Definisjon av lineær ligning med én variabel eksempler. Løse enkle lineære ligninger. Løse virkelige eksempler på enkle lineære ligninger

I tidligere leksjoner ble vi kjent med uttrykk, og lærte også å forenkle og beregne dem. Nå går vi videre til noe mer komplekst og interessant, nemlig ligninger.

Ligningen og dens røtter

Likheter som inneholder variabel(er) kalles ligninger. Løs ligningen , betyr å finne verdien av variabelen der likheten vil være sann. Verdien av variabelen kalles roten til ligningen .

Ligninger kan ha én rot, flere eller ingen i det hele tatt.

Ved løsning av ligninger brukes følgende egenskaper:

• Hvis du flytter et ledd i en likning fra en del av likningen til en annen, og endrer tegnet til det motsatte, vil du få en likning tilsvarende den gitte.
• Hvis begge sider av en ligning multipliseres eller divideres med samme tall, får du en ligning tilsvarende den gitte.

Eksempel nr. 1Hvilke av tallene: -2, -1, 0, 2, 3 er røttene til ligningen:

For å løse denne oppgaven trenger du ganske enkelt å erstatte hvert av tallene for variabelen x en etter en og velge de tallene som likheten anses som sann.

Ved «x= -2»:

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\(4=4\) - likheten er sann, noe som betyr at (-2) er roten til ligningen vår

Ved "x= -1"

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7\) - likheten er falsk, derfor er (-1) ikke roten til ligningen

\(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10\) - likheten er falsk, så 0 er ikke roten til ligningen

\(2^2=10-3 \cdot 2\)

\(4=4\) - likheten er sann, noe som betyr at 2 er roten til ligningen vår

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1\) - likheten er falsk, så 3 er ikke roten til ligningen

Svar: fra tallene som presenteres, er røttene til ligningen \(x^2=10-3x\) tallene -2 og 2.

Lineær ligning med én variabel er likninger av formen ax = b, der x er en variabel, og a og b er noen tall.

Finnes et stort nummer av typer ligninger, men å løse mange av dem kommer ned til å løse lineære ligninger, så kunnskap om dette emnet er obligatorisk for videre opplæring!

Eksempel nr. 2 Løs ligningen: 4(x+7) = 3-x

For å løse denne ligningen må du først og fremst kvitte deg med parentesen, og for å gjøre dette, multipliser hvert av leddene i parentesen med 4, vi får:

4x + 28 = 3 - x

Nå må vi flytte alle verdiene fra "x" til den ene siden, og alt annet til den andre siden (for ikke å glemme å endre tegnet til det motsatte), får vi:

4x + x = 3 - 28

Trekk nå verdien fra venstre og høyre:

For å finne den ukjente faktoren (x), må du dele produktet (25) med den kjente faktoren (5):

Svar x = -5

Hvis du tviler på svaret, kan du sjekke ved å erstatte den resulterende verdien i ligningen vår i stedet for x:

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - ligningen er løst riktig!

La oss nå løse noe mer komplisert:

Eksempel nr. 3 Finn røttene til ligningen: \((y+4)-(y-4)=6y\)

Først av alt, la oss også bli kvitt parentesene:

Vi ser umiddelbart y og -y på venstre side, noe som betyr at vi ganske enkelt kan krysse dem ut, og ganske enkelt legge til de resulterende tallene og skrive uttrykket:

Nå kan du flytte verdiene med "y" til venstre, og verdiene med tall til høyre. Men dette er ikke nødvendig, fordi det spiller ingen rolle hvilken side variablene er på, det viktigste er at de er uten tall, noe som betyr at vi ikke vil overføre noe. Men for de som ikke forstår, vil vi gjøre som regelen sier og dele begge deler med (-1), som egenskapen sier:

For å finne den ukjente faktoren, må du dele produktet med den kjente faktoren:

\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3) = 1\frac(1)(3) \)

Svar: y = \(1\frac(1)(3)\)

Du kan også sjekke svaret, men gjør det selv.

Eksempel nr. 4\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Nå skal jeg bare løse det, uten forklaring, og du ser på fremdriften til løsningen og den riktige notasjonen for å løse likningene:

\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

\(0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6\)

\(0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6\)

\(x=\frac(7.8)(-5.2)=\frac(3)(-2) =-1.5\)

Svar: x = -1,5

Hvis noe ikke er klart under løsningen, skriv i kommentarfeltet.

