Et legeme hvis overflate består av et endelig tall. Et legeme hvis overflate består av et begrenset antall plane polygoner. Hvis sidekanten av et prisme er vinkelrett på planet til basen, kalles et slikt prisme et rett prisme; hvis sidekanten er

"Typer polyedre" - Vanlige stjernepolyedere. Dodekaeder. Liten stjernedodekaeder. Polyeder. Heksaeder. Platons faste stoffer. Prismatoid. Pyramide. Icosahedron. Oktaeder. Et legeme begrenset av et begrenset antall plan. Stjerneoktaeder. To ansikter. Lov om gjensidighet. Matematiker. Tetraeder.

"Geometrisk kroppspolyeder" - Polyeder. Prismer. Eksistensen av uforsvarlige mengder. Poincare. Kant. Volummåling. Ansikter av et parallellepiped. Rektangulært parallellepipedum. Vi ser ofte en pyramide på gaten. Polyeder. Interessante fakta. Alexandria fyrtårn. Geometriske former. Avstand mellom fly. Memphis.

"Kaskader av polyeder" - Kanten på en kube. Oktaederkant. Kube og dodekaeder. Enhet tetraeder. Dodekaeder og ikosaeder. Dodekaeder og tetraeder. Oktaeder og ikosaeder. Polyeder. Vanlig polyeder. Oktaeder og dodekaeder. Ikosaeder og oktaeder. Enhet ikosaeder. Tetraeder og icosahedron. Enhet dodekaeder. Oktaeder og tetraeder. Kube og tetraeder.

""Polyhedra" stereometri" - Polyhedra i arkitektur. Utsnitt av polyeder. Gi polyederet et navn. Den store pyramiden i Giza. Platoniske faste stoffer. Korriger den logiske kjeden. Polyeder. Historisk referanse. Den fineste timen med polyeder. Problemløsning. Leksjonens mål. "Leker med tilskuerne" Overholder de seg? geometriske figurer og navnene deres.

"Stjerneformer av polyeder" - Stor stjernedodekaeder. Polyederet vist på figuren. Stjerne polyeder. Sideribber. Stellar cuboctahedra. Stjerneformet avkortet ikosaeder. Et polyeder oppnådd ved å avkorte et stjerneformet avkortet icosahedron. Toppunktene til det store stjernedodekaederet. Stjerneformet ikosaeder. Flott dodekaeder.

"Utsnitt av et polyeder etter et plan" - Snitt av polyeder. Polygoner. Kuttene dannet en femkant. Spor av skjæreplanet. Seksjon. La oss finne skjæringspunktet mellom linjene. Fly. Konstruer et tverrsnitt av en kube. Konstruer et tverrsnitt av prismet. Vi finner poenget. Prisme. Metoder for å konstruere seksjoner. Den resulterende sekskanten. Utsnitt av en kube. Aksiomatisk metode.

Det er totalt 29 presentasjoner

1 alternativ

1. En kropp hvis overflate består av endelig antall flate polygoner kalles:

1. Firkant 2. Polygon 3. Polyhedron 4. Sekskant

2. Polyedre inkluderer:

1. Parallellepipedum 2. Prisme 3. Pyramide 4. Alle svar er riktige

3. Et segment som forbinder to hjørner av et prisme som ikke tilhører samme flate kalles:

1. Diagonal 2. Kant 3. Forside 4. Akse

4. Prismet har sideribber:

1. Lik 2. Symmetrisk 3. Parallell og lik 4. Parallell

5. Overflatene til et parallellepiped som ikke har felles toppunkter kalles:

1. Motsatt 2. Motsatt 3. Symmetrisk 4. Like

6. En perpendikulær som faller fra toppen av pyramiden til planet til basen kalles:

1. Median 2. Akse 3. Diagonal 4. Høyde

7. Punkter som ikke ligger i planet til bunnen av pyramiden kalles:

1. Topper av pyramiden 2. Sideribber 3. Lineær størrelse

4. Topppunkter i ansiktet

8. Høyden på sideflaten til en vanlig pyramide trukket fra toppunktet kalles:

1. Median 2. Apotem 3. Perpendikulær 4. Bisektor

9. Kuben har alle ansiktene:

1. Rektangler 2. Firkanter 3. Trapeser 4. Rombuser

10. En kropp som består av to sirkler og alle segmenter som forbinder punktene til sirklene kalles:

1. Kjegle 2. Kule 3. Sylinder 4. Kule

11. Sylinderen har generatorer:

1. Lik 2. Parallell 3. Symmetrisk 4. Parallell og lik

12. Basene til sylinderen ligger i:

1. Samme plan 2. Like plan 3. Parallelle plan 4. Ulike plan

13. Overflaten på kjeglen består av:

1. Generatorer 2. Flater og kanter 3. Baser og kanter 4. Baser og sideflater

14. Et segment som forbinder to punkter på en sfærisk overflate og passerer gjennom midten av ballen kalles:

1. Radius 2. Sentrum 3. Akse 4. Diameter

15. Hver seksjon av en ball ved et fly er:

1. Sirkel 2. Sirkel 3. Kule 4. Halvsirkel

16. Seksjonen av en ball ved diametralplanet kalles:

1. Stor sirkel 2. Stor sirkel 3. Liten sirkel 4. Sirkel

17. Sirkelen til en kjegle kalles:

1. Topp 2. Plan 3. Face 4. Base

18. Prismebaser:

1. Parallell 2. Lik 3. Vinkelrett 4. Ikke lik

19. Sideoverflatearealet til prismet kalles:

1. Summen av arealer av laterale polygoner

2. Summen av arealer av laterale ribber

3. Summen av arealer av sideflater

4. Sum basisarealer

20. Skjæringspunktet mellom diagonalene til et parallellepiped er dets:

1. Sentrum 2. Symmetrisenter 3. Lineær dimensjon 4. Snittpunkt

21. Radien til sylinderens base er 1,5 cm, høyden er 4 cm. Finn diagonalen til aksialsnittet.

1. 4,2 cm 2. 10 cm.

