Konseptet med fraktal dimensjon. For å presentere hele utvalget av fraktaler, er det praktisk å ty til deres generelt aksepterte klassifisering. Det er tre klasser av fraktaler. Sierpinski-trekanten er spesifisert med eksplisitte formler.
Sierpinski trekant- en fraktal, en av de todimensjonale analogene til Cantor-settet, foreslått av den polske matematikeren Waclaw Sierpinski i 1915. Også kjent som Sierpinskis "serviett".
Sierpinski trekant
Konstruksjon
Iterativ metode
Bygging av Sierpinski-trekanten
Midtpunktene på sidene i en likesidet trekant er forbundet med segmenter. Du får 4 nye trekanter. Det indre av den midterste trekanten fjernes fra den opprinnelige trekanten. Det viser seg mye T 1 (\displaystyle T_(1)), bestående av de 3 gjenværende "førsterangs"-trekantene. Ved å gjøre nøyaktig det samme med hver av trekantene i første rang, får vi settet T 2 (\displaystyle T_(2)), bestående av 9 likesidede trekanter av andre rang. Hvis vi fortsetter denne prosessen i det uendelige, får vi en uendelig sekvens T 0 ⊃ T 1 ⊃ ⋯ ⊃ T n ⊃ … (\displaystyle T_(0)\supset T_(1)\upset \dots \upset T_(n)\upset \dots ), skjæringspunktet mellom medlemmene er en Sierpinski-trekant.
Kaosmetoden
1. Koordinatene til attraktorene er spesifisert - toppunktene til den opprinnelige trekanten T 0 (\displaystyle T_(0)). 2. Sannsynlighetsrom (0 ; 1) (\displaystyle (0;1)) er delt inn i 3 like deler, som hver tilsvarer en attraktor. 3. Et bestemt utgangspunkt er spesifisert P 0 (\displaystyle P_(0)), som ligger inne i trekanten T 0 (\displaystyle T_(0)). 4. Begynnelsen av syklusen med å konstruere punkter som tilhører settet til Sierpinski-trekanten. 1. Et tilfeldig tall genereres n ∈ (0 ; 1) (\displaystyle n\in (0;1)). 2. Den aktive attraktoren blir toppunktet i hvis probabilistiske underrom det genererte tallet falt. 3. Et punkt blir konstruert P i (\displaystyle P_(i)) med nye koordinater: x i = x i − 1 + x A 2; y i = y i − 1 + y A 2 (\displaystyle x_(i)=(\frac (x_(i-1)+x_(A))(2));y_(i)=(\frac (y_(i) -1)+y_(A))(2))), Hvor: x i − 1 , y i − 1 (\displaystyle x_(i-1),y_(i-1))- koordinater til forrige punkt P i − 1 (\displaystyle P_(i-1)); x A , y A (\displaystyle x_(A),y_(A))- koordinater til det aktive tiltrekningspunktet. 5. Gå tilbake til begynnelsen av syklusen.Egenskaper
Konstruksjon etter iterativ metode
Konstruksjon med kaosmetoden
Notater
Linker
L-systemL-systemet eller Lindenmayer-systemet er et parallelt omskrivingssystem og en type formell grammatikk. L-systemet består av et alfabet av symboler som kan brukes til å lage strenger, et sett genereringsregler som spesifiserer reglene for substitusjon for hvert symbol, en innledende streng ("aksiom") som konstruksjonen starter fra, og en mekanisme for oversette den genererte strengen til geometriske strukturer. L-systemer ble foreslått og utviklet i 1968 av Aristide Lindenmayer, en ungarsk biolog og botaniker ved Utrecht University. Lindenmayer brukte L-systemer for å beskrive oppførselen til planteceller og modellere prosessen med planteutvikling. L-systemer har også blitt brukt til å modellere morfologien til forskjellige organismer og kan brukes til å generere selv-lignende fraktaler som iterable funksjonssystemer.
Racket (programmeringsspråk)Racket (tidligere PLTScheme) er et multiparadigme programmeringsspråk for generell bruk som tilhører Lisp/Scheme-familien. Gir et miljø for språkorientert programmering - et av formålene med racket er å lage, utvikle og implementere programmeringsspråk. Språket brukes i ulike sammenhenger: som skriptspråk, som allmennspråk, i informatikkundervisning, i vitenskapelig forskning.
Plattformen gir brukeren en implementering av Racket-språket, inkludert et utviklet kjøretidssystem, ulike biblioteker, en JIT-kompilator, etc., samt DrRacket-utviklingsmiljøet (tidligere kjent som DrScheme) skrevet i Racket. Dette programvarerammeverket brukes i MITs ProgramByDesign-kurs. Kjernespråket Racket har et kraftig makrosystem som lar deg lage innebygde og domenespesifikke programmeringsspråk, språkkonstruksjoner (for eksempel klasser og moduler) og Racket-dialekter med forskjellig semantikk.
Systemet er gratis og åpen kildekode-programvare distribuert under LGPL-vilkår. Utvidelser og pakker skrevet av fellesskapet er tilgjengelig på PLaneT, systemets nettdistribusjon.
Fraktal komprimeringsalgoritmeFraktal bildekomprimering er en bildekomprimeringsalgoritme basert på bruk av systemer med itererte funksjoner (vanligvis affine transformasjoner) på bilder. Denne algoritmen er kjent for at den i noen tilfeller lar deg få veldig høye odds komprimering med akseptabel visuell kvalitet for ekte bilder naturlige gjenstander. På grunn av vanskelig situasjon Med patentering ble ikke algoritmen utbredt.
Delende flisRep-tile er et mosaikkgeometrikonsept, en figur som kan kuttes til mindre kopier av selve figuren. I 2012 ble en generalisering av delende fliser kalt selvflisende flissett foreslått av den engelske matematikeren Lee Salous i Mathematics Magazine.
Endelig inndelingsregelI matematikk er den ultimate inndelingsregelen en rekursiv måte å dele en polygon og andre todimensjonale former i mindre og mindre biter. Inndelingsregler i denne forstand er en generalisering av fraktaler. I stedet for å gjenta det samme mønsteret om og om igjen, er det subtile endringer ved hvert trinn, noe som gir rikere strukturer samtidig som den elegante fraktale stilen opprettholdes. Inndelingsregler brukes i arkitektur, biologi og informatikk, så vel som i studiet av hyperbolske manifolder. Fliserstatninger er en godt studert type inndelingsregel.
Peano-kurvePeano kurve - vanlig navn for parametriske kurver hvis bilde inneholder en firkant (eller mer generelt åpne områder av rommet). Et annet navn er en plassfyllende kurve.
Oppkalt etter Giuseppe Peano (1858-1932), oppdageren av denne typen kurve, er Peano-kurven navnet gitt til den spesifikke kurven som Peano fant.
Sierpinski-kurveSierpinski-kurver er en rekursivt definert sekvens av kontinuerlige lukkede plane fraktale kurver oppdaget av Waclaw Sierpinski. Kurven i grensen ved fyller helt enhetskvadratet, så grensekurven, også kalt Sierpinski-kurve, er et eksempel på romfyllende kurver.
Siden Sierpinski-kurven fyller rommet, er dens Hausdorff-dimensjon (i grensen ved n → ∞ (\displaystyle n\høyrepil \infty )) er lik 2 (\displaystyle 2).
Euklidisk kurvelengde
dvs. den vokser eksponensielt Av n (\displaystyle n), og grensen ved n → ∞ (\displaystyle n\høyrepil \infty ) område av regionen omsluttet av kurven S n (\displaystyle S_(n)), er 5/12 (\displaystyle 5/12) kvadrat (i den euklidiske metrikken).
LogaritmeLogaritme av et tall b (\displaystyle b) basert på a (\displaystyle a) (fra gammelgresk. λόγος "ord; holdning" + ἀριθμός "nummer") er definert som en indikator på kraften som basen må heves til a (\displaystyle a) for å få nummeret b (\displaystyle b). Betegnelse: logg a b (\displaystyle \log _(a)b), uttales: " logaritme b (\displaystyle b) basert på a (\displaystyle a) ».
