Akselerasjonsretningen til et bevegelig punkt. Hastighet og akselerasjon av punkter i en stiv kropp som utfører translasjons- og rotasjonsbevegelser. Akselerasjon av et materialpunkt
Dette kapittelet diskuterer i hovedsak metoder for å løse problemer der bevegelsesloven til et punkt er uttrykt på såkalt naturlig måte: ligningen s=f(t) langs en gitt bane *.
* Løsninger på problemer der bevegelsesloven er spesifisert ved koordinatmetoden er omtalt i slutten av kapittelet (§ 31).
I dette tilfellet er hovedparametrene som karakteriserer bevegelsen til et punkt langs en gitt bane: s - avstand fra en gitt utgangsposisjon og t - tid.
Mengden som karakteriserer i hver dette øyeblikket tid kalles punktets bevegelsesretning og hastighet hastighet(v i fig. 192). Hastighetsvektoren er alltid rettet langs tangenten i retningen punktet beveger seg i. Den numeriske verdien av hastigheten til enhver tid uttrykkes som den deriverte av avstanden med hensyn til tid:
v = ds/dt eller v = f"(t).
Akselerasjon et punkt på hvert gitt tidspunkt karakteriserer endringshastigheten i hastighet. I dette tilfellet må du tydelig forstå at hastighet er en vektor, og derfor kan en hastighetsendring skje på to måter: i numerisk verdi (modulo) og i retning.
Endringshastigheten til hastighetsmodulen er preget av tangentiell (tangensiell) akselerasjon en t - komponent av den totale akselerasjonen a, rettet tangentielt til banen (se fig. 192).
Den numeriske verdien av tangentiell akselerasjon i det generelle tilfellet bestemmes av formelen
a t = dv/dt eller a t = f""(t).
Hastigheten for endring i hastighetsretning er preget av sentripetal (normal) akselerasjon a n - komponent av den totale akselerasjonen a, rettet vinkelrett på banen mot krumningssenteret (se fig. 192).
Numerisk normal akselerasjonsverdi bestemmes i det generelle tilfellet av formelen
a n = v 2 /R,
hvor v er modulen til punktets hastighet i et gitt øyeblikk;
R er krumningsradiusen til banen på stedet der punktet befinner seg.
Når de tangentielle og normale akselerasjonene er bestemt, er det lett å bestemme akselerasjonen a ( total akselerasjon av et punkt).
Siden tangenten og normalen er gjensidig vinkelrett, altså numerisk verdi akselerasjon a kan bestemmes ved hjelp av Pythagoras setning:
a = sqrt(a t 2 + a n 2).
Retningen til vektor a kan bestemmes basert på trigonometriske relasjoner ved å bruke en av følgende formler:
sin a = a n/a; cos a = a t/a; tg α = a n /a t .
Men du kan først bestemme retningen til den totale akselerasjonen a ved å bruke formelen tg α = a n /a t,
og finn deretter den numeriske verdien av a:
a = a n /sin α eller a = a t /cos α.
De tangentielle og normale akselerasjonene til et punkt er de viktigste kinematiske størrelsene som bestemmer typen og egenskapene til punktets bevegelse.
Tilstedeværelsen av tangentiell akselerasjon (a t ≠0) eller dens fravær (a t =0) bestemmer henholdsvis ujevnheten eller jevnheten til punktets bevegelse.
Tilstedeværelsen av normal akselerasjon (a n ≠0) eller dens fravær (a n = 0) bestemmer kurvelinjen eller rettheten til punktets bevegelse.
Bevegelsen av et punkt kan klassifiseres som følger:
a) jevn rettlinjet (a t = 0 og a n = 0);
b) jevn krumlinjet (a t = 0 og a n ≠ 0);
c) ujevn rettlinjet (a t ≠ 0 og a n = 0);
d) ujevn krumlinjet (a t ≠ 0 og a n ≠ 0).
Dermed er bevegelsen til et punkt klassifisert etter to kriterier: graden av ujevnhet i bevegelsen og typen bane.
Graden av ujevn bevegelse av et punkt er spesifisert av ligningen s=f(t), og typen bane spesifiseres direkte.
§ 27. Ensartet lineær bevegelse av et punkt
Hvis a t =0 og a n =0, så forblir hastighetsvektoren konstant (v=const), det vil si at den ikke endres verken i størrelse eller retning. Denne bevegelsen kalles ensartet rettlinjet.
Ligningen for jevn bevegelse har formen
(a) s = s 0 + vt
eller i det spesielle tilfellet når startavstanden s 0 =0,
(b) s = vt.
Ligning (a) inkluderer bare fire størrelser, hvorav to er variable: s og t og to er konstanter: s 0 og v. Derfor, i tilstanden til problemet for uniform og rettlinjet bevegelse poeng må gis tre valgfrie verdier.