0 . Hva er diameteren på basen hvis generatrisen er 7 cm?

1. 7 cm 2. 14 cm.

23. Høyden på sylinderen er 8 cm, radiusen er 1 cm Finn arealet av aksialsnittet.

1,9 cm 2 . 2,8 cm 2 3. 16 cm 2 .

24. Radiene til bunnene til en avkuttet kjegle er 15 cm og 12 cm, høyde 4 cm Hva er kjeglens generatrise?

1. 5 cm 2. 4 cm 3. 10 cm

POLYEDRONER OG ROTASJONSlegemer

Alternativ 2

1. Toppunktene til polyederet er betegnet:

1. a, b, c, d... 2. A, B, C, D ... 3. ab, CD, ac, annonse... 4. AB, SV, A D, CD...

2. Et polyeder, som består av to flate polygoner kombinert parallell overføring, kalt:

1. Pyramide 2. Prisme 3. Sylinder 4. Parallellepipedum

3. Hvis sidekantene av prismet er vinkelrett på basen, er prismet:

1. Skrå 2. Vanlig 3. Rett 4. Konveks

4. Hvis et parallellogram ligger ved bunnen av et prisme, så er det:

1. Regelmessig prisme 2. Parallellepipedum 3. Regelmessig polygon

4. Pyramide

5. Et polyeder, som består av en flat polygon, et punkt og segmenter som forbinder dem, kalles:

1. Kjegle 2. Pyramide 3. Prisme 4. Kule

6. Segmentene som forbinder toppen av pyramiden med toppunktene på basen kalles:

1. Kanter 2. Sider 3. Sidekanter 4. Diagonaler

7. En trekantet pyramide kalles:

1. Vanlig pyramide 2. Tetraeder 3. Trekantet pyramide 4. Skrå pyramide

8. Følgende gjelder ikke for vanlige polyedre:

1. Kube 2. Tetraeder 3. Icosahedron 4. Pyramide

9. Høyden på pyramiden er:

1. Akse 2. Median 3. Perpendikulær 4. Apothema

10. Segmentene som forbinder punktene i sirklenes omkretser kalles:

1. Sylinderens overflater 2. Generiske sylinders 3. Høyder på sylinderen

4. Vinkler på sylinderen

1. Sylinderakse 2. Sylinderhøyde 3. Sylinderradius

4. Sylinderribbe

12. Et legeme som består av et punkt, en sirkel og segmenter som forbinder dem kalles:

1. Pyramide 2. Kjegle 3. Kule 4. Sylinder

13. En kropp som består av alle punkter i rommet kalles:

1. Kule 2. Kule 3. Sylinder 4. Halvkule

14. Ballens grense kalles:

1. Kule 2. Ball 3. Seksjon 4. Sirkel

15. Skjæringslinjen mellom to kuler er:

1. Sirkel 2. Halvsirkel 3. Sirkel 4. Seksjon

16. Seksjonen av en kule kalles:

1. Sirkel 2. Stor sirkel 3. Liten sirkel 4. Liten sirkel

17. Overflatene til et konveks polyeder er konvekse:

1. Trekanter 2. Vinkler 3. Polygoner 4. Sekskanter

18. Sideflaten til prismet består av...

1. Parallelogrammer 2. Firkanter 3. Ruter 4. Trekanter

19. Sideoverflaten til et rett prisme er lik:

1. Produkt av omkretsen og lengden på prismeflaten

2. Produktet av lengden på prismeflaten og basen

3. Produkt av lengden på prismeflaten og høyden

4. Produkt av omkretsen av basen og høyden på prismet

20. Vanlige polyedre inkluderer:

21. Radien til sylinderens base er 2,5 cm, høyden er 12 cm. Finn diagonalen til aksialsnittet.

1,15 cm; 2. 14 cm; 3. 13 cm.

22. Den største vinkelen mellom generatrisene til kjeglen er 60 0 . Hva er diameteren på basen hvis generatrisen er 5 cm?

1,5 cm; 2. 10 cm; 3. 2,5 cm.

23. Høyden på sylinderen er 4 cm, radiusen er 1 cm Finn arealet av aksialsnittet.

1,9 cm 2 . 2,8 cm 2 3. 16 cm 2 .

24. Radiene til bunnene til en avkuttet kjegle er 6 cm og 12 cm, høyde 8 cm. Hva er kjeglens generatrise?

1. 10 cm; 2,4 cm; 3,6 cm.

Introduksjon

En overflate som består av polygoner og som avgrenser en eller annen geometrisk kropp kalles en polyedrisk overflate eller polyeder.

Et polyeder er et avgrenset legeme hvis overflate består av et begrenset antall polygoner. Polygonene som binder et polyeder kalles flater, og skjæringslinjene mellom flatene kalles kanter.

Polyeder kan ha en variert og svært kompleks struktur. Ulike strukturer, for eksempel hus som bygges med murstein og betongblokker, er eksempler på polyeder. Andre eksempler finnes blant møbler, for eksempel et bord. I kjemi er formen på hydrokarbonmolekyler et tetraeder, et vanlig tjue-hedron, en terning. I fysikk tjener krystaller som eksempler på polyedre.

Siden antikken har ideer om skjønnhet blitt assosiert med symmetri. Dette forklarer sannsynligvis folks interesse for polyeder - fantastiske symboler på symmetri som tiltrakk seg oppmerksomheten til fremragende tenkere som ble overrasket over skjønnheten, perfeksjonen og harmonien til disse figurene.

