Null og negative tall sammenligning. Negative tall. Egenskaper til negative tall
Hvis vi legger til tallet 0 til venstre for en serie med naturlige tall, får vi serie positive heltall:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Negative heltall
La oss se på et lite eksempel. Bildet til venstre viser et termometer som viser en temperatur på 7°C. Hvis temperaturen synker med 4°, vil termometeret vise 3° varme. En reduksjon i temperatur tilsvarer virkningen av subtraksjon:
Hvis temperaturen synker med 7°, vil termometeret vise 0°. En reduksjon i temperatur tilsvarer virkningen av subtraksjon:
Hvis temperaturen synker med 8°, vil termometeret vise -1° (1° under null). Men resultatet av å subtrahere 7 - 8 kan ikke skrives med naturlige tall og null.
La oss illustrere subtraksjon ved å bruke en serie positive heltall:
1) Fra tallet 7, tell 4 tall til venstre og få 3:
2) Fra tallet 7, tell 7 tall til venstre og få 0:
Det er umulig å telle 8 tall fra tallet 7 til venstre i en serie med positive heltall. For å gjøre handlinger 7 - 8 gjennomførbare utvider vi utvalget av positive heltall. For å gjøre dette, til venstre for null, skriver vi (fra høyre til venstre) i rekkefølge alle de naturlige tallene, og legger til hvert av dem tegnet - , som indikerer at dette tallet er til venstre for null.
Oppføringene -1, -2, -3, ... les minus 1, minus 2, minus 3, osv.:
5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Den resulterende tallserien kalles serie med heltall. Prikkene til venstre og høyre i denne oppføringen betyr at serien kan fortsettes i det uendelige til høyre og venstre.
Til høyre for tallet 0 i denne raden er tall kalt naturlig eller positive heltall(kort - positivt).
Til venstre for tallet 0 i denne raden er tall kalt heltall negativ(kort - negativ).
Tallet 0 er et heltall, men er verken et positivt eller negativt tall. Den skiller positive og negative tall.
Derfor, serien av heltall består av negative heltall, null og positive heltall.
Heltallssammenligning
Sammenlign to heltall- betyr å finne ut hvilken som er størst, hvilken som er mindre, eller å fastslå at tallene er like.
Du kan sammenligne heltall ved å bruke en rad med heltall, siden tallene i den er ordnet fra minste til største hvis du beveger deg langs raden fra venstre til høyre. Derfor, i en serie med heltall, kan du erstatte komma med et mindre enn-tegn:
5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
Derfor, av to heltall, jo større er tallet som er til høyre i serien, og jo mindre er det som er til venstre, Midler:
1) Ethvert positivt tall er større enn null og større enn ethvert negativt tall:
1 > 0; 15 > -16
2) Ethvert negativt tall mindre enn null:
7 < 0; -357 < 0
3) Av to negative tall er den som er til høyre i rekken av heltall større.
Når du løser likninger og ulikheter, samt problemer med moduler, må du plassere de funne røttene på talllinjen. Som du vet, kan røttene som er funnet være forskjellige. De kan være slik: , eller de kan være slik: , .
Følgelig, hvis tallene ikke er rasjonelle, men irrasjonelle (hvis du har glemt hva de er, se i emnet), eller er komplekse matematiske uttrykk, er det svært problematisk å plassere dem på talllinjen. Dessuten kan du ikke bruke kalkulatorer under eksamen, og omtrentlige beregninger gir ikke 100 % garanti for at ett tall er mindre enn et annet (hva om det er forskjell mellom tallene som sammenlignes?).
Selvfølgelig vet du at positive tall alltid er større enn negative, og at hvis vi forestiller oss en tallakse, så når vi sammenligner, største antall vil være plassert til høyre enn de minste: ; ; etc.
Men er alt alltid så lett? Hvor på tallinjen vi markerer, .
Hvordan kan de sammenlignes med for eksempel et tall? Dette er gnisten...)
La oss først snakke i generelle termer om hvordan og hva vi skal sammenligne.
Viktig: det er lurt å gjøre transformasjoner slik at ulikhetstegnet ikke endres! Det vil si at under transformasjoner er det uønsket å multiplisere med et negativt tall, og det er forbudt kvadrat hvis en av delene er negativ.
Sammenligning av brøker
Så vi må sammenligne to brøker: og.
Det er flere alternativer for hvordan du gjør dette.
Alternativ 1. Reduser brøker til en fellesnevner.
La oss skrive det i form av en vanlig brøk:
- (som du ser, reduserte jeg også teller og nevner).
Nå må vi sammenligne brøker:
Nå kan vi fortsette å sammenligne på to måter. Vi kan:
- bare ta med alt fellesnevner, som presenterer begge brøkene som uekte (telleren er større enn nevneren):
Hvilket tall er høyest? Det stemmer, den med den større telleren, altså den første.
- "la oss forkaste" (tenk at vi har trukket en fra hver brøk, og forholdet mellom brøkene til hverandre har derfor ikke endret seg) og sammenlign brøkene:
Vi bringer dem også til en fellesnevner:
Vi fikk nøyaktig samme resultat som i forrige tilfelle - det første tallet er større enn det andre:
La oss også sjekke om vi trakk fra en riktig? La oss beregne forskjellen i telleren i den første beregningen og den andre:
1)
2)
Så vi så på hvordan man sammenligner brøker, og bringer dem til en fellesnevner. La oss gå videre til en annen metode - å sammenligne brøker, bringe dem til en felles ... teller.
Alternativ 2. Sammenligne brøker ved å redusere til en felles teller.
Ja Ja. Dette er ikke en skrivefeil. Denne metoden læres sjelden til noen på skolen, men veldig ofte er den veldig praktisk. For at du raskt skal forstå essensen, vil jeg stille deg bare ett spørsmål - "i hvilke tilfeller er verdien av en brøk størst?" Selvfølgelig vil du si "når telleren er så stor som mulig og nevneren så liten som mulig."
