Potensiell energi av gravitasjonsinteraksjon. Abstrakt. Loven om energisparing. Forholdet mellom masse og energi

På grunn av en rekke funksjoner, så vel som på grunn av den spesielle betydningen av spørsmålet om potensiell energi av krefter universell gravitasjon må vurderes separat og mer detaljert.

Vi møter den første funksjonen når vi velger utgangspunkt for potensielle energier. I praksis er det nødvendig å beregne bevegelsene til et gitt (test)legeme under påvirkning av universelle gravitasjonskrefter skapt av andre kropper med forskjellige masser og størrelser.

La oss anta at vi har blitt enige om å betrakte den potensielle energien lik null i posisjonen der kroppene er i kontakt. La testlegemet A, når det samvirker separat med kuler med samme masse men forskjellige radier, først fjernes fra midten av kulene i samme avstand (fig. 5.28). Det er lett å se at når legeme A beveger seg til det kommer i kontakt med kroppens overflater, vil gravitasjonskreftene gjøre forskjellig arbeid. Dette betyr at vi må vurdere de potensielle energiene til systemene som forskjellige for de samme relative startposisjonene til kroppene.

Det vil være spesielt vanskelig å sammenligne disse energiene med hverandre i tilfeller der interaksjoner og bevegelser til tre eller flere kropper vurderes. Derfor, for kreftene til universell gravitasjon, ser vi etter slike Første nivå referanse til potensielle energier, som kan være de samme, felles, for alle legemer i universet. Det ble enighet om at et slikt generelt nullnivå av potensiell energi til kreftene til universell gravitasjon ville være nivået som tilsvarer plasseringen av legemer i uendelig store avstander fra hverandre. Som man kan se fra loven om universell gravitasjon, forsvinner selve kreftene til universell gravitasjon i det uendelige.

Med dette valget av energireferansepunktet skapes en uvanlig situasjon med å bestemme verdiene til potensielle energier og utføre alle beregninger.

I tilfellene av tyngdekraft (fig. 5.29, a) og elastisitet (fig. 5.29, b), har de indre kreftene til systemet en tendens til å bringe kroppene til null nivå. Når kroppen nærmer seg nullnivået, reduseres den potensielle energien til systemet. Nullnivået tilsvarer faktisk den laveste potensielle energien til systemet.

Dette betyr at i alle andre posisjoner av kroppen er den potensielle energien til systemet positiv.

Ved universelle gravitasjonskrefter og ved valg av nullenergi i det uendelige, skjer alt omvendt. De indre kreftene i systemet har en tendens til å flytte legemer bort fra nullnivået (fig. 5.30). De forplikter seg positivt arbeid når kropper beveger seg bort fra nullnivået, dvs. når kropper nærmer seg hverandre. For eventuelle endelige avstander mellom legemer, er den potensielle energien til systemet mindre enn ved Med andre ord, nullnivået (ved tilsvarer den største potensielle energien. Dette betyr at for alle andre posisjoner av legemer, den potensielle energien til systemet er negativ.

I § ​​96 ble det funnet at arbeidet utført av universelle gravitasjonskrefter ved overføring av et legeme fra uendelig til en avstand er lik

Derfor må den potensielle energien til kreftene til universell gravitasjon anses som lik

Denne formelen uttrykker et annet trekk ved den potensielle energien til kreftene til universell tyngdekraft - den relativt komplekse naturen til denne energiens avhengighet av avstanden mellom legemer.

I fig. Figur 5.31 viser en graf over avhengigheten av for tilfellet med tiltrekning av kropper av Jorden. Denne grafen ser ut som en likesidet hyperbel. Nær jordoverflaten endres energien relativt kraftig, men allerede i en avstand på flere titalls av jordens radier blir energien nær null og begynner å endre seg veldig sakte.

Ethvert legeme nær jordoverflaten er i et slags "potensielt hull". Når det blir nødvendig å frigjøre kroppen fra tyngdekreftene, må det gjøres spesielle anstrengelser for å "trekke" kroppen ut av dette potensielle hullet.

Nøyaktig det samme for alle andre himmellegemer skape slike potensielle hull rundt seg selv - feller som fanger og holder alle ikke veldig raskt bevegelige kropper.

Å kjenne til arten av avhengigheten tillater en betydelig forenkling av løsningen av en rekke viktige praktiske problemer. For eksempel må du sende romskip til Mars, Venus eller en hvilken som helst annen planet solsystemet. Det er nødvendig å bestemme hvilken hastighet som skal gis til skipet når det skytes opp fra jordoverflaten.

For å sende et skip til andre planeter, må det fjernes fra tyngdekreftenes påvirkningssfære. Med andre ord må du heve den potensielle energien til null. Dette blir mulig hvis skipet gis en slik kinetisk energi at det kan utføre arbeid mot tyngdekreftene lik hvor er skipets masse,

masse og radius på kloden.

Fra Newtons andre lov følger det at (§ 92)

Men siden farten til skipet før lansering er null, kan vi ganske enkelt skrive:

hvor er hastigheten tildelt skipet ved sjøsetting. Ved å erstatte verdien med A, får vi

Som et unntak, la oss bruke, som vi allerede gjorde i § 96, to uttrykk for tyngdekraften på jordens overflate:

Derfor - Ved å erstatte denne verdien i ligningen til Newtons andre lov, får vi

Hastigheten som kreves for å fjerne et legeme fra tyngdekreftenes virkesfære kalles den andre kosmiske hastigheten.