Løse problemer ved hjelp av ligninger

Når du vet hva ligninger er og lærer å beregne dem, gir du deg også tilgang til å løse mange problemer der ligninger brukes til løsning.

Jeg vil ikke gå inn i teorien, det er bedre å vise alt på en gang med eksempler

Eksempel nr. 5 Det var 2 ganger færre epler i kurven enn i esken. Etter at 10 epler ble overført fra kurven til boksen, var det 5 ganger flere epler i boksen enn i kurven. Hvor mange epler var det i kurven og hvor mange var det i esken?

Først av alt må vi bestemme hva vi vil akseptere som "x", i denne oppgaven kan vi godta både bokser og kurver, men jeg tar eplene i kurven.

Så la det være x epler i kurven, siden det var dobbelt så mange epler i esken, så la oss ta dette som 2x. Etter at eplene ble overført fra kurven til boksen, ble antallet epler i kurven: x - 10, som betyr at det var - (2x + 10) epler i esken.

Nå kan vi lage ligningen:

5(x-10) - det er 5 ganger flere epler i esken enn i kurven.

La oss sette likhetstegn mellom den første verdien og den andre:

2x+10 = 5(x-10) og løs:

2x + 10 = 5x - 50

2x - 5x = -50 - 10

x = -60/-3 = 20 (epler) - i kurven

Når vi nå vet hvor mange epler som var i kurven, la oss finne hvor mange epler som var i esken - siden det var dobbelt så mange, multipliserer vi ganske enkelt resultatet med 2:

2*20 = 40 (epler) - i en boks

Svar: det er 40 epler i en boks, og 20 epler i en kurv.

Jeg forstår at mange av dere kanskje ikke helt har forstått hvordan du løser problemer, men jeg forsikrer deg om at vi kommer tilbake til dette emnet mer enn en gang i leksjonene våre, men i mellomtiden, hvis du fortsatt har spørsmål, spør dem i kommentarene .

Til slutt, noen flere eksempler på å løse ligninger

Eksempel nr. 6\(2x - 0,7x = 0\)

Eksempel nr. 7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

Eksempel nr. 8\(6y-(y-1) = 4+5y\)

\(6y-y+1=4+5y\)

\(6y-y-5y=4-1\)

\(0y=3 \) - det er ingen røtter, fordi Du kan ikke dele på null!

Takk alle sammen for oppmerksomheten. Hvis noe er uklart, spør i kommentarfeltet.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For å utføre beregninger må du aktivere ActiveX-kontroller!

En ligning med en ukjent, som, etter å ha åpnet parentesene og tatt med lignende termer, tar formen

ax + b = 0, hvor a og b er vilkårlige tall, kalles lineær ligning med en ukjent. I dag skal vi finne ut hvordan vi løser disse lineære ligningene.

For eksempel, alle ligninger:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineær.

Verdien av det ukjente som gjør ligningen til en ekte likhet kalles beslutning eller roten til ligningen .

For eksempel, hvis vi i ligningen 3x + 7 = 13 i stedet for den ukjente x erstatter tallet 2, får vi riktig likhet 3 2 +7 = 13. Dette betyr at verdien x = 2 er løsningen eller roten av ligningen.

Og verdien x = 3 gjør ikke ligningen 3x + 7 = 13 til en sann likhet, siden 3 2 +7 ≠ 13. Dette betyr at verdien x = 3 ikke er en løsning eller en rot av ligningen.

Å løse eventuelle lineære ligninger reduseres til å løse formens ligninger

ax + b = 0.

La oss flytte frileddet fra venstre side av ligningen til høyre, endre tegnet foran b til det motsatte, vi får

Hvis a ≠ 0, så er x = ‒ b/a .

Eksempel 1. Løs ligningen 3x + 2 =11.

La oss flytte 2 fra venstre side av ligningen til høyre, endre tegnet foran 2 til det motsatte, vi får
3x = 11 – 2.

La oss gjøre subtraksjonen, da
3x = 9.

For å finne x må du dele produktet med en kjent faktor, altså
x = 9:3.

Dette betyr at verdien x = 3 er løsningen eller roten av ligningen.