Når du løser problemer, er det nødvendig å finne ut alle de gitte mengdene og bringe dem til ett system av enheter. Det skal bemerkes at både i MKGSS (teknisk) systemet og i SI, er enhetene for alle kinematiske størrelser de samme: avstand s måles i m, tid t - i sek, hastighet v - i m/sek.
§ 28. Ensartet krumlinjet bevegelse av et punkt
Hvis a t = 0 og a n ≠ 0, forblir hastighetsmodulen uendret (punktet beveger seg jevnt), men retningen endres og punktet beveger seg krumlinjet. Ellers, når jevn bevegelse langs en krumlinjet bane har et punkt normal akselerasjon, rettet normalt mot banen og numerisk lik
a n = v 2 /R,
hvor R er krumningsradiusen til banen.
I det spesielle tilfellet med et punkt som beveger seg i en sirkel (eller langs en sirkelbue), er krumningsradiusen til banen ved alle punktene konstant:
R = r = const,
og siden den numeriske verdien av hastigheten er konstant, da
a n = v 2 /r = konst.
Med jevn bevegelse bestemmes den numeriske verdien av hastigheten fra formelen
v = (s - s 0)/t eller v = s/t.
Hvis et punkt kjører et helt løp rundt en sirkel, er banen s lik lengden på sirkelen, dvs. s = 2πr = πd (d = 2r er diameteren), og tiden er lik perioden, dvs. t = T. Uttrykket for hastighet vil ha formen
v = 2πr/T = πd/T.
§ 29. Jevnt variabel bevegelse av et punkt
Hvis vektoren a t =const (tangensiell akselerasjon er konstant både i størrelse og retning), så er a n =0. Denne bevegelsen kalles jevnt variabel og rettlinjet.
Hvis bare den numeriske verdien av tangentligningen forblir konstant
a t = dv/dt = f"(t) = const,
da kalles a n ≠0 og en slik bevegelse av punktet jevnt variabel krumlinjet.
Når |a t |>0 kalles bevegelsen til punktet jevnt akselerert, og for |a t |<0 - like sakte.
Ligningen for jevn vekslende bevegelse, uavhengig av dens bane, har formen
(1) s = s 0 + v 0 t + a t t 2 / 2.
Her er s 0 avstanden til punktet fra startposisjonen i referanseøyeblikket; v 0 - starthastighet og a t - tangentiell akselerasjon - størrelser er numerisk konstante, a s og t er variable.
Den numeriske verdien av hastigheten til et punkt til enhver tid bestemmes fra ligningen
(2) v = v 0 + a t t.
Ligningene (1) og (2) er de grunnleggende formlene for jevn variabel bevegelse og de inneholder seks forskjellige størrelser: tre konstanter: s 0, v 0, a t og tre variabler: s, v, t.
Følgelig, for å løse problemet med jevnt variabel bevegelse av et punkt, må minst fire mengder gis i dets tilstand (et system med to ligninger kan bare løses hvis de inneholder to ukjente).
Hvis ukjente er inkludert i begge grunnleggende ligninger, for eksempel a t og t er ukjente, utledes hjelpeformler for å gjøre det enklere å løse slike problemer:
etter å ha ekskludert en t fra (1) og (2)
(3) s = s0 + (v + v 0)t / 2;
etter å ha eliminert t fra (1) og (2)
(4) s = s 0 + (v 2 - v 0 2) / (2a t).
I det spesielle tilfellet, når startverdiene er s 0 =0 og v 0 =0 (jevnt akselerert bevegelse fra en hviletilstand), får vi de samme formlene i en forenklet form:
(5) s = att2/2;
(6) v = att;
(7) s = vt/2;
(8) s = v 2 / (2a t).
Ligningene (5) og (6) er grunnleggende, og ligningene (7) og (8) er hjelpemidler.
Ensartet akselerert bevegelse fra en hviletilstand, som kun forekommer under påvirkning av tyngdekraften, kalles fritt fall. Formler (5)-(8) gjelder for denne bevegelsen, og
a t = g = 9,81 m/sek 2 ≈ 9,8 m/sek 2.
§ 30. Ujevn bevegelse av et punkt langs enhver bane
§ 31. Bestemmelse av et punkts bane, hastighet og akselerasjon dersom loven for dets bevegelse er gitt i koordinatform
Hvis et punkt beveger seg i forhold til et eller annet koordinatsystem, endres koordinatene til punktet over tid. Likninger som uttrykker den funksjonelle avhengigheten av koordinatene til et bevegelig punkt på tid kalles bevegelseslikningene til et punkt i et koordinatsystem (se § 51, paragraf 2 i læreboken av E. M. Nikitin).
