Rektangelhandlingsegenskaper. Rektangel. Komplette leksjoner - Kunnskapshypermarked. Vinkel mellom en side og diagonalen til et rektangel

Vennligst formater den i henhold til reglene for artikkelformatering.

Illustrasjon av faseforskjellen mellom to oscillasjoner med samme frekvens

Oscillasjonsfase- en fysisk størrelse som primært brukes til å beskrive harmoniske eller nær harmoniske svingninger, som varierer med tiden (oftest vokser jevnt med tiden), ved en gitt amplitude (for dempede svingninger - ved en gitt initial amplitude og dempningskoeffisient) som bestemmer tilstanden til det oscillerende systemet i (alle) dette øyeblikket tid. Det brukes like mye til å beskrive bølger, hovedsakelig monokromatiske eller nær monokromatiske.

Oscillasjonsfase(i telekommunikasjon for et periodisk signal f(t) med periode T) er brøkdelen t/T av periode T som t forskyves i forhold til en vilkårlig opprinnelse. Opprinnelsen til koordinater anses vanligvis å være øyeblikket for forrige overgang av funksjonen gjennom null i retning fra negative verdier til positiv.

I de fleste tilfeller snakkes det om fase i forhold til harmoniske (sinusformede eller imaginære eksponentielle) oscillasjoner (eller monokromatiske bølger, også sinusformede eller imaginære eksponentielle).

For slike svingninger:

eller bølger

For eksempel bølger som forplanter seg i endimensjonalt rom: , , , eller bølger som forplanter seg i tredimensjonalt rom (eller rom av en hvilken som helst dimensjon): , , ,

oscillasjonsfasen er definert som argumentet til denne funksjonen(en av de oppførte, i hvert tilfelle er det tydelig fra konteksten hvilken), som beskriver en harmonisk oscillerende prosess eller en monokromatisk bølge.

Det vil si for oscillasjonsfasen

for en bølge i endimensjonalt rom

for en bølge i tredimensjonalt rom eller rom av en hvilken som helst annen dimensjon:

hvor er vinkelfrekvensen (jo høyere verdi, jo raskere vokser fasen over tid), t- tid, - fase kl t=0 - innledende fase; k- bølgetall, x- koordinere, k- bølgevektor, x- et sett med (kartesiske) koordinater som karakteriserer et punkt i rommet (radiusvektor).

Fasen uttrykkes i vinkelenheter (radianer, grader) eller i sykluser (brøkdeler av en periode):

1 syklus = 2 radianer = 360 grader.

• I fysikk, spesielt når du skriver formler, brukes radianrepresentasjonen av fasen overveiende (og som standard) dens måling i sykluser eller perioder (bortsett fra verbale formuleringer) er generelt ganske sjelden, men måling i grader forekommer ganske ofte (tilsynelatende, som ekstremt eksplisitt og ikke fører til forvirring, siden det er vanlig å aldri utelate gradstegnet verken i tale eller skrift), spesielt ofte i ingeniørapplikasjoner (som elektroteknikk).

Noen ganger (i den semiklassiske tilnærmingen, hvor bølger nær monokromatisk, men ikke strengt tatt monokromatiske, brukes, så vel som i formalismen til baneintegralet, der bølger kan være langt fra monokromatiske, selv om de fortsatt ligner monokromatiske), anses fasen som avhengig av tid og romlige koordinater ikke som en lineær funksjon, men som en i utgangspunktet vilkårlig funksjon av koordinater og tid:

Relaterte vilkår

Hvis to bølger (to svingninger) faller helt sammen med hverandre, sier de at bølgene er plassert i fase. Hvis momentene for maksimum av en svingning faller sammen med momentene for minimum for en annen svingning (eller maksimumsmomentene til en bølge faller sammen med minima for en annen), sier de at svingningene (bølgene) er i motfase. Videre, hvis bølgene er identiske (i amplitude), som et resultat av tillegg, oppstår deres gjensidige ødeleggelse (nøyaktig, fullstendig - bare hvis bølgene er monokromatiske eller i det minste symmetriske, forutsatt at forplantningsmediet er lineært, etc.).

Handling

En av de mest grunnleggende fysiske mengder, som den moderne beskrivelsen av nesten ethvert tilstrekkelig grunnleggende fysisk system er bygget på - handling - i sin betydning er en fase.

Notater

Wikimedia Foundation. 2010.