Av definisjonen følger det funnet x = log a b (\displaystyle x=\log _(a)b) tilsvarer å løse ligningen a x = b (\displaystyle a^(x)=b). For eksempel, log 2 8 = 3 (\displaystyle \log _(2)8=3), fordi 2 3 = 8 (\displaystyle 2^(3)=8).
Å beregne logaritmen kalles ved logaritme. Tall a , b (\displaystyle a,b) oftest ekte, men det er også en teori om komplekse logaritmer.
Logaritmer har unike egenskaper som har bestemt deres utbredte bruk for å betydelig forenkle arbeidskrevende beregninger. Når man beveger seg «inn i logaritmenes verden», erstattes multiplikasjon med en mye enklere addisjon, divisjon erstattes med subtraksjon, og henholdsvis eksponentiering og rotekstraksjon transformeres til multiplikasjon og divisjon av eksponenten. Laplace sa at oppfinnelsen av logaritmer, "ved å forkorte astronomens arbeid, doblet livet hans."
Definisjon av logaritmer og tabell over deres verdier (for trigonometriske funksjoner) ble først utgitt i 1614 av den skotske matematikeren John Napier. Logaritmiske tabeller, utvidet og foredlet av andre matematikere, har blitt mye brukt til vitenskapelige og tekniske beregninger i mer enn tre århundrer inntil elektroniske kalkulatorer og datamaskiner dukket opp.
Over tid ble det klart at den logaritmiske funksjonen y = log a x (\displaystyle y=\log _(a)x) uunnværlig på mange andre områder menneskelig aktivitet: løsning differensiallikninger, klassifisering av mengdeverdier (for eksempel frekvens og lydintensitet), tilnærming ulike avhengigheter, informasjonsteori, sannsynlighetsteori osv. Denne funksjonen er en av de elementære, den er invers av eksponentiell funksjon. De mest brukte er ekte logaritmer med baser 2 (\displaystyle 2)(binær), e (\displaystyle e) (naturlig logaritme) og 10 (\displaystyle 10)(desimal).
DNA-basert nanoteknologiDNA nanoteknologi - utvikling og produksjon av kunstige strukturer fra nukleinsyrer for teknologisk bruk. I dette vitenskapelige feltet brukes nukleinsyrer ikke som bærere av genetisk informasjon i levende celler, men som et materiale for behovene til ikke-biologisk utvikling av nanomaterialer.
Teknologien bruker strenge regler for baseparing av nukleinsyrer, som bare tillater deler av trådene med komplementære basesekvenser å kobles sammen for å danne en sterk, stiv dobbelhelixstruktur. Fra disse reglene blir det mulig å konstruere sekvenser av baser som vil bli selektivt satt sammen for å danne komplekse målstrukturer med nøyaktig innstilte nanoskalaformer og egenskaper. De fleste materialer er laget ved hjelp av DNA, men strukturer som inneholder andre nukleinsyrer som RNA og peptidnukleinsyrer (PNA) er også bygget, slik at teknologifeltet kan kalles "nukleotidbasenanoteknologi".
Grunnkonseptet med DNA-basert nanoteknologi ble først foreslått på begynnelsen av 1980-tallet av Nadrian Seaman, og dette forskningsfeltet begynte å tiltrekke seg stor interesse på midten av 2000-tallet. Forskere som arbeider innen dette gryende teknologifeltet har skapt statiske strukturer som to- og tredimensjonale krystallgitter, nanorør, polyedre og andre friformede former, samt funksjonelle strukturer som f.eks. molekylære maskiner og DNA-datamaskiner.
En rekke teknikker brukes for å sette sammen disse strukturene, inkludert flisstrukturering, der fliser settes sammen fra mindre strukturer, foldestrukturer laget ved hjelp av DNA-origami-teknikken, og dynamisk omorganiserte strukturer laget ved hjelp av trådforskyvningsteknikker. Forskningsfeltet begynner å bli brukt som et verktøy for å løse grunnleggende vitenskapelige problemer innen strukturell biologi og biofysikk, inkludert anvendte problemer med krystallografi og spektroskopi for proteinstrukturbestemmelse. Det pågår også forskning for potensielle anvendelser innen skalerbar molekylær elektronikk og nanomedisin.
Naturlig logaritmeNaturlig logaritme er logaritmen til grunntallet e, Hvor e (\displaystyle e)- en irrasjonell konstant lik omtrent 2,72. Det er betegnet som ln x (\displaystyle \ln x), log e x (\displaystyle \log _(e)x) eller noen ganger bare log x (\displaystyle \log x), hvis basen e (\displaystyle e) underforstått. Vanligvis nummeret x (\displaystyle x) under fortegnet av logaritmen er reell, men dette konseptet kan utvides til komplekse tall.
Av definisjonen følger det at den logaritmiske avhengigheten er invers funksjon for eksponent y = e x (\displaystyle y=e^(x)), derfor er grafene deres symmetriske med hensyn til halveringslinjen til første og tredje kvadrant (se figuren til høyre). I likhet med eksponentialfunksjonen tilhører den logaritmiske funksjonen kategorien transcendentale funksjoner.
Naturlige logaritmer er nyttige for å løse algebraiske ligninger der det ukjente er tilstede som en eksponent de er uunnværlige i matematisk analyse. For eksempel brukes logaritmer for å finne henfallskonstanten for en kjent halveringstid eller for å finne nedbrytningstiden ved å løse radioaktivitetsproblemer. De spiller en viktig rolle i mange områder av matematikk og anvendte vitenskaper, og brukes i finans for å løse mange problemer, inkludert å finne renters rente.
Lebesgue-dimensjonLebesgue-dimensjon eller topologisk dimensjon- dimensjon definert av belegg, den viktigste invarianten av topologisk rom. Lebesgue dimensjon av plass X (\displaystyle X) vanligvis betegnet dim X (\displaystyle \dim X).
RekursjonRekursjon er en definisjon, beskrivelse, bilde av et objekt eller en prosess innenfor dette objektet eller selve prosessen, det vil si en situasjon når et objekt er en del av seg selv. Begrepet "rekursjon" brukes i ulike spesialiserte kunnskapsfelt - fra lingvistikk til logikk, men er mest brukt i matematikk og informatikk.
Sierpinski, WaclawWacław Franciszek Sierpiński, i en annen transkripsjon - Sierpiński (polsk: Wacław Franciszek Sierpiński; 14. mars 1882, Warszawa - 21. oktober 1969, ibid.) - Polsk matematiker og lærer, kjent for sine arbeider om utvalgteori, axiom of choice, axiom of choice. kontinuumshypotesen, tallteorien, funksjonsteorien og topologien. Forfatter av 724 artikler og 50 bøker.
Tetraeder (Bottrop)Tetraeder (tysk: Tetraeder) er en stålkonstruksjon i form av et tetraeder med en kantlengde på 60 m, støttet av fire 9 meter betongstøtter, brukt som observasjonsdekke, i byen Bottrop (Nordrhein-Westfalen) . Tetraederet ligger på toppen av Beckstraße avfallshaug (tysk: Beckstraße) i Prosper-Haniel-gruven (de: Bergwerk Prosper-Haniel) i en høyde av 105 m over havet. Fra det øverste observasjonsdekket kan du se utsikten over byene Bottrop, Essen, Oberhausen, Gladbeck. Med god sikt når visningsrekkevidden 40 km og lar deg til og med skille TV-tårnet Rheinturm i Düsseldorf.
Bottrop-tetraederet er det tematiske punktet i det regionale prosjektet "Path of Industrial Culture" i Ruhr-regionen.