Bevegelsen til et punkt i rommet er gitt av tre ligninger:
x = fi (t);
(1) y = f2(t);
z = f3 (t);
Bevegelsen til et punkt i et plan (fig. 203) er gitt ved to ligninger:
(2) x = fi (t);
y = f2(t);
Ligningssystemer (1) eller (2) kalles bevegelsesloven til et punkt i koordinatform.
Nedenfor tar vi for oss bevegelsen til et punkt i et plan, så kun system (2) brukes.
Hvis bevegelsesloven til et punkt er gitt i koordinatform, da:
a) banen for planbevegelse til et punkt uttrykkes ved ligningen
y = F(x),
som er dannet fra de gitte bevegelseslikningene etter eliminering av tiden t;
b) den numeriske verdien av punktets hastighet er funnet fra formelen
v = sqrt(v x 2 + v y 2)
etter foreløpig bestemmelse av projeksjonen (se fig. 203) av hastigheten på koordinataksen
v x = dx/dt og v y = dy/dt;
c) den numeriske verdien av akselerasjon er funnet fra formelen
a = sqrt(a x 2 + a y 2)
etter foreløpig bestemmelse av akselerasjonsprojeksjoner på koordinataksene
a x = dv x/dt og a y = dv y/dt;
d) hastighets- og akselerasjonsretningene i forhold til koordinataksene bestemmes ut fra trigonometriske forhold mellom hastighets- eller akselerasjonsvektorene og deres projeksjoner.
§ 32. Kinematisk metode for å bestemme krumningsradiusen til en bane
Når du skal løse mange tekniske problemer, blir det nødvendig å vite krumningsradius R (eller 1/R - krumning) baner. Hvis ligningen til en bane er gitt, kan krumningsradiusen på ethvert punkt bestemmes ved hjelp av differensialregning. Ved å bruke bevegelsesligningene til et punkt i koordinatform, er det mulig å bestemme krumningsradiusen til banen til et bevegelig punkt uten å direkte studere likningen til banen. Å bestemme krumningsradiusen til en bane ved å bruke bevegelseslikningene til et punkt i koordinatform kalles den kinematiske metoden. Denne metoden er basert på det faktum at krumningsradiusen til banen til et bevegelig punkt er inkludert i formelen
a n = v 2 /R,
uttrykker den numeriske verdien av normal akselerasjon.
Herfra
(a) R = v2/a n.
Hastigheten v til et punkt bestemmes av formelen
(b) v = sqrt(v x 2 + v y 2).
Derfor,
(b") v 2 = v x 2 + v y 2.
Den numeriske verdien av normalakselerasjonen a n er inkludert i uttrykket for punktets totale akselerasjon
a = sqrt(a n 2 + a t 2),
hvor
(c) a n = sqrt(a 2 - a t 2),
hvor er kvadratet av den totale akselerasjonen
(d) a 2 = a x 2 + a y 2
og tangentiell akselerasjon
(e) a t = dv/dt.
Således, hvis bevegelsesloven til et punkt er gitt av ligningene
x = fi (t);
y = f 2 (t),
så når du bestemmer krumningsradiusen til banen, anbefales det å gjøre følgende:
1. Etter å ha differensiert bevegelseslikningene, finn uttrykk for projeksjonene på koordinataksene til hastighetsvektoren:
v x = f 1 "(t);
v y = f 2 "(t).
2. Sett ut uttrykk v x og v y inn i (b"), finn v 2.
3. Differensieer ligning (b) med hensyn til t, hentet direkte fra (b"), finn tangentiell akselerasjon a t, og deretter a t 2.
4. Etter å ha differensiert bevegelseslikningene en gang til, finn uttrykk for projeksjonene på koordinataksene til akselerasjonsvektoren
a x = f 1 ""(t) = v x ";
a y = f 2 ""(t) = v y ".
5. Sett inn uttrykk a x og a y i (d), finn en 2.
6. Bytt inn verdiene a 2 og a t 2 i (c) og finn en n.
7. Ved å erstatte de funnet verdiene til v 2 og a n i (a), oppnå krumningsradius R.
Punkthastighet.
La oss gå videre til å løse det andre hovedproblemet med kinematikken til et punkt - å bestemme hastigheten og akselerasjonen fra en allerede spesifisert vektor, koordinat eller naturlig bevegelse.
1. Hastigheten til et punkt er en vektormengde som karakteriserer hastigheten og bevegelsesretningen til punktet. I SI-systemet måles hastighet i m/s.
en) Bestemme hastighet ved å bruke vektormetoden for å spesifisere bevegelse .
La bevegelsen til et punkt spesifiseres på en vektor måte, dvs. vektorligningen (2.1) er kjent: .