Svar: x = 3.

Hvis a = 0 og b = 0, da får vi likningen 0x = 0. Denne likningen har uendelig mange løsninger, siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med 0 får vi 0, men b er også lik 0. Løsningen til denne likningen er et hvilket som helst tall.

Eksempel 2. Løs ligningen 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

La oss utvide parentesene:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Her er noen lignende termer:
0x = 0.

Svar: x - et hvilket som helst tall.

Hvis a = 0 og b ≠ 0, da får vi ligningen 0x = - b. Denne ligningen har ingen løsninger, siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med 0 får vi 0, men b ≠ 0.

Eksempel 3. Løs ligningen x + 8 = x + 5.

La oss gruppere termer som inneholder ukjente på venstre side, og gratis termer på høyre side:
x – x = 5 – 8.

Her er noen lignende termer:
0х = ‒ 3.

Svar: ingen løsninger.

På Figur 1 viser et diagram for å løse en lineær ligning

La oss lage et generelt skjema for å løse likninger med én variabel. La oss vurdere løsningen til eksempel 4.

Eksempel 4. Anta at vi må løse ligningen

1) Multipliser alle ledd i ligningen med det minste felles multiplum av nevnerne, lik 12.

2) Etter reduksjon får vi
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) For å skille vilkår som inneholder ukjente og gratis vilkår, åpne parentesene:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) La oss gruppere i den ene delen termene som inneholder ukjente, og i den andre - gratis termer:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) La oss presentere lignende termer:
- 22х = - 154.

6) Del med – 22, vi får
x = 7.

Som du kan se, er roten av ligningen syv.

Generelt slik ligninger kan løses ved hjelp av følgende skjema:

a) bringe ligningen til sin heltallsform;

b) åpne brakettene;

c) gruppere begrepene som inneholder det ukjente i den ene delen av ligningen, og de frie begrepene i den andre;

d) ta med lignende medlemmer;

e) løs en ligning av formen aх = b, som ble oppnådd etter å ha brakt lignende ledd.

Denne ordningen er imidlertid ikke nødvendig for hver ligning. Når du løser mange enklere ligninger, må du ikke starte fra den første, men fra den andre ( Eksempel. 2), tredje ( Eksempel. 1. 3) og til og med fra det femte trinnet, som i eksempel 5.

Eksempel 5. Løs ligningen 2x = 1/4.

Finn den ukjente x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

La oss se på å løse noen lineære ligninger funnet i hovedtilstandseksamenen.

Eksempel 6. Løs ligningen 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Svar: - 0,125

Eksempel 7. Løs ligningen – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Svar: 2.3

Eksempel 8. Løs ligningen

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Eksempel 9. Finn f(6) hvis f (x + 2) = 3 7-er

Løsning

Siden vi trenger å finne f(6), og vi vet f (x + 2),
deretter x + 2 = 6.

Vi løser den lineære ligningen x + 2 = 6,
vi får x = 6 – 2, x = 4.

Hvis x = 4 så
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Svar: 27.

Hvis du fortsatt har spørsmål eller ønsker å forstå løsningen av ligninger mer grundig, meld deg på timene mine i SCHEMA. Jeg hjelper deg gjerne!

TutorOnline anbefaler også å se en ny videoleksjon fra vår veileder Olga Alexandrovna, som vil hjelpe deg å forstå både lineære ligninger og andre.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.

Når vi løser lineære ligninger, streber vi etter å finne roten, det vil si verdien for variabelen som skal gjøre ligningen om til en korrekt likhet.

For å finne roten til ligningen trenger du ekvivalente transformasjoner bringer ligningen gitt til oss til formen

\(x=[tall]\)

Dette tallet vil være roten.

Det vil si at vi transformerer likningen, og gjør den enklere for hvert trinn, til vi reduserer den til en helt primitiv likning “x = tall”, der roten er åpenbar. De mest brukte transformasjonene når man løser lineære ligninger er følgende:

For eksempel: legg til \(5\) på begge sider av ligningen \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Vær oppmerksom på at vi kan få samme resultat raskere ved ganske enkelt å skrive de fem på den andre siden av ligningen og endre fortegnet. Egentlig er det akkurat slik skolen «overføre gjennom like med skifte av fortegn til det motsatte» gjøres.