På nøyaktig samme måte kan du posere og løse problemet med å sende et skip til fjerne stjerner. For å løse et slikt problem er det nødvendig å bestemme forholdene under hvilke skipet vil bli fjernet fra virkningssfæren til solens gravitasjonskrefter. Ved å gjenta alle resonnementene som ble utført i forrige oppgave, kan vi få det samme uttrykket for hastigheten som ble gitt til skipet under lanseringen:

Her er a den normale akselerasjonen som solen gir til jorden og som kan beregnes ut fra naturen til jordens bevegelse i sin bane rundt solen; radius av jordens bane. Selvfølgelig betyr det i dette tilfellet skipets hastighet i forhold til solen. Hastigheten som kreves for å ta skipet utover solsystemet kalles den tredje rømningshastigheten.

Metoden vi vurderte for å velge opprinnelsen til potensiell energi, brukes også til å beregne den elektriske interaksjonen mellom legemer. Konseptet med potensielle brønner er også mye brukt i moderne elektronikk, teori fast, atomteori og i atomkjernens fysikk.

Billett 1

1. . Endring kinetisk energi systemet er lik arbeidet til alle indre og ytre krefter som virker på systemets kropper.

2. Momentum av et materialpunkt i forhold til punkt O bestemmes av vektorproduktet

Hvor er radiusvektoren trukket fra punkt O, er momentumet til materialpunktet. J*s

3.

Billett 2

1. Harmonisk oscillator:

Kinetisk energi skrives som

Og det er potensiell energi

Da har den totale energien en konstant verdi puls harmonisk oscillator. La oss skille uttrykket ved t og multiplisere resultatet med massen til oscillatoren, får vi:

2. Kraftmomentet i forhold til polen kalles fysisk mengde, bestemt av vektorproduktet av radiusen til vektoren trukket fra en gitt pol til punktet for påføring av kraften av kraftvektoren F. newtonmeter

Billett 3

1. ,

2. Oscillasjonsfase komplett - argument for en periodisk funksjon som beskriver en oscillerende eller bølgeprosess. Hz

3.

Billett nr. 4

Uttrykt i m/(c^2)

Billett nr. 5

, F = –grad U, hvor .

Potensiell energi av elastisk deformasjon (fjær)

La oss finne arbeidet som er utført under deformasjon av en elastisk fjær.
Elastisk kraft Fel = –kx, hvor k er elastisitetskoeffisienten. Kraften er ikke konstant, så det elementære arbeidet er dA = Fdx = –kxdx.
(Minustegnet indikerer at det er utført arbeid på våren). Deretter , dvs. A = U1 – U2. La oss godta: U2 = 0, U = U1, deretter .

I fig. Figur 5.5 viser potensiell energidiagram for en fjær.

Ris. 5.5
Her er E = K + U den totale mekaniske energien til systemet, K er den kinetiske energien i punktet x1.

Potensiell energi under gravitasjonsinteraksjon

Arbeid utført av en kropp når den faller A = mgh, eller A = U – U0.
Vi ble enige om å anta at på jordens overflate h = 0, U0 = 0. Da er A = U, dvs. A = mgh.

For tilfellet med gravitasjonsinteraksjon mellom massene M og m plassert i en avstand r fra hverandre, kan den potensielle energien finnes ved å bruke formelen.

I fig. Figur 5.4 viser et diagram over den potensielle energien til gravitasjonsattraksjonen til massene M og m.

Ris. 5.4
Her er den totale energien E = K + E. Herfra er det enkelt å finne den kinetiske energien: K = E – U.

Normal akselerasjon er komponenten av akselerasjonsvektoren rettet langs normalen til bevegelsesbanen ved et gitt punkt på kroppens bane. Det vil si at normalakselerasjonsvektoren er vinkelrett på den lineære bevegelseshastigheten (se fig. 1.10). Normal akselerasjon karakteriserer endringen i hastighet i retning og er betegnet med bokstaven n. Den normale akselerasjonsvektoren er rettet langs krumningsradiusen til banen. ( m/s 2)

Billett nr. 6

Billett 7

1) Treghetsmoment av stangen -

Bøyle - L = m*R^2

Disk -

2) I følge Steiners teorem (Huygens-Steiner teorem), treghetsmomentet til kroppen J relativt vilkårlig akse lik summen treghetsmomentet til denne kroppen Jc i forhold til en akse som går gjennom kroppens massesenter parallelt med den aktuelle aksen, og produktet av kroppsmassen m per kvadrat av avstand d mellom akser:

Hvor m- total kroppsvekt.

Billett 8

1) Ligningen beskriver endringen i bevegelsen til et legeme med endelige dimensjoner under påvirkning av kraft i fravær av deformasjon og hvis det beveger seg translasjonsmessig. For et punkt er denne ligningen alltid gyldig, så den kan betraktes som den grunnleggende bevegelsesloven til et materiell punkt.

Billett 9

1) Summen av den kinetiske og potensielle energien til kroppene som utgjør et lukket system og samhandler med hverandre av gravitasjons- og elastiske krefter forblir uendret.

2) - en kurve i faserom som består av punkter som representerer en tilstand dynamisk system i ettertid øyeblikk i tid gjennom hele evolusjonstiden.

Billett 10

1. Momentum impuls- Vektorfysisk mengde lik produktet av radiusvektoren trukket fra rotasjonsaksen til punktet for påføring av impulsen av vektoren til denne impulsen

2. Vinkelhastighet for rotasjon av et stivt legeme i forhold til fast akse - grense (ved Δt → 0) for forholdet mellom liten vinkelforskyvning Δφ til en liten tidsperiode Δt

Målt i rad/s.