Pascals trekantPascals trekant er en uendelig tabell med binomiale koeffisienter som har en trekantet form. I denne trekanten er det noen på toppen og på sidene. Hvert tall er lik summen av de to tallene over det. Trekantens linjer er symmetriske om den vertikale aksen. Oppkalt etter Blaise Pascal. Tallene som utgjør Pascals trekant oppstår naturlig i algebra, kombinatorikk, sannsynlighetsteori, matematisk analyse og tallteori.
FraktalFraktal (lat. fractus - knust, brutt, brutt) er et sett som har egenskapen selvlikhet (et objekt som nøyaktig eller tilnærmet sammenfaller med en del av seg selv, det vil si at helheten har samme form som en eller flere deler). I matematikk forstås fraktaler som sett med punkter i det euklidiske rom som har en brøkdelt metrisk dimensjon (i betydningen Minkowski eller Hausdorff), eller en metrisk dimensjon som er forskjellig fra den topologiske, så de bør skilles fra andre geometriske figurer begrenset av et begrenset antall lenker. Selvlignende figurer som gjentar seg et begrenset antall ganger kalles prefractals.
De første eksemplene på selvlignende sett med uvanlige egenskaper dukket opp på 1800-tallet som et resultat av studiet av kontinuerlige ikke-differensierbare funksjoner (for eksempel Bolzano-funksjonen, Weierstrass-funksjonen, Cantor-settet). Begrepet "fractal" ble introdusert av Benoit Mandelbrot i 1975 og ble viden kjent med utgivelsen av boken hans "Fractal Geometry of Nature" i 1977. Fraktaler fikk særlig popularitet med utviklingen datateknologi, som gjorde det mulig å effektivt visualisere disse strukturene.
Ordet "fraktal" brukes ikke bare som et matematisk begrep. En fraktal kan kalles et objekt som har minst én av følgende egenskaper:
Den har en ikke-triviell struktur i alle skalaer. Dette er i motsetning til vanlige figurer (som en sirkel, ellipse, graf av en jevn funksjon): hvis du vurderer et lite fragment av en vanlig figur i en veldig stor skala, vil det se ut som et fragment av en rett linje. For en fraktal fører ikke økning av skalaen til en forenkling av strukturen, det vil si at på alle skalaer kan du se et like komplekst bilde.
Er seg selv eller tilnærmet seg selv.
Den har en metrisk brøkdimensjon eller en metrisk dimensjon som overstiger den topologiske Mange objekter i naturen har fraktale egenskaper, for eksempel: kyster, skyer, trekroner, snøflak, sirkulasjonssystemet, alveoler.
Fraktal dimensjonFraktal dimensjon(Engelsk fraktal dimensjon) - en av måtene å bestemme dimensjonen til et sett i metrisk plass. Fraktal dimensjon n-dimensjonalt sett kan defineres ved hjelp av formelen:
D = − lim ε → 0 ln (N ε) ln (ε) (\displaystyle D=-\lim \limits _(\varepsilon \to 0)(\frac (\ln(N_(\varepsilon ))) (\ln(\varepsilon)))), Hvor N ε (\displaystyle N_(\varepsilon ))- minimum antall n-dimensjonale "kuler" med radius ε (\displaystyle \varepsilon), nødvendig for å dekke settet.Den fraktale dimensjonen kan ha en ikke-heltalls numerisk verdi.
Hovedideen til "fraksjonell" (eng. frakturert) dimensjon har lang historie innen matematikk, men det var selve begrepet som ble laget av Benoit Mandelbrot i 1967 i sin artikkel om selvlikhet, der han beskrev «brøkdimensjonen». I denne artikkelen refererte Mandelbrot til tidligere arbeid av Lewis Fry Richardson som beskriver det motstridende sunn fornuft ideen om at den målte lengden på strandlinjen avhenger av lengden på målestokken (stangen) (se fig. 1). Etter denne ideen tilsvarer den fraktale dimensjonen til en kystlinje forholdet mellom antall poler (i en viss skala) som trengs for å måle lengden på kystlinjen til den valgte skalaen til polen. Det er flere formelle matematiske definisjoner[⇨] fraktal dimensjon, som bygger på dette grunnleggende konseptet om endring i et element med endring i skala.
Et elementært eksempel er den fraktale dimensjonen til Koch snøfnugg. Dens topologiske dimensjon er 1, men den er på ingen måte en korrigerbar kurve, siden lengden på kurven mellom to punkter på et Koch snøfnugg er uendelig. Ingen del av en kurve, uansett hvor liten, er et rett linjesegment. Snarere består Kochs snøfnugg av et uendelig antall segmenter koblet sammen i forskjellige vinkler. Den fraktale dimensjonen til en kurve kan forklares intuitivt ved å foreslå at en fraktallinje er et objekt for detaljert (detaljert) til å være endimensjonalt, men ikke komplekst nok til å være todimensjonalt. Derfor er dens dimensjon bedre beskrevet ikke av den vanlige topologiske dimensjonen 1, men av dens fraktale dimensjon, lik i dette tilfellet et tall som ligger i intervallet mellom 1 og 2.
Fraktal kunstFractal art er en form for algoritmisk kunst skapt ved å beregne fraktale objekter og presentere resultatene av beregningene som stillbilder, animasjoner og automatisk genererte mediefiler. Fraktalkunst begynte på midten av 1980-tallet. Det er en sjanger innen datakunst og digital kunst som er en del av ny mediekunst. Samtidig er fraktal kunst et av områdene i den såkalte «vitenskapelige kunsten».
Fraktalkunst lages sjelden for hånd. Det er vanligvis opprettet indirekte ved hjelp av programvare, genererer fraktaler gjennom tre stadier: innstilling av parametrene til den tilsvarende fraktale programvaren; utføre muligens lange beregninger; og produktevalueringer. I noen tilfeller brukes andre grafikkprogrammer for å viderebehandle de genererte bildene. Ikke-fraktale bilder kan også inkluderes i et kunstverk. Julia-settet og Mandelbrot-settet regnes som ikoner for fraktalkunst.
| Kjennetegn |
|
|
|---|---|---|
| De enkleste fraktalene | ||
Wiktionary har en artikkel "trekant" En trekant i vid forstand er et objekt med en trekantet form, eller en trio av objekter koblet sammen i par ... Wikipedia
Konstruksjon av Reuleaux-trekanten Reuleaux-trekanten [* 1] er representert ved ... Wikipedia
Sierpinski-trekanten Sierpinski-trekanten er en fraktal, en av de todimensjonale analogene til Cantor-settet foreslått av den polske matematikeren Sierpinski i 1915. Også kjent som Sierpinski "grid" eller "serviett". Konstruksjon Ta en solid... ... Wikipedia
Sierpinski-teppe (firkantet) Sierpinski-teppe (Sierpinski-firkant) fraktal, en av de todimensjonale analogene til Cantor-settet, foreslått av den polske matematikeren Vac... Wikipedia
Sierpinski-teppet Sierpinski-teppet er en fraktal, en av de todimensjonale analogene til Cantor-settet foreslått av den polske matematikeren Waclaw Sierpinski. Også kjent som Sierpinski-plassen. Innhold 1 Konstruksjon ... Wikipedia
Sierpinski-teppet er en fraktal, en av de todimensjonale analogene til Cantor-settet foreslått av den polske matematikeren Waclaw Sierpinski. Også kjent som Sierpinski-plassen. Innhold 1 Konstruksjon ... Wikipedia
Sierpinski trekantbilde definert av tre affine transformasjoner Fraktal bildekomprimering er en bildekomprimeringsalgoritme basert på bruk av itererte funksjonssystemer (IFS, vanligvis... ... Wikipedia
Sierpinski trekantbilde definert av tre affine transformasjoner Fraktal bildekomprimeringsalgoritme for bildekomprimering c ... Wikipedia
Mandelbrot-settet er et klassisk eksempel på en fraktal... Wikipedia
Mandelbrot sett klassisk fraktalmønster Fractal (latin fractus knust) begrepsbetydning geometrisk figur, som har egenskapen selvlikhet, det vil si sammensatt av flere deler, som hver er lik hele figuren... ... Wikipedia
Bøker
- Matematikk er vakkert! , Anna Veltman. Hva handler denne boken om Denne uvanlige notatboken vil vise deg at matematikk kan være vakkert, og harmoni i kunst er basert på tall. På sidene i denne grafiske notatboken, med...