For eksempel kan du definitivt si at det er sant? Hva om vi trenger å sammenligne følgende brøker: ? Jeg tror du også umiddelbart vil sette skiltet riktig, fordi i det første tilfellet er de delt inn i deler, og i det andre i hele, noe som betyr at i det andre tilfellet viser bitene seg å være veldig små, og følgelig: . Som du kan se, er nevnerne her forskjellige, men tellerne er de samme. Men for å sammenligne disse to brøkene trenger du ikke å se etter en fellesnevner. Skjønt ... finne det og se om sammenligningstegnet fortsatt er feil?
Men skiltet er det samme.
La oss gå tilbake til vår opprinnelige oppgave - sammenlign og... Vi vil sammenligne og... La oss redusere disse brøkene ikke til en fellesnevner, men til en felles teller. For å gjøre dette enkelt teller og nevner gang den første brøken med. Vi får:
Og. Hvilken brøkdel er størst? Det stemmer, den første.
Alternativ 3: Sammenligne brøker ved hjelp av subtraksjon.
Hvordan sammenligne brøker ved hjelp av subtraksjon? Ja, veldig enkelt. Vi trekker en annen fra en brøk. Hvis resultatet er positivt, er den første brøken (minuend) større enn den andre (subtrahend), og hvis den er negativ, så omvendt.
I vårt tilfelle, la oss prøve å trekke den første brøken fra den andre: .
Som du allerede forstår, konverterer vi også til en vanlig brøk og får samme resultat - . Vårt uttrykk har formen:
Deretter vil vi fortsatt måtte ty til reduksjon til en fellesnevner. Spørsmålet er: på den første måten, konvertere brøker til upassende, eller på den andre måten, som om du "fjerner" enheten? Denne handlingen har forresten en fullstendig matematisk begrunnelse. Se:
Jeg liker det andre alternativet bedre, siden det blir mye enklere å multiplisere i telleren når det reduseres til en fellesnevner.
La oss bringe det til en fellesnevner:
Det viktigste her er å ikke bli forvirret om hvilket tall vi trakk fra og hvor. Se nøye på fremdriften til løsningen og ikke forvirre skiltene ved et uhell. Vi trakk det første tallet fra det andre tallet og fikk et negativt svar, så?.. Det stemmer, det første tallet er større enn det andre.
Har det? Prøv å sammenligne brøker:
Stopp, stopp. Ikke skynd deg å bringe til en fellesnevner eller trekke fra. Se: du kan enkelt konvertere det til en desimalbrøk. Hvor lenge blir det? Ikke sant. Hva er mer til slutt?
Dette er et annet alternativ - å sammenligne brøker ved å konvertere til en desimal.
Alternativ 4: Sammenligne brøker ved hjelp av divisjon.
Ja Ja. Og dette er også mulig. Logikken er enkel: når vi deler et større tall med et mindre tall, er svaret vi får et tall større enn én, og hvis vi deler et mindre tall med et større tall, faller svaret på intervallet fra til.
For å huske denne regelen, ta hvilke som helst to primtall for sammenligning, for eksempel, og. Vet du hva mer? La oss nå dele med. Vårt svar er. Følgelig er teorien riktig. Hvis vi deler på, er det vi får mindre enn én, noe som igjen bekrefter at det faktisk er mindre.
La oss prøve å bruke denne regelen på vanlige brøker. La oss sammenligne:
Del den første brøken med den andre:
La oss forkorte etter hvert.
Resultatet som oppnås er mindre, noe som betyr at utbyttet er mindre enn divisor, det vil si:
Vi har sett på alle mulige alternativer for å sammenligne brøker. Hvordan ser du dem 5:
- reduksjon til en fellesnevner;
- reduksjon til en felles teller;
- reduksjon til form av en desimalbrøk;
- subtraksjon;
- inndeling.
Klar til å trene? Sammenlign brøker på den optimale måten:
La oss sammenligne svarene:
- (- konverter til desimal)
- (del en brøk med en annen og reduser med teller og nevner)
- (velg hele delen og sammenlign brøker basert på prinsippet om samme teller)
- (del en brøk med en annen og reduser med teller og nevner).
2. Sammenligning av grader
Tenk deg nå at vi trenger å sammenligne ikke bare tall, men uttrykk der det er en grad ().
Selvfølgelig kan du enkelt sette opp et skilt:
Tross alt, hvis vi erstatter graden med multiplikasjon, får vi:
Fra dette lille og primitive eksemplet følger regelen:
Prøv nå å sammenligne følgende: . Du kan også enkelt sette et skilt:
For hvis vi erstatter eksponentiering med multiplikasjon...
Generelt forstår du alt, og det er ikke vanskelig i det hele tatt.
Vanskeligheter oppstår bare når, sammenlignet, gradene har forskjellige grunnlag og indikatorer. I dette tilfellet er det nødvendig å prøve å føre til et felles grunnlag. For eksempel:
Selvfølgelig vet du at dette, følgelig, uttrykket har formen:
La oss åpne parentesene og sammenligne det vi får:
Et noe spesielt tilfelle er når basisen til graden () er mindre enn én.
Hvis, da av to grader og større er den hvis indeks er mindre.
La oss prøve å bevise denne regelen. La være.
La oss introdusere et naturlig tall som forskjellen mellom og.
Logisk, ikke sant?
Og la oss nå igjen ta hensyn til tilstanden - .
Henholdsvis:. Derfor,.
For eksempel:
Som du forstår, vurderte vi tilfellet når basene til gradene er like. La oss nå se når basen er i intervallet fra til, men eksponentene er like. Alt er veldig enkelt her.
La oss huske hvordan du sammenligner dette ved å bruke et eksempel:
Selvfølgelig gjorde du regnestykket raskt:
Derfor, når du kommer over lignende problemer for sammenligning, husk et enkelt lignende eksempel som du raskt kan beregne, og basert på dette eksemplet, sett ned tegn i et mer komplekst.
Når du utfører transformasjoner, husk at hvis du multipliserer, adderer, subtraherer eller dividerer, så må alle handlinger gjøres med både venstre og høyre side (hvis du multipliserer med, må du gange begge).