Billett 11

1. Massesenter mekanisk system(MS)– et punkt hvis masse er lik massen til hele systemet; akselerasjonsvektoren til massesenteret (i treghetsreferansen) bestemmes bare av eksterne krefter som virker på systemet. Derfor, når vi finner bevegelsesloven til et punktsystem, kan vi anta at vektoren til de resulterende ytre kreftene påføres systemets sentrum.
Posisjonen til massesenteret (treghetssenteret) til materialsystemet peker inn klassisk mekanikk er definert som følger

Ligning for MS-pulsendring:

Loven om bevaring av momentum MS: i et lukket system forblir vektorsummen av impulsene til alle legemer som er inkludert i systemet konstant for enhver interaksjon mellom kroppene i dette systemet med hverandre.

2. Vinkelakselerasjon av rotasjon av et stivt legeme i forhold til en fast akse- pseudo-vektor fysisk mengde lik den første deriverte av pseudo-vektoren av vinkelhastighet i forhold til tid.

Målt i rad/s 2 .

Billett 12

1. Potensiell tiltrekningsenergi mellom to materielle punkter


Potensiell energi av elastiske deformasjoner - strekking eller komprimering av en fjær fører til lagring av dens potensielle energi av elastisk deformasjon. Å returnere fjæren til sin likevektsposisjon resulterer i frigjøring av den lagrede elastiske deformasjonsenergien.

2. Impuls av et mekanisk system- vektor fysisk mengde, som er et mål på den mekaniske bevegelsen til en kropp.

Målt i

Billett 13

1. Konservative krefter. Tyngdekraftsarbeid. Arbeid av elastisk kraft.
I fysikk er konservative krefter (potensielle krefter) krefter hvis arbeid ikke avhenger av typen bane, anvendelsespunktet for disse kreftene og loven for deres bevegelse, og bestemmes kun av den opprinnelige og endelige posisjonen til dette punktet.
Tyngdekraftsarbeid.
Arbeid av elastisk kraft

2. Definer relaksasjonstiden for dempede svingninger. Spesifiser SI-måleenheten for denne mengden.
Avspenningstid er tidsperioden hvor amplituden til dempede svingninger avtar med en faktor e (e er bunnen av den naturlige logaritmen). Målt i sekunder.

3. En skive med en diameter på 60 cm og en masse på 1 kg roterer rundt en akse som går gjennom midten vinkelrett på planet med en frekvens på 20 rpm. Hvor mye arbeid må gjøres for å stoppe disken?

Billett 14

1. Harmoniske vibrasjoner. Vektordiagram. Tilsetning av harmoniske vibrasjoner i én retning med like frekvenser.

Harmoniske oscillasjoner er svingninger der en fysisk størrelse endres over tid i henhold til en harmonisk (sinus, cosinus) lov.

Det er en geometrisk måte å representere harmoniske vibrasjoner på, som består i å skildre vibrasjoner i form av vektorer på et plan. Diagrammet som oppnås på denne måten kalles et vektordiagram (fig. 7.4).

La oss velge aksen. Fra punkt O, tatt på denne aksen, plotter vi en vektor med lengde , og danner en vinkel med aksen. Hvis vi roterer denne vektoren med vinkelhastighet, da vil projeksjonen av enden av vektoren på aksen endres over tid i henhold til loven . Følgelig vil projeksjonen av enden av vektoren på aksen utføre harmoniske oscillasjoner med en amplitude lik lengden av vektoren; med en sirkulær frekvens lik rotasjonsvinkelhastigheten, og med innledende fase, lik vinkelen, dannet av en vektor med en akse X i det første øyeblikket.

Et vektordiagram gjør det mulig å redusere tillegget av oscillasjoner til en geometrisk summering av vektorer.

Vurder tillegget av to harmoniske oscillasjoner i samme retning og samme frekvens, som har følgende form:

La oss representere begge oscillasjonene ved hjelp av vektorer og (fig. 7.5). La oss konstruere den resulterende vektoren ved å bruke regelen for vektoraddisjon. Det er lett å se at projeksjonen av denne vektoren på aksen er lik summen av projeksjonene av termene til vektorene. Derfor representerer vektoren den resulterende vibrasjonen. Denne vektoren roterer med samme vinkelhastighet som vektorene , så den resulterende bevegelsen vil være harmonisk vibrasjon med frekvens, amplitude og startfase. I følge cosinussetningen vil kvadratet på amplituden til den resulterende oscillasjonen være lik

2. Definer kraftmomentet rundt en akse. Spesifiser måleenhetene for denne mengden i SI.

Kraftmomentet er en vektorfysisk mengde lik vektorproduktet av radiusvektoren trukket fra rotasjonsaksen til punktet for påføring av kraften og vektoren til denne kraften. Karakteriserer rotasjonsvirkningen til en kraft på et fast legeme. Kraftmomentet i forhold til en akse er en skalar størrelse lik projeksjonen på denne aksen av vektorkraftmomentet i forhold til ethvert punkt på aksen * m 2 / c 2 = N * m.

3. Når en pistol på 5 tonn skytes, flyr et prosjektil på 100 kg ut. Den kinetiske energien til prosjektilet ved avgang er 8 MJ. Hvor mye kinetisk energi mottar pistolen på grunn av rekyl?

Billett 15

1. Loven om bevaring av mekanisk energi til et mekanisk system.

Den totale mekaniske energien til et lukket system av kropper, mellom hvilke kun konservative krefter virker, forblir konstant.