De første omtalene av polyeder er kjent tre tusen år f.Kr. i Egypt og Babylon. Det er nok å minne om det berømte egyptiske pyramider og den mest kjente av dem er Keopspyramiden. Dette er en vanlig pyramide, ved bunnen av en firkant med en side på 233 m og høyden når 146,5 m. Det er ingen tilfeldighet at de sier at Keops-pyramiden er en stille avhandling om geometri.

Historie vanlige polyedre går tilbake til oldtiden. Siden det 7. århundre f.Kr Antikkens Hellas Det skapes filosofiske skoler der det skjer en gradvis overgang fra praktisk til filosofisk geometri. Resonnering ved hjelp av hvilken det var mulig å få nye geometriske egenskaper fikk stor betydning i disse skolene.

En av de første og mest kjente skolene var Pythagoras skole, oppkalt etter grunnleggeren Pythagoras. Pythagoras karakteristiske tegn var pentagrammet, i matematikkspråket er det en vanlig ikke-konveks eller stjerneformet femkant. Pentagrammet ble tildelt evnen til å beskytte en person mot onde ånder.

Pytagoreerne mente at materie besto av fire grunnleggende elementer: ild, jord, luft og vann. De tilskrev eksistensen av fem vanlige polyedre til strukturen til materie og universet. I følge denne oppfatningen må atomene til hovedelementene ha form av forskjellige legemer:

§ Universet er et dodekaeder

§ Jord - kube

§ Brann - tetraeder

§ Vann - ikosaeder

§ Luft - oktaeder

Senere ble undervisningen til pytagoreerne om vanlige polyeder skissert i hans arbeider av en annen gammel gresk vitenskapsmann, den idealistiske filosofen Platon. Siden den gang har vanlige polyedre blitt kjent som platoniske faste stoffer.

Platoniske faste stoffer er vanlige homogene konvekse polyedre, det vil si konvekse polyedre, hvis flater og vinkler er like, og flatene er vanlige polygoner. Samme antall kanter konvergerer til hvert toppunkt av et vanlig polyeder. Alle dihedriske vinkler ved kantene og alle polyedriske vinkler ved toppunktene til en regulær polygon er like. Platoniske faste stoffer er en tredimensjonal analog av flate regulære polygoner.

Teorien om polyeder er en moderne gren av matematikk. Det er nært knyttet til topologi, grafteori og har veldig viktig både for teoretisk forskning i geometri og for praktiske anvendelser i andre grener av matematikk, for eksempel algebra, tallteori, anvendt matematikk- lineær programmering, optimal kontrollteori. Dermed er dette temaet relevant, og kunnskap om dette spørsmålet er viktig for det moderne samfunnet.

Hoveddel

Et polyeder er et avgrenset legeme hvis overflate består av et begrenset antall polygoner.

La oss gi en definisjon av et polyeder som tilsvarer den første definisjonen av et polyeder.

Polyeder – Dette er en figur som er foreningen av et endelig antall tetraedre der følgende betingelser er oppfylt:

1) annenhver tetraeder ikke har felles punkter, enten ha et felles toppunkt, eller bare en felles kant, eller et helt felles ansikt;

2) fra hvert tetraeder til et annet kan du gå langs en kjede av tetraeder, der hver påfølgende er ved siden av den forrige langs et helt ansikt.

Polyederelementer

Forsiden av et polyeder er en viss polygon (en avgrenset lukket område, hvis grense består av et begrenset antall segmenter).

Sidene av flatene kalles kantene på polyederet, og toppunktene på flatene kalles toppunktene til polyederet. Elementene i et polyeder, i tillegg til dets toppunkter, kanter og flater, inkluderer også de flate vinklene på ansiktene og de dihedriske vinklene ved kantene. Den dihedriske vinkelen ved kanten av et polyeder bestemmes av flatene som nærmer seg denne kanten.

Klassifisering av polyedre

Konveks polyeder - er et polyeder, hvis to punkter kan kobles sammen med et segment. Konvekse polyedre har mange bemerkelsesverdige egenskaper.

Eulers teorem. For ethvert konveks polyeder V-R+G=2,

Hvor I - antall hjørner, R - antall ribber, G - antall ansikter.

Cauchys teorem. To lukkede konvekse polyedre, identisk sammensatt av henholdsvis like flater, er like.

Et konveks polyeder regnes som regelmessig hvis alle flatene er like vanlige polygoner og det samme antall kanter konvergerer ved hvert av hjørnene.

Vanlig polyeder

Et polyeder kalles regulært hvis det for det første er konveks, for det andre er alle flatene like vanlige polygoner, og for det tredje konvergerer de ved hvert av hjørnene. samme nummer ansikter, og for det fjerde er alle dens dihedriske vinkler like.

Det er fem konvekse regulære polyedre - tetraederet, oktaederet og ikosaederet med trekantede flater, kuben (hexahedron) med firkantede flater og dodekaederet med femkantede flater. Beviset på dette faktum har vært kjent i mer enn to tusen år; med dette beviset og studiet av de fem regulære kroppene, er Euklids elementer (den gamle greske matematikeren, forfatteren av de første teoretiske avhandlingene om matematikk som har kommet ned til oss) fullført. Hvorfor fikk vanlige polyeder slike navn? Dette er på grunn av antallet ansikter. Et tetraeder har 4 ansikter, oversatt fra gresk "tetra" - fire, "hedron" - ansikt. Et heksaeder (kube) har 6 flater, en "hexa" har seks; oktaeder - oktaeder, "okto" - åtte; dodecahedron - dodecahedron, "dodeca" - tolv; Ikosaederet har 20 ansikter, og ikosiet har tjue.