I tillegg er det tilfeller der det rett og slett er ulønnsomt å gjøre noen manipulasjoner. For eksempel må du sammenligne. I i dette tilfellet, det er ikke så vanskelig å heve til en makt, og ordne skiltet basert på dette:
La oss øve. Sammenlign grader:
Klar til å sammenligne svar? Her er hva jeg fikk:
- - det samme som
- - det samme som
- - det samme som
- - det samme som
3. Sammenligne tall med røtter
Først, la oss huske hva røtter er? Husker du dette opptaket?
Roten av graden av ekte nummer Det kalles opp et nummer som likheten gjelder.
Røtter av oddetall finnes for negative og positive tall, og selv røtter- bare for positive.
Rotverdien er ofte en uendelig desimal, noe som gjør det vanskelig å beregne nøyaktig, så det er viktig å kunne sammenligne røtter.
Hvis du har glemt hva det er og hva det spises med - . Hvis du husker alt, la oss lære å sammenligne røtter trinn for trinn.
La oss si at vi må sammenligne:
For å sammenligne disse to røttene trenger du ikke å gjøre noen beregninger, bare analyser selve konseptet "root". Forstår du hva jeg snakker om? Ja, om dette: ellers kan det skrives som tredje potens av et tall, lik det radikale uttrykket.
Hva mer? eller? Selvfølgelig kan du sammenligne dette uten problemer. Jo større tall vi hever til en potens, desto større blir verdien.
Så. La oss utlede en regel.
Hvis eksponentene til røttene er de samme (i vårt tilfelle er dette), så er det nødvendig å sammenligne de radikale uttrykkene (og) - jo større radikalt tall, jo større er verdien av roten med like eksponenter.
Vanskelig å huske? Så bare hold et eksempel i hodet ditt og... Det mer?
Eksponentene til røttene er de samme, siden roten er kvadratisk. Det radikale uttrykket for ett tall () er større enn et annet (), noe som betyr at regelen virkelig er sann.
Hva om de radikale uttrykkene er de samme, men gradene av røttene er forskjellige? For eksempel: .
Det er også helt klart at når man trekker ut en rot av større grad, vil man få et mindre antall. La oss ta for eksempel:
La oss betegne verdien av den første roten som, og den andre - som, da:
Du kan lett se at det må være mer i disse ligningene, derfor:
Hvis de radikale uttrykkene er de samme(i vårt tilfelle), og røttenes eksponenter er forskjellige(i vårt tilfelle er dette og), da er det nødvendig å sammenligne eksponentene(Og) - jo høyere indikator, jo mindre er dette uttrykket.
Prøv å sammenligne følgende røtter:
La oss sammenligne resultatene?
Vi ordnet dette med hell :). Et annet spørsmål dukker opp: hva om vi alle er forskjellige? Både grad og radikalt uttrykk? Ikke alt er så komplisert, vi trenger bare å ... "bli kvitt" roten. Ja Ja. Bare bli kvitt det)
Hvis vi har ulike grader og radikale uttrykk, må vi finne det minste felles multiplum (les avsnittet om) for eksponentene til røttene og heve begge uttrykkene til en potens lik det minste felles multiplum.
At vi alle er i ord og ord. Her er et eksempel:
- Vi ser på indikatorene for røttene - og. Deres minste felles multiplum er .
- La oss heve begge uttrykkene til en makt:
- La oss transformere uttrykket og åpne parentesene (mer detaljer i kapittelet):
- La oss telle hva vi har gjort og sette et skilt:
4. Sammenligning av logaritmer
Så sakte men sikkert kom vi til spørsmålet om hvordan man sammenligner logaritmer. Hvis du ikke husker hva slags dyr dette er, anbefaler jeg deg å først lese teorien fra delen. Har du lest den? Svar så på noen viktige spørsmål:
- Hva er argumentet til en logaritme og hva er dens base?
- Hva avgjør om en funksjon øker eller reduseres?
Hvis du husker alt og har mestret det perfekt, la oss komme i gang!
For å sammenligne logaritmer med hverandre, trenger du bare å kunne tre teknikker:
- reduksjon til samme grunnlag;
- reduksjon til samme argument;
- sammenligning med det tredje tallet.
Vær først oppmerksom på basen av logaritmen. Husker du at hvis det er mindre, så reduseres funksjonen, og hvis det er mer, så øker det. Det er dette våre dommer vil være basert på.
La oss vurdere en sammenligning av logaritmer som allerede er redusert til samme base eller argument.
Til å begynne med, la oss forenkle problemet: la inn de sammenlignede logaritmene like grunnlag. Deretter:
- Funksjonen, for, øker med intervallet fra, som per definisjon betyr da ("direkte sammenligning").
- Eksempel:- Begrunnelsen er den samme, vi sammenligner argumentene deretter: , derfor:
- Funksjonen, for, avtar på intervallet fra, som betyr, per definisjon, da ("omvendt sammenligning"). - basene er de samme, sammenligner vi argumentene tilsvarende: , derimot vil tegnet til logaritmene være "omvendt", siden funksjonen er avtagende: .
Vurder nå tilfeller der årsakene er forskjellige, men argumentene er de samme.
- Basen er større.
- . I dette tilfellet bruker vi "omvendt sammenligning". For eksempel: - argumentene er de samme, og. La oss sammenligne basene: imidlertid vil tegnet til logaritmene være "omvendt":
- Basen a er i gapet.
- . I dette tilfellet bruker vi "direkte sammenligning". For eksempel:
- . I dette tilfellet bruker vi "omvendt sammenligning". For eksempel:
La oss skrive alt ned i en generell tabellform:
| , hvori | , hvori | |
Følgelig, som du allerede har forstått, når vi sammenligner logaritmer, må vi føre til den samme basen, eller argumentet. Vi kommer til den samme basen ved å bruke formelen for å flytte fra en base til en annen.