I et konservativt system er alle krefter som virker på en kropp potensielle og kan derfor representeres i formen

hvor er den potensielle energien til et materialpunkt. Så Newtons II lov:

hvor er massen til partikkelen, er vektoren for dens hastighet. Skalært multiplisere begge sider gitt ligning på partikkelhastigheten og tatt i betraktning det får vi

Ved elementære operasjoner får vi

Det følger at uttrykket under tegnet differensiering med hensyn til tid er bevart. Dette uttrykket kalles den mekaniske energien til et materialpunkt.

2. Definer den kinetiske energien til et stivt legeme når det roterer rundt en fast akse. Spesifiser måleenhetene for denne mengden i SI.

3. En ball med massen m=20 g føres med en starthastighet på V=20 m/s inn i et veldig massivt mål med sand, som beveger seg mot ballen med en hastighet på U=10 m/s. Estimer hvor mye varme som frigjøres når ballen er fullstendig bremset.

Billett 16

1. Kraftmoment om aksen er en vektorfysisk størrelse lik vektorproduktet av radiusvektoren trukket fra rotasjonsaksen til punktet for påføring av kraften av vektoren til denne kraften. Kraftmomentet i forhold til aksen er lik det algebraiske momentet til projeksjonen av denne kraften på et plan vinkelrett på denne aksen i forhold til skjæringspunktet mellom aksen og planet, så er det

Momentum av impuls MS i forhold til den faste aksen- en skalar mengde lik projeksjonen på denne aksen av vinkelmomentvektoren definert i forhold til et vilkårlig punkt 0 på denne aksen. Verdien av vinkelmomentet avhenger ikke av posisjonen til punktet 0 på z-aksen.

Grunnleggende ligning av dynamikk rotasjonsbevegelse

2. Akselerasjonsvektor - en vektormengde som bestemmer endringshastigheten i et legemes hastighet, det vil si den første deriverte av hastighet med hensyn til tid og viser hvor mye hastighetsvektoren til et legeme endres når den beveger seg per tidsenhet.

Målt i m/s 2

Billett 17

1) Kraftmomentet er en vektorfysisk størrelse lik vektorproduktet av radiusvektoren trukket fra rotasjonsaksen til påføringspunktet for kraften og vektoren til denne kraften. Karakteriserer rotasjonsvirkningen til en kraft på et fast legeme.

Vinkelmomentet i forhold til den faste aksen z er den skalære størrelsen Lz, lik projeksjonen på denne aksen av vinkelmomentvektoren, definert i forhold til et vilkårlig punkt 0 på denne aksen, som karakteriserer mengden av rotasjonsbevegelse.

2) Forskyvningsvektoren er et rettet rett linjesegment som forbinder kroppens startposisjon med dens endelige posisjon. Forskyvning er en vektormengde. Forskyvningsvektoren er rettet fra startpunktet for bevegelsen til sluttpunktet. Størrelsen på forskyvningsvektoren er lengden på segmentet som forbinder start- og sluttpunktene til bevegelsen. (m).

3)

Billett 18

Ensartet lineær bevegelse kalt en bevegelse der materiell poeng i alle like tidsintervaller gjør like bevegelser langs en gitt rett linje. Hastighet jevn bevegelse bestemt av formelen:

krumningsradius R.R. baner på et punkt AA er radiusen til sirkelen langs buen som punktet beveger seg inn i dette øyeblikket tid. I dette tilfellet kalles midten av denne sirkelen krumningssenteret.

Fysisk mengde som karakteriserer endringen i hastighet i retning – normal akselerasjon.

.

Fysisk mengde som karakteriserer endringen i hastighetsmodulo – tangentiell akselerasjon.

Billett 21

3)

Billett nr. 22

Glidfriksjonskoeffisienten er forholdet mellom friksjonskraften og den normale komponenten av ytre krefter som virker på kroppens overflate.

Glidefriksjonskoeffisienten er avledet fra formelen for glidefriksjonskraft

Siden støttereaksjonskraften er masse multiplisert med tyngdeakselerasjonen, er formelen for koeffisienten:

Dimensjonsløs mengde

Billett nr. 23

Rommet der konservative krefter virker, kalles et potensielt felt. Hvert punkt i potensialfeltet tilsvarer en viss verdi av kraften F som virker på kroppen og en viss verdi av potensiell energi U. Dette betyr at det må være en sammenheng mellom kraften F og U, derimot, dA = –dU, derfor Fdr = -dU, derav:

Projeksjoner av kraftvektoren på koordinataksene:

Kraftvektoren kan skrives gjennom projeksjoner: , F = –grad U, hvor .

Gradienten er en vektor som viser retningen til den raskeste endringen i en funksjon. Følgelig er vektoren rettet i retning av den raskeste nedgangen i U.

Energi er en skalar fysisk størrelse som er et enhetlig mål på ulike former for bevegelse av materie og et mål på overgangen til materiens bevegelse fra en form til en annen.

For å karakterisere ulike former for bevegelse av materie introduseres de tilsvarende energitypene, for eksempel: mekanisk, intern energi av elektrostatiske, intranukleære interaksjoner, etc.

Energi er underlagt bevaringsloven, som er en av de viktigste naturlovene.

Mekanisk energi E karakteriserer kroppens bevegelse og samhandling og er en funksjon av hastigheter og relativ posisjon tlf. Det er lik summen av kinetiske og potensielle energier.