- Tillegg av enkeltbits tall. Pascals trekant, Sierpinskis serviett og Kummers teorem, S. B. Gashkov. Boken snakker om den interessante sammenhengen mellom problemet med å legge til tall i binær notasjon med logikkens algebra, Zhegalkin-polynomer, Pascals trekant, Sierpinskis serviett og Kummers teorem ...
Denne fraktalen ble beskrevet i 1915 av den polske matematikeren Waclaw Sierpinski. For å få det, må du ta en (likesidet) trekant med et indre, tegne midtlinjer i den og kaste ut den sentrale av de fire små trekantene som er dannet. Deretter må de samme trinnene gjentas med hver av de resterende tre trekantene osv. Figuren viser de tre første trinnene.
Å kaste ut de sentrale trekantene er ikke den eneste måten å ende opp med en Sierpinski-trekant. Du kan flytte inn motsatt retning": ta en innledningsvis "tom" trekant, fullfør deretter trekanten som dannes av midtlinjene i den, og gjør deretter det samme i hver av de tre hjørnetrekantene osv. Først vil figurene være veldig forskjellige, men som iterasjonen antall økninger, vil de alle være like mer like hverandre, og i grensen vil de falle sammen. 
Den neste måten å få en Sierpinski-trekant på er enda mer lik det vanlige opplegget for å konstruere geometriske fraktaler ved å erstatte deler av neste iterasjon med et skalert fragment. Her, ved hvert trinn, erstattes segmentene som utgjør den brutte linjen med en brutt linje med tre lenker (selv den oppnås i den første iterasjonen). Du må legge denne brutte linjen vekselvis til høyre og deretter til venstre. Det kan sees at allerede den åttende iterasjonen er veldig nær fraktalen, og jo lenger den går, jo nærmere vil linjen komme til den. 
Men det er ikke alt. Det viser seg at Sierpinski-trekanten er oppnådd som et resultat av en av variantene av tilfeldig gange av et punkt på et fly. Denne metoden kalles "Kaos-spillet". Med dens hjelp kan du bygge noen andre fraktaler.
Essensen av "spillet" er dette. En vanlig trekant A 1 A 2 A 3 er festet på planet. Merk et hvilket som helst startpunkt B 0 . Deretter blir en av de tre toppunktene i trekanten valgt tilfeldig og punkt B 1 er markert - midten av segmentet med ender ved dette toppunktet og ved B 0 (i figuren til høyre ble toppunkt A 1 tilfeldig valgt). Det samme gjentas med punkt B 1 for å få B 2. Da får de poeng B 3, B 4 osv. Det er viktig at punktet "hopper" tilfeldig, det vil si at hver gang trekantens toppunkt velges tilfeldig, uavhengig av hva som ble valgt i de foregående trinnene. Det er overraskende at hvis du markerer punkter fra sekvensen B i, vil Sierpinski-trekanten snart begynne å dukke opp. Nedenfor er hva som skjer når du sjekker 100
, 500
Og 2500
poeng. 
100, 500
Og 2500
points" align="center" />
Noen eiendommer
Fraktal dimensjon log 2 3 ≈ 1,584962... . Sierpinski-trekanten består av tre kopier av seg selv, hver halve størrelsen. Gjensidig ordning de er slik at hvis du reduserer rutenettcellene med det halve, vil antallet kvadrater som krysser fraktalen tredobles. Det er N(δ/2) = 3N(δ). Hvis først størrelsen på cellene var 1, og fraktalen krysset N 0 av dem (N(1) = N0), Det N(1/2) = 3N 0, N (1/4) = 32N 0, ..., N (1/2k) = 3kNO. Av dette viser det seg at N(δ) proporsjonalt, og etter definisjonen av fraktal dimensjon er den lik nøyaktig logg 2 3.
Sierpinski-trekanten har null areal. Dette betyr at ikke en eneste sirkel, selv en veldig liten en, vil passe inn i fraktalen. Det vil si at hvis vi starter fra konstruksjonen ved hjelp av den første metoden, ble hele interiøret "tatt ut" av trekanten: etter hver iterasjon multipliseres arealet av det som gjenstår med 3/4
, det vil si at den blir mindre og har en tendens til det 0
. Dette er ikke et strengt bevis, men andre konstruksjonsmetoder kan bare styrke tilliten til at denne egenskapen fortsatt er sann.
En uventet forbindelse med kombinatorikk. Hvis i Pascals trekant med 2n linje ved å farge alle partallene hvite og oddetallene svarte, så danner de synlige tallene en Sierpinski-trekant (til en viss tilnærming).
Alternativer Teppe (firkantet, serviett) av Sierpinski.
Den firkantede versjonen ble beskrevet av Wacław Sierpinski i 1916. Han klarte å bevise at enhver kurve som kan tegnes på et plan uten selvkryss er homeomorf til en delmengde av denne hullete firkanten. Som en trekant kan en firkant lages av forskjellige design. Til høyre er den klassiske metoden: å dele firkanten i 9 deler og kaste den sentrale delen. Så gjentas det samme for de resterende 8 rutene osv. 
Som en trekant har en firkant null areal. Den fraktale dimensjonen til Sierpinski-teppet er lik logg 3 8, beregnes på samme måte som dimensjonen til en trekant.
Sierpinski-pyramiden.
En av de tredimensjonale analogene til Sierpinski-trekanten. Den er konstruert på lignende måte, og tar hensyn til tredimensjonaliteten til det som skjer: 5
kopier av den innledende pyramiden, komprimert i to, utgjør den første iterasjonen, dens 5
kopier vil utgjøre den andre iterasjonen osv. Den fraktale dimensjonen er lik logg 2 5. Figuren har null volum (ved hvert trinn kastes halve volumet), men overflatearealet opprettholdes fra iterasjon til iterasjon, og for fraktalen er det det samme som for den innledende pyramiden. 
Mengers svamp.
Generalisering av Sierpinski-teppet til tredimensjonalt rom. For å bygge en svamp trenger du en endeløs repetisjon av prosedyren: hver av kubene som utgjør iterasjonen er delt inn i 27 tre ganger mindre terninger, hvorfra den sentrale og dens 6 naboer blir kastet ut. Det vil si at hver kube genererer 20 nye, tre ganger mindre. Derfor er den fraktale dimensjonen lik logg 3 20. Denne fraktalen er en universell kurve: enhver kurve i tredimensjonalt rom er homeomorf til en undergruppe av svampen. Svampen har null volum (siden ved hvert trinn multipliseres den med 20/27
), men samtidig et uendelig stort område. 
For å få det, må du ta en (likesidet) trekant med et indre, tegne midtlinjer i den og kaste ut den sentrale av de fire små trekantene som er dannet. Deretter må du gjenta de samme trinnene med hver av de resterende tre trekantene osv. Bildet viser de tre første trinnene, og i blitsdemonstrasjonen kan du øve og få trinn opp til det tiende.
Å kaste ut de sentrale trekantene er ikke den eneste måten å ende opp med en Sierpinski-trekant. Du kan bevege deg "i motsatt retning": ta en innledningsvis "tom" trekant, fullfør deretter trekanten som dannes av midtlinjene i den, og gjør deretter det samme i hver av de tre hjørnetrekantene osv. Først vil figurene være svært forskjellige, men med Etter hvert som iterasjonstallet øker, vil de bli mer og mer like hverandre, og i grensen vil de falle sammen.