Du kan også sammenligne logaritmer med det tredje tallet og ut fra dette trekke en konklusjon om hva som er mindre og hva som er mer. Tenk for eksempel på hvordan du sammenligner disse to logaritmene?
Et lite hint - til sammenligning vil en logaritme hjelpe deg mye, hvis argument vil være likt.
Tanken? La oss bestemme sammen.
Vi kan enkelt sammenligne disse to logaritmene med deg:
Vet du ikke hvordan? Se ovenfor. Vi har nettopp ordnet dette. Hvilket tegn vil det være? Ikke sant:
Bli enige?
La oss sammenligne med hverandre:
Du bør få følgende:
Kombiner nå alle konklusjonene våre til én. Skjedd?
5. Sammenligning av trigonometriske uttrykk.
Hva er sinus, cosinus, tangens, cotangens? Hva er enhetssirkelen for og hvordan finner man verdien på den trigonometriske funksjoner? Hvis du ikke vet svarene på disse spørsmålene, anbefaler jeg på det sterkeste at du leser teorien om dette emnet. Og hvis du vet, så er det ikke vanskelig for deg å sammenligne trigonometriske uttrykk med hverandre!
La oss friske opp hukommelsen litt. La oss tegne en trigonometrisk enhetssirkel og en trekant innskrevet i den. Klarte du deg? Marker nå på hvilken side vi plotter cosinus og på hvilken side sinus, ved å bruke sidene i trekanten. (du husker selvfølgelig at sinus er forholdet mellom den motsatte siden og hypotenusen, og cosinus er den tilstøtende siden?). Har du tegnet det? Flott! Siste touch er å legge ned hvor vi skal ha det, hvor og så videre. Har du lagt den fra deg? Puh) La oss sammenligne hva som skjedde med deg og meg.
Puh! La oss nå begynne å sammenligne!
La oss si at vi må sammenligne og. Tegn disse vinklene ved å bruke ledetekstene i boksene (der vi har merket hvor), og plasser punkter på enhetssirkelen. Klarte du deg? Her er hva jeg fikk.
La oss nå slippe en perpendikulær fra punktene vi markerte på sirkelen på aksen... Hvilken? Hvilken akse viser verdien av sinus? Ikke sant, . Dette bør du få:
Ser på dette bildet, hvilket er større: eller? Selvfølgelig fordi poenget er over poenget.
På lignende måte sammenligner vi verdien av cosinus. Vi senker bare perpendikulæren ned på aksen... Det stemmer, . Følgelig ser vi på hvilket punkt som er til høyre (eller høyere, som i tilfellet med sines), da er verdien større.
Du vet sikkert allerede hvordan du sammenligner tangenter, ikke sant? Alt du trenger å vite er hva en tangent er. Så hva er en tangent?) Det stemmer, forholdet mellom sinus og cosinus.
For å sammenligne tangenter tegner vi en vinkel på samme måte som i forrige tilfelle. La oss si at vi må sammenligne:
Har du tegnet det? Nå markerer vi også sinusverdiene på koordinataksen. La du merke til? Angi nå verdiene til cosinus på koordinatlinjen. Skjedd? La oss sammenligne:
Analyser nå det du skrev. – vi deler et stort segment i et lite. Svaret vil inneholde en verdi som definitivt er større enn én. Ikke sant?
Og når vi deler den lille med den store. Svaret vil være et tall som er nøyaktig mindre enn ett.
Så hvilket trigonometrisk uttrykk har størst verdi?
Ikke sant:
Som du nå forstår, er å sammenligne cotangenter det samme, bare omvendt: vi ser på hvordan segmentene som definerer cosinus og sinus forholder seg til hverandre.
Prøv å sammenligne følgende trigonometriske uttrykk selv:
Eksempler.
Svar.
SAMMENLIGNING AV TALL. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ.
Hvilket tall er høyest: eller? Svaret er åpenbart. Og nå: eller? Ikke så åpenbart lenger, ikke sant? Så: eller?
Ofte trenger du å vite hvilket numerisk uttrykk som er størst. For eksempel for å plassere punktene på aksen i riktig rekkefølge når man løser en ulikhet.
Nå skal jeg lære deg hvordan du sammenligner slike tall.
Hvis du trenger å sammenligne tall og, setter vi et tegn mellom dem (avledet fra det latinske ordet Versus eller forkortet vs. - mot): . Dette tegnet erstatter det ukjente ulikhetstegnet (). Deretter vil vi utføre identiske transformasjoner til det blir klart hvilket tegn som må plasseres mellom tallene.
Essensen av å sammenligne tall er dette: vi behandler tegnet som om det var et slags ulikhetstegn. Og med uttrykket kan vi gjøre alt vi vanligvis gjør med ulikheter:
- legg til et hvilket som helst tall på begge sider (og selvfølgelig kan vi trekke fra også)
- "flytt alt til den ene siden", det vil si, trekk et av de sammenlignede uttrykkene fra begge deler. I stedet for det subtraherte uttrykket vil forbli: .
- multiplisere eller dele med samme tall. Hvis dette tallet er negativt, reverseres ulikhetstegnet: .
- heve begge sider til samme kraft. Hvis denne kraften er jevn, må du sørge for at begge deler har samme tegn; hvis begge deler er positive, endres ikke tegnet når det heves til en potens, men hvis de er negative, endres det til det motsatte.
- trekke ut roten av samme grad fra begge deler. Hvis vi trekker ut en rot av jevn grad, må vi først sørge for at begge uttrykkene er ikke-negative.
- andre tilsvarende transformasjoner.
Viktig: det er lurt å gjøre transformasjoner slik at ulikhetstegnet ikke endres! Det vil si at under transformasjoner er det uønsket å multiplisere med et negativt tall, og du kan ikke kvadrere det hvis en av delene er negativ.
La oss se på noen typiske situasjoner.
1. Eksponentiering.
Eksempel.
Hva er mer: eller?
Løsning.
Siden begge sider av ulikheten er positive, kan vi kvadrere den for å bli kvitt roten:
Eksempel.
Hva er mer: eller?
Løsning.