Ris. 2.6. For å bestemme hastigheten til et punkt
La det ta tid Dt radiusvektor for et punkt M vil endres med verdi. Deretter gjennomsnittshastigheten til punktet M i løpet av Dt kalt en vektormengde
Når vi husker definisjonen av et derivat, konkluderer vi:
Her og fremover vil vi bruke tegnet for å betegne differensiering med hensyn til tid. Når man strever Dt for å nullstille vektoren, og følgelig vektoren, roter rundt punktet M og i grensen sammenfaller med tangenten til banen på dette punktet. Dermed, hastighetsvektoren er lik den første deriverte av radiusvektoren med hensyn til tid og er alltid rettet tangentielt til punktets bane.
b) Hastigheten til et punkt med koordinatmetoden for å spesifisere bevegelse.
La oss utlede formler for å bestemme hastighet ved å bruke koordinatmetoden for å spesifisere bevegelse. I samsvar med uttrykk (2.5) har vi:
Siden de deriverte av enhetsvektorer som er konstante i størrelse og retning er lik null, får vi
En vektor, som enhver vektor, kan uttrykkes gjennom dens projeksjoner:
Ved å sammenligne uttrykk (2.6) og (2.7) ser vi at de deriverte av koordinater med hensyn til tid har en meget bestemt geometrisk betydning - de er projeksjoner av hastighetsvektoren på koordinataksene. Når du kjenner projeksjonene, er det lett å beregne størrelsen og retningen til hastighetsvektoren (fig. 2.7):
Ris. 2.7 For å bestemme hastighetens størrelse og retning
c) Bestemmelse av hastighet ved bruk av den naturlige metoden for å spesifisere bevegelse.
Ris. 2.8. Hastigheten til et punkt ved å bruke den naturlige metoden for å spesifisere bevegelse
I følge (2.4),
hvor er enhetstangensvektoren. Dermed,
Omfanget V=dS/dt kalt algebraisk hastighet. Hvis dS/dt>0, deretter funksjonen S = S(t)øker og punktet beveger seg i retning av økende buekoordinat S, de. punktet beveger seg i positiv retning If dS/dt<0 , så beveger punktet seg i motsatt retning.
2. Punktakselerasjon
Akselerasjon er en vektormengde som karakteriserer endringshastigheten i størrelsen og retningen til hastighetsvektoren. I system SI akselerasjon måles i m/s 2 .
en) Bestemme akselerasjon ved hjelp av vektormetoden for å spesifisere bevegelse .
La poenget M på et tidspunkt t er i posisjon M(t) og har fart V(t), og på et tidspunkt t + Dt er i posisjon M(t + Dt) og har fart V(t + Dt)(se fig. 2.9).
Ris. 2.9. Akselerasjon av et punkt ved bruk av vektormetoden for å spesifisere bevegelse
Gjennomsnittlig akselerasjon over en tidsperiode Dt kalles forholdet mellom endring i hastighet til Dt de.
Begrensning kl Dt ® 0 kalles den øyeblikkelige (eller ganske enkelt akselerasjonen) av punktet M på et tidspunkt t
I følge (2.11), akselerasjon med vektormetoden for å spesifisere bevegelse er lik vektorderiverten av hastigheten med hensyn til tid.
b). U akselerasjon med koordinatmetoden for å spesifisere bevegelse .
Ved å erstatte (2.6) med (2.11) og differensiere produktene i parentes, finner vi:
Tatt i betraktning at derivatene av enhetsvektorer er lik null, får vi:
En vektor kan uttrykkes gjennom dens projeksjoner:
En sammenligning av (2.12) og (2.13) viser at andrederivertene av koordinater med hensyn til tid har en meget bestemt geometrisk betydning: de er lik projeksjonene av den totale akselerasjonen på koordinataksene, dvs.
Når du kjenner projeksjonene, er det enkelt å beregne den totale akselerasjonsmodulen og retningscosinusene som bestemmer retningen:
V). Akselerasjon av et punkt ved å bruke den naturlige metoden for å spesifisere bevegelse
La oss presentere litt informasjon fra differensialgeometri som er nødvendig for å bestemme akselerasjon på den naturlige måten å spesifisere bevegelse.
La poenget M beveger seg langs en romlig kurve. Hvert punkt i denne kurven er assosiert med tre gjensidig ortogonale retninger (tangent, normal og binormal), som unikt karakteriserer den romlige orienteringen til det uendelig lille elementet i kurven nær et gitt punkt. Nedenfor er en beskrivelse av prosessen for å bestemme disse retningene.
Å tegne en tangent til en kurve i et punkt M, la oss tegne et nærliggende punkt gjennom det M 1 sekant MM 1.
Ris. 2.10. Bestemme tangenten til banen til et punkt
Tangent til en kurve på et punkt M er definert som begrensningsposisjonen til sekanten MM 1 som poenget pleier M 1 til punktet M(Fig. 2.10). Enhetstangensvektoren er vanligvis betegnet med den greske bokstaven.
