Direkte prisme (firkantet regelmessig). Høyre prisme (firkantet regelmessig) Avkortet pyramide og kule
For å bruke forhåndsvisninger av presentasjoner, opprett en Google-konto og logg på den: https://accounts.google.com
Lysbildetekster:
Kuler beskrevet rundt polyedre.
Definisjon. Et polyeder sies å være innskrevet i en sfære (og en sfære beskrevet om et polyeder) hvis alle hjørnene til polyederet tilhører denne sfæren. Konsekvens. Sentrum av den omskrevne sfæren er et punkt like langt fra alle hjørnene i polyederet. O O O. . .
Teorem 1. Settet med punkter like langt fra to gitte punkter er et plan vinkelrett på et segment med ender i gitte punkter, som går gjennom midten (planet til de vinkelrette halveringslinjene til dette segmentet). AB ┴ α AO=OB α A B O
Teorem 2. Settet med punkter like langt fra n gitte punkter som ligger på samme sirkel er en rett linje vinkelrett på planet til disse punktene, som går gjennom sentrum av sirkelen som er omskrevet rundt dem. C E A B D O a . . . . . . C E A B D . . . . .
Et prisme innskrevet i en kule. OA=OB=…=OX=R sf. O 1. O. O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X 1. .A.B.C.D E. X. a a 1 . O. O 1
Konsekvenser. 1) Omtrent en rett linje trekantet prisme det er mulig å beskrive sfæren, fordi Du kan alltid beskrive en sirkel rundt en trekant. 2) En kule kan beskrives rundt et hvilket som helst vanlig prisme, fordi et korrekt prisme er rett og rundt vanlig polyeder Du kan alltid beskrive en sirkel. O. O. .
Oppgave nr. 1. Kulen er omskrevet rundt et prisme, ved bunnen av dette ligger en rettvinklet trekant med ben 6 og 8. Sidekanten av prismet er 24. Finn kulens radius. Gitt: ∆ ABC – rektangulær; AC=6, BC=8, AA1=24. Finn: Rw = ? Løsning: 1)OO1 ┴AB1; OO1 =AA1 =24. 2) ABC: AB=10. 3) O w OB: R w = O w B=√OO w 2 + OB 2 = = √144+25=13 Svar: 13. O 1 O. . . R w O w C 1 B 1 A 1 A C B
Oppgave nr. 3. Dimensjonene til en kuboid er 2,3 og 5. Finn radiusen til den omskrevne kulen. Gitt:AB=a=2; BC=b=3; CC1=c=5. Finn: Rw = ? Løsning: 1) AC 2 =a 2 + b 2 + c 2. 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 (Egenskapen til diagonalene til et rektangulært parallellepiped) 3) A 1 C=√38; R w = O w C = √38 /2 Svar: √38 /2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3 . . . Å sh
Oppgave nr. 3. Siden av bunnen av et vanlig trekantet prisme er lik a, og sidekanten er lik 2 a. Finn radiusen til den omskrevne kulen. Gitt: AB=BC=AC=a, AA1 ┴ABC; AA 1 = 2a. Finn: Rw = ? Løsning: 1)AB=AO √3; AO=a/√3. 2)R w =√ a 2 + a 2 /3=2a/ √ 3 Svar: 2a/ √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. O O 1
Konsekvenser. 1) Du kan alltid beskrive en kule rundt en trekantet pyramide, siden du alltid kan beskrive en sirkel rundt en trekant. 2) Du kan alltid beskrive en kule rundt en vanlig pyramide. 3) Hvis sidekantene av pyramiden er like (like skråstilt til basen), så kan en kule alltid beskrives rundt en slik pyramide. *I de to siste tilfellene ligger midten av kulen på den rette linjen som inneholder høyden til pyramiden. O. O.
Problemer (sfære beskrevet nær pyramiden). En ball er beskrevet rundt pyramiden PABC, hvis base er en vanlig trekant ABC med side 4√3. Sidekanten PA er vinkelrett på planet til pyramidens basis og er lik 6. Finn kulens radius. Gitt: AB=BC=AC=4 √3 ; PA ┴(ABC); PA=6. Finn: Rw = ? Løsning: 1) OO SF ┴(ABC); O – sentrum av en sirkel omskrevet om ∆ABC; K O SF ┴ PA; KP=AK (KO SF En av midtperpendikulærene til sidekanten PA); O SF er sentrum av den omskrevne sfæren. 2) OO SF ┴(ABC); OO SF tilhører (AKO); PA ┴(ABC); AK tilhører (AKO) ; betyr KA|| OO SF; . O SF. O K. P. A. B. C
Problemer (sfære beskrevet nær pyramiden). 3) KO cf ┴AP; KO c f tilhører (AOK); AO┴AP; AO tilhører (AOK) ; betyr KO c f || AO; 4) Fra (2) og (3): AOO c f K- rektangel, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/√3 =4; 6) ∆ AO O c f: AO c f = R w =5 Svar: 5
Problemer (sfære beskrevet nær pyramiden). I en vanlig firkantet pyramide er sidekanten skråstilt mot basen i en vinkel på 45˚. Høyden på pyramiden er h. Finn radiusen til den omskrevne kulen. Gitt: PABCD – vanlig pyramide; (AP^(ABC))=45 ˚; PO=h. Finn: Rw = ? Løsning: 1) AO=OP=h; AP=h √ 2; 2) ∆PAP1 – rektangulær; PP 1 - kulediameter; PP1 = 2 Rw; AP 2 = PP 1 * OP; (h √ 2) 2 = 2 R w *h; Rw = 2h2/2t=h. Svar: h. C. B A. .D .P .P 1 . O
Oppgaver (sfære beskrevet nær pyramiden). På egenhånd. Radien til en kule omskrevet rundt et vanlig tetraeder er lik R. Finn området full overflate tetraeder.
