt. Det kreves å finne parametrene for bevegelse (bevegelsesligninger, bevegelsesbane). Begge problemene løses ved å bruke den grunnleggende dynamikkligningen og dens projeksjon på koordinataksene. Hvis bevegelsen av et ikke-fritt punkt vurderes, brukes, som i statikk, prinsippet om frigjøring fra forbindelser. Som et resultat er reaksjonene til bindingene inkludert i kreftene som virker på materialpunktet. Løsningen på det første problemet er knyttet til differensieringsoperasjoner. Å løse det inverse problemet krever integrering av de tilsvarende differensialligningene, og dette er mye vanskeligere enn differensiering. Det omvendte problemet er vanskeligere enn det direkte problemet. La oss se på løsningen på det direkte dynamikkproblemet ved hjelp av eksempler: Eksempel 1. En heishytte som veier G løftes av en kabel med akselerasjon a. Bestem kabelspenningen. 1. Velg et objekt (heisstolen beveger seg translasjonsmessig og kan betraktes som et materialpunkt). 2. Vi forkaster forbindelsen (kabelen) og erstatter den med reaksjonen R. 3. Vi komponerer den grunnleggende dynamikkens ligning: Bestem reaksjonen til kabelen: Bestem kabelens spenning: Med jevn bevegelse av hytta, ay = 0 og kabelens spenning er lik vekten: T = G. Hvis kabelen ryker, er T = 0 og akselerasjonen til hytta er lik tyngdeakselerasjonen: ay = -g. 3 4. Vi projiserer den grunnleggende dynamikkens ligning på y-aksen: y Eksempel 2. Et punkt med masse m beveger seg langs en horisontal flate (Oxy-plan) i henhold til ligningene: x = a coskt, y = b coskt. Bestem kraften som virker på punktet. 1. Velg et objekt (materialpunkt). 2. Vi forkaster forbindelsen (planet) og erstatter den med reaksjon N. 3. Vi legger til en ukjent kraft F til kraftsystemet 4. Vi komponerer den grunnleggende dynamikkens ligning: 5. Vi projiserer dynamikkens grunnleggende ligning på. x-, y-aksene: Vi bestemmer projeksjonene til kraften: Kraftmodul: Retning cosinus : Kraftens størrelse er altså proporsjonal med avstanden til punktet til koordinatene og er rettet mot sentrum langs linjen som forbinder punktet til sentrum. Banen til et punkt er en ellipse med senter ved origo: O r Forelesning 1 (forts. – 1.3)

6 lysbilde

Forelesning 1 (forts. 1.4) Eksempel 3: En last med vekt G henger på en kabel med lengde l og beveger seg langs en sirkulær bane i et horisontalplan med en viss hastighet. Avviksvinkelen til kabelen fra vertikalen er lik. Bestem spenningen i kabelen og hastigheten på lasten. 1. Velg et objekt (last). 2. Vi forkaster forbindelsen (kabelen) og erstatter den med reaksjon R. 3. Vi komponerer den grunnleggende ligningen for dynamikk: Fra den tredje ligningen bestemmer vi reaksjonen til kabelen: Vi bestemmer spenningen til kabelen: Vi erstatter verdien av reaksjonen til kabelen, normalakselerasjonen i den andre ligningen og bestemme hastigheten på lasten: 4. Vi projiserer hovedligningsdynamikken på aksen,n,b: Eksempel 4: En bil med vekt G beveger seg på en konveks bro (krumningsradius lik R) med hastighet V. Bestem trykket til bilen på broen. 1. Velg et objekt (en bil, vi forsømmer dimensjonene og anser det som et punkt). 2. Vi kaster forbindelsen (ru overflate) og erstatter den med reaksjoner N og friksjonskraft Ftr. 3. Vi komponerer den grunnleggende dynamikkens ligning: 4. Vi projiserer den grunnleggende dynamikkens ligning på n-aksen: Herfra bestemmer vi normalreaksjonen: Vi bestemmer trykket til bilen på broen: Herfra kan vi bestemme hastigheten tilsvarende null trykk på broen (Q = 0): 4

7 lysbilde

Forelesning 2 Etter å ha erstattet de funnet verdiene til konstantene, får vi: Under påvirkning av det samme kraftsystemet kan et materiell punkt utføre en hel klasse med bevegelser bestemt av startforholdene. De innledende koordinatene tar hensyn til punktets startposisjon. Starthastigheten spesifisert av fremspringene tar hensyn til innflytelsen på dens bevegelse langs den betraktede delen av banen til kreftene som virker på punktet før de ankommer denne delen, dvs. innledende kinematisk tilstand. Løsning av det inverse problemet med dynamikk - I det generelle tilfellet med bevegelse av et punkt, er kreftene som virker på punktet variabler avhengig av tid, koordinater og hastighet. Bevegelsen til et punkt er beskrevet av et system med tre andreordens differensialligninger: Etter å ha integrert hver av dem vil det være seks konstanter C1, C2,…., C6: Verdiene til konstantene C1, C2,…. , C6 er funnet fra seks startbetingelser ved t = 0: Eksempel 1 løsning omvendt problem: Et fritt materialepunkt med masse m beveger seg under påvirkning av en kraft F, konstant i modul og størrelse. . I det første øyeblikket var punktets hastighet v0 og falt sammen i retning med kraften. Bestem bevegelsesligningen til et punkt. 1. Vi komponerer den grunnleggende dynamikkens ligning: 3. Vi senker rekkefølgen til den deriverte: 2. Vi velger en kartesisk referanseramme, retter x-aksen langs kraftens retning og projiserer den grunnleggende dynamikkligningen på denne aksen : eller x y z 4. Vi skiller variablene: 5. Vi beregner integralene til begge sider av ligningen : 6. La oss forestille oss hastighetsprojeksjonen som den deriverte av koordinaten med hensyn til tid: 8. Vi beregner integralene til begge sider av ligningen: 7. Vi skiller variablene: 9. For å bestemme verdiene til konstantene C1 og C2 bruker vi startbetingelsene t = 0, vx = v0, x = x0: Som et resultat får vi ligningen for jevn vekslende bevegelse (langs x-aksen): 5