Kinetisk energi

La oss vurdere tilfellet når et legeme av masse m det er en konstant kraft \(~\vec F\) (den kan være resultanten av flere krefter) og vektorene for kraft \(~\vec F\) og forskyvning \(~\vec s\) er rettet langs en rett linje i én retning. I dette tilfellet kan arbeidet utført av kraften defineres som EN = F∙s. Kraftmodulen i henhold til Newtons andre lov er lik F = m∙a, og forskyvningsmodulen s jevnt akselerert rett bevegelse knyttet til elementære moduler υ 1 og siste υ 2 hastigheter og akselerasjoner EN uttrykk \(~s = \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a)\) .

Herfra går vi på jobb

\(~A = F \cdot s = m \cdot a \cdot \frac(\upsilon^2_2 - \upsilon^2_1)(2a) = \frac(m \cdot \upsilon^2_2)(2) - \frac (m \cdot \upsilon^2_1)(2)\) . (1)

En fysisk størrelse lik halvparten av produktet av en kropps masse og kvadratet av hastigheten kalles kinetisk energi i kroppen.

Kinetisk energi er representert med bokstaven E k.

\(~E_k = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (2)

Da kan likhet (1) skrives som følger:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) . (3)

Kinetisk energi teorem

arbeidet til de resulterende kreftene som påføres kroppen er lik endringen i kroppens kinetiske energi.

Siden endringen i kinetisk energi er lik kraftarbeidet (3), uttrykkes den kinetiske energien til et legeme i de samme enhetene som arbeid, dvs. i joule.

Hvis den innledende bevegelseshastigheten til en massekropp m er null og kroppen øker hastigheten til verdien υ , da er arbeidet utført av kraften lik den endelige verdien av den kinetiske energien til kroppen:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)= \frac(m \cdot \upsilon^2)(2) - 0 = \frac(m \cdot \upsilon^2)(2)\) . (4)

Fysisk betydning av kinetisk energi

Den kinetiske energien til et legeme som beveger seg med en hastighet v viser hvor mye arbeid som må utføres av en kraft som virker på en kropp i hvile for å gi den denne hastigheten.

Potensiell energi

Potensiell energi er energien til interaksjon mellom kropper.

Den potensielle energien til et legeme hevet over jorden er energien til interaksjon mellom kroppen og jorden av gravitasjonskrefter. Den potensielle energien til en elastisk deformert kropp er energien til interaksjonen mellom individuelle deler av kroppen med hverandre ved hjelp av elastiske krefter.

Potensiell er kalt styrke, hvis arbeid bare avhenger av den innledende og endelige posisjonen til et bevegelig materialpunkt eller kropp og ikke avhenger av formen på banen.

I en lukket bane er arbeidet utført av den potensielle kraften alltid null. Potensielle krefter inkluderer gravitasjonskrefter, elastiske krefter, elektrostatiske krefter og noen andre.

Krafter, hvis arbeid avhenger av formen på banen, kalles ikke-potensial. Når et materiellt punkt eller legeme beveger seg langs en lukket bane, er ikke arbeidet utført av den ikke-potensielle kraften lik null.

Potensiell energi for interaksjon av en kropp med jorden

La oss finne arbeidet utført av tyngdekraften F t når du flytter et masselegeme m vertikalt ned fra en høyde h 1 over jordens overflate til en høyde h 2 (fig. 1). Hvis forskjellen h 1 – h 2 er ubetydelig sammenlignet med avstanden til jordens sentrum, deretter tyngdekraften F t under kroppsbevegelse kan betraktes som konstant og lik mg.

Siden forskyvningen faller sammen i retning med gravitasjonsvektoren, er arbeidet utført av gravitasjonen lik

\(~A = F \cdot s = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\) . (5)

La oss nå vurdere bevegelsen til et legeme langs et skråplan. Når en kropp flyttes nedover et skråplan (fig. 2), tyngdekraften F t = m∙g fungerer

\(~A = m \cdot g \cdot s \cdot \cos \alpha = m \cdot g \cdot h\) , (6)

Hvor h– høyden på skråplanet, s– forskyvningsmodul lik lengden på skråplanet.

Bevegelse av en kropp fra et punkt I nøyaktig MED langs enhver bane (fig. 3) kan mentalt tenkes å bestå av bevegelser langs seksjoner skråplan med forskjellige høyder h’, h'' osv. Arbeid EN tyngdekraften hele veien fra I V MED lik summen av arbeid på enkelte deler av ruten:

\(~A = m \cdot g \cdot h" + m \cdot g \cdot h"" + \ldots + m \cdot g \cdot h^n = m \cdot g \cdot (h" + h"" + \ldots + h^n) = m \cdot g \cdot (h_1 - h_2)\), (7)

Hvor h 1 og h 2 - henholdsvis høyder fra jordoverflaten der punktene befinner seg I Og MED.

Likhet (7) viser at gravitasjonsarbeidet ikke er avhengig av kroppens bane og alltid er lik produktet av gravitasjonsmodulen og høydeforskjellen i start- og sluttposisjon.

Når man beveger seg nedover er tyngdekraften positiv, når man beveger seg oppover er den negativ. Arbeidet utført av tyngdekraften på en lukket bane er null.

Likhet (7) kan representeres som følger:

\(~A = - (m \cdot g \cdot h_2 - m \cdot g \cdot h_1)\) . (8)

En fysisk mengde lik produktet av massen til et legeme ved akselerasjonsmodulen for fritt fall og høyden som kroppen heves til over jordoverflaten kalles potensiell energi samspillet mellom kroppen og jorden.