Problemer (sfære beskrevet nær pyramiden). På egenhånd. Gitt: DABC – vanlig tetraeder; R er radiusen til kulen. Finn: S full tetra. =? Løsning: 1) Siden tetraederet er regelmessig, tilhører midten av den omskrevne sfæren den rette linjen som inneholder pyramidens høyde; 2) S full tetra. = a 2 √ 3/4*4= a 2 √ 3; 3) Punktene D, A, D 1 tilhører samme sirkel - seksjonen av kulen ved planet DAD 1, som betyr at vinkelen DAD 1 er en innskrevet vinkel basert på diameteren, DD 1; vinkel DAD 1 =90 ˚; 4) AO – høyde ∆ ADD 1 trukket fra toppunktet rett vinkel. AD 2 = GJØR*DD 1; 5) AO=a/√ 3; DO= √ a 2 -a 2 /3=a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3*2R; a= √ 2 / √ 3*2R; a2 = 8R2/3; .D 1 .D .O .B .C A. a a
Problemer (sfære beskrevet nær pyramiden). På egenhånd. 6) S full tet. = 8R 2 √ 3/3 Svar: 8R 2 √ 3/3
Emnet «Ulike problemer på polyeder, sylinder, kjegle og kule» er et av de vanskeligste i geometrikurset i 11. klasse. Før de løser geometriske oppgaver, studerer de vanligvis de relevante delene av teorien som det refereres til når de løser oppgaver. I læreboken til S. Atanasyan og andre om dette emnet (s. 138) kan man bare finne definisjoner av et polyeder beskrevet rundt en kule, et polyeder innskrevet i en kule, en kule innskrevet i et polyeder, og en kule beskrevet rundt en kule. polyeder. I metodiske anbefalinger denne læreboken (se boken «Studying geometry in grades 10–11» av S.M. Saakyan og V.F. Butuzov, s. 159) sier hvilke kombinasjoner av kropper som tas i betraktning når man løser problemer nr. 629–646, og retter oppmerksomheten mot det faktum at « Når man løser et bestemt problem, er det først og fremst nødvendig å sikre at elevene har en god forståelse av de relative posisjonene til kroppene som er angitt i tilstanden.» Følgende er løsningen på problemer nr. 638(a) og nr. 640.
Med tanke på alt det ovennevnte, og det faktum at de vanskeligste problemene for elevene er kombinasjonen av en ball med andre kropper, er det nødvendig å systematisere de relevante teoretiske prinsippene og formidle dem til studentene.
Definisjoner.
1. En kule kalles innskrevet i et polyeder, og et polyeder beskrevet rundt en ball hvis overflaten av ballen berører alle overflater av polyederet.
2. En kule kalles omskrevet om et polyeder, og et polyeder innskrevet i en kule, hvis overflaten på kulen går gjennom alle hjørnene i polyederet.
3. En ball sies å være innskrevet i en sylinder, avkortet kjegle (kjegle), og en sylinder, avkortet kjegle (kjegle) sies å være omskrevet rundt ballen hvis overflaten av ballen berører basene (basen) og alt generatrisene til sylinderen, avkortet kjegle (kjegle).
(Fra denne definisjonen følger det at storsirkelen til en kule kan skrives inn i en hvilken som helst aksial del av disse kroppene).
4. En kule sies å være omskrevet om en sylinder, en avkortet kjegle (kjegle), hvis sirklene til basene (grunnsirkel og apex) tilhører ballens overflate.
(Fra denne definisjonen følger det at rundt en hvilken som helst aksial seksjon av disse legene kan sirkelen til en større sirkel av ballen beskrives).
Generelle merknader om plasseringen av midten av ballen.
1. Sentrum av en kule innskrevet i et polyeder ligger i skjæringspunktet mellom halveringsplanene for alle dihedriske vinkler på polyederet. Den ligger bare inne i polyederet.
2. Sentrum av en kule omskrevet rundt et polyeder ligger i skjæringspunktet mellom plan som er vinkelrett på alle kantene av polyederet og som går gjennom deres midtpunkter. Det kan være plassert innenfor, på overflaten eller utenfor polyederet.
Kombinasjon av en kule og et prisme.
1. En kule innskrevet i et rett prisme.
Teorem 1. En kule kan skrives inn i et rett prisme hvis og bare hvis en sirkel kan skrives inn ved bunnen av prismet, og høyden på prismet er lik diameteren til denne sirkelen.
Konsekvens 1. Sentrum av en kule innskrevet i et høyre prisme ligger i midtpunktet av høyden til prismet som går gjennom sentrum av sirkelen som er innskrevet i basen.