8 lysbilde

Generelle instruksjoner for å løse direkte og omvendte problemer. Løsningsprosedyre: 1. Tegn opp en differensialligning for bevegelse: 1.1. Velg et koordinatsystem - rektangulært (fast) for en ukjent bane, naturlig (bevegelig) for en kjent bane, for eksempel en sirkel eller en rett linje. I sistnevnte tilfelle kan du bruke én rettlinjet koordinat. Referansepunktet bør justeres med startposisjonen til punktet (ved t = 0) eller med likevektsposisjonen til punktet, hvis den eksisterer, for eksempel når punktet svinger. 6 1.2. Tegn et punkt i en posisjon som tilsvarer når som helst tid (ved t > 0) slik at koordinatene er positive (s > 0, x > 0). Samtidig tror vi også at fremskrivningen av hastighet i denne posisjonen også er positiv. Ved svingninger skifter hastighetsprojeksjonen for eksempel fortegn når man går tilbake til likevektsposisjonen. Her bør det antas at punktet i det aktuelle tidspunktet beveger seg bort fra likevektsposisjonen. Å følge denne anbefalingen er viktig i fremtiden når man arbeider med motstandskrefter som er avhengig av hastighet. 1.3. Frigjør det materielle punktet fra forbindelser, erstatt deres handlinger med reaksjoner, legg til aktive krefter. 1.4. Skriv ned dynamikkens grunnleggende lov i vektorform, projiser den på de valgte aksene, uttrykk de spesifiserte eller reaktive kreftene gjennom variablene tid, koordinater eller hastigheter, hvis de er avhengige av dem. 2. Løse differensialligninger: 2.1. Senk den deriverte hvis ligningen ikke er redusert til kanonisk (standard) form. for eksempel: eller 2.2. Separate variabler, for eksempel: eller 2.4. Beregn ikke bestemte integraler på venstre og høyre side av ligningen, for eksempel: 2.3. Hvis det er tre variabler i ligningen, gjør en endring av variablene, for eksempel: og del deretter variablene. Kommentar. I stedet for å regne ubestemte integraler det er mulig å evaluere bestemte integraler med en variabel øvre grense. De nedre grensene representerer startverdier variabler (startbetingelser) Da er det ikke nødvendig å separat finne en konstant, som automatisk inkluderes i løsningen, for eksempel: Ved å bruke startbetingelser, for eksempel, t = 0, vx = vx0, bestemme integrasjonskonstanten: 2.5. Uttrykk hastigheten gjennom den deriverte av koordinaten med hensyn til tid, for eksempel, og gjenta avsnitt 2.2 -2.4 Merk. Hvis ligningen reduseres til en kanonisk form som har en standardløsning, så brukes denne ferdige løsningen. Integrasjonskonstantene er fortsatt funnet fra startforholdene. Se for eksempel svingninger (Forelesning 4, s. 8). Forelesning 2 (forts. 2.2)

Lysbilde 9

Forelesning 2 (forts. 2.3) Eksempel 2 på løsning av det inverse problemet: Kraft avhenger av tid. En last med vekt P begynner å bevege seg langs en jevn horisontal overflate under påvirkning av en kraft F, hvis størrelse er proporsjonal med tiden (F = kt). Bestem avstanden tilbakelagt av lasten i tid t. 3. Vi komponerer den grunnleggende dynamikkens ligning: 5. Vi senker rekkefølgen til den deriverte: 4. Vi projiserer den grunnleggende dynamikkens ligning på x-aksen: eller 7 6. Vi skiller variablene: 7. Vi beregner integralene av begge sider av ligningen: 9. Vi ser for oss projeksjonen av hastighet som den deriverte av koordinaten med hensyn til tid: 10. Vi beregner integralene fra begge sider av ligningen: 9. Vi skiller variablene: 8. Vi bestemmer verdien av konstanten C1 fra startbetingelsen t = 0, vx = v0=0: Som et resultat får vi bevegelsesligningen (langs x-aksen), som gir verdien av avstanden tilbakelagt i tid t: 1 Velg et referansesystem ( Kartesiske koordinater) slik at kroppen har en positiv koordinat: 2. Vi tar bevegelsesobjektet som et materiell punkt (kroppen beveger seg translasjonsmessig), frigjør den fra forbindelsen (referanseplanet) og erstatter den med en reaksjon (den normale reaksjonen til en glatt overflate): 11. Bestem verdien av konstanten C2 fra startbetingelsen t = 0, x = x0=0: Eksempel 3 for å løse det inverse problemet: Kraften avhenger av koordinaten. Et materialpunkt med massen m kastes oppover fra jordoverflaten med en hastighet v0. Jordens tyngdekraft er omvendt proporsjonal med kvadratet på avstanden fra et punkt til tyngdepunktet (jordens sentrum). Bestem hastighetens avhengighet av avstanden y til jordens sentrum. 1. Vi velger et referansesystem (kartesiske koordinater) slik at kroppen har en positiv koordinat: 2. Vi komponerer den grunnleggende dynamikkens ligning: 3. Vi projiserer den grunnleggende dynamikkens ligning på y-aksen: eller Proporsjonalitetskoeffisienten kan finnes ved hjelp av vekten til et punkt på jordoverflaten: R Derav differensialen ligningen har formen: eller 4. Vi senker rekkefølgen på den deriverte: 5. Vi gjør en endring av variabelen: 6. Vi skiller variablene : 7. Vi beregner integralene til begge sider av ligningen: 8. Vi erstatter grensene: Som et resultat får vi et uttrykk for hastigheten som funksjon av y-koordinaten: Maksimal høydeflyging kan finnes ved å likestille hastigheten til null: Maksimal flyhøyde når nevneren går til null: Herfra, ved innstilling av jordas radius og tyngdeakselerasjonen, oppnås rømningshastighet II:

10 lysbilde

Forelesning 2 (forts. 2.4) Eksempel 2 på løsning av det inverse problemet: Kraft avhenger av hastighet. Et fartøy med masse m hadde en hastighet v0. Motstanden til vann mot fartøyets bevegelse er proporsjonal med hastigheten. Bestem tiden hvor farten til skipet vil falle med det halve etter at motoren er slått av, samt avstanden tilbakelagt av skipet til det stopper helt. 8 1. Vi velger et referansesystem (kartesiske koordinater) slik at kroppen har en positiv koordinat: 2. Vi tar bevegelsesobjektet som et materiell punkt (skipet beveger seg translasjonsmessig), frigjør det fra forbindelser (vann) og erstatter det. med en reaksjon (oppdriftskraft - Arkimedes-kraften), og også kraften til motstand mot bevegelse. 3. Legg til aktiv kraft (tyngdekraften). 4. Vi komponerer den grunnleggende dynamikkens ligning: 5. Vi projiserer den grunnleggende dynamikkens ligning på x-aksen: eller 6. Vi senker rekkefølgen til den deriverte: 7. Vi skiller variablene: 8. Vi beregner integralene til begge sider av ligningen: 9. Vi erstatter grensene: Det oppnås et uttrykk som relaterer fart og tid t, hvorfra du kan bestemme bevegelsestidspunktet: Bevegelsestidspunkt hvor hastigheten vil falle til det halve: Det er interessant å Legg merke til at når hastigheten nærmer seg null, har bevegelsestiden en tendens til uendelig, dvs. slutthastigheten kan ikke være null. Hvorfor ikke "evig bevegelse"? Imidlertid er avstanden tilbakelagt til holdeplassen en begrenset verdi. For å bestemme den tilbakelagte avstanden, går vi til uttrykket oppnådd etter å ha senket rekkefølgen til den deriverte og gjør en endring av variabelen: Etter integrasjon og substitusjon av grenser får vi: Avstand tilbakelagt til stopp: ■ Bevegelsen av et punkt kastet mot en vinkel til horisonten i et ensartet tyngdefelt uten å ta hensyn til luftmotstand Eliminerer tid fra bevegelsesligningene får vi baneligningen: Flytiden bestemmes ved å likestille y-koordinaten til null: Flyrekkevidden bestemmes ved å erstatte flytiden:

11 lysbilde

Forelesning 3 Rettlinjede oscillasjoner av et materialpunkt - Oscillerende bevegelse av et materialpunkt skjer under betingelsen: det er en gjenopprettingskraft som har en tendens til å returnere punktet til likevektsposisjonen for ethvert avvik fra denne posisjonen. 9 Det er en gjenopprettende kraft, likevektsposisjonen er stabil Det er ingen gjenopprettende kraft, likevektsposisjonen er ustabil Det er ingen gjenopprettingskraft, likevektsposisjonen er likegyldig Det er en gjenopprettende kraft, likevektsposisjonen er stabil Analyse er nødvendig Strikken kraften til en fjær er et eksempel på en lineær gjenopprettingskraft. Alltid rettet mot likevektsposisjonen er verdien direkte proporsjonal med den lineære forlengelsen (forkortningen) av fjæren, lik kroppens avvik fra likevektsposisjonen: c er fjærstivhetskoeffisienten, numerisk lik kraften under påvirkning hvorav fjæren endrer lengden med én, målt i N/m i systemet SI. x y O Typer av vibrasjoner av et materialpunkt: 1. Frie vibrasjoner (uten å ta hensyn til motstanden til mediet). 2. Frie svingninger som tar hensyn til mediets motstand (dempede svingninger). 3. Tvangsvibrasjoner. 4. Tvangsvibrasjoner som tar hensyn til mediets motstand. ■ Frie vibrasjoner – oppstår kun under påvirkning av gjenopprettingskraft. La oss skrive ned dynamikkens grunnleggende lov: La oss velge et koordinatsystem med sentrum i likevektsposisjonen (punkt O) og projisere likningen på x-aksen: La oss bringe den resulterende likningen til standard (kanonisk) form: Denne ligningen er en homogen lineær differensialligning av andre orden, hvis løsningstype bestemmes av røttene til den karakteristiske ligningen, oppnådd ved bruk av en universell substitusjon: Røttene til den karakteristiske ligningen er imaginære og like: Den generelle løsningen av differensialen ligningen har formen: Punkthastighet: Utgangsbetingelser: La oss bestemme konstantene: Så, ligningen for frie oscillasjoner har formen: Ligningen kan representeres med et enleddsuttrykk: hvor a er amplituden, - innledende fase. De nye konstantene a og - er relatert til konstante C1 og C2 relasjoner: La oss definere a og: Årsaken til frie svingninger er startforskyvningen x0 og/eller starthastigheten v0.