Se hva "Oscillation phase" er i andre ordbøker:

Et periodisk skiftende argument for funksjonen som beskriver oscillasjonen. eller bølger. prosess. I harmonisk oscillasjoner u(x,t)=Acos(wt+j0), hvor wt+j0=j F.K., A-amplitude, w sirkulær frekvens, t tid, j0 initial (fast) F.K. Fysisk leksikon

- (φ) Argument for en funksjon som beskriver en størrelse som endres i henhold til loven om harmonisk svingning. [GOST 7601 78] Emner: optikk, optiske instrumenter og målinger Generelle termer for oscillasjoner og bølger EN svingningsfase DE Schwingungsphase FR… … Teknisk oversetterveiledning Fase - Fase. Oscillasjoner av pendler i samme fase (a) og antifase (b); f er vinkelen for avviket til pendelen fra likevektsposisjonen. FASE (fra det greske fasens utseende), 1) et bestemt øyeblikk i utviklingen av enhver prosess (sosial, ... ... Illustrert encyklopedisk ordbok

- (fra det greske fasens utseende), 1) et visst øyeblikk i utviklingen av enhver prosess (sosial, geologisk, fysisk, etc.). I fysikk og teknologi er oscillasjonsfasen tilstanden til den oscillerende prosessen ved en viss... ... Moderne leksikon

- (fra den greske fasens utseende) ..1) et visst øyeblikk i utviklingen av enhver prosess (sosial, geologisk, fysisk, etc.). I fysikk og teknologi er oscillasjonsfasen tilstanden til den oscillerende prosessen ved en viss... ... Stor encyklopedisk ordbok

Fase (fra gresk fase √ utseende), periode, stadium i utviklingen av et fenomen; se også Fase, Oscillasjonsfase... Stor sovjetisk leksikon

Y; og. [fra gresk fase utseende] 1. Et eget stadium, periode, utviklingsstadium hvorav l. fenomen, prosess osv. Hovedfasene i samfunnsutviklingen. Faser av prosessen med samhandling mellom dyret og flora. Gå inn i din nye, avgjørende,... encyklopedisk ordbok

La oss introdusere en annen mengde som karakteriserer harmoniske svingninger - oscillasjonsfase.

For en gitt amplitude av oscillasjoner, er koordinaten til det oscillerende legemet til enhver tid unikt bestemt av argumentet til cosinus eller sinus: φ = ω 0 t.

Mengden φ under tegnet til cosinus- eller sinusfunksjonen kalles oscillasjonsfase beskrevet av denne funksjonen. Fasen uttrykkes i vinkelenheter - radianer.

Fasen bestemmer ikke bare verdien av koordinaten, men også verdien av andre fysiske størrelser, som hastighet og akselerasjon, som også varierer i henhold til en harmonisk lov. Derfor kan vi si det fase bestemmer, for en gitt amplitude, tilstanden til det oscillerende systemet til enhver tid. Dette er meningen med begrepet fase.

Oscillasjoner med samme amplituder og frekvenser kan variere i fase.

Siden da

Forholdet angir hvor mange perioder som har gått siden starten av svingningen. Enhver tidsverdi t, uttrykt i antall perioder T, tilsvarer faseverdien φ, uttrykt i radianer. Så, etter tid (kvart periode), etter en halv periode, φ = π, etter en hel periode, φ = 2π, osv.

Du kan skildre på en graf avhengigheten av koordinatene til et oscillerende punkt ikke på tid, men på fase. Figur 3.7 viser samme cosinusbølge som i figur 3.6, men forskjellige faseverdier φ er plottet på den horisontale aksen i stedet for tid.

Opptreden harmoniske vibrasjoner ved bruk av cosinus og sinus. Du vet allerede at under harmoniske vibrasjoner endres koordinatene til en kropp over tid i henhold til loven om cosinus eller sinus. Etter å ha introdusert begrepet fase, vil vi dvele nærmere ved dette.

Sinusen skiller seg fra cosinus ved å forskyve argumentet med , som tilsvarer, som man kan se fra ligning (3.21), til en tidsperiode lik en fjerdedel av perioden:

Derfor, i stedet for formelen x = x m cos ω 0 t, kan vi bruke formelen til å beskrive harmoniske oscillasjoner

Men samtidig innledende fase, dvs. faseverdien ved tidspunktet t = 0, er ikke lik null, men .