La oss tegne enhetsvektorer av tangenter til banen ved punkter M Og M 1. La oss flytte vektoren til et punkt M(Fig. 2.11) og danner et plan som går gjennom dette punktet og vektorene og . Gjenta prosessen med dannelse av lignende fly som punktet har en tendens til M 1 til punktet M, får vi i grensen et fly kalt rørende flat.
Ris. 2.11. Definere et passasjerfly
For en plan kurve faller det oskulerende planet tydeligvis sammen med planet som denne kurven selv ligger i. Fly som passerer gjennom et punkt M og vinkelrett på tangenten på dette punktet kalles normal flat. Skjæringspunktet mellom de oskulerende og normale planene danner en rett linje kalt hovednormalen (Fig. 2.12).
Et eksempel på å løse et problem med kompleks bevegelse av et punkt vurderes. Punktet beveger seg i en rett linje langs platen. Platen roterer rundt en fast akse. Punktets absolutte hastighet og absolutte akselerasjon bestemmes.
InnholdOppgaven
En rektangulær plate roterer rundt en fast akse i henhold til loven φ = 6 t 2 - 3 t 3. Den positive retningen til vinkelen φ er vist i figurene med en buepil. Rotasjonsakse OO 1 ligger i platens plan (platen roterer i rommet).
Punkt M beveger seg langs platen langs rett linje BD. Loven for dens relative bevegelse er gitt, dvs. avhengigheten s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s - i centimeter, t - i sekunder). Avstand b = 20 cm. På figuren er punktet M vist i en posisjon hvor s = AM > 0 (på s< 0 punkt M er på den andre siden av punkt A).
Finn den absolutte hastigheten og den absolutte akselerasjonen til punktet M på tidspunktet t 1 = 1 s.
Veibeskrivelse. Denne oppgaven innebærer kompleks bevegelse av et punkt. For å løse det er det nødvendig å bruke teoremene om tillegg av hastigheter og tillegg av akselerasjoner (Coriolis-teorem). Før du gjør alle beregninger, er det nødvendig å bestemme, i henhold til betingelsene for problemet, hvor punktet M er plassert på platen til tiden t 1 = 1 s, og tegn punktet i nøyaktig denne posisjonen (og ikke i en vilkårlig vist i figuren for problemet).
Løsningen på problemet
Gitt: b = 20 cm, φ = 6 t 2 - 3 t 3, s = |AM| = 40(t - 2 t 3) - 40, t 1 = 1 s.
Finne: v abs, a absBestemme posisjonen til et punkt
Bestem posisjonen til punktet på tidspunktet t = t 1 = 1 s.
s = 40(t 1 - 2 t 1 3) - 40 = 40(1 - 2 1 3) - 40 = -80 cm.
Siden s< 0
, så er punkt M nærmere punkt B enn D.
|AM| = |-80| = 80 cm.
La oss lage en tegning.
I følge teoremet om tillegg av hastigheter er den absolutte hastigheten til et punkt lik vektorsummen av de relative og bærbare hastighetene:
.
Bestemme den relative hastigheten til et punkt
Bestemme relativ hastighet. For å gjøre dette antar vi at platen er ubevegelig, og punkt M utfører en gitt bevegelse. Det vil si at punkt M beveger seg langs rett linje BD. Ved å differensiere s med tiden t finner vi projeksjonen av hastigheten i retningen BD:
.
På tidspunktet t = t 1 = 1 s,
cm/s.
Siden , da er vektoren rettet i retning motsatt av BD. Det vil si fra punkt M til punkt B. Relativ hastighetsmodul
v fra = 200 cm/s.
Bestemme overføringshastigheten til et punkt
Bestemme overføringshastigheten. For å gjøre dette antar vi at punktet M er stivt forbundet med platen, og platen utfører en gitt bevegelse. Det vil si at platen roterer rundt OO 1-aksen. Ved å differensiere φ med tiden t finner vi vinkelhastigheten til platens rotasjon:
.
På tidspunktet t = t 1 = 1 s,
.
Siden er vinkelhastighetsvektoren rettet mot den positive rotasjonsvinkelen φ, det vil si fra punkt O til punkt O 1. Vinkelhastighetsmodul:
ω = 3 s -1.
Vi skildrer vektoren for vinkelhastigheten til platen i figuren.
Fra punkt M senker vi vinkelrett HM til aksen OO 1.
Under translasjonsbevegelse beveger punktet M seg langs en sirkel med radius |HM| med sentrum i punkt H.
|HM| = |HK| + |KM| = 3 b + |AM| synd 30° = 60 + 80 0,5 = 100 cm;
Bærehastighet:
v bane = ω|HM| = 3 100 = 300 cm/s.