2.3. Typer vanlige polyedre:

1) Vanlig tetraeder(sammensatt av fire likesidede trekanter. Hvert av dets toppunkter er toppunktet til tre trekanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt 180 0);

2)Kube- et parallellepiped, hvis ansikter alle er firkanter. Terningen består av seks firkanter. Hvert toppunkt i kuben er toppunktet til tre firkanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt 270 0.

3) Vanlig oktaeder eller rett og slett oktaeder– et polyeder med åtte vanlige trekantede flater og fire flater som møtes ved hvert toppunkt. Oktaederet består av åtte likesidede trekanter. Hvert toppunkt i oktaederet er toppunktet til fire trekanter. Derfor er summen av planvinkler ved hvert toppunkt 240 0. Den kan bygges ved å brette basene til to pyramider, hvis base er firkanter, og sideflatene er vanlige trekanter. Kantene til et oktaeder kan oppnås ved å koble sammen sentrene til tilstøtende flater av en terning, men hvis vi kobler sammen sentrene til tilstøtende flater av et vanlig oktaeder, får vi kantene til en terning. De sier at kuben og oktaederet er dobbelte i forhold til hverandre.

4)Icosahedron- sammensatt av tjue likesidede trekanter. Hvert toppunkt av icosahedron er toppunktet til fem trekanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt lik 300 0.

5) Dodekaeder- et polyeder som består av tolv vanlige femkanter. Hvert toppunkt av dodekaederet er toppunktet til tre vanlige femkanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt 324 0.

Dodekaederet og ikosaederet er også doble med hverandre i den forstand at ved å forbinde sentrene til tilstøtende ansikter av ikosaederet med segmenter, får vi et dodekaeder, og omvendt.

Et vanlig tetraeder er dobbelt med seg selv.

Dessuten er det ingen vanlig polyeder hvis ansikter er vanlige sekskanter, sekskanter og n-goner generelt for n ≥ 6.

Et vanlig polyeder er et polyeder der alle flater er regulære like polygoner og alle dihedriske vinkler er like. Men det er også polyedre der alle polyedriske vinkler er like, og flatene er regulære, men motsatte vanlige polygoner. Polyedre av denne typen kalles likekantede semiregulære polyedre. Polyedre av denne typen ble først oppdaget av Arkimedes. Han beskrev i detalj 13 polyedre, som senere ble kalt kroppene til Archimedes til ære for den store vitenskapsmannen. Disse er avkortet tetraeder, avkortet oksaeder, avkortet icosahedron, trunkert terning, avkortet dodecahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron, truncated cuboctahedron, truncated icosidodecahedron, rhombocubochoderon (s, cubochedron) e, "snubbe" (snubbe) dodekaeder.

2.4. Halvregulære polyedre eller arkimedeiske faste stoffer er konvekse polyedre med to egenskaper:

1. Alle flater er regulære polygoner av to eller flere typer (hvis alle flater er regulære polygoner av samme type, er det et vanlig polyeder).

2. For et hvilket som helst par av toppunkter er det en symmetri av polyederet (det vil si en bevegelse som transformerer polyederet til seg selv) som overfører det ene toppunktet til det andre. Spesielt er alle polyedriske toppunktvinkler kongruente.

I tillegg til semiregulære polyedre, fra vanlige polyedre - platoniske faste stoffer - kan du få såkalte vanlige stjernepolyedere. Det er bare fire av dem, de kalles også Kepler-Poinsot-kropper. Kepler oppdaget et lite dodekaeder, som han kalte stikkende eller pinnsvinet, og et stort dodekaeder. Poinsot oppdaget to andre vanlige stjernepolyedere, henholdsvis doble til den første to: det store stjernedodekaederet og det store ikosaederet.

To tetraeder som passerer gjennom hverandre danner et oktaeder. Johannes Kepler ga denne figuren navnet "stella octangula" - "åttekantet stjerne". Det finnes også i naturen: dette er den såkalte doble krystallen.

I definisjonen av et vanlig polyeder ble ordet "konveks" bevisst ikke vektlagt - regnet med tilsynelatende åpenhet. Og det betyr et tilleggskrav: "og alle ansiktene ligger på den ene siden av flyet som går gjennom noen av dem." Hvis vi forlater en slik begrensning, må vi til de platoniske faste stoffene, i tillegg til det "utvidede oktaederet", legge til ytterligere fire polyedre (de kalles Kepler-Poinsot-faststoffer), som hver vil være "nesten vanlige." Alle er oppnådd av Platonovs "hovedrolle" kropp, det vil si ved å utvide kantene til de krysser hverandre, og derfor kalles stjerneformede. Terningen og tetraederet genererer ikke nye figurer - ansiktene deres, uansett hvor mye du fortsetter, krysser ikke hverandre.

Hvis du utvider alle flatene til oktaederet til de krysser hverandre, vil du få en figur som vises når to tetraedre trenger inn i hverandre - "stella octangula", som kalles "utvidet oktaeder."

Ikosaederet og dodekaederet gir verden fire "nesten vanlige polyedre" på en gang. En av dem er det lille stjernedodekaederet, først oppnådd av Johannes Kepler.

I århundrer anerkjente ikke matematikere retten til alle slags stjerner å bli kalt polygoner på grunn av det faktum at sidene deres krysser hverandre. Ludwig Schläfli drev ikke ut en geometrisk kropp fra polyederfamilien bare fordi dens ansikter krysset seg selv, men han forble urokkelig så snart samtalen vendte seg til den lille stjernedodekaederen. Argumentet hans var enkelt og tungtveiende: dette Kepler-dyret adlyder ikke Eulers formel! Ryggene er dannet tolv flater, tretti kanter og tolv toppunkter, og derfor er ikke B+G-R lik to i det hele tatt.