Konsekvens 2. Spesielt en ball kan skrives inn i rette linjer: trekantet, regelmessig, firkantet (hvor summene av de motsatte sidene av basen er lik hverandre) under betingelsen H = 2r, hvor H er høyden av prisme, r er radiusen til sirkelen innskrevet i basen.
2. En kule omskrevet om et prisme.
Teorem 2. En kule kan beskrives rundt et prisme hvis og bare hvis prismet er rett og en sirkel kan beskrives rundt bunnen.
Konsekvens 1. Sentrum av en kule omskrevet om et rett prisme ligger i midtpunktet av høyden til prismet trukket gjennom midten av en sirkel som er omskrevet rundt basen.
Konsekvens 2. Spesielt en ball kan beskrives: nær et rettvinklet trekantet prisme, nær et vanlig prisme, nær et rektangulært parallellepiped, nær et rett firkantet prisme, der summen av de motsatte vinklene til basen er lik 180 grader.
Fra læreboken til L.S. Atanasyan kan oppgave nr. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) foreslås for kombinasjonen av en kule og et prisme.
Kombinasjon av en ball med en pyramide.
1. En ball beskrevet nær en pyramide.
Teorem 3. En ball kan beskrives rundt en pyramide hvis og bare hvis en sirkel kan beskrives rundt basen.
Konsekvens 1. Sentrum av en kule omskrevet rundt en pyramide ligger i skjæringspunktet for en rett linje vinkelrett på bunnen av pyramiden som går gjennom midten av en sirkel omskrevet rundt denne bunnen og et plan vinkelrett på en sidekant trukket gjennom midten av denne kanten.
Konsekvens 2. Hvis sidekantene på pyramiden er like hverandre (eller like skråstilt til basens plan), kan en ball beskrives rundt en slik pyramide. Sentrum av denne ballen ligger i dette tilfellet i skjæringspunktet høyden på pyramiden (eller dens forlengelse) med symmetriaksen til sidekanten liggende i plan sidekant og høyde.
Konsekvens 3. Spesielt en ball kan beskrives: nær en trekantet pyramide, nær en vanlig pyramide, nær en firkantet pyramide der summen av motsatte vinkler er 180 grader.
2. En ball innskrevet i en pyramide.
Teorem 4. Hvis sideflatene til pyramiden er like tilbøyelige til basen, kan en ball skrives inn i en slik pyramide.
Konsekvens 1. Sentrum av en kule innskrevet i en pyramide hvis sideflater er likt skråstilt til bunnen, ligger i skjæringspunktet mellom pyramidens høyde og halveringslinjen til den lineære vinkelen til en hvilken som helst dihedral vinkel ved bunnen av pyramiden, siden hvorav er høyden på sideflaten trukket fra toppen av pyramiden.
Konsekvens 2. Du kan passe en ball inn i en vanlig pyramide.
Fra læreboken til L.S. Atanasyan kan oppgave nr. 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 foreslås for kombinasjonen av en ball med en pyramide.
Kombinasjon av en ball med en avkortet pyramide.
1. En ball omskrevet om en vanlig avkortet pyramide.
Teorem 5. En kule kan beskrives rundt en hvilken som helst vanlig avkortet pyramide. (Denne betingelsen er tilstrekkelig, men ikke nødvendig)
2. En ball innskrevet i en vanlig avkortet pyramide.
Teorem 6. En ball kan skrives inn i en vanlig avkortet pyramide hvis og bare hvis apotemet til pyramiden er lik summen av apotemene til basene.
Det er bare ett problem for kombinasjonen av en ball med en avkortet pyramide i L.S. Atanasyans lærebok (nr. 636).
Kombinasjon av ball med runde kropper.
Teorem 7. En ball kan beskrives rundt en sylinder, en avkortet kjegle (rett sirkulær) eller en kjegle.
Teorem 8. En kule kan skrives inn i en (rett sirkulær) sylinder hvis og bare hvis sylinderen er likesidet.
Teorem 9. Du kan passe en ball i hvilken som helst kjegle (rett sirkulær).
Teorem 10. En ball kan skrives inn i en avkortet kjegle (rett sirkulær) hvis og bare hvis generatoren er lik summen av radiene til basene.
Fra læreboken til L.S Atanasyan kan oppgave nr. 642, 643, 644, 645, 646 foreslås for kombinasjonen av en ball med runde kropper.
For mer vellykket å studere materialet om dette emnet, er det nødvendig å inkludere muntlige oppgaver i leksjonene:
1. Kanten på kuben er lik a. Finn radiene til kulene: innskrevet i kuben og omskrevet rundt den. (r = a/2, R = a3).
2. Er det mulig å beskrive en kule (kule) rundt: a) en kube; b) rektangulært parallellepipedum; c) et skråstilt parallellepiped med et rektangel ved bunnen; d) rett parallellepipedum; e) et skråstilt parallellepiped? (a) ja; b) ja; c) nei; d) nei; d) nei)
3. Er det sant at en kule kan beskrives rundt en hvilken som helst trekantet pyramide? (Ja)
4. Er det mulig å beskrive en kule rundt en hvilken som helst firkantet pyramide? (Nei, ikke i nærheten av noen firkantet pyramide)
5. Hvilke egenskaper må en pyramide ha for å beskrive en kule rundt seg? (Ved basen skal det være en polygon som en sirkel kan beskrives rundt)
6. En pyramide er innskrevet i en kule, hvis sidekant er vinkelrett på basen. Hvordan finne sentrum av en kule? (Sfærens sentrum er skjæringspunktet mellom to geometriske loki av punkter i rommet. Den første er en vinkelrett trukket til planet til bunnen av pyramiden, gjennom midten av en sirkel som er omskrevet rundt den. Den andre er et plan vinkelrett på en gitt sidekant og trukket gjennom midten)
7. Under hvilke forhold kan du beskrive en kule rundt et prisme, ved bunnen av denne er en trapes? (For det første må prismet være rett, og for det andre må trapeset være likebenet slik at en sirkel kan beskrives rundt det)
8. Hvilke betingelser må et prisme tilfredsstille for at en sfære skal beskrives rundt det? (Prismet må være rett, og basen må være en polygon som en sirkel kan beskrives rundt)
9. En kule er beskrevet rundt et trekantet prisme, hvis sentrum ligger utenfor prismet. Hvilken trekant er bunnen av prismet? (stump trekant)
10. Er det mulig å beskrive en kule rundt et skrånende prisme? (Nei du kan ikke)
11. Under hvilke forhold vil sentrum av en kule omskrevet om et rettvinklet trekantet prisme være plassert på en av sideflatene til prismet? (grunnlaget er en rettvinklet trekant)
12. Basen av pyramiden er en likebenet trapes. Den ortogonale projeksjonen av toppen av pyramiden på planet til basen er et punkt plassert utenfor trapesen. Er det mulig å beskrive en kule rundt en slik trapes? (Ja, det kan du. Det faktum at den ortogonale projeksjonen av toppen av pyramiden er plassert utenfor basen spiller ingen rolle. Det er viktig at ved bunnen av pyramiden ligger en likebenet trapes - en polygon som en sirkel kan være rundt. beskrevet)
13. En kule er beskrevet nær en vanlig pyramide. Hvordan er sentrum plassert i forhold til elementene i pyramiden? (Sfærens sentrum er på en vinkelrett trukket til planet til basen gjennom midten)
14. Under hvilke forhold ligger sentrum av en kule beskrevet rundt et rettvinklet trekantet prisme: a) inne i prismet; b) utenfor prismet? (Ved bunnen av prismet: a) en spiss trekant; b) stump trekant)
15. En kule er beskrevet rundt et rektangulært parallellepiped hvis kanter er 1 dm, 2 dm og 2 dm. Regn ut radiusen til kulen. (1,5 dm)
16. Hvilken avkuttet kjegle kan en kule passe inn i? (I en avkortet kjegle, inn i den aksiale seksjonen som en sirkel kan skrives inn. Den aksiale seksjonen av kjeglen er en likebenet trapes, må summen av dens base være lik summen av dens laterale sider. Med andre ord, summen av radiene til kjeglens base må være lik generatoren)
17. En kule er innskrevet i en avkortet kjegle. I hvilken vinkel er generatrisen til kjeglen synlig fra midten av kulen? (90 grader)
18. Hvilken egenskap må et rett prisme ha for at en kule skal skrives inn i det? (For det første, ved bunnen av et rett prisme må det være en polygon som en sirkel kan skrives inn i, og for det andre må høyden på prismet være lik diameteren til sirkelen som er skrevet inn i bunnen)
19. Gi et eksempel på en pyramide som ikke passer til en kule? (For eksempel en firkantet pyramide med et rektangel eller parallellogram ved bunnen)
20. Ved bunnen av et rett prisme er en rombe. Er det mulig å passe en kule inn i dette prismet? (Nei, det er umulig, siden det generelt er umulig å beskrive en sirkel rundt en rombe)
21. Under hvilke forhold kan en kule skrives inn i et rettvinklet trekantet prisme? (Hvis høyden på prismet er to ganger radiusen til sirkelen innskrevet i basen)
22. Under hvilke betingelser kan en kule skrives inn i en vanlig firkantet avkortet pyramide? (Hvis tverrsnittet til en gitt pyramide er et plan som går gjennom midten av siden av basen vinkelrett på den, er det en likebenet trapes som en sirkel kan skrives inn i)
23. En kule er innskrevet i en trekantet avkortet pyramide. Hvilket punkt i pyramiden er sfærens sentrum? (Senteren av sfæren som er innskrevet i denne pyramiden er i skjæringspunktet mellom tre bisektralplan med vinkler dannet av sideflatene til pyramiden med basen)
24. Er det mulig å beskrive en kule rundt en sylinder (høyre sirkulær)? (Ja det kan du)
25. Er det mulig å beskrive en kule rundt en kjegle, en avkortet kjegle (rett sirkulær)? (Ja, du kan i begge tilfeller)
26. Er det mulig å montere en kule i hvilken som helst sylinder? Hvilke egenskaper må en sylinder ha for å passe en kule inn i den? (Nei, ikke hver gang: den aksiale delen av sylinderen må være firkantet)
27. Kan en kule skrives inn i hvilken som helst kjegle? Hvordan bestemme posisjonen til midten av en kule innskrevet i en kjegle? (Ja, absolutt. Sentrum av den innskrevne sfæren er i skjæringspunktet mellom høyden til kjeglen og halveringslinjen for helningsvinkelen til generatrisen til grunnplanet)
Forfatteren mener at av de tre planleggingsleksjonene om emnet "Ulike problemer på polyeder, sylinder, kjegle og ball", er det tilrådelig å vie to leksjoner til å løse problemer med å kombinere en ball med andre kropper. Det anbefales ikke å bevise teoremene gitt ovenfor på grunn av utilstrekkelig tid i klassen. Du kan invitere elever som har tilstrekkelige ferdigheter til å bevise dem ved å angi (etter lærerens skjønn) kurset eller planen for beviset.