2. Multiplisere eller dividere begge sider av en ligning med samme tall eller uttrykk.

For eksempel: del ligningen \(-2x=8\) med minus to

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Vanligvis utføres dette trinnet helt på slutten, når ligningen allerede er redusert til formen \(ax=b\), og vi deler med \(a\) for å fjerne den fra venstre.

3. Bruke egenskapene og lovene til matematikk: åpne parenteser, bringe lignende termer, redusere brøker osv.

Legg til \(2x\) venstre og høyre

Trekk fra \(24\) fra begge sider av ligningen

Vi presenterer lignende termer igjen

Nå deler vi ligningen med \(-3\), og fjerner dermed den fremre X-en på venstre side.

Svar : \(7\)

Svaret er funnet. La oss imidlertid sjekke det ut. Hvis syv virkelig er en rot, bør det å erstatte den i stedet for X i den opprinnelige ligningen resultere i riktig likhet - samme tall venstre og høyre. La oss prøve.

Undersøkelse:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Det ordnet seg. Dette betyr at syv faktisk er roten til den opprinnelige lineære ligningen.

Ikke vær lat med å sjekke svarene du fant ved substitusjon, spesielt hvis du løser en ligning på en test eller eksamen.

Spørsmålet gjenstår - hvordan bestemme hva du skal gjøre med ligningen ved neste trinn? Hvordan nøyaktig konvertere det? dele med noe? Eller trekke fra? Og hva skal jeg trekke fra? dele med hva?

Svaret er enkelt:

Målet ditt er å bringe ligningen til formen \(x=[tall]\), det vil si at til venstre er x uten koeffisienter og tall, og til høyre er det bare et tall uten variabler. Se derfor på hva som stopper deg og gjør det motsatte av hva den forstyrrende komponenten gjør.

For bedre å forstå dette, la oss se på løsningen av den lineære ligningen \(x+3=13-4x\) trinn for trinn.

La oss tenke: hva gitt ligning forskjellig fra \(x=[tall]\)? Hva er det som stopper oss? Hva er galt?

Vel, for det første forstyrrer de tre, siden det til venstre bare skal være en enslig X, uten tall. Hva "gjør" troikaen? La til til X. Så for å fjerne det - trekke fra de samme tre. Men trekker vi tre fra venstre, må vi trekke det fra høyre slik at likestillingen ikke blir krenket.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Fint. Hva er det som stopper deg nå? \(4x\) til høyre, fordi det bare skal være tall der. \(4x\) trukket fra- vi fjerner ved å legge til.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Nå presenterer vi lignende termer til venstre og høyre.

Den er nesten klar. Det gjenstår bare å fjerne de fem til venstre. Hva gjør hun"? Multipliserer seg på x. Så la oss fjerne det inndeling.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Løsningen er fullført, roten til ligningen er to. Du kan sjekke ved substitusjon.

Legg merke til det oftest er det bare én rot i lineære ligninger. Det kan imidlertid forekomme to spesielle tilfeller.

Spesialtilfelle 1 - det er ingen røtter i en lineær ligning.

Eksempel . Løs ligningen \(3x-1=2(x+3)+x\)

Løsning :

Svar : ingen røtter.

Faktisk var det faktum at vi kommer til et slikt resultat synlig tidligere, selv da vi mottok \(3x-1=3x+6\). Tenk på det: hvordan kan \(3x\) som vi trakk fra \(1\), og \(3x\) som vi la til \(6\) være like? Åpenbart, ingen måte, fordi de gjorde det samme forskjellige handlinger! Det er klart at resultatene vil variere.

Spesialtilfelle 2 – en lineær ligning har et uendelig antall røtter.

Eksempel . Løs lineær ligning \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Løsning :

Svar : hvilket som helst tall.

Dette var forresten merkbart enda tidligere, på stadiet: \(8x+12=8x+12\). Venstre og høyre er faktisk de samme uttrykkene. Uansett hvilken X du erstatter, vil det være det samme tallet både der og der.

Mer komplekse lineære ligninger.

Den opprinnelige ligningen ser ikke alltid umiddelbart ut som lineær, noen ganger er den "maskert" som andre, mer komplekse ligninger. I transformasjonsprosessen forsvinner imidlertid forkledningen.