Arbeid utført av tyngdekraften når man flytter et masselegeme m fra et punkt i høyden h 2, til et punkt plassert i en høyde h 1 fra jordens overflate, langs en hvilken som helst bane, er lik endringen i den potensielle energien til interaksjon mellom kroppen og jorden, tatt med motsatt fortegn.

\(~A = - (E_(p2) - E_(p1))\) . (9)

Potensiell energi er angitt med bokstaven E s.

Verdien av den potensielle energien til et legeme hevet over jorden avhenger av valget av nullnivået, dvs. høyden der den potensielle energien antas å være null. Det antas vanligvis at den potensielle energien til et legeme på jordens overflate er null.

Med dette valget av nullnivået, den potensielle energien E p av en kropp som ligger i høyden h over jordens overflate, er lik produktet av massen m av kroppen ved g og avstand h det fra jordens overflate:

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) . (10)

Den fysiske betydningen av den potensielle energien i samspillet til en kropp med jorden

den potensielle energien til et legeme som tyngdekraften virker på er lik arbeidet som tyngdekraften gjør når kroppen flyttes til nullnivå.

I motsetning til den kinetiske energien til translasjonsbevegelse, som bare kan ha positive verdier, kan den potensielle energien til en kropp være både positiv og negativ. Kroppsmasse m, plassert i en høyde h, Hvor h < h 0 (h 0 – null høyde), har negativ potensiell energi:

\(~E_p = -m \cdot g \cdot h\) .

Potensiell energi av gravitasjonsinteraksjon

Potensiell energi av gravitasjonsinteraksjon av et system av to materialpunkter med masser m Og M, plassert på avstand r den ene fra den andre er lik

\(~E_p = G \cdot \frac(M \cdot m)(r)\) . (elleve)

Hvor G er gravitasjonskonstanten, og null av den potensielle energiavlesningen ( E p = 0) akseptert kl r = ∞.

Potensiell energi av gravitasjonsinteraksjon av en kropp med masse m med jorden, hvor h- kroppens høyde over jordens overflate, M e - jordens masse, R e er jordens radius, og nullpunktet for den potensielle energiavlesningen er valgt ved h = 0.

\(~E_e = G \cdot \frac(M_e \cdot m \cdot h)(R_e \cdot (R_e +h))\) . (12)

Under samme betingelse for å velge null referanse, den potensielle energien til gravitasjonsinteraksjonen til en kropp med masse m med jorden for lave høyder h (h « R e) lik

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) ,

der \(~g = G \cdot \frac(M_e)(R^2_e)\) er modulen for gravitasjonsakselerasjon nær jordoverflaten.

Potensiell energi til en elastisk deformert kropp

La oss beregne arbeidet utført av den elastiske kraften når deformasjonen (forlengelsen) av fjæren endres fra en viss Opprinnelig verdi x 1 til endelig verdi x 2 (fig. 4, b, c).

Den elastiske kraften endres når fjæren deformeres. For å finne arbeidet til den elastiske kraften, kan du ta gjennomsnittsverdien av kraftmodulen (siden den elastiske kraften avhenger lineært av x) og multipliser med forskyvningsmodulen:

\(~A = F_(upr-cp) \cdot (x_1 - x_2)\) , (13)

hvor \(~F_(upr-cp) = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2)\) . Herfra

\(~A = k \cdot \frac(x_1 - x_2)(2) \cdot (x_1 - x_2) = k \cdot \frac(x^2_1 - x^2_2)(2)\) eller \(~A = -\venstre(\frac(k \cdot x^2_2)(2) - \frac(k \cdot x^2_1)(2) \right)\) . (14)

En fysisk mengde lik halvparten av produktet av stivheten til et legeme med kvadratet av dets deformasjon kalles potensiell energi elastisk deformert kropp:

\(~E_p = \frac(k \cdot x^2)(2)\) . (15)

Fra formlene (14) og (15) følger det at arbeidet til den elastiske kraften er lik endringen i den potensielle energien til en elastisk deformert kropp, tatt med motsatt fortegn:

\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (16)

Hvis x 2 = 0 og x 1 = X, så, som det kan sees av formlene (14) og (15),

\(~E_p = A\) .

Fysisk betydning av den potensielle energien til en deformert kropp

den potensielle energien til et elastisk deformert legeme er lik arbeidet utført av den elastiske kraften når kroppen går over til en tilstand der deformasjonen er null.

Potensiell energi karakteriserer legemer som samhandler, og kinetisk energi karakteriserer bevegelige legemer. Både potensiell og kinetisk energi endres bare som et resultat av en slik interaksjon av legemer der kreftene som virker på legene virker annet enn null. La oss vurdere spørsmålet om energiendringer under samspillet mellom kropper som danner et lukket system.

Lukket system- dette er et system som ikke påvirkes av eksterne krefter eller handlingen til disse kreftene blir kompensert. Hvis flere legemer samvirker med hverandre kun ved hjelp av gravitasjons- og elastiske krefter og ingen ytre krefter virker på dem, så for enhver interaksjon mellom legemer, er arbeidet til de elastiske eller gravitasjonskreftene lik endringen i den potensielle energien til legene, tatt med motsatt fortegn:

\(~A = -(E_(p2) - E_(p1))\) . (17)

I følge kinetisk energiteoremet er arbeidet utført av de samme kreftene lik endringen i kinetisk energi:

\(~A = E_(k2) - E_(k1)\) . (18)

Fra en sammenligning av likheter (17) og (18) er det klart at endringen i den kinetiske energien til kropper i et lukket system er lik absoluttverdi med endringen i potensiell energi til kroppssystemet og motsatt i fortegn:

\(~E_(k2) - E_(k1) = -(E_(p2) - E_(p1))\) eller \(~E_(k1) + E_(p1) = E_(k2) + E_(p2) \) . (19)

Loven om bevaring av energi i mekaniske prosesser:

summen av den kinetiske og potensielle energien til kroppene som utgjør et lukket system og interagerer med hverandre av gravitasjons- og elastiske krefter forblir konstant.