En ball kan beskrives rundt en pyramide hvis og bare hvis en sirkel kan beskrives rundt basen.
For å konstruere midten O av denne ballen, trenger du:
1. Finn sentrum O av sirkelen som er omskrevet rundt grunnflaten.
2. Tegn en rett linje vinkelrett på grunnplanet gjennom punktet O.
3. Tegn et plan gjennom midten av en hvilken som helst sidekant av pyramiden vinkelrett på denne kanten.
4. Finn punktet O for skjæringspunktet mellom den konstruerte rette linjen og planet.
Spesialtilfelle: sidekantene av pyramiden er like. Deretter:
ballen kan beskrives;
midten O av ballen ligger på høyden av pyramiden;
Hvor er radiusen til den omskrevne sfæren; - sideribbe; H er høyden på pyramiden.
5.2. Kule og prisme
En kule kan beskrives rundt et prisme hvis og bare hvis prismet er rett og en sirkel kan beskrives rundt bunnen.
Sentrum av ballen er midten av segmentet som forbinder sentrene til sirklene beskrevet nær basene.
hvor er radiusen til den omskrevne sfæren; - radius av sirkelen beskrevet nær basen; H er høyden på prismet.
5.3. Kule og sylinder
En ball kan alltid beskrives rundt en sylinder. Sentrum av kulen er symmetrisenteret til sylinderens aksiale seksjon.
5.4. Ball og kjegle
En ball kan alltid beskrives rundt en kjegle. midten av ballen; fungerer som sentrum av en sirkel omskrevet rundt den aksiale delen av kjeglen.
Et regulært firkantet prisme, hvis volum er 65 dm 3, er beskrevet rundt en kule. Beregn forholdet mellom det totale overflatearealet til prismet og volumet av sfæren
Et prisme kalles regulært hvis basene er regulære polygoner og sidekantene er vinkelrette på basen. En vanlig firkant er en firkant. Skjæringspunktet mellom diagonalene til en firkant er sentrum, så vel som sentrum av sirkelen som er innskrevet i den. La oss bevise dette faktum. selv om dette beviset er usannsynlig å bli spurt og kan utelates
Som en spesiell type parallellogram, rektangel og rombe har kvadratet sine egenskaper: diagonalene er like og halveres med skjæringspunktet, og er halveringslinjer for kvadratets hjørner. Gjennom punkt E trekker vi en rett linje TK parallelt med AB. AB er vinkelrett på BC, noe som betyr at TC også er vinkelrett på BC (hvis en av to parallelle linjer er vinkelrett på en tredje linje, så er den andre parallelle linjen vinkelrett på denne (tredje) linjen). På samme måte vil vi gjennomføre direkte MR. Rettvinklede trekanter BET og AEK er like i hypotenusa og skarpt hjørne(BE=AE - halvdeler av diagonalene, ∠ EBT=∠ EAK - halvdeler av en rett vinkel), som betyr ET=EK. På samme måte beviser vi at EM=EP. Og fra likheten av trekanter CEP og CET (samme tegn) ser vi at ET = EP, dvs. ET=EP=EK=EM eller bare si at punktet M er like langt fra sidene av kvadratet, og dette er en nødvendig betingelse for å gjenkjenne det som sentrum av en sirkel innskrevet i denne firkanten.
Tenk på rektangelet AVTC (denne firkanten er et rektangel, siden alle vinklene i det er rette vinkler etter konstruksjon). I et rektangel motsatte sider er like - AB = CT (det bør bemerkes at CT er diameteren til basen) - dette betyr at siden av basen er lik diameteren til den innskrevne sirkelen.
La oss tegne plan gjennom parallelle (to linjer vinkelrett på samme plan er parallelle) henholdsvis AA 1, CC 1 og BB 1 og DD 1 (parallelle linjer definerer kun ett plan). Planene AA 1 C 1 C og BB 1 D 1 D er vinkelrett på basen ABCD, fordi passere gjennom rette linjer (laterale ribber) vinkelrett på den.