Vanligvis eksiterer vi svingninger av en kropp festet til en fjær, eller oscillasjoner av en pendel, ved å fjerne pendelens kropp fra likevektsposisjonen og deretter slippe den. Forskyvningen fra likevektsposisjonen er maksimal i det første øyeblikket. Derfor, for å beskrive oscillasjoner, er det mer praktisk å bruke formel (3.14) ved å bruke en cosinus enn formel (3.23) ved å bruke en sinus.

Men hvis vi eksiterte svingninger av en kropp i ro med et kortvarig trykk, ville koordinaten til kroppen i det første øyeblikket være lik null, og det ville være mer praktisk å beskrive endringer i koordinaten over tid ved å bruke sinusen , dvs. ved formelen

x = x m sin ω 0 t, (3,24)

siden i dette tilfellet er startfasen null.

Hvis i det første øyeblikket (ved t - 0) oscillasjonsfasen er lik φ, kan oscillasjonsligningen skrives på formen

x = x m sin (ω 0 t + φ).

Oscillasjonene beskrevet av formlene (3.23) og (3.24) skiller seg fra hverandre bare i faser. Faseforskjellen, eller, som det ofte sies, faseforskyvningen til disse svingningene er . Figur 3.8 viser grafer over koordinater mot tid for to harmoniske svingninger forskjøvet i fase med . Graf 1 tilsvarer svingninger som oppstår i henhold til sinusloven: x = x m sin ω 0 t, og graf 2 tilsvarer svingninger som oppstår i henhold til cosinusloven:

For å bestemme faseforskjellen mellom to oscillasjoner, må i begge tilfeller den oscillerende mengden uttrykkes gjennom det samme trigonometrisk funksjon- cosinus eller sinus.

Spørsmål til avsnittet

1. Hvilke vibrasjoner kalles harmoniske?

2. Hvordan henger akselerasjon og koordinater sammen i harmoniske vibrasjoner?

3. Hvordan er den sykliske frekvensen av svingninger og svingeperioden relatert?

4. Hvorfor er svingningsfrekvensen til en kropp festet til en fjær avhengig av dens masse, men svingningsfrekvensen til en matematisk pendel er ikke avhengig av massen?

5. Hva er amplitudene og periodene til tre forskjellige harmoniske oscillasjoner, hvis grafer er presentert i figur 3.8, 3.9?

Rektangel er en firkant der hver vinkel er rett.

Bevis

Egenskapen forklares av handlingen til funksjon 3 i parallellogrammet (det vil si \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Motstående sider er like.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Motstående sider er parallelle.

AB \parallell CD,\enspace BC \parallell AD

4. Tilstøtende sider er vinkelrette på hverandre.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Diagonalene til rektangelet er like.

AC = BD

Bevis

I følge eiendom 1 Rektangelet er et parallellogram, som betyr AB = CD.

Derfor er \triangle ABD = \triangle DCA på to ben (AB = CD og AD - ledd).

Hvis begge tallene ABC og DCA er identiske, er hypotenusene deres BD og AC også identiske.

Så AC = BD.

Av alle figurene (bare av parallellogrammer!) er det bare rektangelet som har like diagonaler.

La oss bevise dette også.

ABCD er et parallellogram \Høyrepil AB = CD, AC = BD etter betingelse. \Høyrepil \triangle ABD = \triangle DCA allerede på tre sider.

Det viser seg at \vinkel A = \vinkel D (som vinklene til et parallellogram). Og \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Det konkluderer vi med \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. De er alle 90^(\circ) . Totalt - 360^(\circ) .

Bevist!

6. Diagonal firkant lik summen kvadratene på de to tilstøtende sidene.

Denne egenskapen er sann på grunn av Pythagoras teorem.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonalen deler rektangelet i to like rette trekanter.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Skjæringspunktet mellom diagonalene deler dem i to.

AO = BO = CO = DO

9. Skjæringspunktet for diagonalene er sentrum av rektangelet og den omskrevne sirkelen.

10. Summen av alle vinkler er 360 grader.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Alle vinkler i et rektangel er rette.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Diameteren til en sirkel omskrevet rundt et rektangel er lik diagonalen til rektangelet.

13. Du kan alltid beskrive en sirkel rundt et rektangel.

Denne egenskapen er sant på grunn av at summen motsatte hjørner rektangel er 180^(\sirkel)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Et rektangel kan inneholde en innskrevet sirkel og bare én hvis den har like sidelengder (det er en firkant).

I skolepensum i geometritimer må du forholde deg til ulike typer firkanter: romber, parallellogrammer, rektangler, trapeser, firkanter. De aller første formene å studere er rektangelet og firkanten.