12 lysbilde

10 Forelesning 3 (forts. 3.2) Dempede oscillasjoner av et materialpunkt – Den oscillerende bevegelsen til et materialpunkt skjer i nærvær av en gjenopprettingskraft og en motstandskraft mot bevegelse. Avhengigheten av motstandskraften til bevegelse av forskyvning eller hastighet bestemmes fysisk natur miljø eller forbindelse som hindrer bevegelse. Den enkleste avhengigheten er en lineær avhengighet av hastighet (viskos motstand): - viskositetskoeffisient x y O Grunnleggende dynamikkligning: Projeksjon av dynamikkligningen på aksen: La oss bringe likningen til standardformen: hvor Den karakteristiske likningen har røtter : Den generelle løsningen av denne differensialligningen har en annen form avhengig av verdiene til røttene: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k – tilfelle av høy viskøs motstand: - røttene er ekte, annerledes. eller - disse funksjonene er aperiodiske: 3. n = k: - røttene er reelle, multiple. disse funksjonene er også aperiodiske:

Lysbilde 13

Forelesning 3 (forts. 3.3) Klassifisering av løsninger av frie vibrasjoner. Metoder for tilkobling av fjærer. Tilsvarende hardhet. y y 11 Forskj. Karakterligning. ligning Røtter til karakter. ligninger Løsning av differensialligningen Graf nk n=k

Lysbilde 14

Forelesning 4 Tvangssvingninger av et materialpunkt - Sammen med gjenopprettingskraften virker det en periodisk skiftende kraft, kalt den forstyrrende kraften. Den forstyrrende kraften kan være av ulik karakter. For eksempel, i et spesielt tilfelle, forårsaker treghetsvirkningen til den ubalanserte massen m1 til en roterende rotor harmonisk varierende kraftprojeksjoner: Grunnleggende dynamikkligning: Projeksjon av dynamikkligningen på aksen: La oss redusere likningen til standardform : 12 Løsningen til denne inhomogene differensialligningen består av to deler x = x1 + x2: x1 er den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen og x2 er den spesielle løsningen av den inhomogene ligningen: Vi velger en bestemt løsning i form av høyre side: Den resulterende likheten må være oppfylt for enhver t. Deretter: eller Dermed, med den samtidige handlingen av gjenopprettende og forstyrrende krefter, utfører et materialpunkt en kompleks oscillerende bevegelse, som er resultatet av addisjonen (superposisjon) av frie (x1) og tvungne (x2) svingninger. Hvis s< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (tvangssvingninger med høy frekvens), da er fasen av svingninger motsatt av fasen til den forstyrrende kraften:

15 lysbilde

Forelesning 4 (forts. 4.2) 13 Dynamisk koeffisient - forholdet mellom amplituden til tvangssvingninger og den statiske avbøyningen av et punkt under påvirkning av en konstant kraft H = konst: Amplitude av tvangssvingninger: Statisk avvik kan finnes fra likevektsligningen : Her: Herfra: Således, på s< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (høy frekvens av tvangssvingninger) dynamisk koeffisient: Resonans - oppstår når frekvensen av tvangssvingninger faller sammen med frekvensen til naturlige svingninger (p = k). Dette skjer oftest ved start og stopp av rotasjonen av dårlig balanserte rotorer montert på elastiske oppheng. Differensialligning av oscillasjoner med like frekvenser: En spesiell løsning i form av høyre side kan ikke tas, fordi du får en lineært avhengig løsning (se generell løsning). Generell løsning: Bytt inn i differensialligningen: Ta en bestemt løsning på formen og beregn de deriverte: Dermed oppnås løsningen: eller Tvangssvingninger under resonans har en amplitude som øker uendelig proporsjonalt med tiden. Påvirkningen av motstand mot bevegelse under tvungne vibrasjoner. Differensialligningen i nærvær av viskøs motstand har formen: Den generelle løsningen velges fra tabellen (Forelesning 3, side 11) avhengig av forholdet mellom n og k (se). La oss ta den partielle løsningen på formen og regne ut de deriverte: Substituere inn i differensialligningen: Ligne koeffisientene for det samme trigonometriske funksjoner får vi et ligningssystem: Ved å heve begge ligningene til potensen og legge dem til får vi amplituden til tvangssvingninger: Ved å dele den andre likningen med den første får vi faseforskyvningen av tvangssvingninger: Dermed blir bevegelsesligningen for tvunget svingninger som tar hensyn til motstanden mot bevegelse, for eksempel ved n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 lysbilde

Forelesning 5 Relativ bevegelse av et materiell punkt – La oss anta at det bevegelige (ikke-treghets) koordinatsystemet Oxyz beveger seg i henhold til en viss lov i forhold til det faste (treghets)koordinatsystemet O1x1y1z1. Bevegelsen til materialpunktet M (x, y, z) i forhold til det bevegelige systemet Oxyz er relativ, i forhold til det faste systemet O1x1y1z1 er absolutt. Bevegelsen til det mobile systemet Oxyz i forhold til det faste systemet O1x1y1z1 er bærbar bevegelse. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Grunnleggende dynamikkligning: Absolutt akselerasjon av et punkt: Bytt ut den absolutte akselerasjonen til et punkt med den grunnleggende dynamikkligningen: Overfør begrepene med bærbar og Coriolis-akselerasjon til høyre side: De overførte leddene har dimensjonen krefter og betraktes som de tilsvarende treghetskreftene, lik: Da kan den relative bevegelsen til punktet betraktes som absolutt dersom vi legger overførings- og Coriolis-treghetskreftene til de virkende kreftene: I projeksjoner på aksene til det bevegelige koordinatsystemet har vi: Spesielle tilfeller av punktets relative bevegelse for ulike typer bærbare bevegelser: 1. Rotasjon rundt en fast akse: Hvis rotasjonen er jevn, så er εe = 0: 2. Translasjonskurvilineær bevegelse : Hvis bevegelsen er rettlinjet, så =: Hvis bevegelsen er rettlinjet og jevn, så er det bevegelige systemet treghets- og relativ bevegelse kan betraktes som absolutt: Ingen mekaniske fenomener kan oppdage en rettlinjet jevn bevegelse(relativitetsprinsippet til klassisk mekanikk). Jordens rotasjons innflytelse på likevekten til legemer - La oss anta at kroppen er i likevekt på jordoverflaten på en vilkårlig breddegrad φ (parallell). Jorden roterer rundt sin akse fra vest til øst med en vinkelhastighet: Jordens radius er omtrent 6370 km. S R – total reaksjon av en ikke-glatt overflate. G er tiltrekningskraften til jorden til sentrum. F – sentrifugaltreghetskraft. Betingelse for relativ likevekt: Resultatet av tiltrekningskreftene og treghetskreftene er tyngdekraften (vekt): Størrelsen på tyngdekraften (vekten) på jordoverflaten er P = mg. Treghetssentrifugalkraften er en liten brøkdel av tyngdekraften: Tyngdekraftens avvik fra retningen til tiltrekningskraften er også liten: Dermed er påvirkningen av jordens rotasjon på kroppens likevekt ekstremt liten og tas ikke med i praktiske beregninger. Den maksimale verdien av treghetskraften (ved φ = 0 - ved ekvator) er bare 0,00343 av tyngdekraften