Eksempel . Finn roten til ligningen \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Løsning :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Det ser ut til at det er en x-kvadrat her - dette er ikke en lineær ligning! Men ikke forhast deg. La oss søke
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Hvorfor er utvidelsesresultatet \((x-4)^(2)\) i parentes, men resultatet \((3+x)^(2)\) er det ikke? For det er et minus foran den første ruten, som vil endre alle skiltene. Og for ikke å glemme dette tar vi resultatet i parentes, som vi nå åpner.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Vi presenterer lignende termer
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Vi presenterer lignende igjen.
		Som dette. Det viser seg at den opprinnelige ligningen er ganske lineær, og X-kvadraten er ikke noe mer enn en skjerm for å forvirre oss. :) Vi fullfører løsningen ved å dele ligningen med \(2\), og vi får svaret.

Svar : \(x=5\)

Eksempel . Løs lineær ligning \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6) )\)

Løsning :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Ligningen ser ikke lineær ut, det er en slags brøk... La oss imidlertid kvitte oss med nevnerne ved å multiplisere begge sider av ligningen med fellesnevner alle - seks
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Utvid braketten til venstre
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		La oss nå redusere nevnerne
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Nå ser den ut som en vanlig lineær! La oss fullføre det.
		Ved å oversette gjennom lik samler vi X-er til høyre og tall til venstre
		Vel, ved å dele høyre og venstre side med \(-4\), får vi svaret

Svar : \(x=-1,25\)

I denne artikkelen vil vi vurdere prinsippet for å løse slike ligninger som lineære ligninger. La oss skrive ned definisjonen av disse ligningene og sette den generelle formen. Vi skal analysere alle betingelsene for å finne løsninger på lineære ligninger, ved å bruke blant annet praktiske eksempler.

Vær oppmerksom på at materialet nedenfor inneholder informasjon om lineære ligninger med én variabel. Lineære ligninger i to variable er omtalt i en egen artikkel.

Hva er en lineær ligning

Definisjon 1

Lineær ligning er en ligning skrevet som følger:
a x = b, Hvor x– variabel, en Og b- noen tall.

Denne formuleringen ble brukt i algebra-læreboken (7. klasse) av Yu.N.

Eksempel 1

Eksempler på lineære ligninger kan være:

3 x = 11(ligning med én variabel x på a = 5 Og b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( lineær ligning med variabel y, Hvor a = - 3, 1 Og b = 0);

x = − 4 Og − x = 5,37(lineære ligninger, hvor tallet en skrevet eksplisitt og lik henholdsvis 1 og - 1. For den første ligningen b = -4; for det andre - b = 5,37) og så videre.

I forskjellige undervisningsmateriell kan møtes ulike definisjoner. For eksempel, Vilenkin N.Ya. Lineære ligninger inkluderer også de ligningene som kan transformeres til formen a x = b ved å overføre vilkår fra en del til en annen med fortegnsendring og bringe lignende vilkår. Hvis vi følger denne tolkningen, ligningen 5 x = 2 x + 6 – også lineær.

Men algebra-læreboken (7. klasse) av Mordkovich A.G. gir følgende beskrivelse:

Definisjon 2

En lineær ligning i en variabel x er en ligning av formen a x + b = 0, Hvor en Og b– noen tall kalt koeffisienter til en lineær ligning.

Eksempel 2

Et eksempel på lineære ligninger av denne typen kan være:

3 x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Men det er også eksempler på lineære ligninger som vi allerede har brukt ovenfor: av formen a x = b, For eksempel, 6 x = 35.

Vi vil umiddelbart være enige om at i denne artikkelen ved en lineær ligning med én variabel vil vi forstå ligningen skrevet a x + b = 0, Hvor x– variabel; a, b - koeffisienter. Vi ser denne formen for en lineær ligning som den mest berettigede, siden lineære ligninger er algebraiske ligninger av første grad. Og de andre ligningene angitt ovenfor, og ligningene gitt av ekvivalente transformasjoner i formen a x + b = 0, definerer vi som ligninger som reduserer til lineære ligninger.

Med denne tilnærmingen er ligningen 5 x + 8 = 0 lineær, og 5 x = − 8- en ligning som reduseres til en lineær.

Prinsipp for å løse lineære ligninger

La oss se på hvordan man bestemmer om en gitt lineær ligning vil ha røtter og i så fall hvor mange og hvordan man bestemmer dem.