Vektoren er rettet tangentielt til sirkelen i rotasjonsretningen.
Bestemme den absolutte hastigheten til et punkt
Bestemme absolutt hastighet. Den absolutte hastigheten til et punkt er lik vektorsummen av de relative og bærbare hastighetene:
.
Vi tegner aksene til det faste koordinatsystemet Oxyz. La oss rette z-aksen langs rotasjonsaksen til platen. La på det betraktede tidspunktet x-aksen være vinkelrett på platen, og y-aksen ligge i platens plan. Da ligger den relative hastighetsvektoren i yz-planet. Vektoren for overføringshastighet er rettet motsatt av x-aksen. Siden vektoren er vinkelrett på vektoren, er den absolutte hastighetsmodulen i henhold til Pythagoras teorem:
.
Bestemme den absolutte akselerasjonen til et punkt
I følge teoremet om addisjon av akselerasjoner (Coriolis-teorem), er den absolutte akselerasjonen til et punkt lik vektorsummen av de relative, transport- og Coriolis-akselerasjonene:
,
Hvor
- Coriolis-akselerasjon.
Bestemmelse av relativ akselerasjon
Bestemme relativ akselerasjon. For å gjøre dette antar vi at platen er ubevegelig, og punkt M utfører en gitt bevegelse. Det vil si at punkt M beveger seg langs rett linje BD. Ved å differensiere s to ganger med hensyn til tid t, finner vi projeksjonen av akselerasjon i retningen BD:
.
På tidspunktet t = t 1 = 1 s,
cm/s 2.
Siden , da er vektoren rettet i retning motsatt av BD. Det vil si fra punkt M til punkt B. Relativ akselerasjonsmodul
a fra = 480 cm/s 2.
Vi viser vektoren i figuren.
Definisjon av bærbar akselerasjon
Bestemme bærbar akselerasjon. Under translasjonsbevegelse er punktet M stivt forbundet med platen, det vil si at det beveger seg langs en sirkel med radius |HM| med sentrum i punkt H. La oss dekomponere den bærbare akselerasjonen til en tangent til sirkelen og normal akselerasjon:
.
Ved å differensiere φ to ganger med hensyn til tid t, finner vi projeksjonen av vinkelakselerasjonen til platen på aksen OO 1
:
.
På tidspunktet t = t 1 = 1 s,
s -2.
Siden , er vinkelakselerasjonsvektoren rettet i retning motsatt av den positive rotasjonsvinkelen φ, det vil si fra punkt O 1 til punkt O. Vinkelakselerasjonsmodul:
ε = 6 s -2.
Vi skildrer vektoren for vinkelakselerasjonen til platen i figuren.
Overførbar tangentiell akselerasjon:
en τ-bane = ε |HM| = 6 100 = 600 cm/s 2.
Vektoren er rettet tangentielt til sirkelen. Siden vinkelakselerasjonsvektoren er rettet i retning motsatt av den positive rotasjonsvinkelen φ, er den rettet i retning motsatt av den positive rotasjonsretningen φ. Det vil si at den er rettet mot x-aksen.
Bærbar normal akselerasjon:
a n per = ω 2 |HM| = 3 2 100 = 900 cm/s 2.
Vektoren er rettet mot midten av sirkelen. Det vil si i retning motsatt av y-aksen.
Definisjon av Coriolis-akselerasjon
Coriolis (roterende) akselerasjon:
.
Vinkelhastighetsvektoren er rettet langs z-aksen. Den relative hastighetsvektoren er rettet langs den rette linjen |DB| . Vinkelen mellom disse vektorene er lik 150°. I henhold til egenskapen til vektorproduktet,
.
Retningen til vektoren bestemmes av gimlet-regelen. Hvis gimlet-håndtaket roteres fra posisjon til posisjon, vil gimlet-skruen bevege seg i motsatt retning av x-aksen.
Bestemmelse av absolutt akselerasjon
Absolutt akselerasjon:
.
La oss projisere denne vektorligningen på xyz-aksen til koordinatsystemet.
;
;
.
Absolutt akselerasjonsmodul:
.
Absolutt hastighet;
absolutt akselerasjon.
Hovedoppgavene til punktkinematikk er:
1. Beskrivelse av metoder for å spesifisere bevegelsen til et punkt.
2. Bestemmelse av de kinematiske egenskapene til bevegelsen til et punkt (hastighet, akselerasjon) i henhold til en gitt bevegelseslov.
Mekanisk bevegelse − endring i posisjon av en kropp i forhold til en annen (referanseinstans) som koordinatsystemet ringte med referansesystem .
Det geometriske stedet for suksessive posisjoner til et bevegelig punkt i referanserammen som vurderes kalles bane poeng.