Lysbilde 17

Forelesning 5 (forts. 5.2) 15 Jordens rotasjons innflytelse på bevegelsen til legemer i jordens gravitasjonsfelt – La oss anta at et legeme faller på jorden fra en viss høyde H over jordoverflaten ved breddegrad φ. La oss velge et bevegelig referansesystem som er stivt koblet til jorden, som retter x-, y-aksene tangentielt til parallellen og til meridianen: Relativ bevegelseslikning: Her tas hensyn til litenheten sentrifugalkraft treghet sammenlignet med tyngdekraften. Dermed identifiseres tyngdekraften med tyngdekraften. I tillegg tror vi at tyngdekraften er rettet vinkelrett på jordoverflaten på grunn av den lille avviket, som diskutert ovenfor. Coriolis-akselerasjonen er lik og rettet parallelt med y-aksen mot vest. Coriolis treghetskraften er rettet inn motsatt side. La oss projisere ligningen for relativ bevegelse på aksen: Løsningen av den første ligningen gir: Utgangsbetingelser: Løsningen av den tredje ligningen gir: Utgangsbetingelser: Den tredje ligningen har formen: Utgangsbetingelser: Dens løsning gir: Den resulterende løsningen viser at kroppen avviker mot øst ved fall. La oss beregne størrelsen på dette avviket, for eksempel når vi faller fra en høyde på 100 m. Vi vil finne falltiden fra løsningen av den andre ligningen: Dermed er påvirkningen av jordens rotasjon på kroppens bevegelse ekstremt liten. for praktiske høyder og hastigheter og tas ikke med i tekniske beregninger. Fra løsningen av den andre ligningen følger den også eksistensen av hastighet langs y-aksen, som også skal forårsake og forårsaker den tilsvarende akselerasjonen og Coriolis-treghetskraften. Påvirkningen av denne hastigheten og treghetskraften assosiert med den på endringen i bevegelse vil være enda mindre enn den betraktede Coriolis treghetskraften assosiert med den vertikale hastigheten.

18 lysbilde

Forelesning 6 Dynamikk i et mekanisk system. Et system av materielle punkter eller et mekanisk system - Et sett med materielle punkter eller materielle, forent av generelle lover for samhandling (posisjonen eller bevegelsen til hvert punkt eller legeme avhenger av posisjonen og bevegelsen til alle de andre) Et system med fri punkter - hvis bevegelse ikke er begrenset av noen forbindelser (for eksempel et planetsystem , der planeter betraktes som materielle punkter). Et system med ikke-frie punkter eller et ikke-fritt mekanisk system - bevegelsen av materielle punkter eller kropper er begrenset av tilkoblinger som er pålagt systemet (for eksempel en mekanisme, en maskin, etc.). 16 krefter som virker på systemet. I tillegg til den tidligere eksisterende klassifiseringen av krefter (aktive og reaktive krefter), introduseres en ny klassifisering av krefter: 1. Ytre krefter (e) - som virker på punkter og kropper i systemet fra punkter eller kropper som ikke er en del av dette system. 2. Interne krefter (i) – vekselvirkningskrefter mellom materielle punkter eller kropper som inngår i et gitt system. Den samme kraften kan være både ytre og indre kraft. Alt avhenger av hva slags mekanisk system som vurderes. For eksempel: I systemet med Solen, Jorden og Månen er alle gravitasjonskrefter mellom dem interne. Når man vurderer jord- og månesystemet, er gravitasjonskreftene som påføres fra solen eksterne: C Z L Basert på loven om handling og reaksjon, tilsvarer hver indre kraft Fk en annen indre kraft Fk’, lik i størrelse og motsatt i retning. To bemerkelsesverdige egenskaper til indre krefter følger av dette: Hovedvektoren til alle indre krefter i systemet er lik null: Hovedmomentet til alle indre krefter i systemet i forhold til ethvert senter er lik null: Eller i projeksjoner på koordinaten akser: Merk. Selv om disse ligningene ligner på likevektsligninger, er de ikke likevektsligninger, siden indre krefter påføres forskjellige punkter eller kropper i systemet og kan føre til at disse punktene (legemene) beveger seg i forhold til hverandre. Fra disse ligningene følger det at indre krefter ikke påvirker bevegelsen til systemet sett som en helhet. Massesenter av et system av materialpunkter. For å beskrive bevegelsen til systemet som helhet, introduseres et geometrisk punkt, kalt massesenteret, hvis radiusvektor bestemmes av uttrykket, der M er massen til hele systemet: Eller i projeksjoner på koordinaten akser: Formlene for massesenteret ligner på formlene for tyngdepunktet. Imidlertid er begrepet massesenter mer generelt fordi det ikke er relatert til gravitasjonskrefter eller gravitasjonskrefter.