Definisjon 3

Faktumet om tilstedeværelsen av røttene til en lineær ligning bestemmes av verdiene til koeffisientene en Og b. La oss skrive ned disse betingelsene:

• på a ≠ 0 lineær ligning har en enkelt rot x = - b a ;
• på a = 0 Og b ≠ 0 en lineær ligning har ingen røtter;
• på a = 0 Og b = 0 en lineær ligning har uendelig mange røtter. I hovedsak i i dette tilfellet et hvilket som helst tall kan bli roten til en lineær ligning.

La oss gi en forklaring. Vi vet at i prosessen med å løse en likning er det mulig å transformere en gitt likning til en som er ekvivalent med den, noe som betyr at den har samme røtter som den opprinnelige likningen, eller også har ingen røtter. Vi kan gjøre følgende ekvivalente transformasjoner:

• overføre et begrep fra en del til en annen, endre tegnet til det motsatte;
• multipliser eller del begge sider av en ligning med det samme tallet som ikke er null.

Dermed transformerer vi den lineære ligningen a x + b = 0, flytter begrepet b fra venstre til høyre side med fortegnsendring. Vi får: a · x = − b .

Så vi deler begge sider av ligningen med et tall som ikke er null EN, som resulterer i en likhet på formen x = - b a . Det vil si når a ≠ 0, opprinnelige ligningen a x + b = 0 er ekvivalent med likheten x = - b a, der roten - b a er åpenbar.

Ved motsetning er det mulig å demonstrere at roten som er funnet er den eneste. La oss betegne den funnet roten - b a as x 1. La oss anta at det er en annen rot av den lineære ligningen med betegnelsen x 2. Og selvfølgelig: x 2 ≠ x 1, og dette er i sin tur, basert på definisjonen av like tall gjennom forskjellen, ekvivalent med betingelsen x 1 − x 2 ≠ 0 . Med hensyn til ovenstående kan vi lage følgende likheter ved å erstatte røttene:
a x 1 + b = 0 og a x 2 + b = 0.
Egenskapen til numeriske likheter gjør det mulig å utføre termin-for-term subtraksjon av deler av likheter:

a x 1 + b − (a x 2 + b) = 0 − 0, herfra: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 og videre a · (x 1 − x 2) = 0 . Likestilling a · (x 1 − x 2) = 0 er feil fordi det tidligere ble spesifisert at a ≠ 0 Og x 1 − x 2 ≠ 0 . Den resulterende motsigelsen tjener som bevis på at når a ≠ 0 lineær ligning a x + b = 0 har bare én rot.

La oss begrunne ytterligere to klausuler i betingelsene som inneholder a = 0.

Når a = 0 lineær ligning a x + b = 0 vil bli skrevet som 0 x + b = 0. Egenskapen ved å multiplisere et tall med null gir oss rett til å hevde at uansett tall tas som x, erstatte det med likhet 0 x + b = 0, får vi b = 0 . Likheten er gyldig for b = 0; i andre tilfeller, når b ≠ 0, likhet blir falsk.

Så når a = 0 og b = 0 , et hvilket som helst tall kan bli roten til en lineær ligning a x + b = 0, siden når disse betingelsene er oppfylt, erstatter i stedet x et hvilket som helst tall, får vi riktig numerisk likhet 0 = 0 . Når a = 0 Og b ≠ 0 lineær ligning a x + b = 0 vil ikke ha røtter i det hele tatt, siden når de spesifiserte betingelsene er oppfylt, erstattes i stedet x et hvilket som helst tall, får vi en feil numerisk likhet b = 0.

Alle de ovennevnte betraktningene gir oss muligheten til å skrive ned en algoritme som gjør det mulig å finne en løsning på en hvilken som helst lineær ligning:

• etter type post bestemmer vi verdiene til koeffisientene en Og b og analysere dem;
• på a = 0 Og b = 0 ligningen vil ha uendelig mange røtter, dvs. et hvilket som helst tall vil bli roten til den gitte ligningen;
• på a = 0 Og b ≠ 0
• på en, forskjellig fra null, begynner vi å søke etter den eneste roten til den opprinnelige lineære ligningen:

1. la oss flytte koeffisienten b til høyre side med en endring av fortegn til det motsatte, og bringer den lineære ligningen til formen a · x = − b ;
2. del begge sider av den resulterende likheten med tallet en, som vil gi oss den ønskede roten av den gitte ligningen: x = - b a.