Den neste måten å få en Sierpinski-trekant på er enda mer lik det vanlige opplegget for å konstruere geometriske fraktaler ved å erstatte deler av neste iterasjon med et skalert fragment. Her, ved hvert trinn, erstattes segmentene som utgjør den brutte linjen med en brutt linje med tre lenker (selv den oppnås i den første iterasjonen). Du må legge denne brutte linjen vekselvis til høyre og deretter til venstre. Det kan sees at allerede den åttende iterasjonen er veldig nær fraktalen, og jo lenger den går, jo nærmere vil linjen komme til den.
Men det er ikke alt. Det viser seg at Sierpinski-trekanten er oppnådd som et resultat av en av variantene av tilfeldig gange av et punkt på et fly. Denne metoden kalles "Kaos-spillet". Med dens hjelp kan du bygge noen andre fraktaler.
Essensen av "spillet" er dette. En vanlig trekant er festet på et plan EN 1 EN 2 EN 3. Merk et hvilket som helst utgangspunkt B 0 . Velg deretter tilfeldig ett av de tre hjørnene i trekanten og merk punktet B 1 - midten av et segment med ender ved dette toppunktet og ved B 0 (i figuren til høyre ble toppunktet valgt tilfeldig EN 1). Det samme gjentas med et punkt B 1 å få B 2. Da får de poengene B 3 , B 4 osv. Det er viktig at punktet "hopper" tilfeldig, det vil si at hver gang trekantens toppunkt velges tilfeldig, uavhengig av hva som ble valgt i de foregående trinnene. Det er utrolig at hvis du markerer poeng fra en sekvens B i, da vil Sierpinski-trekanten snart begynne å dukke opp. Nedenfor er hva som skjer når 100, 500 og 2500 poeng er merket.
Noen eiendommer
Alternativer
Teppe (firkantet, serviett) av Sierpinski. Den firkantede versjonen ble beskrevet av Wacław Sierpinski i 1916. Han klarte å bevise at enhver kurve som kan tegnes på et plan uten selvkryss er homeomorf til en delmengde av denne hullete firkanten. Som en trekant kan en firkant lages av forskjellige design. Til høyre er den klassiske metoden: å dele firkanten i 9 deler og kaste den sentrale delen. Så gjentas det samme for de resterende 8 rutene osv.
Som en trekant har en firkant null areal. Den fraktale dimensjonen til et Sierpinski-teppe er lik log 3 8, beregnet på samme måte som dimensjonen til en trekant.
Sierpinski-pyramiden. En av de tredimensjonale analogene til Sierpinski-trekanten. Den er konstruert på lignende måte, og tar hensyn til tredimensjonaliteten til det som skjer: 5 kopier av den innledende pyramiden, komprimert to ganger, utgjør den første iterasjonen, dens 5 kopier vil utgjøre den andre iterasjonen, osv. Fraktalen dimensjon er lik log 2 5. Figuren har null volum (ved hvert trinn kastes halve volumet ut), men samtidig bevares overflatearealet fra iterasjon til iterasjon, og for fraktalen er det det samme som for den første pyramiden.
Mengers svamp. Generalisering av Sierpinski-teppet til tredimensjonalt rom. For å bygge en svamp trenger du en endeløs repetisjon av prosedyren: hver av kubene som utgjør iterasjonen er delt inn i 27 tre ganger mindre terninger, hvorfra den sentrale og dens 6 naboer blir kastet ut. Det vil si at hver kube genererer 20 nye, tre ganger mindre. Derfor er den fraktale dimensjonen log 3 20. Denne fraktalen er en universell kurve: enhver kurve i tredimensjonalt rom er homeomorf for en del av svampen. Svampen har null volum (siden ved hvert trinn multipliseres den med 20/27), men den har et uendelig stort område.
Konseptene fraktal og fraktal geometri, som dukket opp på slutten av 70-tallet, har blitt godt etablert blant matematikere og programmerere siden midten av 80-tallet. Ordet fraktal er avledet fra latin fractus og betyr bestående av fragmenter. Det ble foreslått av Benoit Mandelbrot i 1975 å referere til de uregelmessige, men selvliknende strukturene han var opptatt av. Fraktalgeometriens fødsel er vanligvis forbundet med utgivelsen av Mandelbrots bok "The Fractal Geometry of Nature" i 1977. Hans arbeider brukte de vitenskapelige resultatene til andre forskere som arbeidet i perioden 1875-1925 innen samme felt (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Men først i vår tid har det vært mulig å kombinere deres arbeid i ett system.
Rollen til fraktaler i datagrafikk i dag er ganske stor. De kommer til unnsetning, for eksempel når det er nødvendig, ved å bruke flere koeffisienter, for å definere linjer og overflater med svært komplekse former. Fra datagrafikksynspunktet er fraktalgeometri uunnværlig når man genererer kunstige skyer, fjell og havoverflater. Faktisk er det funnet en måte å enkelt representere komplekse ikke-euklidiske objekter, hvis bilder er veldig like naturlige.
En av hovedegenskapene til fraktaler er selvlikhet. I det enkleste tilfellet inneholder en liten del av en fraktal informasjon om hele fraktalen. Mandelbrots definisjon av en fraktal er: "En fraktal er en struktur som består av deler som på en eller annen måte ligner helheten."
Det er et stort antall matematiske objekter som kalles fraktaler (Sierpinski-triangel, Koch snøfnugg, Peano-kurve, Mandelbrot-sett og Lorentz-attraktorer). Fraktaler beskriver med stor nøyaktighet mange fysiske fenomener og formasjoner av den virkelige verden: fjell, skyer, turbulente (virvel) strømmer, røtter, grener og blader av trær, blodårer, noe som langt fra svarer til enkle geometriske figurer. For første gang snakket Benoit Mandelbrot om den fraktale naturen til vår verden i sitt banebrytende verk "Fractal Geometry of Nature".
Begrepet fraktal ble introdusert av Benoit Mandelbrot i 1977 i hans grunnleggende verk Fractals, Form, Chaos and Dimension. I følge Mandelbrot kommer ordet fraktal fra de latinske ordene fractus - fractional og frangere - to break, som gjenspeiler essensen av en fraktal som en "ødelagt", uregelmessig sett.
Klassifisering av fraktaler.
For det For å presentere hele utvalget av fraktaler, er det praktisk å ty til deres generelt aksepterte klassifisering. Det er tre klasser av fraktaler.
1. Geometriske fraktaler.
Fraktaler av denne klassen er de mest visuelle. I det todimensjonale tilfellet oppnås de ved hjelp av en brutt linje (eller overflate i det tredimensjonale tilfellet), kalt en generator. I ett trinn i algoritmen erstattes hvert av segmentene som utgjør den stiplede linjen med polyline-generator i passende skala. Som et resultat av endeløs repetisjon av denne prosedyren, oppnås en geometrisk fraktal.
La oss se på et eksempel på en av disse fraktale objektene - den triadiske Koch-kurven.
Konstruksjon av den triadiske Koch-kurven.
La oss ta et rett segment med lengde 1. La oss kalle det frø. La oss dele frøet i tre like deler 1/3 lange, kast den midterste delen og erstatte den med en brutt linje med to ledd 1/3 lange.
Vi vil få en brutt linje bestående av 4 ledd med en total lengde på 4/3, så vi ringer første generasjon.
For å gå til neste generasjon av Koch-kurven, er det nødvendig å forkaste og erstatte den midtre delen av hver lenke. Følgelig vil lengden på andre generasjon være 16/9, den tredje - 64/27. hvis vi fortsetter denne prosessen i det uendelige, er resultatet en triadisk Koch-kurve.
La oss nå vurdere egenskapene til den triadiske Koch-kurven og finne ut hvorfor fraktaler ble kalt "monstre".
For det første har denne kurven ingen lengde - som vi har sett, med antall generasjoner har lengden en tendens til uendelig.
For det andre er det umulig å konstruere en tangent til denne kurven - hvert av punktene er et bøyningspunkt der den deriverte ikke eksisterer - denne kurven er ikke jevn.