Schläfli hadde både rett og galt. Selvfølgelig er det geometriske pinnsvinet ikke så stikkende at det gjør opprør mot den ufeilbarlige formelen. Du trenger bare ikke tenke på at den er dannet av tolv kryssende stjerneformede ansikter, men se på den som en enkel, ærlig geometrisk kropp som består av 60 trekanter, med 90 kanter og 32 hjørner.

Da er B+G-R=32+60-90 lik, som forventet, 2. Men da er ikke ordet "riktig" aktuelt for dette polyederet - tross alt er ansiktene nå ikke likesidede, men bare likebente trekanter. Det gjorde ikke Kepler innså at figuren han mottok hadde en dobbel.

Polyederet, som kalles «det store dodekaederet», ble bygget av det franske geometeret Louis Poinsot to hundre år etter Keplers stjernefigurer.

Det store ikosaederet ble først beskrevet av Louis Poinsot i 1809. Og igjen overlot Kepler, etter å ha sett et stort stjerneformet dodekaeder, æren av å oppdage den andre figuren til Louis Poinsot. Disse figurene følger også halvveis Eulers formel.

Praktisk bruk

Polyeder i naturen

Vanlige polyedre er de mest fordelaktige formene, og det er derfor de er utbredt i naturen. Dette bekreftes av formen til noen krystaller. For eksempel er bordsaltkrystaller kubeformede. Ved produksjon av aluminium brukes aluminium-kalium kvarts, hvis enkeltkrystall har formen av et vanlig oktaeder. Produksjonen av svovelsyre, jern og spesielle sementtyper kan ikke gjøres uten svovelkis. Krystaller av dette kjemisk stoff har form av et dodekaeder. I forskjellige kjemiske reaksjoner natriumantimonsulfat brukes - et stoff syntetisert av forskere. Krystallen av natriumantimonsulfat har form av et tetraeder. Det siste vanlige polyederet, icosahedron, formidler formen til borkrystaller.

Stjerneformede polyedre er veldig dekorative, noe som gjør at de kan brukes mye i smykkeindustrien i produksjon av alle slags smykker. De brukes også i arkitektur. Mange former for stjernepolyeder er foreslått av naturen selv. Snøfnugg er stjerneformede polyeder. Siden antikken har folk prøvd å beskrive alle mulige typer snøflak og kompilert spesielle atlas. Flere tusen forskjellige typer snøflak er nå kjent.

Vanlige polyedre finnes også i levende natur. For eksempel et skjelett encellet organisme Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) er formet som et ikosaeder. De fleste feider lever videre dypt hav og tjene som bytte for korallfisk. Men det enkleste dyret beskytter seg selv med tolv pigger som dukker opp fra skjelettets 12 topper. Det ser mer ut som et stjernepolyeder.

Vi kan også observere polyeder i form av blomster. Et slående eksempel er kaktuser.

Relatert informasjon.

Overflatene til et polyeder er polygonene som danner det. Overflatene til et polyeder er polygonene som danner det. Kantene på et polyeder er sidene til polygonene. Kantene på et polyeder er sidene til polygonene. Toppunktene til et polyeder er toppunktene til en polygon. Toppunktene til et polyeder er toppunktene til en polygon. Diagonalen til et polyeder er et segment som forbinder 2 hjørner som ikke tilhører samme flate. Diagonalen til et polyeder er et segment som forbinder 2 hjørner som ikke tilhører samme flate.

Regelmessige polyeder Hvis flatene til et polyeder er regulære polygoner med samme antall sider og samme antall kanter konvergerer ved hvert toppunkt av polyederet, kalles det konvekse polyederet regulært. Hvis flatene til et polyeder er regulære polygoner med samme antall sider og samme antall kanter konvergerer ved hvert toppunkt av polyederet, kalles det konvekse polyederet regulært.

Et oktaeder er et polyeder hvis ansikter er vanlige trekanter og 4 ansikter møtes ved hvert toppunkt. Et oktaeder er et polyeder hvis ansikter er vanlige trekanter og 4 ansikter møtes ved hvert toppunkt. Korrekt form diamant - oktaeder

Kube, ball, pyramide, sylinder, kjegle - geometriske legemer. Blant dem er polyedre. Polyeder er et geometrisk legeme hvis overflate består av et begrenset antall polygoner. Hver av disse polygonene kalles en side av polyederet, sidene og toppunktene til disse polygonene er henholdsvis kantene og toppunktene til polyederet.

Dihedrale vinkler mellom tilstøtende flater, dvs. ansikter som har en felles side - kanten av polyederet - er også polyederens dihedrale sinn. Vinklene til polygoner - flatene til en konveks polygon - er polyederens flate sinn. I tillegg til flate og dihedrale vinkler har et konveks polyeder også polyedriske vinkler. Disse vinklene danner flater som har et felles toppunkt.

Blant polyedrene er det prismer Og pyramider.

Prisme - er et polyeder hvis overflate består av to like polygoner og parallellogrammer som har felles sider med hver av basene.

To like polygoner kalles grunner ggrizmg, og parallellogrammer er henne lateralt kanter. Sideflatene dannes sideflate prismer. Kanter som ikke ligger ved basen kalles laterale ribber prismer.

Prismet kalles p-kull, hvis basene er i-goner. I fig. 24.6 viser et firkantet prisme ABCDA"B"C"D".

Prismet kalles rett, hvis sideflatene er rektangler (fig. 24.7).

Prismet kalles riktig , hvis den er rett og dens baser er vanlige polygoner.

Et firkantet prisme kalles parallellepipedum , hvis basene er parallellogrammer.