Så hva er et rektangel? Definisjon for 2. klasse ungdomsskolen vil se slik ut: dette er en firkant med alle fire hjørner rett. Det er lett å forestille seg hvordan et rektangel ser ut: det er en figur med 4 rette vinkler og sider som er parallelle med hverandre i par.

I kontakt med

Hvordan kan vi forstå, når vi løser et annet geometrisk problem, hvilken firkant vi har å gjøre med? Det er tre hovedtegn, hvorved man umiskjennelig kan fastslå at vi snakker om et rektangel. La oss kalle dem:

• figuren er en firkant hvis tre vinkler er lik 90°;
• firkanten representert er et parallellogram med like diagonaler;
• et parallellogram som har minst én rett vinkel.

Det er interessant å vite: hva er konveks, dets funksjoner og symptomer.

Siden et rektangel er et parallellogram (dvs. en firkant med par av parallelle motsatte sider), vil alle dets egenskaper og egenskaper være oppfylt for det.

Formler for beregning av sidelengder

I et rektangel motsatte sider er like og innbyrdes parallelle. Den lengre siden kalles vanligvis lengden (angitt med a), den kortere siden kalles bredden (angitt med b). I rektangelet i bildet er lengdene sidene AB og CD, og ​​breddene er AC og B. D. De er også vinkelrette på basene (dvs. de er høydene).

For å finne sidene kan du bruke formlene nedenfor. De takket ja symboler: a - lengden på rektangelet, b - dets bredde, d - diagonalen (et segment som forbinder toppunktene til to vinkler som ligger overfor hverandre), S - arealet av figuren, P - omkretsen, α - vinkelen mellom diagonalen og lengden, β - skarpt hjørne, som er dannet av begge diagonalene. Metoder for å finne sidelengder:

• Ved å bruke en diagonal og en kjent side: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• Basert på arealet av figuren og en av sidene: a = S / b, b = S / a.
• Ved å bruke omkretsen og den kjente siden: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Gjennom diagonalen og vinkelen mellom den og lengden: a = d sinα, b = d cosα.
• Gjennom diagonalen og vinkelen β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Omkrets og område

Omkretsen til en firkant kalles summen av lengdene på alle sidene. For å beregne omkretsen kan følgende formler brukes:

• Gjennom begge sider: P = 2 (a + b).
• Gjennom området og en av sidene: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

Arealet er rommet som er omsluttet av en omkrets. Tre hovedmåter å beregne arealet på:

• Gjennom lengdene på begge sider: S = a*b.
• Ved å bruke omkretsen og en hvilken som helst kjent side: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• Diagonalt og vinkel β: S = 0,5 d² sinβ.

Problemer i et skolematematikkkurs krever ofte god beherskelse av egenskapene til diagonalene til et rektangel. Vi lister opp de viktigste:

1. Diagonalene er like med hverandre og er delt inn i to like segmenter ved skjæringspunktet.
2. Diagonalen er definert som roten av summen av begge sider i annen (følger av Pythagoras teorem).
3. En diagonal deler et rektangel i to rettvinklede trekanter.
4. Skjæringspunktet faller sammen med midten av den omskrevne sirkelen, og selve diagonalene sammenfaller med diameteren.

Følgende formler brukes til å beregne lengden på diagonalen:

• Bruk lengden og bredden på figuren: d = √(a² + b²).
• Ved å bruke radiusen til en sirkel omskrevet rundt en firkant: d = 2 R.

Definisjon og egenskaper til et kvadrat

Square er spesielt tilfelle rombe, parallellogram eller rektangel. Forskjellen fra disse figurene er at alle vinklene er rette og alle fire sidene er like. Et kvadrat er en vanlig firkant.

En firkant kalles en firkant i følgende tilfeller:

1. Hvis det er et rektangel hvis lengde a og bredde b er like.
2. Hvis det er en rombe med like lange diagonaler og fire rette vinkler.

Egenskapene til et kvadrat inkluderer alle de tidligere diskuterte egenskapene knyttet til et rektangel, samt følgende:

1. Diagonaler er vinkelrett på hverandre (rombeegenskap).
2. Skjæringspunktet faller sammen med midten av den innskrevne sirkelen.
3. Begge diagonalene deler firkanten i fire like rette og likebenede trekanter.

Her er de ofte brukte formlene for beregninger av omkrets, areal og kvadratiske elementer:

• Diagonal d = a √2.
• Omkrets P = 4 a.
• Område S = a².
• Radiusen til den omskrevne sirkelen er halve diagonalen: R = 0,5 a √2.
• Radiusen til den innskrevne sirkelen er definert som halvparten av lengden av siden: r = a / 2.