Fra punkt H (skjæring av diagonaler) i plan AA 1 C 1 C vinkelrett på grunnflaten ABCD. Da vil vi gjøre det samme i planet BB 1 D 1 D. Fra teoremet: hvis fra et punkt som tilhører en av de to vinkelrette plan, tegn en perpendikulær til et annet plan, så ligger denne perpendikulæren helt i det første planet - vi finner at denne perpendikularen må ligge både i planet AA 1 C 1 C og i planet BB 1 D 1 D. Dette er kun mulig hvis denne den perpendikulære sammenfaller med skjæringslinjen til disse planene - IKKE. De. segmentet er IKKE en rett linje som sentrum av den innskrevne sirkelen ligger på (siden den IKKE er like langt fra planene til sideflatene, og dette følger igjen av ekvidistansen til punktene E og H fra toppunktene til de tilsvarende basene (ifølge det som er bevist: skjæringspunktet for diagonalene er like langt fra sidene av kvadratet ), og fra det faktum at NOT er vinkelrett på basene, kan vi konkludere med at NOT er kulens diameter En kule kan skrives inn i et vanlig prisme hvis og bare hvis høyden er lik diameteren på sirkelen som er skrevet inn i en kule, er dens høyde lik diameteren av sirkelen innskrevet i basen Hvis vi betegner siden av basen som. EN, og høyden på prismet er h, så konkluderer vi ved å bruke denne teoremet EN=h og deretter blir volumet til prismet funnet slik: 
Deretter, ved å bruke det faktum at høyden er lik diameteren til den innskrevne kulen og siden av bunnen av prismet, finner vi radiusen til ballen og deretter volumet: 
Det må sies at sidekantene er lik høyden (segmenter av parallelle rette linjer innelukket mellom parallelle plan lik), og siden høyden er lik siden av basen, er generelt alle kantene på prismet like hverandre, og alle flatene er i hovedsak firkanter med et område EN 2. Faktisk kalles en slik figur en kube - et spesielt tilfelle av et parallellepiped. Det gjenstår å finne den totale overflaten til kuben og relatere den til volumet av ballen: 
2. Baseside 
Oppgaver
1. Finn overflatearealet til et rett prisme, ved bunnen av det ligger en rombe med diagonaler lik 3 og 4 og en sidekant lik 5.
Svar: 62.
2. Ved bunnen av et rett prisme ligger en rombe med diagonaler lik 6 og 8. Overflatearealet er 248. Finn sidekanten til dette prismet.
Svar: 10.
3. Finn sidekanten til et vanlig firkantet prisme hvis sidene av basen er 3 og overflatearealet er 66.
Svar: 4.
4. Et vanlig firkantet prisme er omskrevet rundt en sylinder hvis basisradius og høyde er lik 2. Finn prismets sideoverflate.
Svar: 32.
5. Et vanlig firkantet prisme er omskrevet rundt en sylinder hvis basisradius er 2. Sideoverflatearealet til prismet er 48. Finn høyden på sylinderen.
Høyre prisme (sekskantet regelmessig)
Et prisme der sidekantene er vinkelrette på basene, og basene er like firkanter.
1. Sideflater - like rektangler
2. Baseside 
Oppgaver
1. Finn volumet til et regulært sekskantet prisme hvis grunnsider er lik 1 og sidekanter er lik .
Svar: 4.5.
2. Finn sideoverflatearealet til et regulært sekskantet prisme hvis grunnsider er 3 og høyden er 6.
Svar: 108.
3. Finn volumet til et regulært sekskantet prisme, der alle kanter er lik √3.
Svar: 13.5
4. Finn volumet til polyederet hvis toppunkter er punktene A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 til et vanlig sekskantet prisme ABCDEFA1B1C1D1E1F1, hvis grunnflate er 6, og sidekanten er 2 .
Rett prisme (vilkårlig n-kull)
Et prisme hvis sidekanter er vinkelrett på basene, og basene er like n-goner.
1. Hvis grunnflaten er en vanlig polygon, er sideflatene like rektangler.
2. Baseside 
.
Pyramide
En pyramide er et polyeder sammensatt av en n-gon A1A2...AnA1 og n trekanter (A1A2P, A1A3P, etc.).
1. Seksjonen parallelt med bunnen av pyramiden er en polygon som ligner bunnen. Tverrsnittsarealene og grunnflatene er relatert som kvadratene av deres avstander til toppen av pyramiden.
2. En pyramide kalles regulær hvis basen er en regulær polygon og toppen er projisert inn i midten av basen.
3. Alle sidekanter av en vanlig pyramide er like, og sideflatene er like likebente trekanter.
4. Høyden på sideflaten til en vanlig pyramide kalles apotem.
5. Arealet av sideoverflaten til en vanlig pyramide er lik halvparten av produktet av omkretsen av basen og apotemet.
Oppgaver
1. Hvor mange ganger vil volumet til et vanlig tetraeder øke hvis alle kantene dobles?
Svar: 8.
2. Sidene av bunnen av en vanlig sekskantet pyramide er lik 10, sidekantene er lik 13. Finn arealet av sideoverflaten til pyramiden.
Svar: 360.
5. Finn volumet til pyramiden vist på figuren. Basen er en polygon, hvis tilstøtende sider er vinkelrette, og en av sidekantene er vinkelrett på basens plan og lik 3.
Svar: 27.
6. Finn volumet til en vanlig trekantet pyramide hvis grunnsider er lik 1 og hvis høyde er lik .
Svar: 0,25.
7. Sidekantene til en trekantet pyramide er gjensidig vinkelrett, hver av dem er lik 3. Finn volumet til pyramiden.
Svar: 4.5.
8. Diagonalen til bunnen av en vanlig firkantet pyramide er 8. Sidekanten er 5. Finn volumet til pyramiden.
Svar: 32.
9. I en vanlig firkantet pyramide er høyden 12 og volumet 200. Finn sidekanten til pyramiden.
Svar: 13.
10. Sidene av bunnen av en vanlig firkantet pyramide er lik 6, sidekantene er lik 5. Finn overflaten til pyramiden.
Svar: 84.