Parallepipedet kalles rektangulær, hvis alle ansiktene er rektangler.

Diagonal av et parallellepiped er et segment som forbinder dets motsatte hjørner. Et parallellepiped har fire diagonaler.

Det er bevist det Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og halveres av dette punktet. Diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like.

Pyramide er et polyeder, hvis overflate består av en polygon - bunnen av pyramiden, og trekanter som har et felles toppunkt, kalt sideflatene til pyramiden. Felles topp disse trekantene kalles topp pyramider, ribber som strekker seg fra toppen, - laterale ribber pyramider.

Den perpendikulære som faller fra toppen av pyramiden til basen, samt lengden på denne perpendikulæren, kalles høyde pyramider.

Den enkleste pyramiden - trekantet eller tetraeder (fig. 24.8). Det særegne ved en trekantet pyramide er at ethvert ansikt kan betraktes som en base.

Pyramiden kalles riktig, hvis basen er en vanlig polygon, og alle sidekanter er like med hverandre.

Merk at vi må skille vanlig tetraeder(dvs. et tetraeder der alle kanter er like hverandre) og vanlig trekantet pyramide(ved bunnen ligger en vanlig trekant, og sidekantene er like med hverandre, men lengden kan avvike fra lengden på siden av trekanten, som er bunnen av prismet).

Skille svulmende Og ikke-konveks polyedre. Du kan definere et konveks polyeder hvis du bruker konseptet med en konveks geometrisk kropp: et polyeder kalles konveks. hvis det er en konveks figur, dvs. sammen med to av punktene, inneholder den også helt segmentet som forbinder dem.

Et konveks polyeder kan defineres annerledes: et polyeder kalles konveks, hvis den ligger helt på den ene siden av hver av polygonene som avgrenser den.

Disse definisjonene er likeverdige. Vi gir ikke bevis for dette faktum.

Alle polyedre som har blitt vurdert så langt har vært konvekse (kube, parallellepipedum, prisme, pyramide, etc.). Polyederet vist i fig. 24,9, er ikke konveks.

Det er bevist det i et konveks polyeder er alle flater konvekse polygoner.

La oss vurdere flere konvekse polyedre (tabell 24.1)

Fra denne tabellen følger det at for alle betraktede konvekse polyedre er likheten B - P + G= 2. Det viste seg at dette også gjelder for ethvert konveks polyeder. Denne egenskapen ble først påvist av L. Euler og ble kalt Eulers teorem.

Et konveks polyeder kalles riktig hvis flatene er like vanlige polygoner og samme antall flater konvergerer ved hvert toppunkt.

Ved å bruke egenskapen til en konveks polyedral vinkel kan man bevise det Det er ikke mer enn fem forskjellige typer vanlige polyedre.

Faktisk, hvis vifte og polyeder er vanlige trekanter, kan 3, 4 og 5 konvergere i ett toppunkt, siden 60" 3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Hvis tre vanlige trekanter konvergerer ved hvert toppunkt av en polyfan, får vi høyrehendt tetraeder, som oversatt fra Phetic betyr "tetraeder" (fig. 24.10, EN).

Hvis fire vanlige trekanter møtes ved hvert toppunkt av et polyeder, får vi oktaeder(Fig. 24.10, V). Overflaten består av åtte vanlige trekanter.

Hvis fem regulære trekanter konvergerer ved hvert toppunkt av et polyeder, får vi icosahedron(Fig. 24.10, d). Overflaten består av tjue vanlige trekanter.

Hvis flatene til en polyfan er firkanter, kan bare tre av dem konvergere i ett toppunkt, siden 90° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также heksaeder(Fig. 24.10, b).

Hvis korn av en polyfan er vanlige femkanter, da kan bare phi konvergere ved ett toppunkt, siden 108° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется dodekaeder(Fig. 24.10, d). Overflaten består av tolv vanlige femkanter.

Overflatene til et polyeder kan ikke være sekskantede eller mer, siden selv for en sekskant 120° 3 = 360°.

I geometri er det bevist at det i tredimensjonalt euklidisk rom er nøyaktig fem forskjellige typer regulære polyedere.

For å lage en modell av et polyeder, må du lage det feie(mer presist, utviklingen av overflaten).

Utviklingen av et polyeder er en figur på et plan som oppnås hvis overflaten til polyederet kuttes langs bestemte kanter og brettes ut slik at alle polygonene som inngår i denne overflaten ligger i samme plan.

Merk at et polyeder kan ha flere forskjellige utviklinger avhengig av hvilke kanter vi skjærer. Figur 24.11 viser figurer som er ulike utviklinger av en vanlig firkantet pyramide, dvs. en pyramide med en firkant ved bunnen og alle sidekanter like hverandre.

For at en figur på et plan skal være en utvikling av et konveks polyeder, må den tilfredsstille en rekke krav knyttet til egenskapene til polyederet. For eksempel er figurene i fig. 24.12 er ikke utviklinger av en vanlig firkantet pyramide: i figuren vist i fig. 24.12, EN, på toppen M fire ansikter konvergerer, noe som ikke kan skje i en vanlig firkantet pyramide; og i figuren vist i fig. 24.12, b, laterale ribber A B Og Sol ikke lik.

Generelt kan utviklingen av et polyeder oppnås ved å kutte overflaten ikke bare langs kantene. Et eksempel på en slik kubeutvikling er vist i fig. 24.13. Derfor, mer presist, kan utviklingen av et polyeder defineres som en flat polygon hvorfra overflaten til dette polyederet kan lages uten overlapp.

Revolusjonskropper

Rotasjonslegeme kalt en kropp oppnådd som et resultat av rotasjonen av en figur (vanligvis flat) rundt en rett linje. Denne linjen kalles rotasjonsakse.