Faktisk er den beskrevne sekvensen av handlinger svaret på spørsmålet om hvordan man finner en løsning på en lineær ligning.

Til slutt, la oss avklare at formlikningene a x = b løses ved hjelp av en lignende algoritme med den eneste forskjellen at tallet b i en slik notasjon allerede er overført til den nødvendige delen av ligningen, og med a ≠ 0 du kan umiddelbart dele delene av en ligning med et tall en.

Altså å finne en løsning på ligningen a x = b, vi bruker følgende algoritme:

• på a = 0 Og b = 0 ligningen vil ha uendelig mange røtter, dvs. et hvilket som helst tall kan bli dets rot;
• på a = 0 Og b ≠ 0 den gitte ligningen vil ikke ha noen røtter;
• på en, ikke lik null, er begge sider av ligningen delt på tallet en, som gjør det mulig å finne den eneste roten som er lik b a.

Eksempler på løsning av lineære ligninger

Eksempel 3

Lineær ligning må løses 0 x − 0 = 0.

Løsning

Ved å skrive den gitte ligningen ser vi det a = 0 Og b = − 0(eller b = 0, som er det samme). Dermed kan en gitt ligning ha et uendelig antall røtter eller et hvilket som helst tall.

Svar: x– et hvilket som helst tall.

Eksempel 4

Det er nødvendig å bestemme om ligningen har røtter 0 x + 2, 7 = 0.

Løsning

Fra posten bestemmer vi at a = 0, b = 2, 7. Dermed vil den gitte ligningen ikke ha noen røtter.

Svar: den opprinnelige lineære ligningen har ingen røtter.

Eksempel 5

Gitt en lineær ligning 0,3 x − 0,027 = 0. Det må løses.

Løsning

Ved å skrive ligningen bestemmer vi at a = 0, 3; b = - 0,027, som lar oss påstå at den gitte ligningen har en enkelt rot.

Etter algoritmen flytter vi b til høyre side av ligningen, og endrer tegnet, får vi: 0,3 x = 0,027. Deretter deler vi begge sider av den resulterende likheten med a = 0, 3, deretter: x = 0, 027 0, 3.

La oss dele desimalbrøker:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Resultatet som oppnås er roten til den gitte ligningen.

La oss kort skrive løsningen slik:

0,3 x - 0,027 = 0,0,3 x = 0,027, x = 0,027 0,3, x = 0,09.

Svar: x = 0,09.

For klarhets skyld presenterer vi løsningen til skriveligningen a x = b.

Eksempel N

De gitte ligningene er: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . De må løses.

Løsning

Alle gitte ligninger poster samsvarer a x = b. La oss se på det en etter en.

I ligningen 0 x = 0, a = 0 og b = 0, som betyr: et hvilket som helst tall kan være roten til denne ligningen.

I den andre ligningen 0 x = − 9: a = 0 og b = − 9, dermed vil denne ligningen ikke ha noen røtter.

Basert på formen til den siste ligningen - 3 8 · x = - 3 3 4, skriver vi koeffisientene: a = - 3 8, b = - 3 3 4, dvs. ligningen har en enkelt rot. La oss finne ham. La oss dele begge sider av ligningen med a, noe som resulterer i: x = - 3 3 4 - 3 8. Forenkle brøken ved å bruke divisjonsregelen negative tall etterfulgt av oversettelse blandet tall V vanlig brøk og dele vanlige brøker:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

La oss kort skrive løsningen slik:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

Svar: 1) x– et hvilket som helst tall, 2) ligningen har ingen røtter, 3) x = 10.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Ligningen er en likhet der en eller flere variabler er tilstede.
Vi vil vurdere tilfellet når ligningen har én variabel, det vil si ett ukjent tall. I hovedsak er en ligning en type matematisk modell. Derfor trenger vi først og fremst ligninger for å løse problemer.

La oss huske hvordan du komponerer matematisk modellå løse problemet.
For eksempel i det nye studieår antall elever ved skole nr. 5 doblet seg. Etter at 20 elever flyttet til en annen skole, begynte i alt 720 elever å studere ved skole nr. 5. Hvor mange elever var det i fjor?