11. Volumet til en vanlig sekskantet pyramide er 6. Siden av basen er 1. Finn sidekanten.
12. Hvor mange ganger vil overflatearealet til et vanlig tetraeder øke hvis alle kantene dobles?
Svar: 4.
13. Volumet til en vanlig firkantet pyramide er 12. Finn volumet av pyramiden som er avskåret fra den av et plan som går gjennom diagonalen til basen og midten av motsatt sidekant.
Svar: 3.
14. Hvor mange ganger vil volumet til oktaederet avta hvis alle kantene halveres?
Svar: 8.
15. Volumet til en trekantet pyramide er 15. Flyet passerer gjennom siden av bunnen av denne pyramiden og skjærer den motsatte sidekanten i et punkt som deler den i forholdet 1: 2, regnet fra toppen av pyramiden. Finn det største volumet av pyramidene som flyet deler den opprinnelige pyramiden inn i.
Svar: 10.
16. Finn høyden på en vanlig trekantet pyramide hvis grunnsider er lik 2 og volumet er lik .
Svar: 3.
17. I en vanlig firkantet pyramide er høyden 6, sidekanten er 10. Finn volumet.
Svar: 256.
18. Fra en trekantet pyramide, hvis volum er 12, er en trekantet pyramide avskåret av et plan som går gjennom toppen av pyramiden og midtlinjen til basen. Finn volumet til den avskårne trekantpyramiden.
Svar: 3.
Sylinder
En sylinder er et legeme avgrenset av en sylindrisk overflate og to sirkler med grenser.
| H |
| R |
| Kroppsvolum | Sideoverflateareal | Grunnflate | Totalt overflateareal |
 |  |  |  |
 |  |  |
1. Generatorer av en sylinder - segmenter av generatriser innelukket mellom basene.
2. Høyden på sylinderen er lengden på generatrisen.
3. Den aksiale seksjonen er et rektangel, hvor to sider er generatriser, og de to andre er diametrene til sylinderens base.
4. Sirkulær seksjon - en seksjon hvis skjæreplan er vinkelrett på sylinderens akse.
5. Utvikling av sideflaten til sylinderen - et rektangel som representerer to kanter av kuttet av sideflaten til sylinderen langs generatrisen.
6. Arealet av sylinderens sideflate er området for dens utvikling.
7. Det totale overflatearealet til en sylinder kalles summen av arealene til sideflaten og de to basene.
8. Du kan alltid beskrive en kule rundt en sylinder. Sentrum ligger i midten av høyden. 
, der R er kulens radius, r er radiusen til sylinderbunnen, H er høyden til sylinderen.
9. Du kan passe en kule i en sylinder hvis diameteren på sylinderens bunn er lik høyden, 
.
Oppgaver
1. En del senkes ned i et sylindrisk kar som inneholder 6 liter vann. Samtidig steg væskenivået i karet 1,5 ganger. Hva er volumet til delen?
Svar: 3.
2. Finn volumet til en sylinder hvis grunnflate er 1, generatrisen er 6 og skråner til planet til basen i en vinkel på 30°.
Svar: 3.
3. Sylinderen og kjeglen har felles base og høyde. Finn volumet på sylinderen hvis volumet på kjeglen er 50.
Svar: 150.
4. Vann plassert i en sylindrisk beholder på et nivå på 12 cm ble hellet i en sylindrisk beholder dobbelt så stor i diameter. I hvilken høyde vil vannstanden være i det andre karet?
5. Sylinderens aksiale tverrsnittsareal er lik . Finn det laterale overflatearealet til sylinderen.
Svar: 2.
6. Et vanlig firkantet prisme er omskrevet om en sylinder hvis basisradius og høyde er lik 2. Finn prismets sideoverflate.
Svar: 32.
7. Omkretsen av bunnen av sylinderen er 3. Sideoverflaten er 6. Finn høyden på sylinderen.
8. Ett sylindrisk krus er dobbelt så høyt som det andre, men det andre er halvannen ganger bredere. Finn forholdet mellom volumet til det andre kruset og volumet til det første.
Svar: 1.125.
9. I en sylindrisk beholder når væskenivået 18 cm I hvilken høyde vil væskenivået være hvis det helles i en andre beholder, hvis diameter er 3 ganger større enn den første?
Svar: 2.
Kjegle
En kjegle er et legeme avgrenset av en konisk overflate og en sirkel.
  |
| kjegleakse |
| R |
| toppunkt |
| å danne |
| sideflate |
| r |
| Kroppsvolum | Sideoverflateareal | Grunnflate | Totalt overflateareal |
 |  | |  |
 |  |
1. Området til kjeglens sideoverflate er området for dens utvikling.
2. Forholdet mellom sveipevinkelen og apexvinkelen til aksialsnittet 
.
1. En sylinder og en kjegle har felles base og høyde. Finn volumet på sylinderen hvis volumet på kjeglen er 50.
Svar: 150.
2. Finn volumet til en kjegle hvis grunnflate er 2, dens generatrise er 6 og skråner til planet til basen i en vinkel på 30°.
Svar: 2.
3. Volumet av kjeglen er 12. En seksjon er trukket parallelt med bunnen av kjeglen, og deler høyden i to. Finn volumet til den avskårne kjeglen.