Summen av den kinetiske og potensielle energien til legemer kalles total mekanisk energi.

La oss gi enkleste opplevelsen. La oss kaste en stålkule opp. Ved å gi starthastigheten υ tomme, vil vi gi den kinetisk energi, som er grunnen til at den vil begynne å stige oppover. Tyngdekraftens handling fører til en reduksjon i ballens hastighet, og derav dens kinetiske energi. Men ballen stiger høyere og høyere og får mer og mer potensiell energi ( E p = m∙g∙h). Dermed forsvinner ikke kinetisk energi sporløst, men omdannes til potensiell energi.

I det øyeblikket man når toppen av banen ( υ = 0) ballen er fullstendig fratatt kinetisk energi ( E k = 0), men samtidig blir dens potensielle energi maksimal. Deretter endrer ballen retning og beveger seg nedover med økende hastighet. Nå omdannes den potensielle energien tilbake til kinetisk energi.

Loven om bevaring av energi avslører fysisk mening begreper arbeid:

arbeidet med gravitasjons- og elastiske krefter er på den ene siden lik en økning i kinetisk energi, og på den annen side en reduksjon i kroppens potensielle energi. Derfor er arbeid lik energi omdannet fra en type til en annen.

Mekanisk energiendringslov

Hvis et system av vekselvirkende kropper ikke er lukket, blir dens mekaniske energi ikke bevart. Endringen i mekanisk energi til et slikt system er lik arbeidet med ytre krefter:

\(~A_(vn) = \Delta E = E - E_0\) . (20)

Hvor E Og E 0 – totale mekaniske energier til systemet i henholdsvis slutt- og starttilstand.

Et eksempel på et slikt system er et system der, sammen med potensielle krefter, virker ikke-potensielle krefter. Ikke-potensielle krefter inkluderer friksjonskrefter. I de fleste tilfeller når vinkelen mellom friksjonskraften F r kroppen er π radianer, er arbeidet utført av friksjonskraften negativt og lik

\(~A_(tr) = -F_(tr) \cdot s_(12)\) ,

Hvor s 12 – kroppsbane mellom punkt 1 og 2.

Friksjonskrefter under bevegelsen til et system reduserer dets kinetiske energi. Som et resultat av dette avtar den mekaniske energien til et lukket ikke-konservativt system alltid, og blir til energien til ikke-mekaniske bevegelsesformer.

For eksempel, en bil som beveger seg langs en horisontal del av veien, etter å ha slått av motoren, kjører et stykke og stopper under påvirkning av friksjonskrefter. Den kinetiske energien til bilens foroverbevegelse ble lik null, og den potensielle energien økte ikke. Da bilen bremset ble bremseklossene, bildekkene og asfalten varme. Følgelig, som et resultat av virkningen av friksjonskrefter, forsvant ikke den kinetiske energien til bilen, men ble til intern energi termisk bevegelse molekyler.

Loven om bevaring og transformasjon av energi

I enhver fysisk interaksjon transformeres energi fra en form til en annen.

Noen ganger vinkelen mellom friksjonskraften F tr og elementær forskyvning Δ r er lik null og arbeidet til friksjonskraften er positivt:

\(~A_(tr) = F_(tr) \cdot s_(12)\) ,

Eksempel 1. La den ytre kraften F virker på blokken I, som kan skli på vognen D(Fig. 5). Hvis vognen beveger seg til høyre, er arbeidet utført av den glidende friksjonskraften F tr2 som virker på vognen fra siden av blokken er positiv:

Eksempel 2. Når et hjul ruller, er dets rullende friksjonskraft rettet langs bevegelsen, siden kontaktpunktet til hjulet med den horisontale overflaten beveger seg i motsatt retning av bevegelsesretningen til hjulet, og friksjonskraftens arbeid er positiv (Fig. 6):

Litteratur

1. Kabardin O.F. Fysikk: Referanse. materialer: Lærebok. manual for studenter. – M.: Utdanning, 1991. – 367 s.
2. Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fysikk: Lærebok. for 9. klasse. gj.sn. skole – M.: Prosveshchenie, 1992. – 191 s.
3. Lærebok i elementær fysikk: Proc. godtgjørelse. I 3 bind / Red. G.S. Landsberg: vol. 1. Mekanikk. Varme. Molekylær fysikk. – M.: Fizmatlit, 2004. – 608 s.
4. Yavorsky B.M., Seleznev Yu.A. En referanseguide til fysikk for de som går inn på universiteter og selvutdanning. – M.: Nauka, 1983. – 383 s.

Hvis bare konservative krefter virker på systemet, så kan vi introdusere konseptet potensiell energi. Vi vil betinget ta en hvilken som helst vilkårlig posisjon av systemet, karakterisert ved å spesifisere koordinatene til dets materielle punkter, som null. Arbeidet utført av konservative krefter under overgangen til systemet fra den betraktede posisjonen til null kalles potensiell energi til systemet i første posisjon

Arbeidet til konservative krefter er ikke avhengig av overgangsveien, og derfor avhenger den potensielle energien til systemet i en fast nullposisjon bare av koordinatene til materialpunktene til systemet i den aktuelle posisjonen. Med andre ord, den potensielle energien til systemet U er kun en funksjon av dets koordinater.