Sett bevegelse − er å tilveiebringe en metode der man kan bestemme posisjonen til et punkt til enhver tid i forhold til et valgt referansesystem. De viktigste måtene å spesifisere bevegelsen til et punkt inkluderer:
vektor, koordinat og naturlig .
1.Vektormetode for å spesifisere bevegelse (Figur 1).
Posisjonen til punktet bestemmes av radiusvektoren trukket fra det faste punktet knyttet til referanselegemet: − vektorligning for bevegelse av punktet.
2. Koordinat metode for å spesifisere bevegelse (Fig. 2).
I dette tilfellet er koordinatene til punktet spesifisert som en funksjon av tiden:
- bevegelsesligninger for et punkt i koordinatform.
Dette er også parametriske ligninger for banen til et bevegelig punkt, der tiden spiller rollen som en parameter. For å skrive ligningen i eksplisitt form, er det nødvendig å ekskludere . I tilfelle av en romlig bane, unntatt , får vi:
Ved flat bane
unntatt , får vi:
Eller .
3. Den naturlige måten å definere bevegelse på (Fig. 3).
I dette tilfellet, sett:
1) banen til et punkt,
2) opprinnelsen til banen,
3) positiv referanseretning,
4) lov om endring av buekoordinat: .
Denne metoden er praktisk å bruke når banen til et punkt er kjent på forhånd.
2. Hastighet og akselerasjon av et punkt
Vurder bevegelsen av et punkt over en kort periode(Fig. 4):
Deretter er gjennomsnittshastigheten til et punkt over en tidsperiode.
Hastigheten til et punkt på et gitt tidspunkt er funnet som grensen for gjennomsnittshastigheten ved :
Punkthastighet − dette er det kinematiske målet for dens bevegelse, lik tidsderiverte av radiusvektoren til dette punktet i referanserammen som vurderes.
Hastighetsvektoren er rettet tangentielt til punktets bane i bevegelsesretningen.
Gjennomsnittlig akselerasjon karakteriserer endringen i hastighetsvektoren over en kort tidsperiode(Fig. 5).
Akselerasjonen til et punkt på et gitt tidspunkt er funnet som grensen for gjennomsnittlig akselerasjon ved :
Punktakselerasjon − dette er et mål på endringen i hastigheten, lik den deriverte i tid fra hastigheten til dette punktet eller den andre deriverte av radiusvektoren til punktet i tid .
Akselerasjonen til et punkt karakteriserer endringen i hastighetsvektoren i størrelse og retning. Akselerasjonsvektoren er rettet mot konkaviteten til banen.
3. Bestemmelse av hastigheten og akselerasjonen til et punkt ved å bruke koordinatmetoden for å spesifisere bevegelse
Sammenhengen mellom vektormetoden for å spesifisere bevegelse og koordinatmetoden er gitt av relasjonen
(Fig. 6).
Fra definisjonen av hastighet:
Projeksjoner av hastighet på koordinataksene er lik de deriverte av de tilsvarende koordinatene med hensyn til tid
, , . .
Hastighetens størrelse og retning bestemmes av uttrykkene:
Prikken over her og fremover angir differensiering med hensyn til tid
Fra definisjonen av akselerasjon:
Akselerasjonsprojeksjoner på koordinataksene er lik de andre deriverte av de tilsvarende koordinatene med hensyn til tid:
, , .
Modulen og akselerasjonsretningen bestemmes av uttrykkene:
, , .
4 Hastighet og akselerasjon av et punkt ved å bruke den naturlige metoden for å spesifisere bevegelse
4.1 Naturakser.
Bestemme hastigheten og akselerasjonen til et punkt ved å bruke den naturlige metoden for å spesifisere bevegelse
Naturlige akser (tangens, hovednormal, binormal) er aksene til et bevegelig rektangulært koordinatsystem med origo i et bevegelig punkt. Deres posisjon bestemmes av bevegelsesbanen. Tangenten (med en enhetsvektor) rettes langs tangenten i positiv retning av buekoordinatreferansen og finnes som grenseposisjonen til sekanten som går gjennom et gitt punkt (fig. 9). Berøringsplanet går gjennom tangenten (fig. 10), som er plassert som grenseposisjonen til planet s som punkt M1 har en tendens til punkt M. Normalplanet er vinkelrett på tangenten. Skjæringslinjen mellom de normale og oskulerende planene er hovednormalen. Enhetsvektoren til hovednormalen er rettet mot konkaviteten til banen. Den binormale (med enhetsvektoren) er rettet vinkelrett på tangenten og hovednormalen slik at vektorene , og danner en høyrehendt trippel av vektorer. Koordinatplanene til det innførte bevegelige koordinatsystemet (sammenhengende, normalt og liktende) danner et naturlig trihedron, som beveger seg sammen med det bevegelige punktet, som en stiv kropp. Dens bevegelse i rommet bestemmes av banen og endringsloven i buekoordinaten.