Svar: 1.5.
4. Hvor mange ganger er volumet til en kjegle omskrevet rundt en regulær firkantet pyramide større enn volumet til en kjegle innskrevet i denne pyramiden?
Svar: 2.
5. Høyden på kjeglen er 6, generatrisen er 10 Finn volumet delt på .
Svar: 128.
6. Sylinderen og kjeglen har felles base og høyde. Finn volumet på kjeglen hvis volumet på sylinderen er 48.
Svar: 16.
7. Diameteren på bunnen av kjeglen er 6, og vinkelen på toppen av den aksiale seksjonen er 90°. Beregn volumet av kjeglen delt på .
8. En kjegle er beskrevet rundt en vanlig firkantet pyramide med grunnsiden 4 og høyden 6. Finn volumet delt på .
9. En kjegle oppnås ved å rotere en likebenet høyre trekant rundt et ben lik 6. Finn volumet delt på .
Kule og ball
En kule er en overflate som består av alle punkter i rommet som ligger i en gitt avstand fra et gitt punkt. En ball er en kropp avgrenset av en kule.
1. En seksjon av en kule ved et plan er en sirkel hvis avstanden fra sfærens senter til planet er mindre enn sfærens radius.
2. Seksjonen av en ball ved et plan er en sirkel.
3. Et tangentplan til en kule er et plan som bare har ett felles punkt med kulen.
4. Kulens radius, trukket til kontaktpunktet for kulen og planet, er vinkelrett på tangentplanet.
5. Hvis radiusen til en kule er vinkelrett på planet som går gjennom dens ende som ligger på kulen, så er dette planet tangent til kulen.
6. Et polyeder sies å være omskrevet om en kule hvis kulen berører alle ansiktene.
7. Segmenter av tangenter til en kule tegnet fra ett punkt er like og utgjør like vinkler med en rett linje som går gjennom dette punktet og midten av sfæren.
8. En kule er innskrevet i en sylindrisk overflate hvis den berører alle generatorene.
9. En kule er innskrevet i en konisk overflate hvis den berører alle generatorene.
Oppgaver
1. Radiene til to kuler er 6 og 8. Finn radiusen til en kule hvis overflateareal er lik summen av overflatearealene.
Svar: 10.
2. Arealet av ballens storsirkel er 1. Finn overflaten til ballen.
3. Hvor mange ganger vil overflaten til ballen øke hvis radiusen dobles?
4. Radiene til tre kuler er 3, 4 og 5. Finn radiusen til en kule hvis volum er lik summen av volumene deres.
Svar: 6.
5. Et rektangulært parallellepiped er beskrevet rundt en kule med radius 2. Finn overflaten.
Svar: 96.
6. En kube er innskrevet i en kule med radius . Finn overflaten til kuben.
Svar: 24.
7. Et rektangulært parallellepiped er beskrevet rundt en kule med radius 2. Finn volumet.
8. Volumet til et rektangulært parallellepipedum omskrevet rundt en kule er 216. Finn radiusen til kulen.
Svar: 3.
9. Overflatearealet til et rektangulært parallellepipedum omskrevet rundt en kule er 96. Finn radiusen til kulen.
Svar: 2.
10. En sylinder er beskrevet rundt ballen, hvis sideflateareal er 9. Finn overflaten til ballen.
Svar: 9.
11. Hvor mange ganger er overflatearealet til en kule omskrevet om en kube større enn overflatearealet til en kule innskrevet i samme kube?
Svar: 3.
12. En kube er innskrevet i en kule med radius . Finn volumet til kuben.
Svar: 8.
Sammensatte polyedre
Oppgaver
1. Figuren viser et polyeder alle dihedriske vinkler på polyederet er rette vinkler. Finn avstanden mellom toppunktene A og C2.
Svar: 3.
2. Finn vinkelen CAD2 til polyederet vist i figuren. Alle dihedriske vinkler til et polyeder er rette vinkler. Gi svaret i grader.
Svar: 60.
3. Finn overflatearealet til polyederet vist på figuren (alle dihedriske vinkler er rette vinkler).
Svar: 18.
4. Finn overflatearealet til polyederet vist i figuren (alle dihedriske vinkler er rette vinkler).
Svar: 132
5. Finn overflatearealet til det romlige krysset vist i figuren og sammensatt av enhetsterninger.
Svar: 30
6. Finn volumet til polyederet vist på figuren (alle dihedriske vinkler er rett).
Svar: 8
7.Finn volumet til polyederet vist i figuren (alle dihedriske vinkler er rett).
Svar: 78
8. Figuren viser et polyeder alle dihedriske vinkler på polyederet er rette vinkler. Finn tangenten til vinkel ABB3.
Svar: 2
10. Figuren viser et polyeder alle dihedriske vinkler på polyederet er rette vinkler. Finn tangenten til vinkel C3D3B3.
Svar: 3
11. Gjennom midtlinjen til bunnen av det trekantede prismet trekkes et plan parallelt med sidekanten. Finn sideoverflatearealet til prismet hvis sideoverflatearealet til det trimmede trekantede prismet er 37.
Svar: 74.
12. Figuren viser et polyeder alle dihedriske vinkler på polyederet er rette vinkler. Finn kvadratet på avstanden mellom toppunktene B2 og D3.
Svar: 11.