Lengde og glatthet er de grunnleggende egenskapene til kurver, som studeres både av euklidisk geometri og av geometrien til Lobachevsky og Riemann. Tradisjonelle metoder for geometrisk analyse viste seg å være uanvendelige for den triadiske Koch-kurven, så Koch-kurven viste seg å være et monster - et "monster" blant de glatte innbyggerne i tradisjonelle geometrier.
Bygging av Harter-Haithway "drage".
For å få en annen fraktal gjenstand, må du endre konstruksjonsreglene. La det dannede elementet være to like segmenter forbundet i rette vinkler. I nullgenerasjonen erstatte enhetssegmentet med dette formingselementet slik at hjørnet er på toppen. Vi kan si at med en slik erstatning er det en forskyvning av midten av lenken. Ved konstruksjon av påfølgende generasjoner følges regelen: den aller første lenken til venstre erstattes med et formingselement slik at midten av lenken forskyves til venstre for bevegelsesretningen, og ved utskifting av påfølgende lenker vil retningene til forskyvning av midten av segmentene må veksle. Figuren viser de første generasjonene og den 11. generasjonen av kurven bygget etter prinsippet beskrevet ovenfor. En kurve med n som tenderer mot uendelig kalles Harter-Haithaway-dragen.
I datagrafikk er bruk av geometriske fraktaler nødvendig for å få bilder av trær og busker. Todimensjonale geometriske fraktaler brukes til å lage tredimensjonale teksturer (mønstre på overflaten av et objekt).
2. Algebraiske fraktaler
Dette er den største gruppen av fraktaler. De oppnås ved bruk av ikke-lineære prosesser i n-dimensjonale rom. Todimensjonale prosesser er de mest studerte. Når man tolker en ikke-lineær iterativ prosess som et diskret dynamisk system, kan man bruke terminologien til teorien om disse systemene: faseportrett, steady-state prosess, attraktor, etc.
Det er kjent at ikke-lineære dynamiske systemer har flere stabile tilstander. Tilstanden som det dynamiske systemet befinner seg i etter et visst antall iterasjoner avhenger av dets opprinnelige tilstand. Derfor har hver stabil tilstand (eller, som de sier, attraktor) en viss region med starttilstander, hvorfra systemet nødvendigvis vil falle inn i de endelige tilstandene som vurderes. Dermed er faserommet til systemet delt inn i attraksjonsområder for attraksjoner. Hvis faserommet er et todimensjonalt rom, kan man ved å fargelegge attraksjonsområdene med forskjellige farger få et fargefaseportrett av dette systemet (iterativ prosess). Ved å endre fargevalgalgoritmen kan du få komplekse fraktale mønstre med bisarre flerfargemønstre. En overraskelse for matematikere var evnen til å generere svært komplekse ikke-trivielle strukturer ved hjelp av primitive algoritmer.
Mandelbrot sett.
Som et eksempel, tenk på Mandelbrot-settet. Algoritmen for konstruksjonen er ganske enkel og er basert på et enkelt iterativt uttrykk: Z = Z * Z + C, Hvor Zi Og C- komplekse variabler. Iterasjoner utføres for hvert startpunkt fra et rektangulært eller kvadratisk område - en undergruppe av det komplekse planet. Den iterative prosessen fortsetter til Z vil ikke gå utover sirkelen med radius 2, hvis sentrum ligger i punktet (0,0), (dette betyr at attraktoren til det dynamiske systemet er på uendelig), eller etter et tilstrekkelig stort antall iterasjoner (for eksempel , 200–500) Z vil konvergere til et punkt på sirkelen. Avhengig av antall iterasjoner under hvilke Z forble innenfor sirkelen, kan du angi fargen på punktet C(Hvis Z forblir inne i sirkelen for et tilstrekkelig stort antall iterasjoner, stopper iterasjonsprosessen og dette rasterpunktet males svart).
3. Stokastiske fraktaler
En annen velkjent klasse av fraktaler er stokastiske fraktaler, som oppnås hvis noen av parameterne endres tilfeldig i en iterativ prosess. I dette tilfellet er de resulterende gjenstandene veldig like naturlige - asymmetriske trær, robuste kystlinjer, etc. Todimensjonale stokastiske fraktaler brukes i terreng- og havoverflatemodellering.
Det finnes andre klassifikasjoner av fraktaler, for eksempel ved å dele fraktaler inn i deterministiske (algebraiske og geometriske) og ikke-deterministiske (stokastiske).
Om bruken av fraktaler
Først av alt er fraktaler et felt med fantastisk matematisk kunst, når det oppnås bilder av ekstraordinær skjønnhet og kompleksitet ved hjelp av de enkleste formlene og algoritmene! Blader, trær og blomster er ofte synlige i konturene til de konstruerte bildene.
Noen av de kraftigste bruksområdene for fraktaler ligger i datagrafikk. For det første er dette fraktal komprimering av bilder, og for det andre konstruksjon av landskap, trær, planter og generering av fraktale teksturer. Moderne fysikk og mekanikk har akkurat begynt å studere oppførselen til fraktale objekter. Og selvfølgelig brukes fraktaler direkte i selve matematikken.
Fordelene med fraktale bildekomprimeringsalgoritmer er den svært lille størrelsen på den pakkede filen og kort gjenopprettingstid for bilder. Fraktalpakkede bilder kan skaleres uten å forårsake pikselering. Men kompresjonsprosessen tar lang tid og varer noen ganger i timer. Fractal lossy emballasjealgoritmen lar deg angi komprimeringsforholdet, likt jpeg-formatet. Algoritmen er basert på å søke etter store deler av bildet som ligner på noen små biter. Og bare hvilken del som er lik som skrives til utdatafilen. Ved komprimering brukes vanligvis et firkantet rutenett (stykker er firkanter), noe som fører til en liten vinklethet ved gjenoppretting av et sekskantet rutenett har ikke denne ulempen.
Iterated har utviklet et nytt bildeformat, "Sting", som kombinerer fraktal og "wave" (som jpeg) tapsfri komprimering. Det nye formatet lar deg lage bilder med mulighet for etterfølgende høykvalitets skalering, og volumet av grafiske filer er 15-20% av volumet av ukomprimerte bilder.
Tendensen til fraktaler til å ligne fjell, blomster og trær utnyttes av noen grafiske redaktører, for eksempel fraktale skyer fra 3D-studio MAX, fraktale fjell i World Builder. Fraktale trær, fjell og hele landskap er definert av enkle formler, er enkle å programmere og brytes ikke opp i separate trekanter og kuber når man nærmer seg.
Man kan ikke se bort fra bruken av fraktaler i selve matematikken. I settteori beviser Cantor-settet eksistensen av perfekte ingensteds tette mengder i målteori, den selvaffinerte funksjonen "Cantors Ladder" er et godt eksempel på en distribusjonsfunksjon av et enkeltmål.
I mekanikk og fysikk brukes fraktaler på grunn av deres unike egenskap ved å gjenta konturene til mange naturlige objekter. Fraktaler lar deg tilnærme trær, fjelloverflater og sprekker med høyere nøyaktighet enn tilnærminger ved å bruke sett med segmenter eller polygoner (med samme mengde lagrede data). Fraktale modeller, som naturlige objekter, har en "ruhet", og denne egenskapen er bevart uansett hvor stor forstørrelsen på modellen er. Tilstedeværelsen av et enhetlig mål på fraktaler lar en bruke integrasjon, potensialteori og bruke dem i stedet for standardobjekter i allerede studerte ligninger.
Med en fraktal tilnærming slutter kaos å være blå uorden og får en fin struktur. Fraktalvitenskap er fortsatt veldig ung og har en stor fremtid foran seg. Skjønnheten til fraktaler er langt fra å være oppbrukt og vil fortsatt gi oss mange mesterverk - de som gleder øyet, og de som bringer sann nytelse til sinnet.