Fra definisjonen av punkthastighet
hvor , er enhetstangensvektoren.
Deretter
, .
Algebraisk hastighet − projeksjon av hastighetsvektoren på tangenten, lik den deriverte av buekoordinaten med hensyn til tid. Hvis den deriverte er positiv, beveger punktet seg i positiv retning av buekoordinaten.
Fra definisjonen av akselerasjon
− vektorvariabel i retning og
Den deriverte bestemmes bare av typen bane i nærheten av et gitt punkt, mens vi tar hensyn til rotasjonsvinkelen til tangenten, har vi , hvor er enhetsvektoren til hovednormalen, er kurvaturen til banen, og er krumningsradiusen til banen ved et gitt punkt.
Akselerasjon er en størrelse som karakteriserer endringshastigheten i hastighet.
For eksempel, når en bil begynner å bevege seg, øker den hastigheten, det vil si at den beveger seg raskere. Til å begynne med er hastigheten null. Når bilen er i bevegelse, akselererer den gradvis til en viss hastighet. Hvis et rødt lyskryss lyser på vei, vil bilen stoppe. Men det vil ikke stoppe umiddelbart, men over tid. Det vil si at hastigheten vil synke ned til null - bilen vil bevege seg sakte til den stopper helt. I fysikk er det imidlertid ikke noe begrep "nedgang". Hvis en kropp beveger seg og reduserer hastigheten, vil dette også være en akselerasjon av kroppen, bare med et minustegn (som du husker, er hastighet en vektormengde).
> er forholdet mellom hastighetsendringen og tidsperioden denne endringen skjedde. Den gjennomsnittlige akselerasjonen kan bestemmes av formelen:
Ris. 1.8. Gjennomsnittlig akselerasjon. I SI akselerasjonsenhet– er 1 meter per sekund per sekund (eller meter per sekund i kvadrat), altså
En meter per sekund i kvadrat er lik akselerasjonen til et rettlinjet bevegelig punkt, hvor hastigheten til dette punktet øker med 1 m/s på ett sekund. Med andre ord, akselerasjon bestemmer hvor mye hastigheten til en kropp endres på ett sekund. For eksempel, hvis akselerasjonen er 5 m/s2, betyr dette at kroppens hastighet øker med 5 m/s hvert sekund.
Øyeblikkelig akselerasjon av et legeme (materialpunkt) på et gitt tidspunkt er en fysisk størrelse lik grensen som den gjennomsnittlige akselerasjonen har en tendens til når tidsintervallet har en tendens til null. Med andre ord, dette er akselerasjonen som kroppen utvikler på svært kort tid:
Ved akselerert lineær bevegelse øker kroppens hastighet i absolutt verdi, altså
V 2 > v 1
og retningen til akselerasjonsvektoren faller sammen med hastighetsvektoren
Hvis hastigheten til en kropp synker i absolutt verdi, dvs
V 2< v 1
da er retningen til akselerasjonsvektoren motsatt av retningen til hastighetsvektoren Med andre ord, i dette tilfellet er det som skjer Sakker farten, i dette tilfellet vil akselerasjonen være negativ (og< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Ris. 1.9. Øyeblikkelig akselerasjon.
Når du beveger deg langs en buet bane, endres ikke bare hastighetsmodulen, men også retningen. I dette tilfellet er akselerasjonsvektoren representert som to komponenter (se neste avsnitt).
Tangensiell (tangensiell) akselerasjon– dette er komponenten av akselerasjonsvektoren rettet langs tangenten til banen ved et gitt punkt i bevegelsesbanen. Tangentiell akselerasjon karakteriserer endringen i hastighetsmodulo under krumlinjet bevegelse.
Ris. 1.10. Tangentiell akselerasjon.
Retningen til den tangentielle akselerasjonsvektoren (se fig. 1.10) faller sammen med retningen til lineær hastighet eller er motsatt av denne. Det vil si at den tangentielle akselerasjonsvektoren ligger på samme akse med tangentsirkelen, som er kroppens bane.
Normal akselerasjon
Normal akselerasjon er komponenten av akselerasjonsvektoren rettet langs normalen til bevegelsesbanen ved et gitt punkt på kroppens bane. Det vil si at normalakselerasjonsvektoren er vinkelrett på den lineære bevegelseshastigheten (se fig. 1.10). Normal akselerasjon karakteriserer endringen i hastighet i retning og er betegnet med bokstaven Den normale akselerasjonsvektoren er rettet langs krumningsradiusen til banen.
Full akselerasjon
Full akselerasjon under krumlinjet bevegelse består den av tangentielle og normale akselerasjoner langs og bestemmes av formelen:
(ifølge Pythagoras teorem for et rektangulært rektangel).