Her kan vi også kvadre det, men dette vil bare hjelpe oss å bli kvitt kvadratrot. Her er det nødvendig å heve den i en slik grad at begge røttene forsvinner. Dette betyr at eksponenten for denne graden må være delelig med både (grad av første rot) og med. Dette tallet er derfor hevet til potens:
2. Multiplikasjon med konjugatet.
Eksempel.
Hva er mer: eller?
Løsning.
La oss multiplisere og dele hver forskjell med den konjugerte summen:
Det er klart at nevneren på høyre side er større enn nevneren til venstre. Derfor er den høyre brøken mindre enn den venstre:
3. Subtraksjon
La oss huske det.
Eksempel.
Hva er mer: eller?
Løsning.
Selvfølgelig kunne vi kvadre alt, omgruppere og kvadre det igjen. Men du kan gjøre noe smartere:
Det kan sees at på venstre side er hvert ledd mindre enn hvert ledd på høyre side.
Følgelig er summen av alle ledd på venstre side mindre enn summen av alle ledd på høyre side.
Men vær forsiktig! Vi ble spurt om hva mer...
Høyre side er større.
Eksempel.
Sammenlign tallene og...
Løsning.
La oss huske trigonometriformlene:
La oss sjekke i hvilke kvartaler på den trigonometriske sirkelen punktene og ligger.
4. Divisjon.
Her bruker vi også en enkel regel: .
På eller, altså.
Når skiltet endres: .
Eksempel.
Sammenlign: .
Løsning.
5. Sammenlign tallene med det tredje tallet
Hvis og, da (lov om transitivitet).
Eksempel.
Sammenligne.
Løsning.
La oss sammenligne tallene ikke med hverandre, men med tallet.
Det er åpenbart det.
På den andre siden, .
Eksempel.
Hva er mer: eller?
Løsning.
Begge tallene er større, men mindre. La oss velge et tall slik at det er større enn det ene, men mindre enn det andre. For eksempel, . La oss sjekke:
6. Hva skal man gjøre med logaritmer?
Ikke noe spesielt. Hvordan bli kvitt logaritmer er beskrevet i detalj i emnet. De grunnleggende reglene er:
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \venstrehøyrepil (\rm( ))\venstre[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \kile (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \kile y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
Vi kan også legge til en regel om logaritmer med forskjellige baser og samme argument:
Det kan forklares på denne måten: jo større basen er, desto mindre må den heves for å få det samme. Hvis basen er mindre, er det motsatte sant, siden den tilsvarende funksjonen er monotont avtagende.
Eksempel.
Sammenlign tallene: og.
Løsning.
I henhold til reglene ovenfor:
Og nå formelen for viderekomne.
Regelen for å sammenligne logaritmer kan skrives mer kort:
Eksempel.
Hva er mer: eller?
Løsning.
Eksempel.
Sammenlign hvilket tall som er størst: .
Løsning.
SAMMENLIGNING AV TALL. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE
1. Eksponentiering
Hvis begge sider av ulikheten er positive, kan de kvadreres for å bli kvitt roten
2. Multiplikasjon med konjugatet
Et konjugat er en faktor som utfyller uttrykket til forskjellen av kvadraters formel: - konjuger for og omvendt, fordi .
3. Subtraksjon
4. Divisjon
Når eller det er
Når skiltet endres:
5. Sammenligning med det tredje tallet
Hvis og da
6. Sammenligning av logaritmer
Grunnleggende regler:
Logaritmer med forskjellige baser og samme argument:
Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.
Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!
Nå er det viktigste.
Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.
Problemet er at dette kanskje ikke er nok...
For hva?
Til vellykket gjennomføring Unified State Exam, for opptak til college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.
Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...
Folk som mottok en god utdannelse, tjene mye mer enn de som ikke fikk det. Dette er statistikk.
Men dette er ikke hovedsaken.
Hovedsaken er at de er MER LYKKELIG (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...
Men tenk selv...
Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?
FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.
Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.
Du vil trenge løse problemer mot tiden.
Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.
Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.
Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!
Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.
For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.
Hvordan? Det er to alternativer:
- Åpen tilgang for alle skjulte oppgaver I denne artikkelen -
- Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - Kjøp en lærebok - 899 RUR
Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.
Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for HELE nettstedets levetid.
For å konkludere...
Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.
«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.
Finn problemer og løs dem!
Teknologisk kart over leksjon nr. 35FULLT NAVN. lærere: Ivanova Olga Anatolyevna
Punkt: Matematikk
Klasse: 6 A
Navn på det pedagogiske og metodiske settet (UMK): Matematikk. Lærebok for klasse 6 / Nikolsky S.M., Potapov M.K.
Leksjonsemne: negative heltall
Leksjonstype: Leksjon om innledende presentasjon av ny kunnskap
Plass for leksjonen i leksjonssystemet: Leksjon 1 i emnet "Heltall"
Leksjonens mål:
Pedagogisk: lære å finne temperaturforskjeller ved hjelp av termometeravlesninger, bli kjent med regelen om å subtrahere tall ved å bruke en serie med heltall;
Utviklingsmessig: utvikle analytisk tenkning, fremheve hovedpoengene og generalisere
Pedagogisk: dyrke en følelse av gjensidig samarbeid og lytteferdigheter
Didaktisk mål for leksjonen: introdusere begrepet negative, positive tall, en serie med heltall; lære reglene for å subtrahere tall ved hjelp av et termometer og en serie med heltall
Planlagte resultater
Fagresultater: kjenne og forstå betydningen av begreper : positivt tall, negativt tall , en serie med heltall, kunne subtrahere tall ved hjelp av en serie med heltall, anvende den ervervede kunnskapen i andre leksjoner.
Meta-emne resultater:
Kognitiv: evnen til å forstå undervisningsoppgaven i timen, identifisere og formulere kognitive mål, og bygge en logisk kjede av resonnement.
Forskrift: overvåke og evaluere dine egne aktiviteter og aktivitetene til partnere, planlegge og justere aktivitetene dine;
Kommunikativ: være i stand til å uttrykke tankene dine fullt ut og tydelig, lytte til samtalepartneren din og føre en dialog.