Lysbilde 19

Forelesning 6 (forts. 6.2) 17 Teorem om bevegelsen til massesenteret til et system – Betrakt et system med n materielle punkter. Vi deler kreftene på hvert punkt inn i ytre og indre og erstatter dem med de tilsvarende resultantene Fke og Fki. La oss skrive ned den grunnleggende dynamikkens ligning for hvert punkt: eller La oss summere disse ligningene over alle punktene: På venstre side av ligningen skriver du inn massene under tegnet til den deriverte og erstatter summen av de deriverte med den deriverte av den. sum: Fra definisjonen av massesenteret: Bytt inn i den resulterende ligningen: Etter å ha tatt systemets masse ut av tegnet til den deriverte får vi eller: Produktet av systemets masse og akselerasjonen av dets sentermasse er lik hovedvektoren for ytre krefter. I projeksjoner på koordinatakser: Systemets massesenter beveger seg som et materialpunkt med en masse lik massen til hele systemet, som alle ytre krefter som virker på systemet påføres. Følger fra teoremet om bevegelsen til systemets massesenter (bevaringslover): 1. Hvis hovedvektoren til systemets ytre krefter i tidsintervallet er null, Re = 0, så er hastigheten til sentrum masse er konstant, vC = const (massesenteret beveger seg jevnt rettlinjet - loven om bevaring av bevegelse massesenter). 2. Hvis i tidsintervallet projeksjonen av hovedvektoren til systemets ytre krefter på x-aksen er null, Rxe = 0, så er hastigheten til massesenteret langs x-aksen konstant, vCx = const ( massesenteret beveger seg jevnt langs aksen). Lignende utsagn gjelder for y- og z-aksene. Eksempel: To personer med masse m1 og m2 er i en båt med masse m3. I det første øyeblikket lå båten med folk i ro. Bestem forskyvningen av båten hvis en person med masse m2 beveget seg til baugen på båten i en avstand a. 3. Hvis hovedvektoren til systemets ytre krefter i tidsintervallet er null, Re = 0, og i det første øyeblikket er hastigheten til massesenteret null, vC = 0, så er radiusvektoren til sentrum massen forblir konstant, rC = const (massesenteret er i ro – lov om bevaring av posisjonen til massesenteret). 4. Hvis projeksjonen av hovedvektoren til systemets ytre krefter på x-aksen i tidsintervallet er null, er Rxe = 0, og i første øyeblikk er hastigheten til massesenteret langs denne aksen null, vCx = 0, da forblir koordinaten til massesenteret langs x-aksen konstant, xC = const (massesenteret beveger seg ikke langs denne aksen). Lignende utsagn gjelder for y- og z-aksene. 1. Bevegelsesobjekt (båt med mennesker): 2. Kast forbindelser (vann): 3. Erstatt forbindelse med reaksjon: 4. Legg til aktive krefter: 5. Skriv teoremet om massesenteret: Projisere på x-aksen: O Bestem hvor langt du må bevege deg til en person med masse m1, slik at båten forblir på plass: Båten vil bevege seg en avstand l i motsatt retning.

20 lysbilde

Forelesning 7 Kraftimpuls er et mål på mekanisk vekselvirkning som karakteriserer overføring av mekanisk bevegelse fra kreftene som virker på et punkt i en gitt tidsperiode: 18 I projeksjoner på koordinataksene: Ved en konstant kraft: I projeksjoner på koordinataksene: Den resulterende impulsen er lik den geometriske summen av de påførte impulsene til punktet for krefter i samme tidsrom: Multipliser med dt: Integrer over en gitt tidsperiode: Momentumet til et punkt er et mål på mekanisk bevegelse, bestemt av en vektor lik produktet av massen til et punkt og vektoren av dets hastighet: Teorem om endringen i bevegelsesmengden til et system - Betrakt et system n materielle punkter. Vi deler kreftene på hvert punkt inn i ytre og indre og erstatter dem med de tilsvarende resultantene Fke og Fki. La oss skrive ned for hvert punkt den grunnleggende dynamikkens ligning: eller Momentumet til et system av materielle punkter er den geometriske summen av bevegelsesmengdene til materielle punkter: Per definisjon av massesenteret: Momentumvektoren til systemet er lik produktet av massen til hele systemet med hastighetsvektoren til systemets massesenter. Deretter: I projeksjoner på koordinataksene: Tidsderiverten av bevegelsesvektoren til systemet er lik hovedvektoren til systemets ytre krefter. La oss summere disse ligningene over alle punkter: På venstre side av ligningen, skriv inn massene under tegnet til den deriverte og erstatt summen av de deriverte med den deriverte av summen: Fra definisjonen av systemets momentum: I projeksjoner på koordinataksene:

21 lysbilder

Eulers teorem - Anvendelse av teoremet om endringen i bevegelsesmengden til et system på bevegelsen av et kontinuerlig medium (vann). 1. Vi velger som bevegelsesobjekt volumet av vann som befinner seg i den krumlinjede kanalen til turbinen: 2. Vi forkaster forbindelsene og erstatter deres virkning med reaksjoner (Rsur er resultanten av overflatekrefter) 3. Vi legger til aktive krefter ( Rob er resultanten av volumetriske krefter): 4. Vi skriver teoremet om endring i bevegelsesmengden til systemet: Vi presenterer bevegelsesmengden til vannet til tidene t0 og t1 som summer: Endring i vannets bevegelsesmengde i tidsintervallet: Endring i vannets bevegelsesmengde over et uendelig lite tidsintervall dt: , hvor F1 F2 Ved å ta produktet av tetthet, tverrsnittsareal og hastighet for den andre massen får vi: Ved å erstatte differensialen til systemets bevegelsesmengde i endringsteoremet får vi: Følger fra teoremet om endringen i systemets bevegelsesmengde (bevaringslover): 1. Hvis hovedvektoren til systemets ytre krefter i tidsintervallet er null, Re = 0, så er mengdevektorens bevegelse konstant, Q = const – loven om bevaring av systemets momentum). 2. Hvis i tidsintervallet projeksjonen av hovedvektoren til systemets ytre krefter på x-aksen er null, Rxe = 0, så er projeksjonen av systemets momentum på x-aksen konstant, Qx = const . Lignende utsagn gjelder for y- og z-aksene. Forelesning 7 (fortsatt fra 7.2) Eksempel: En granat med masse M, som fløy med hastighet v, eksploderte i to deler. Hastigheten til et av fragmentene med masse m1 økte i bevegelsesretningen til en verdi v1. Bestem hastigheten til det andre fragmentet. 1. Bevegelsesobjekt (granat): 2. Objekt er et fritt system, det er ingen forbindelser og deres reaksjoner. 3. Legg til aktive krefter: 4. Skriv teoremet om endringen i momentum: Projisere på aksen: β Skille variablene og integrer: Det høyre integralet er praktisk talt lik null, fordi eksplosjonstid t

22 lysbilde

Forelesning 7 (forts. 7.3) 20 Vinkelmomentet til et punkt eller vinkelmomentet til et punkt i forhold til et senter er et mål på mekanisk bevegelse bestemt av en vektor lik vektorproduktet av radiusvektoren til et materialpunkt og vektoren av momentumet: Vinkelmomentet til et system av materialpunkter i forhold til et eller annet senter er geometrisk summen av vinkelmomentet til alle materialpunkter i forhold til samme senter: I projeksjoner på aksen: I projeksjoner på aksen: Teorem om endring vinkelmomentet til systemet – Betrakt et system med n materielle punkter. Vi deler kreftene på hvert punkt inn i ytre og indre og erstatter dem med de tilsvarende resultantene Fke og Fki. La oss skrive ned den grunnleggende dynamikkens ligning for hvert punkt: eller La oss summere disse ligningene over alle punktene: La oss erstatte summen av deriverte med den deriverte av summen: Uttrykket i parentes er vinkelmomentet til systemet. Derfor: La oss vektorielt multiplisere hver av likhetene med radiusvektoren til venstre: La oss se om det er mulig å flytte tegnet til den deriverte utenfor vektorproduktet: Dermed får vi: Den deriverte av vinkelmomentvektoren til systemet i forhold til et eller annet senter er lik i tid med hovedmomentet til systemets ytre krefter i forhold til samme senter. I projeksjoner på koordinatakser: Den deriverte av systemets momentum i forhold til en viss akse i tid er lik hovedmomentet til systemets ytre krefter i forhold til samme akse.

Lysbilde 23

Forelesning 8 21 ■ Konsekvenser fra teoremet om endring av vinkelmomentet til et system (bevaringslover): 1. Hvis vektoren til hovedmomentet til systemets ytre krefter i forhold til et eller annet senter i et tidsintervall er null, er MOe = 0, deretter vinkelmomentvektoren til systemet i forhold til den samme senterkonstanten, KO = const – lov om bevaring av vinkelmomentet til systemet). 2. Hvis i tidsintervallet Hovedpoenget ytre krefter til systemet i forhold til x-aksen er null, Mxe = 0, da er vinkelmomentet til systemet i forhold til x-aksen konstant, Kx = konst. Lignende utsagn gjelder for y- og z-aksene. 2. Treghetsmoment for et stivt legeme i forhold til aksen: Treghetsmomentet til et materialpunkt i forhold til aksen er lik produktet av punktets masse med kvadratet av avstanden til punktet til aksen. Treghetsmomentet til et stivt legeme i forhold til aksen er lik summen av produktene av massen til hvert punkt og kvadratet på avstanden til dette punktet til aksen. ■ Elementer i teorien om treghetsmomenter – I rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme er treghetsmålet (motstand mot endring i bevegelse) treghetsmomentet i forhold til rotasjonsaksen. La oss vurdere de grunnleggende konseptene for definisjon og metoder for å beregne treghetsmomenter. 1. Treghetsmoment for et materialpunkt i forhold til aksen: Når man går fra en diskret liten masse til en uendelig liten masse av et punkt, bestemmes grensen for en slik sum av integralet: aksialt treghetsmoment til et stivt legeme. I tillegg til det aksiale treghetsmomentet til et fast legeme, finnes det andre typer treghetsmomenter: det sentrifugale treghetsmomentet til et fast legeme. polart treghetsmoment for et stivt legeme. 3. Teorem om treghetsmomentene til et stivt legeme i forhold til parallelle akser - formelen for overgang til parallelt med aksene: Treghetsmoment om referanseaksen Statiske treghetsmomenter om referanseaksene Kroppsmasse Avstand mellom aksene z1 og z2 Altså: Hvis z1-aksen går gjennom massesenteret, så er de statiske momentene null:

24 lysbilde

Forelesning 8 (forts. 8.2) 22 Treghetsmoment for en homogen stav med konstant tverrsnitt i forhold til aksen: x z L Velg elementærvolumet dV = Adx i en avstand x: x dx Elementærmasse: For å beregne treghetsmomentet relativt til sentralaksen (passerer gjennom tyngdepunktet), er det nok å endre plasseringen av aksen og sette integrasjonsgrenser (-L/2, L/2). Her demonstrerer vi formelen for overgangen til parallelle akser: zC 5. Treghetsmomentet til en homogen solid sylinder i forhold til symmetriaksen: H dr r La oss velge det elementære volumet dV = 2πrdrH (tynn sylinder med radius r) : Elementær masse: Formelen for volumet til sylinderen V = πR2H brukes her. For å beregne treghetsmomentet til en hul (tykk) sylinder, er det nok å sette grensene for integrasjon fra R1 til R2 (R2> R1): 6. Treghetsmoment for en tynn sylinder i forhold til symmetriaksen (t)

25 lysbilde

Forelesning 8 (forts. 8.3) 23 ■ Differensialligning for rotasjon av et stivt legeme om en akse: La oss skrive endringsteoremet kinetisk øyeblikk av et stivt legeme som roterer rundt en fast akse: Det kinetiske momentet til et roterende stivt legeme er lik: Momentet for ytre krefter i forhold til rotasjonsaksen er lik dreiemomentet (reaksjoner og tyngdekraft skaper ikke momenter): Vi erstatter det kinetiske momentet og dreiemomentet inn i teoremet Eksempel: To personer med samme vekt G1 = G2 henger i et tau kastet over en solid blokk med vekt G3 = G1/4. På et tidspunkt begynte en av dem å klatre i tauet med en relativ hastighet u. Bestem stigningshastigheten for hver person. 1. Velg bevegelsesobjektet (blokk med personer): 2. Kast forbindelsene (støtteanordningen til blokken): 3. Erstatt forbindelsen med reaksjoner (lager): 4. Legg til aktive krefter (tyngdekraftskrefter): 5. Skriv teoremet om endringen i systemets kinetiske moment i forhold til rotasjonsaksen til blokken: R Siden momentet for ytre krefter er null, må det kinetiske momentet forbli konstant: I det innledende tidspunktet t = 0 var det likevekt og Kz0 = 0. Etter at bevegelsen til en person i forhold til tauet begynte, begynte hele systemet å bevege seg, men det kinetiske momentsystemet må forbli lik null: Kz = 0. Det kinetiske momentet til systemet er summen av kinetiske øyeblikk for både mennesker og blokken: Her er v2 hastigheten til den andre personen, lik hastighet kabel, Eksempel: Bestem perioden for små frie oscillasjoner til en homogen stang med masse M og lengde l, opphengt i den ene enden fra en fast rotasjonsakse. Eller: Ved små svingninger sinφ φ: Svingningsperiode: Treghetsmoment for stangen:

26 lysbilde

Forelesning 8 (fortsatt fra 8.4 – tilleggsmateriale) 24 ■ Elementær teori om gyroskopet: Et gyroskop er et stivt legeme som roterer rundt en materialsymmetriakse, hvor ett av punktene er ubevegelige. Fritt gyroskop - festet slik at massesenteret forblir stasjonært, og rotasjonsaksen passerer gjennom massesenteret og kan ta hvilken som helst posisjon i rommet, dvs. rotasjonsaksen endrer sin posisjon som aksen for kroppens egen rotasjon under sfærisk bevegelse. Hovedantakelsen til den omtrentlige (elementære) teorien til gyroskopet er at vektoren for vinkelmomentum (kinetisk moment) til rotoren anses å være rettet langs egen akse rotasjon. Til tross for det faktum at rotoren i det generelle tilfellet deltar i tre rotasjoner, tas det kun hensyn til vinkelhastigheten til dens egen rotasjon ω = dφ/dt. Grunnen til dette er at i moderne teknologi Gyroskoprotoren roterer med en vinkelhastighet i størrelsesorden 5000-8000 rad/s (ca. 50000-80000 rpm), mens de to andre vinkelhastigheter, assosiert med presesjon og nutasjon av sin egen rotasjonsakse, titusenvis av ganger mindre enn denne hastigheten. Hovedegenskapen til et fritt gyroskop er at rotoraksen opprettholder en konstant retning i rommet med hensyn til den treghets- (stjerne) referanserammen (demonstrert av Foucault-pendelen, som holder svingplanet uendret i forhold til stjernene, 1852) . Dette følger av loven om bevaring av kinetisk moment i forhold til rotorens massesenter, forutsatt at friksjon i lagrene til rotoropphengsaksene, ytre og indre rammer neglisjeres: Kraftens virkning på det frie gyroskopets akse . Når det gjelder en kraft påført rotoraksen, er ikke momentet til ytre krefter i forhold til massesenteret lik null: ω ω C Den deriverte av det kinetiske momentet med hensyn til tid er lik hastigheten til enden av denne vektoren (Resals teorem): Dette betyr at rotoraksen vil avvike i en annen retning enn aksjonskraften, og mot vektoren til momentet til denne kraften, dvs. vil rotere ikke om x-aksen (intern oppheng), men om y-aksen (ekstern oppheng). Når kraften opphører, vil rotoraksen forbli i uendret posisjon tilsvarende kraftens siste øyeblikk, fordi fra dette tidspunktet blir øyeblikket av ytre krefter igjen lik null. Ved en kortvarig kraft (påvirkning) endrer gyroskopaksen praktisk talt ikke sin posisjon. Den raske rotasjonen av rotoren gir således gyroskopet muligheten til å motvirke tilfeldige påvirkninger som har en tendens til å endre posisjonen til rotorrotasjonsaksen, og med konstant kraft opprettholder det posisjonen til planet vinkelrett på den virkende kraften som rotoren har. aksen ligger. Disse egenskapene brukes i driften av treghetsnavigasjonssystemer.