Om å konstruere fraktaler
Suksessiv tilnærmingsmetode
Når du ser på dette bildet, er det ikke vanskelig å forstå hvordan du kan bygge en selvlignende fraktal (i dette tilfellet Sierpinski-pyramiden). Vi må ta en vanlig pyramide (tetraeder), og deretter kutte ut midten (oktaeder), noe som resulterer i fire små pyramider. Med hver av dem utfører vi den samme operasjonen, etc. Dette er en noe naiv, men tydelig forklaring.
La oss vurdere essensen av metoden mer strengt. La det være noe IFS-system, dvs. kompresjonskartleggingssystem S=(S 1 ,...,S m ) Si:R n ->R n (for eksempel, for vår pyramide ser avbildningene ut som Si (x )=1/2*x+o i , hvor o i er toppunktene til tetraederet, i=1,..,4). Så velger vi et kompakt sett A 1 i R n (i vårt tilfelle velger vi et tetraeder). Og vi bestemmer ved induksjon rekkefølgen av mengder A k:A k+1 =S 1 (A k ) U...U S m (A k ). Det er kjent at settene A k med økende k tilnærmer den ønskede attraktoren til systemet bedre og bedre S.
Merk at hver av disse iterasjonene er en attraktor tilbakevendende system av itererte funksjoner(engelsk term Digraph IFS, RIFS og også Grafregissert IFS) og derfor er de enkle å bygge ved hjelp av programmet vårt.
Punkt-for-punkt eller sannsynlighetsmetode
Dette er den enkleste metoden å implementere på en datamaskin. For enkelhets skyld vurderer vi tilfellet med et flatt selv-affin sett. Så la (S 1,..,S m) være et system av affine sammentrekninger. Mappinger Si er representable i formen: Si (x)=A i (x-o i)+o i, hvor A i er en fast matrise med størrelse 2x2 og o i er en todimensjonal kolonnevektor.
·
La oss ta det faste punktet til den første kartleggingen S 1 som utgangspunkt:
x: = o1;
Her utnytter vi det faktum at alle faste kompresjonspunkter S 1 ,..,S m tilhører fraktalen. Du kan velge et vilkårlig punkt som startpunkt og sekvensen av punkter som genereres av det vil bli tegnet til en fraktal, men da vil flere ekstra punkter vises på skjermen.
·
La oss merke gjeldende punkt x= (x 1 ,x 2) på skjermen:
putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
·
La oss velge et tall j fra 1 til m tilfeldig og beregne koordinatene til punkt x på nytt:
j:=Tilfeldig (m)+1;
x:=Sj(x);
·
Vi går til trinn 2, eller, hvis vi har gjort et tilstrekkelig stort antall iterasjoner, stopper vi.
Merk. Hvis kompresjonsforholdene til avbildningene Si er forskjellige, vil fraktalen bli fylt med punkter ujevnt. Hvis tilordningene Si er like, kan dette unngås ved å komplisere algoritmen litt. For å gjøre dette, ved 3. trinn av algoritmen, må tallet j fra 1 til m velges med sannsynligheter p 1 =r 1 s,..,p m =r m s, hvor r i betegner kompresjonskoeffisienten til avbildningene Si, og tallet s (kalt likhetsdimensjonen) finnes fra ligningen r 1 s +...+r m s =1. Løsningen på denne ligningen finner du for eksempel ved Newtons metode.
Om fraktaler og deres algoritmer
Fractal kommer fra det latinske adjektivet "fractus", og betyr i oversettelse bestående av fragmenter, og det tilsvarende latinske verbet "frangere" betyr å bryte, det vil si å lage uregelmessige fragmenter. Konseptene fraktal og fraktal geometri, som dukket opp på slutten av 70-tallet, har blitt godt etablert blant matematikere og programmerere siden midten av 80-tallet. Begrepet ble laget av Benoit Mandelbrot i 1975 for å referere til de uregelmessige, men selv-lignende strukturene han var opptatt av. Fødselen av fraktal geometri er vanligvis forbundet med utgivelsen av Mandelbrots bok "The Fractal Geometry of Nature" i 1977. Arbeidene hans brukte de vitenskapelige resultatene til andre forskere som arbeidet i perioden 1875-1925 innen samme felt (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff).
Justeringer
La meg gjøre noen justeringer av algoritmene foreslått i boken av H.-O. Peitgen og P.H. Richter “The Beauty of Fractals” M. 1993 utelukkende for å utrydde skrivefeil og lette forståelsen av prosessene siden mye forble et mysterium for meg etter å ha studert dem. Dessverre fører disse "forståelige" og "enkle" algoritmene en rocka livsstil.
Konstruksjonen av fraktaler er basert på en viss ikke-lineær funksjon av en kompleks prosess med tilbakemelding z = > z 2 +c siden z og c -k er komplekse tall, da er z = x + iy , c = p + iq nødvendig å dekomponer det i x og y for å gå til et plan som er mer realistisk for den vanlige mannen:
x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.
Et plan som består av alle par (x,y ) kan betraktes som for faste verdier R og q, og med dynamiske. I det første tilfellet, ved å gå gjennom alle punktene (x ,y) fly og farge dem avhengig av antall funksjonsrepetisjoner som er nødvendige for å avslutte den iterative prosessen eller ikke fargelegge dem (svart farge) når de tillatte maksimale repetisjonene overskrides, får vi en kartlegging av Julia-settet. Hvis vi tvert imot bestemmer det første verdiparet (x,y) og sporer dets koloristiske skjebne med dynamisk skiftende verdier av parameterne p og q, får vi bilder kalt Mandelbrot-sett.
På spørsmålet om algoritmer for farging av fraktaler.
Vanligvis er kroppen til et sett representert som et svart felt, selv om det er åpenbart at svart farge kan erstattes av en hvilken som helst annen, men dette er også et lite interessant resultat. Å få et bilde av et sett farget i alle farger er en oppgave som ikke kan løses med sykliske operasjoner fordi antall iterasjoner av settene som danner kroppen er lik maksimalt mulig og er alltid det samme. Det er mulig å fargelegge et sett i forskjellige farger ved å bruke resultatet av å sjekke utgangstilstanden (z_magnitude) eller noe lignende, men med andre matematiske operasjoner, som et fargenummer.
Anvendelse av et "fraktalmikroskop"
å demonstrere grensefenomener.
Tiltrekkere er sentre som leder kampen om dominans på flyet. En grense vises mellom attraktorene, som representerer et florid mønster. Ved å øke vurderingsskalaen innenfor settets grenser, kan man oppnå ikke-trivielle mønstre som gjenspeiler tilstanden til deterministisk kaos – et vanlig fenomen i den naturlige verden.
Objektene studert av geografer danner et system med svært komplekst organiserte grenser, og derfor blir identifiseringen av dem ikke en enkel praktisk oppgave. Naturkomplekser har kjerner av typiske egenskaper som fungerer som attraksjoner som mister sin innflytelse på territoriet når det beveger seg bort.
Ved å bruke et fraktalt mikroskop for Mandelbrot- og Julia-settene kan man danne seg en idé om grenseprosesser og fenomener som er like komplekse uavhengig av vurderingsskala og dermed forberede spesialistens oppfatning for et møte med et dynamisk og tilsynelatende kaotisk naturlig objekt. i rom og tid, for en forståelse av fraktal geometris natur. De flerfargede fargene og fraktalmusikken vil definitivt sette et dypt avtrykk i hodet til studentene.
Tusenvis av publikasjoner og enorme Internett-ressurser er viet fraktaler, men for mange spesialister langt fra informatikk virker dette begrepet helt nytt. Fraktaler, som gjenstander av interesse for spesialister innen ulike kunnskapsfelt, bør få en skikkelig plass på informatikkkurs.