Personlig: har motivasjon til pedagogiske aktiviteter, akseptere og mestre sosial rolle eleven, bruke tilegnet kunnskap om pedagogisk samarbeid med voksne og jevnaldrende i ulike situasjoner.
Enkle konsepter: negative tall, positive tall, serier av heltall
Tverrfaglige forbindelser: fysikk
Ressurser:http :// www . uroki . nett ; http :// www . zavuch . info
Arbeidsformer: frontal samtale, arbeid i par, individuelt arbeid.
Leksjonstrinn
Læreraktiviteter
Studentaktiviteter
tid
Dannet UUD
1.
Organisasjonsstadiet
Hilsen studenter. Overvåking av beredskap for timen.
Sjekk om alt er ok? Bøker, penner og notatbøker? Klokken har ringt: timen starter!
Jobb flittig i timen, og suksess venter på deg!
Forberedelse til start på timen
Personlig: ha en positiv holdning til læring, kognitiv aktivitet, ønsker å tilegne seg ny kunnskap, ferdigheter og forbedre eksisterende.
Kognitiv: forstå den pedagogiske og kognitive oppgaven.
Forskrift: planlegge, i samarbeid med lærer og klassekamerater, nødvendige handlinger selvstendig.
Kommunikasjon: lytt og hør hverandre.
2.
Oppdatering av kunnskap
Gutter, hva er den viktigste ferdigheten i matematikk? La oss sjekke hvor godt du kan telle: la oss gjøre en matteoppvarming.
Eksempler skrives på tavla, vi løser dem muntlig og sier svaret.
Gutter, hva kan dere si om tallene skrevet i første og andre kolonne? Hva er de?
Hvilke matematiske operasjoner har du gjort med tall?
Tilby svaralternativer (telle)
Muntlig arbeid med eksempler på tavla.
Svar på spørsmål (naturlig, brøk)
(addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon)
Vurdering av aktivitetene dine
Personlig: vise stødig kognitiv interesse til muntlig telling.
Kognitiv: utføre pedagogiske og kognitive handlinger i en mental form; utføre operasjoner med analyse, syntese, sammenligning og kvalifisering for å løse pedagogiske problemer.
Regulatorisk: godta og lagre læringsoppgaven.
Kommunikasjon: uttrykke og begrunne deres synspunkt.
3.
Målsetting
Organisering av arbeidet med utdelinger.
Gutter, vær oppmerksom på arkene med oppgave 1
Demotermometeret viser løsningen på problemet.
Gutter, hvilket nytt konsept har vi møtt? Hvordan registrerer vi termometeravlesningene? Hva betyr oppføringen -3? 0 MED.
Fra hvilket punkt måler vi temperatur? Hva kaller vi en temperatur over 0? Under 0? Hvilken rolle spiller 0?
Hva er temaet for leksjonen?
Læreren retter opp elevenes svar og kunngjør temaet for timen. Leksjonsemne: negative heltall.
Sammen med studenter:
formulerer formålet med pedagogiske aktiviteter;
bygger et prosjekt (algoritme) for å løse en problemsituasjon.
Organiserer og utfyller felles læringsaktiviteter
Les problemet og kom med mulige løsninger.
Svar på spørsmål
Eleven svarer
Temperatur om kvelden -3 0 MED
Før 3 sette et minus.
3 0 Fra frosten.
Vi teller fra 0. Pluss (positiv), minus (negativ). grense
Negative temperaturer (tall)
Elevene skriver emnet i notatboken.
Formuler formålet med den pedagogiske aktiviteten i dialog med lærer.
Personlig: føre dialog på grunnlag av likeverdige relasjoner og gjensidig respekt og aksept.
Kognitiv: trekke ut nødvendig informasjon fra forklaringer, uttalelser fra klassekamerater, systematisere kunnskap.
Regulatorisk: planlegge de nødvendige handlingene.
Kommunikasjon: bygge monologutsagn, gjennomføre felles aktiviteter.
4
Organisering av arbeidet med læreboka
206 i notatbøker
Sjekk hverandres svar
Oppgave 2
løse eksempler ved hjelp av et termometer:
10 0 C -5 0 С=+5 0 MED
15 0 C -15 0 С=+0 0 MED
0 0 C -10 0 С=-10 0 MED
10 0 C – 15 0 C = -5 0 C
15 0 S-20 0 С=-5 0 MED
Gutter, tenk at du og jeg plasserte termometeret horisontalt og fikk følgende oppføring
Hva kaller vi tallene til høyre for 0? Til venstre for 0?
Angi definisjonen av positive og negative tall
Gjør arbeidet muntlig og i notatbøker.
Fagfellevurdering
Arbeid i par; sjekke løsningen ved tavlen med en forklaring med et termometer
Evaluering av framføring
Positiv negativ.
Formuler en definisjon
Personlig: Løs problemer som oppstår på en konstruktiv måte.
Kognitiv: les og lytt, trekke ut nødvendig informasjon.
Regulatorisk: kontrollere pedagogiske aktiviteter, legge merke til feil som er gjort; forstå regelen for kontroll og lykkes med å bruke den til å løse en læringsoppgave.
Kommunikasjon: gjennomføre felles aktiviteter i par.
4.
Kroppsøvingsminutt
Tenk deg nå at null er hendene dine foldet mot brystet, da venstre hand vil vise plasseringen av hvilke tall? Ikke sant?
Vis meg hvor tallet 5 er i forhold til null? -7? -10? 100? 15? -20?
La oss gjøre en oppvarming
Svar på spørsmål, vis plasseringen av tallene
Ta en pause fra læringsaktiviteter og varm opp.
Personlig: o bevissthet om verdien av helse
Kognitiv: etablere årsak-og-virkning-forhold mellom helse og trening.
Regulatorisk: tilstrekkelig uavhengig vurdere handlingens riktighet og foreta nødvendige justeringer av utførelsen både ved slutten av handlingen og under gjennomføringen.