Eksempler på spørsmål og oppgaver

La oss se på noen spørsmål du kan støte på når du studerer et matematikkkurs på skolen, og løse noen enkle problemer.

Oppgave 1. Hvordan vil arealet til et rektangel endres hvis lengden på sidene tredobles?

Løsning : La oss betegne arealet til den opprinnelige figuren som S0, og arealet til en firkant med trippel lengden på sidene som S1. Ved å bruke formelen diskutert tidligere får vi: S0 = ab. La oss nå øke lengden og bredden med 3 ganger og skrive: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Sammenligner S0 og S1, blir det åpenbart at det andre området er 9 ganger større enn det første.

Spørsmål 1. Er en firkant med rette vinkler en firkant?

Løsning : Av definisjonen følger det at en figur med rette vinkler er en firkant bare hvis lengdene på alle sidene er like. I andre tilfeller er figuren et rektangel.

Oppgave 2. Diagonalene til et rektangel danner en vinkel på 60 grader. Bredden på rektangelet er 8. Regn ut hva diagonalen er.

Løsning: Husk at diagonalene er delt i to av skjæringspunktet. Dermed har vi å gjøre med likebent trekant med en spissvinkel på 60°. Siden trekanten er likebenet, vil vinklene ved basen også være like. Ved enkle beregninger finner vi at hver av dem er lik 60°. Det følger at trekanten er likesidet. Bredden vi vet er basisen til trekanten, derfor er halvparten av diagonalen også lik 8, og lengden på hele diagonalen er dobbelt så stor og lik 16.

Spørsmål 2. Har et rektangel alle sider like eller ikke?

Løsning : Det er nok å huske at alle sider må være like for en firkant, som er et spesialtilfelle av et rektangel. I alle andre tilfeller tilstrekkelig tilstand- dette er tilstedeværelsen av minst 3 rette vinkler. Likestilling mellom partene er ikke et obligatorisk trekk.

Oppgave 3. Arealet av kvadratet er kjent og lik 289. Finn radiene til den innskrevne og omskrevne sirkelen.

Løsning : Ved å bruke formlene for et kvadrat, vil vi utføre følgende beregninger:

• La oss finne ut hva de grunnleggende elementene i kvadratet er lik: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• La oss beregne radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt firkanten: R = 0,5 d = 8,5√2.
• La oss finne radiusen til den innskrevne sirkelen: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Et rektangel er dannet av en lukket stiplet linje, bestående av fire ledd, og den delen av planet som er innenfor den stiplede linjen.

I teksten er rektangler betegnet med fire store latinske bokstaver ved hjørnene - ABCD.

Rektangler har motsatte sider som er parallelle og like:

ABCD poeng EN, B, C Og D- Dette toppunktene til rektangelet, segmenter AB, B.C., CD Og D.A. - sider. Vinklene som dannes av sidene kalles indre vinkler eller ganske enkelt hjørnene av rektangelet.

Hovedforskjellen mellom rektangler og andre firkanter er de fire rette indre vinklene:

Egenskaper til diagonaler

Linjestykker som forbinder motsatte hjørner av et rektangel kalles diagonaler.

Segmenter A.C. Og BD- diagonaler, O- skjæringspunkt for diagonaler.

I ethvert rektangel kan du tegne bare to diagonaler. De har følgende egenskaper:

• Diagonalene til rektangelet er like

  A.C. = BD

• skjæringspunktet deler hver diagonal i to like segmenter

  A.O. = O.C. Og B.O. = O.D.

• siden diagonalene er like, så er segmentene de er delt inn i i skjæringspunktet også like med hverandre:

  A.O. = O.C. = B.O. = O.D.

• hver diagonal deler rektangelet i to like trekanter:

  Δ ABC = Δ CDA og Δ DAB = Δ BCD

Torget- et rektangel med alle sider like. Diagonalene til et kvadrat har alle egenskapene til diagonalene til et rektangel. Også diagonalene til en firkant har tilleggsegenskaper:

• Diagonalene til et kvadrat skjærer hverandre i rette vinkler, det vil si at de er vinkelrett på hverandre:

  A.C. ⊥ BD

• Diagonalene til en firkant deler den inn i fire like trekanter:

  Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ DAO

• Diagonalene til en firkant deler de indre vinklene i to like deler, det vil si at de er halveringslinjer