Den potensielle energien til systemet bestemmes ikke unikt, men innenfor en vilkårlig konstant. Denne vilkårligheten kan ikke reflekteres i fysiske konklusjoner, siden kurset fysiske fenomener kan ikke avhenge av de absolutte verdiene til den potensielle energien i seg selv, men bare av dens forskjell i forskjellige tilstander. De samme forskjellene avhenger ikke av valget av en vilkårlig konstant.

La systemet bevege seg fra posisjon 1 til posisjon 2 langs en bane 12 (fig. 3.3). Jobb EN 12, oppnådd av konservative krefter under en slik overgang, kan uttrykkes i form av potensielle energier U 1 og U 2 i stater 1 Og 2 . For dette formålet, la oss forestille oss at overgangen utføres gjennom O-posisjonen, dvs. langs 1O2-banen. Siden kreftene er konservative, altså EN 12 = EN 102 = EN 1O+ EN O2 = EN 1О – EN 2O. Per definisjon av potensiell energi U 1 = EN 1 O, U 2 = EN 2 O. Dermed,

EN 12 = U 1 – U 2 , (3.10)

dvs. arbeidet til konservative krefter er lik reduksjonen i den potensielle energien til systemet.

Samme jobb EN 12, som ble vist tidligere i (3.7), kan uttrykkes gjennom økningen av kinetisk energi i henhold til formelen

EN 12 = TIL 2 – TIL 1 .

Å sette likhetstegn mellom høyresidene deres, får vi TIL 2 – TIL 1 = U 1 – U 2, hvorfra

TIL 1 + U 1 = TIL 2 + U 2 .

Summen av de kinetiske og potensielle energiene til et system kalles dets total energi E. Dermed, E 1 = E 2, eller

Eº K+U= konst. (3.11)

I et system med kun konservative krefter forblir den totale energien uendret. Bare transformasjoner av potensiell energi til kinetisk energi og omvendt kan skje, men systemets totale energireserve kan ikke endres. Denne posisjonen kalles loven om bevaring av energi i mekanikk.

La oss beregne den potensielle energien i noen enkle tilfeller.

a) Potensiell energi til et legeme i et jevnt gravitasjonsfelt. Hvis et materialpunkt ligger i høyden h, vil falle til nullnivået (dvs. nivået som h= 0), så vil tyngdekraften gjøre jobben A = mgh. Derfor på toppen h et materiell punkt har potensiell energi U = mgh + C, Hvor MED– additiv konstant. Et vilkårlig nivå kan tas som null, for eksempel gulvnivå (hvis forsøket utføres i et laboratorium), havnivå osv. Konstant MED lik potensiell energi på nullnivå. Setter den lik null, får vi

U = mgh. (3.12)

b) Potensiell energi til en strukket fjær. Elastiske krefter som oppstår når en fjær strekkes eller komprimeres er sentrale krefter. Derfor er de konservative, og det er fornuftig å snakke om den potensielle energien til en deformert fjær. De ringer henne elastisk energi. La oss betegne med x fjærforlengelse,T. e. forskjell x = l – l 0 lengder av fjæren i deformert og udeformert tilstand. Elastisk kraft F Det kommer bare an på strekningen. Hvis du strekker x er ikke veldig stor, så er den proporsjonal med den: F = – kx(Hookes lov). Når en fjær går tilbake fra en deformert til en udeformert tilstand, vil kraften F fungerer

Hvis den elastiske energien til en fjær i udeformert tilstand antas å være lik null, da

c) Potensiell energi av gravitasjonsattraksjon av to materialpunkter. I følge Newtons lov om universell gravitasjon er gravitasjonskraften til tiltrekningen mellom to punktlegemer proporsjonal med produktet av massene deres mm og er omvendt proporsjonal med kvadratet på avstanden mellom dem:

hvor G – gravitasjonskonstant.

Kraften til gravitasjonsattraksjon, som en sentral kraft, er konservativ. Det er fornuftig for henne å snakke om potensiell energi. Ved beregning av denne energien kan f.eks. en av massene M, kan betraktes som stasjonær, og den andre – beveger seg i gravitasjonsfeltet. Ved flytting av masse m fra det uendelige gravitasjonskrefter gjøre arbeid

Hvor r– avstand mellom masser M Og m i endelig tilstand.

Dette arbeidet er lik tap av potensiell energi:

Vanligvis potensiell energi i det uendelige U¥ er tatt lik null. Med en slik avtale

Mengde (3,15) er negativ. Dette har en enkel forklaring. Maksimal energi tiltrekkende masser har en uendelig avstand mellom seg. I denne posisjonen anses den potensielle energien å være null. I enhver annen posisjon er den mindre, det vil si negativ.

La oss nå anta at i systemet, sammen med konservative krefter, virker også dissipative krefter. Vi jobber med all vår makt EN 12 når systemet beveger seg fra posisjon 1 til posisjon 2, er det fortsatt lik økningen av dets kinetiske energi TIL 2 – TIL 1 . Men i det aktuelle tilfellet kan dette arbeidet representeres som summen av arbeidet til konservative krefter og arbeidet til dissipative krefter. Det første arbeidet kan uttrykkes i form av reduksjonen i potensiell energi til systemet: Derfor

Ved å likestille dette uttrykket med økningen av kinetisk energi får vi

Hvor E = K + U– total energi til systemet. Således, i det aktuelle tilfellet, mekanisk energi E systemet forblir ikke konstant, men avtar, siden arbeidet med dissipative krefter er negativt.