5.
Primær persepsjon og assimilering av materiale
Gutter, la oss gå tilbake til opptaket.
7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Hva betyr denne oppføringen?
Hvilke tall består rekken av heltall av?
Læreboka vil hjelpe deg å finne svaret.
Hvordan kan en serie med heltall hjelpe oss når vi trekker fra tall?
Prøv å bruke en serie med heltall for å fullføre oppgave 3
Gjør øvelsen på egenhånd
Fullføre oppgave 3
La oss sjekke hvilke resultater du fikk.
Arbeide med en lærebok, søke etter svar på et spørsmål. (en serie heltall)
Heltallsserien består av naturlige tall, negative heltall og null.
Når vi trekker fra, vil vi flytte til venstre langs raden
Fullføre oppgaver i notatbøker
Verifikasjon med muntlig kommentar
Diskusjon av løsninger
Evaluering av framføring
Personlig: vise behov for selvutfoldelse og selvrealisering.
Kognitiv: søk etter nødvendig informasjon (fra lærebokmateriellet og lærerens historie, ved å huske den i minnet).
Regulatorisk: uavhengig kontrollere og administrere tiden som er tildelt for å løse en spesifikk oppgave.
Kommunikasjon: reflekterer innholdet i handlingene utført i intern tale.
6.
Speilbilde
Hvilket nytt konsept lærte vi om i dagens leksjon?
Hva lærte vi i dagens leksjon?
Hva var det vanskeligste?
Oppsummerer leksjonen. Evaluerer arbeidet til klassen og enkeltelever.
Gi en tilstrekkelig vurdering av deres aktiviteter.
Personlig: forstå viktigheten av kunnskap for en person.
Kognitiv: tilegne seg evne til å bruke kunnskap og ferdigheter i praktiske aktiviteter og Hverdagen; etablere et forhold mellom mengden kunnskap, ferdigheter og evner tilegnet i leksjonen og operasjonelle, forskningsmessige, analytiske ferdigheter som integrerte, komplekse ferdigheter.
Regulatorisk: evaluere arbeidet deres; rette og forklare sine feil.
Kommunikasjon: formulere egne tanker, uttrykke og begrunne sitt synspunkt.
7
Tildeler lekser.
425, 426, 434 * tommer
Elevene skriver ned lekser
Ja, hvorfor? Det enkleste svaret er: "Fordi dette er reglene for å operere med negative tall." Regler som vi lærer på skolen og bruker gjennom hele livet. Lærebøkene forklarer imidlertid ikke hvorfor reglene er som de er. Vi husker at det er akkurat slik det er og vi stiller ikke lenger spørsmålet.
La oss spørre oss selv...
For lenge siden kjente folk bare naturlige tall: 1, 2, 3, ... De ble brukt til å telle redskaper, tyvegods, fiender osv. Men tallene i seg selv er ganske ubrukelige - du må kunne håndtere dem. Addisjon er tydelig og forståelig, og dessuten er summen av to naturlige tall også et naturlig tall (en matematiker vil si at settet med naturlige tall er lukket under operasjonen av addisjon). Multiplikasjon er i hovedsak det samme som addisjon hvis vi snakker om naturlige tall. I livet utfører vi ofte handlinger relatert til disse to operasjonene (for eksempel når vi handler, legger vi til og multipliserer), og det er rart å tenke på at våre forfedre møtte dem sjeldnere - addisjon og multiplikasjon ble mestret av menneskeheten i veldig lang tid siden. Ofte må man dele noen mengder på andre, men her er ikke resultatet alltid uttrykt som et naturlig tall – slik fremstod brøktall.
Selvfølgelig kan du ikke gjøre uten subtraksjon heller. Men i praksis trekker vi vanligvis det mindre tallet fra det større tallet, og det er ikke nødvendig å bruke negative tall. (Hvis jeg har 5 godterier og gir søsteren min 3, så vil jeg ha 5 - 3 = 2 godterier igjen, men jeg kan ikke gi henne 7 godterier selv om jeg vil.) Dette kan forklare hvorfor folk ikke har brukt negative tall for en lang tid. 
Negative tall har dukket opp i indiske dokumenter siden det 7. århundre e.Kr.; Kineserne begynte visstnok å bruke dem litt tidligere. De ble brukt til å redegjøre for gjeld eller i mellomregninger for å forenkle løsningen av ligninger – de var bare et verktøy for å få et positivt svar. Det faktum at negative tall, i motsetning til positive tall, ikke uttrykker tilstedeværelsen av noen enhet, forårsaket sterk mistillit. Folk unngikk bokstavelig talt negative tall: hvis et problem hadde et negativt svar, trodde de at det ikke fantes noe svar i det hele tatt. Denne mistilliten vedvarte i veldig lang tid, og til og med Descartes, en av "grunnleggerne" av moderne matematikk, kalte dem "falske" (på 1600-tallet!).
Tenk for eksempel på ligningen 7x - 17 = 2x - 2. Det kan løses på denne måten: flytt leddene med det ukjente til venstre side, og resten til høyre, du får 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Med dette I løsningen vår møtte vi ikke engang negative tall.
Men det var mulig å tilfeldigvis gjøre det annerledes: flytte vilkårene med det ukjente til høyre side og få 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. For å finne det ukjente må du dele ett negativt tall med et annet: x = (-15)/(-5). Men det riktige svaret er kjent, og det gjenstår å konkludere med at (-15)/(-5) = 3.
Hva viser dette enkle eksemplet? For det første blir logikken som bestemte reglene for handlinger på negative tall tydelig: resultatene av disse handlingene må falle sammen med svarene som oppnås på en annen måte, uten negative tall. For det andre, ved å tillate bruk av negative tall, blir vi kvitt det kjedelige (hvis ligningen viser seg å være mer komplisert, med et stort antall termer) søket etter en løsning der alle handlinger kun utføres på naturlige tall. Dessuten tenker vi kanskje ikke lenger hver gang på betydningen av de transformerte størrelsene - og dette er allerede et skritt mot å gjøre matematikk til en abstrakt vitenskap.