Sylinder- egokropp, som oppnås som et resultat av rotasjon av et rektangel rundt en av sidene. I dette tilfellet er den angitte parten sylinderens akse. I fig. 24.14 viser en sylinder med en akse OO', oppnås ved å rotere et rektangel AA"O"O rundt en rett linje OO". Poeng OM Og OM"- sentre av sylinderbasene.

En sylinder som er et resultat av å rotere et rektangel rundt en av sidene kalles rett sirkulær sylinder, siden basene er to like sirkler plassert i parallelle plan slik at segmentet som forbinder sentrene til sirklene er vinkelrett på disse planene. Sylinderens sideflate er dannet av segmenter lik side rektangel, parallell akse sylinder.

Feie Den laterale overflaten til en rett sirkulær sylinder, hvis kuttet langs en generatrise, er et rektangel, hvor den ene siden er lik lengden på generatrisen, og den andre til lengden på grunnomkretsen.

Kjegle- dette er en kropp som er oppnådd som følge av rotasjon høyre trekant rundt det ene bena.

I dette tilfellet er det angitte benet ubevegelig og kalles kjeglens akse. I fig. Figur 24.15 viser en kjegle med akse SO, oppnådd ved å rotere en rettvinklet trekant SOA med rett vinkel O rundt benet S0. Punkt S kalles toppen av kjeglen, OA- radiusen til basen.

Kjeglen som er et resultat av rotasjonen av en rettvinklet trekant rundt det ene bena kalles rett sirkulær kjegle siden basen er en sirkel, og toppen er projisert inn i midten av denne sirkelen. Den laterale overflaten av kjeglen er dannet av segmenter lik hypotenusen til trekanten, ved rotasjon som en kjegle dannes.

Hvis sideflaten til kjeglen er kuttet langs generatrisen, kan den "brettes ut" på et plan. Feie Den laterale overflaten til en rett sirkulær kjegle er en sirkulær sektor med en radius lik lengden på generatrisen.

Når en sylinder, kjegle eller et annet rotasjonslegeme skjærer et plan som inneholder rotasjonsaksen, viser det seg aksialt snitt. Den aksiale delen av sylinderen er et rektangel, den aksiale delen av kjeglen er en likebenet trekant.

Ball- dette er et legeme som er oppnådd som et resultat av rotasjon av en halvsirkel rundt diameteren. I fig. Figur 24.16 viser en kule oppnådd ved å rotere en halvsirkel rundt diameteren AA". Full stopp OM kalt midten av ballen, og sirkelens radius er ballens radius.

Ballens overflate kalles sfære. Kulen kan ikke snus inn på et fly.

Enhver del av en ball ved et fly er en sirkel. Tverrsnittsradiusen til ballen vil være størst hvis flyet passerer gjennom midten av ballen. Derfor kalles delen av en ball ved et plan som går gjennom midten av ballen stor sirkel av ballen, og sirkelen som avgrenser den er stor sirkel.

BILDE AV GEOMETRISKE KROPER PÅ FLYET

I motsetning til flate figurer, kan geometriske kropper ikke avbildes nøyaktig, for eksempel på et papirark. Men ved hjelp av tegninger på et fly kan du få et ganske klart bilde av romlige figurer. For å gjøre dette brukes spesielle metoder for å skildre slike figurer på et fly. En av dem er parallell design.

La et plan og en rett linje som skjærer a gis EN. La oss ta et vilkårlig punkt A i rommet som ikke hører til linjen EN, og vi guider deg gjennom X direkte EN", parallelt med linjen EN(Fig. 24.17). Rett EN" krysser flyet på et tidspunkt X", som kalles parallell projeksjon av punkt X på plan a.

Hvis punkt A ligger på en rett linje EN, deretter med parallell projeksjon X" er punktet der linjen EN krysser flyet EN.

Hvis poenget X tilhører planet a, så punktet X" sammenfaller med poenget X.

Så hvis et plan a og en rett linje som skjærer det er gitt EN. deretter hvert punkt X plass kan assosieres med et enkelt punkt A" - en parallell projeksjon av punktet X på planet a (når du designer parallelt med den rette linjen EN). Fly EN kalt projeksjonsplan. Om linjen EN de sier hun vil bjeffe design retning - ggri erstatning direkte EN ethvert annet direkte designresultat parallelt med det vil ikke endres. Alle linjer parallelle med en linje EN, angi samme designretning og kalles sammen med den rette linjen EN utstikkende rette linjer.

Projeksjon tall F ringe et sett F' projeksjon av alle punktene. Kartlegge hvert punkt X tall F"Den parallelle projeksjonen er et poeng X" tall F", kalt parallell design tall F(Fig. 24.18).

En parallell projeksjon av et ekte objekt er skyggen som faller på en flat overflate i sollys, siden solstrålene kan betraktes som parallelle.

Parallell utforming har en rekke egenskaper som det er nødvendig med kunnskap om når man skal avbilde geometriske legemer på overflaten. La oss formulere de viktigste uten å gi bevis.

Teorem 24.1. Ved parallell design er følgende egenskaper oppfylt for rette linjer som ikke er parallelle med designretningen og for segmenter som ligger på dem:

1) projeksjonen av en linje er en linje, og projeksjonen av et segment er et segment;

2) projeksjoner av parallelle linjer er parallelle eller sammenfallende;

3) forholdet mellom lengdene til projeksjonene til segmenter som ligger på samme linje eller på parallelle linjer er lik forholdet mellom lengdene til segmentene selv.

Fra dette teoremet følger det konsekvens: med parallell projeksjon projiseres midten av segmentet inn i midten av projeksjonen.