Vi må uttrykke det som sies i tilstanden i matematisk språk. La antall elever i fjor være X. Deretter, i henhold til forholdene for problemet,
2X – 20 = 720. Vi har en matematisk modell som representerer ligning med én variabel. Mer presist er det en ligning av første grad med én variabel. Alt som gjenstår er å finne roten.

Hva er roten til en ligning?

Verdien av variabelen der ligningen vår blir til en sann likhet kalles roten til ligningen. Det er ligninger som har mange røtter. For eksempel, i ligningen 2*X = (5-3)*X, er enhver verdi av X en rot. Og ligningen X = X +5 har ingen røtter i det hele tatt, siden uansett hvilken verdi vi erstatter med X, vil vi ikke få riktig likhet. Å løse en ligning betyr å finne alle dens røtter, eller å fastslå at den ikke har noen røtter. Så for å svare på spørsmålet vårt, må vi løse ligningen 2X – 20 = 720.

Hvordan løse likninger med én variabel?

Først, la oss skrive ned grunnleggende definisjoner. Hver ligning har en høyre og venstre side. I vårt tilfelle er (2X – 20) venstre side av ligningen (den er til venstre for likhetstegnet), og 720 er høyre side av ligningen. Ledene på høyre og venstre side av ligningen kalles termer av ligningen. Våre ligningsledd er 2X, -20 og 720.

La oss umiddelbart snakke om 2 egenskaper ved ligninger:

1. Ethvert ledd i ligningen kan overføres fra høyre side av ligningen til venstre, og omvendt. I dette tilfellet er det nødvendig å endre tegnet til denne termen av ligningen til det motsatte. Det vil si at poster på formen 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X er ekvivalente.
2. Begge sider av ligningen kan multipliseres eller divideres med samme tall. Dette tallet må ikke være null. Det vil si at poster med formen 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 også er ekvivalente.

La oss bruke disse egenskapene til å løse ligningen vår.

La oss flytte -20 til høyre side med motsatt fortegn. Vi får:

2X = 720 + 20. La oss legge til det vi har på høyre side. Vi får at 2X = 740.

Del nå venstre og høyre side av ligningen med 2.

2X:2 = 740:2 eller X = 370. Vi fant roten til ligningen vår og fant samtidig svaret på spørsmålet om problemet vårt. I fjor var det 370 elever ved skole nr. 5.

La oss sjekke om roten vår virkelig gjør ligningen til en ekte likhet. La oss erstatte tallet 370 i stedet for X i ligningen 2X – 20 = 720.

2*370-20 = 720.

Det er riktig.

Så for å løse en likning med én variabel, må den reduseres til en såkalt lineær likning på formen ax = b, der a og b er noen tall. Del deretter venstre og høyre side med tallet a. Vi får at x = b:a.

Hva vil det si å redusere en likning til en lineær likning?

Tenk på denne ligningen:

5X - 2X + 10 = 59 - 7X +3X.

Dette er også en likning med én ukjent variabel X. Vår oppgave er å redusere denne likningen til formen ax = b.

For å gjøre dette samler vi først alle leddene som har X som faktor på venstre side av ligningen, og de resterende leddene på høyre side. Termer som har samme bokstav som faktor kalles lignende termer.

5X – 2X + 7X – 3X = 59 – 10.

I henhold til den distributive egenskapen til multiplikasjon kan vi ta den samme faktoren ut av parentes og legge til koeffisientene (multiplikatorer for variabelen x). Denne prosessen kalles også reduksjon av like termer.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Vi har redusert ligningen til formen ax = b, hvor a = 7, b = 49.

Og som vi skrev ovenfor, er roten til en ligning av formen ax = b x = b:a.

Det vil si X = 49:7 = 7.

Algoritme for å finne røttene til en ligning med én variabel.

1. Samle lignende ledd på venstre side av ligningen, og de resterende leddene på høyre side av ligningen.
2. Gi lignende vilkår.
3. Reduser ligningen til formen ax = b.
4. Finn røttene ved å bruke formelen x = b:a.

Merk. I denne artikkelen vurderte vi ikke de tilfellene når en variabel heves til noen potens. Vi vurderte med andre ord ligninger av første grad med én variabel.