Reglene for å operere med negative tall ble ikke dannet umiddelbart, men ble en generalisering av en rekke eksempler som dukket opp ved løsning av anvendte problemer. Generelt kan utviklingen av matematikk deles inn i stadier: hvert neste trinn skiller seg fra det forrige ved et nytt abstraksjonsnivå når man studerer objekter. På 1800-tallet innså altså matematikere at heltall og polynomer, til tross for alle ytre forskjeller, har mye til felles: begge kan adderes, subtraheres og multipliseres. Disse operasjonene følger de samme lovene - både når det gjelder tall og når det gjelder polynomer. Men å dele heltall med hverandre slik at resultatet blir heltall igjen er ikke alltid mulig. Det er det samme med polynomer.
Så ble det oppdaget andre sett med matematiske objekter som slike operasjoner kunne utføres på: formelle potensrekker, kontinuerlige funksjoner... Til slutt kom forståelsen at hvis man studerer egenskapene til selve operasjonene, så kan resultatene brukes på alle disse settene med objekter (denne tilnærmingen er typisk for all moderne matematikk).
Som et resultat dukket det opp et nytt konsept: ringen. Det er bare et sett med elementer pluss handlinger som kan utføres på dem. De grunnleggende her er nettopp reglene (de kalles aksiomer) som handlinger er underlagt, og ikke naturen til elementene i settet (her er det, et nytt abstraksjonsnivå!). For å understreke at det er strukturen som oppstår etter innføring av aksiomene som er viktig, sier matematikere: en ring av heltall, en ring av polynomer osv. Med utgangspunkt i aksiomene kan man utlede andre egenskaper ved ringene.
Vi vil formulere aksiomene til ringen (som selvfølgelig ligner reglene for å operere med heltall), og deretter bevise at i en hvilken som helst ring gir det et pluss å multiplisere en minus med en minus.
En ring er et sett med to binære operasjoner (det vil si at hver operasjon involverer to elementer i ringen), som tradisjonelt kalles addisjon og multiplikasjon, og følgende aksiomer:
Tilsetningen av ringelementer følger kommutative (A + B = B + A for alle elementene A og B) og kombinasjonslover (A + (B + C) = (A + B) + C); i ringen er det et spesielt element 0 (nøytralt element ved addisjon) slik at A + 0 = A, og for ethvert element A er det et motsatt element (betegnet (-A)) slik at A + (-A) = 0 ;
-multiplikasjon følger kombinasjonsloven: A·(B·C) = (A·B)·C;
Addisjon og multiplikasjon er relatert av følgende regler for åpningsparenteser: (A + B) C = A C + B C og A (B + C) = A B + A C.
Legg merke til at ringer, i den mest generelle konstruksjonen, ikke krever verken kommuterbarheten til multiplikasjon, eller dens inverterbarhet (det vil si at deling ikke alltid kan gjøres), eller eksistensen av en enhet - et nøytralt element i multiplikasjon. Hvis vi introduserer disse aksiomene, får vi forskjellige algebraiske strukturer, men i dem vil alle teoremene som er påvist for ringer være sanne.
La oss nå bevise at for alle elementene A og B i en vilkårlig ring er det sant, for det første, (-A) B = -(A B), og for det andre (-(-A)) = A. Dette følger lett utsagn om enheter : (-1) 1 = -(1 1) = -1 og (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.
For å gjøre dette må vi etablere noen fakta. Først beviser vi at hvert element bare kan ha en motsetning. La faktisk elementet A ha to motsetninger: B og C. Det vil si A + B = 0 = A + C. Tenk på summen A + B + C. Ved å bruke de assosiative og kommutative lovene og egenskapen til null, vil vi få at summen på den ene siden er lik B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, og på den andre siden er den lik C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Så B = C.
Merk nå at både A og (-(-A)) er motsatte av det samme elementet (-A), så de må være like.
Det første faktumet blir slik: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, det vil si at (-A) B er motsatt av A B, som betyr at den er lik - (A·B).
For å være matematisk streng, la oss også forklare hvorfor 0·B = 0 for ethvert element B. Faktisk, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Det vil si at å legge til 0·B endrer ikke mengden. Så dette produktet er lik null.
Og det faktum at det er nøyaktig en null i ringen (tross alt sier aksiomene at et slikt element eksisterer, men ingenting er sagt om dets unike!), vil vi overlate til leseren som en enkel øvelse.
Evgeniy Epifanov
Formler i Excel vil hjelpe deg med å beregne ikke bare positive, men også negative tall. For måter å skrive et tall med et minus på, se artikkelen "Hvordan legge inn et negativt tall i Excel".
Å finne summen av negative tall i Excel
, behov for "SUMIF"-funksjon i Excel
.
For eksempel har vi et slikt bord.
Sett formelen i celle A7. For å gjøre dette, gå til "Formler" -fanen i Excel-tabellen, velg "Matematisk" og velg Excel "SUMIF" -funksjonen. 
Fyll ut linjene i vinduet som kommer opp:
"Range" - vi indikerer alle cellene i kolonnen eller raden der vi legger til tallene. For informasjon om rekkevidden i tabellen, se artikkelen "Hva er en rekkevidde i Excel" .
"Kriterium" - her skriver vi "<0» .
Klikk på "OK"-knappen.
Det ble slik.
Se formelen i formellinjen.Hvordan du setter "større enn" eller "mindre enn"-tegnet i en formel, se artikkelen "Hvor er knappen på tastaturet?» .
Sum bare positive tall i Excel.
Du må skrive formelen på samme måte, bare på linjen i funksjonsvinduet "Kriterier" skriv ">0" Det ble slik. 
"SUMIF"-funksjonen i Excel kan telle verdiene til cellene ikke alle på rad, men selektivt i henhold til betingelsen vi skriver i formelen. Denne funksjonen er praktisk for å beregne data for en bestemt dato eller ordre for en spesifikk kunde, studentresultater osv. Les mer om hvordan du bruker denne funksjonen.