Eksempler
|
SIEPINSKI GRID |
|
For å oppnå Sierpinski teppe, ta en firkant, del den i ni firkanter, og skjær ut den midterste. Vi vil gjøre det samme med resten, mindre firkanter. Til slutt dannes et flatt fraktalt rutenett som ikke har noe område, men med uendelige forbindelser. I sin romlige form forvandles Sierpinski-svampen til et system av ende-til-ende-former, der hvert ende-til-ende-element hele tiden erstattes av sitt eget slag. Denne strukturen er veldig lik en del av beinvev. En dag vil slike repeterende strukturer bli et element i bygningskonstruksjoner. Deres statikk og dynamikk, mener Mandelbrot, fortjener å studere nærmere. |
|
SIERPINSKI FRACTAL |
|
|
|
KOCH KURVE |
|
|
|
MANDELBROT FRAKTAL |
|
|
|
FRACTALS STJERNE OG SNØFLÅK |
|
|
|
DYRERE PENTAGON |
|
En fraktal ser ut som en haug med femkanter som er presset sammen. Faktisk er det dannet ved å bruke en femkant som initiator og likebenede trekanter der forholdet mellom den større siden og den mindre siden er nøyaktig lik det såkalte gylne snittet (1,618033989 eller 1/(2cos72)) som en generator . Disse trekantene er kuttet fra midten av hver femkant, noe som resulterer i en form som ser ut som 5 små femkanter limt til en stor. En variant av denne fraktalen kan oppnås ved å bruke en sekskant som initiator. Denne fraktalen kalles Davidsstjernen og er ganske lik en sekskantet versjon av Koch Snowflake. Den fraktale dimensjonen til Darer femkanten er ln6/ln (1+g), der g er forholdet mellom lengden på den større siden av trekanten og lengden på den mindre. I dette tilfellet er g det gylne forholdet, så fraktaldimensjonen er omtrent 1,86171596. Fraktal dimensjon av Davidsstjernen ln6/ln3 eller 1.630929754. |
|
HILBERT KURVE |
|
Sammenlign for eksempel bildene av Mandelbrot-settet vist her, hvorav det ene ble oppnådd ved å forstørre et bestemt område av det andre. Som du kan se, er de absolutt ikke identiske, selv om vi på begge ser en svart sirkel, hvorfra flammende tentakler strekker seg i forskjellige retninger. Disse elementene gjentas på ubestemt tid i Mandelbrot-settet i avtagende proporsjoner. Deterministiske fraktaler er lineære, mens komplekse fraktaler ikke er det. Siden de er ikke-lineære, genereres disse fraktalene av det Mandelbrot kalte ikke-lineære algebraiske ligninger. Et godt eksempel er prosessen Zn+1=ZnI + C, som er ligningen som brukes til å konstruere Mandelbrot og Julia-settet av andre grad. Å løse disse matematiske ligningene involverer komplekse og imaginære tall. Når ligningen tolkes grafisk i det komplekse planet, er resultatet en merkelig figur der rette linjer blir til kurver og selvlikhetseffekter vises, om enn ikke uten deformasjoner, på ulike skalanivåer. Samtidig er hele bildet uforutsigbart og veldig kaotisk. Som du kan se ved å se på bildene, er komplekse fraktaler faktisk veldig komplekse og kan ikke opprettes uten hjelp fra en datamaskin. For å oppnå fargerike resultater må denne datamaskinen ha en kraftig matematisk koprosessor og en høyoppløselig skjerm. I motsetning til deterministiske fraktaler, beregnes ikke komplekse fraktaler i 5-10 iterasjoner. Nesten hvert punkt på en dataskjerm er som en separat fraktal. Under matematisk behandling behandles hvert punkt som en egen tegning. Hvert punkt tilsvarer en bestemt verdi. Ligningen bygges inn for hvert punkt og utføres for eksempel 1000 iterasjoner. For å oppnå et relativt uforvrengt bilde i en tidsperiode som er akseptabel for hjemmedatamaskiner, er det mulig å utføre 250 iterasjoner for ett punkt. De fleste av fraktalene vi ser i dag er vakkert farget. Kanskje fraktale bilder får en så stor estetisk betydning nettopp på grunn av deres fargevalg. Etter at ligningen er beregnet, analyserer datamaskinen resultatene. Hvis resultatene forblir stabile, eller svinger rundt en viss verdi, blir prikken vanligvis svart. Hvis verdien på ett eller annet trinn har en tendens til uendelig, er punktet malt i en annen farge, kanskje blå eller rød. Under denne prosessen tildeler datamaskinen farger til alle bevegelseshastigheter. Vanligvis er prikker i rask bevegelse farget røde, mens langsommere er farget gule, og så videre. Mørke flekker er sannsynligvis de mest stabile. Komplekse fraktaler er forskjellig fra deterministisk i den forstand at de er uendelig komplekse, men samtidig kan genereres av en veldig enkel formel. Deterministiske fraktaler krever ikke formler eller ligninger. Bare ta litt tegnepapir og du kan bygge en Sierpinski-sikt opp til 3 eller 4 iterasjoner uten problemer. Prøv dette med massevis av Julia! Det er lettere å måle lengden på Englands kystlinje! MANDELBROT SETT
Mandelbrot- og Julia-sett er sannsynligvis de to vanligste blant komplekse fraktaler. De finnes i mange vitenskapelige tidsskrifter, bokomslag, postkort og dataskjermsparere. Mandelbrot-settet, som ble konstruert av Benoit Mandelbrot, er sannsynligvis den første assosiasjonen folk har når de hører ordet fraktal. Denne fraktalen, som ligner en kardemaskin med flammende trelignende og sirkulære områder festet til den, er generert av den enkle formelen Zn+1=Zna+C, der Z og C er komplekse tall og a er et positivt tall. Mandelbrot-settet, som oftest kan sees, er Mandelbrot-settet av 2. grad, det vil si a = 2. Det faktum at Mandelbrot-settet ikke bare er Zn+1=ZnІ+C, men en fraktal, hvis indikator i formelen kan være et hvilket som helst positivt tall, har villedet mange. På denne siden ser du et eksempel på Mandelbrot-settet for ulike verdier av eksponenten a. Prosessen Z=Z*tg (Z+C) er også populær. Ved å inkludere tangentfunksjonen blir resultatet et Mandelbrot-sett omgitt av et område som ligner et eple. Ved bruk av cosinusfunksjonen oppnås luftbobleeffekter. Kort sagt, det er et uendelig antall måter å konfigurere Mandelbrot-settet til å produsere forskjellige vakre bilder. MYE JULIA Overraskende nok er Julia-settene dannet etter samme formel som Mandelbrot-settet. Julia-settet ble oppfunnet av den franske matematikeren Gaston Julia, som settet ble oppkalt etter. Det første spørsmålet som dukker opp etter et visuelt bekjentskap med Mandelbrot- og Julia-settene er "hvis begge fraktaler er generert i henhold til samme formel, hvorfor er de så forskjellige?" Se først på bildene av Julia-settet. Merkelig nok finnes det forskjellige typer Julia-sett. Når du tegner en fraktal med forskjellige utgangspunkt (for å starte iterasjonsprosessen), genereres forskjellige bilder. Dette gjelder kun Julia-settet. Selv om det ikke kan sees på bildet, er en Mandelbrot-fraktal faktisk mange Julia-fraktaler koblet sammen. Hvert punkt (eller koordinat) i Mandelbrot-settet tilsvarer en Julia-fraktal. Julia-sett kan genereres ved å bruke disse punktene som startverdier i ligningen Z=ZI+C. Men dette betyr ikke at hvis du velger et punkt på Mandelbrot-fraktalen og forstørrer det, kan du få Julia-fraktalen. Disse to punktene er identiske, men bare i matematisk forstand. Hvis du tar dette punktet og beregner det ved hjelp av denne formelen, kan du få Julia-fraktalen, som tilsvarer et visst punkt i Mandelbrot-fraktalen. |