Når du avbilder geometriske kropper på et plan, er det nødvendig å sikre at de spesifiserte egenskapene er oppfylt. Ellers kan det være vilkårlig. Dermed kan vinklene og forholdene til lengdene til ikke-parallelle segmenter endres vilkårlig, det vil si at for eksempel en trekant i parallell utforming er avbildet som en vilkårlig trekant. Men hvis trekanten er likesidet, må projeksjonen av medianen forbinde trekantens toppunkt med midten av motsatt side.

Og enda et krav må overholdes når man avbilder romlige kropper på et fly - for å bidra til å skape en riktig ide om dem.

La oss for eksempel skildre et skrånende prisme hvis baser er firkanter.

La oss først bygge den nedre basen av prismet (du kan starte fra toppen). I henhold til reglene for parallell design vil oggo bli avbildet som et vilkårlig parallellogram ABCD (fig. 24.19, a). Siden kantene på prismet er parallelle, bygger vi parallelle rette linjer som går gjennom toppunktene til det konstruerte parallellogrammet og legger på dem like segmenter AA", BB', CC", DD", hvis lengde er vilkårlig. Ved å koble sammen punkter A", B", C", D i serie ", vi får en firkant A" B "C" D", som viser den øvre basen av prismet. Det er ikke vanskelig å bevise det A"B"C"D"- parallellogram lik parallellogram ABCD og følgelig har vi bildet av et prisme, hvis base er like firkanter, og de resterende flatene er parallellogrammer.

Hvis du trenger å avbilde et rett prisme, hvis base er firkanter, kan du vise at sidekantene til dette prismet er vinkelrett på basen, slik det er gjort i fig. 24.19, b.

I tillegg er tegningen i fig. 24.19, b kan betraktes som et bilde av et vanlig prisme, siden basen er en firkant - en vanlig firkant, og også et rektangulært parallellepiped, siden alle ansiktene er rektangler.

La oss nå finne ut hvordan vi kan skildre en pyramide på et fly.

Å portrettere riktig pyramide, tegn først en vanlig polygon som ligger ved basen, og midten er et punkt OM. Tegn deretter et vertikalt segment OS som viser høyden på pyramiden. Merk at vertikaliteten til segmentet OS gir større klarhet i tegningen. Til slutt er punktet S koblet til alle toppunktene til basen.

La oss for eksempel skildre en vanlig pyramide, hvis base er en vanlig sekskant.

For å korrekt avbilde en vanlig sekskant under parallell design, må du ta hensyn til følgende. La ABCDEF være en regulær sekskant. Da er ALLF et rektangel (fig. 24.20), og derfor vil det under parallell design bli avbildet som et vilkårlig parallellogram B"C"E"F". Siden diagonal AD går gjennom punkt O - sentrum av polygonet ABCDEF og er parallell med segmentene. BC og EF og AO = OD, så med parallell design vil det bli representert av et vilkårlig segment A "D" , passerer gjennom punktet OM" parallell B"C" Og E"F" og forresten, A"O" = O"D".

Dermed er sekvensen for å konstruere basen til en sekskantet pyramide som følger (fig. 24.21):

§ skildre et vilkårlig parallellogram B"C"E"F" og dens diagonaler; marker punktet for deres skjæringspunkt O";

§ gjennom et punkt OM" tegne en rett linje parallelt V'S"(eller E"F');

§ velg et vilkårlig punkt på den konstruerte linjen EN" og marker poenget D" slik at O"D" = A"O" og koble til prikken EN" med prikker I" Og F", og pek D" - med prikker MED" Og E".

For å fullføre konstruksjonen av pyramiden, tegn et vertikalt segment OS(lengden er valgt vilkårlig) og koble punktet S til alle hjørnene på basen.

I parallell projeksjon er ballen avbildet som en sirkel med samme radius. For å gjøre bildet av ballen mer visuelt, tegn en projeksjon av en stor sirkel, hvis plan ikke er vinkelrett på projeksjonsplanet. Denne projeksjonen vil være en ellipse. Sentrum av ballen vil representeres av midten av denne ellipsen (fig. 24.22). Nå kan vi finne de tilsvarende polene N og S, forutsatt at segmentet som forbinder dem er vinkelrett på ekvatorialplanet. For å gjøre dette, gjennom poenget OM tegne en rett linje vinkelrett AB og merk punkt C - skjæringspunktet mellom denne linjen og ellipsen; så gjennom punkt C trekker vi en tangent til ellipsen som representerer ekvator. Det er bevist at avstanden CM lik avstanden fra midten av ballen til hver av polene. Legg derfor segmentene til side PÅ Og OS lik CM, vi får stolpene N og S.

La oss vurdere en av teknikkene for å konstruere en ellipse (den er basert på en transformasjon av planet, som kalles kompresjon): konstruer en sirkel med en diameter og tegn akkorder vinkelrett på diameteren (fig. 24.23). Halvparten av hver akkord er delt i to og de resulterende punktene er forbundet med en jevn kurve. Denne kurven er en ellipse hvis hovedakse er segmentet AB, og midten er et punkt OM.

Denne teknikken kan brukes til å avbilde en rett sirkulær sylinder (fig. 24.24) og en rett sirkulær kjegle (fig. 24.25) på et plan.

En rett sirkulær kjegle er avbildet slik. Først bygger de en ellipse - basen, og finner deretter midten av basen - punktet OM og tegne et linjestykke vinkelrett OS som representerer høyden på kjeglen. Fra punkt S trekkes tangenter til ellipsen (dette gjøres "med øyet", med en linjal) og segmenter velges SC Og SD disse rette linjene fra punkt S til tangenspunkter C og D. Merk at segmentet CD faller ikke sammen med diameteren til bunnen av kjeglen.