Finne de største og minste verdiene av en funksjon av to variabler. Hvordan finne de største og minste verdiene av en funksjon i et avgrenset lukket område? §10 De største og minste verdiene av en funksjon av to variabler i et lukket domene

Fra et praktisk synspunkt er den største interessen i å bruke den deriverte for å finne de største og minste verdiene til en funksjon. Hva henger dette sammen med? Maksimere fortjeneste, minimere kostnader, bestemme den optimale belastningen av utstyr ... Med andre ord, på mange områder av livet må vi løse problemer med å optimalisere noen parametere. Og dette er oppgavene med å finne de største og minste verdiene til en funksjon.

Det skal bemerkes at de største og minste verdiene til en funksjon vanligvis søkes på et visst intervall X, som enten er hele domenet til funksjonen eller en del av definisjonsdomenet. Selve intervallet X kan være et segment, et åpent intervall , et uendelig intervall.

I denne artikkelen vil vi snakke om å finne de største og minste verdiene av en eksplisitt definert funksjon av en variabel y=f(x) .

Sidenavigering.

Den største og minste verdien av en funksjon - definisjoner, illustrasjoner.

La oss kort se på hoveddefinisjonene.

Den største verdien av funksjonen det for hvem som helst ulikhet er sant.

Den minste verdien av funksjonen y=f(x) på intervallet X kalles en slik verdi det for hvem som helst ulikhet er sant.

Disse definisjonene er intuitive: den største (minste) verdien av en funksjon er den største (minste) aksepterte verdien på intervallet som vurderes ved abscissen.

Stasjonære punkter– dette er verdiene til argumentet der den deriverte av funksjonen blir null.

Hvorfor trenger vi stasjonære punkter når vi skal finne de største og minste verdiene? Svaret på dette spørsmålet er gitt av Fermats teorem. Fra denne teoremet følger det at hvis en differensierbar funksjon har et ekstremum (lokalt minimum eller lokalt maksimum) på et tidspunkt, så er dette punktet stasjonært. Dermed tar funksjonen ofte sin største (minste) verdi på intervallet X i et av de stasjonære punktene fra dette intervallet.

Dessuten kan en funksjon ofte ta på seg sine største og minste verdier på punkter der den første deriverte av denne funksjonen ikke eksisterer, og selve funksjonen er definert.

La oss umiddelbart svare på et av de vanligste spørsmålene om dette emnet: "Er det alltid mulig å bestemme den største (minste) verdien av en funksjon"? Nei ikke alltid. Noen ganger faller grensene til intervallet X sammen med grensene for definisjonsdomenet til funksjonen, eller intervallet X er uendelig. Og noen funksjoner i det uendelige og ved grensene for definisjonsdomenet kan få både uendelig store og uendelig små verdier. I disse tilfellene kan ingenting sies om de største og laveste verdi funksjoner.

For klarhet vil vi gi en grafisk illustrasjon. Se på bildene så blir mye klarere.

På segmentet

I den første figuren tar funksjonen de største (maks y) og minste (min y) verdiene ved stasjonære punkter inne i segmentet [-6;6].

Tenk på saken som er avbildet i den andre figuren. La oss endre segmentet til . I dette eksemplet oppnås den minste verdien av funksjonen ved et stasjonært punkt, og den største ved punktet med abscissen tilsvarer den høyre grensen til intervallet.

I figur 3 er grensepunktene til segmentet [-3;2] abscissen til punktene som tilsvarer funksjonens største og minste verdi.

På åpent intervall

I den fjerde figuren tar funksjonen de største (maks y) og minste (min y) verdiene på stasjonære punkter innenfor det åpne intervallet (-6;6).

På intervallet kan det ikke trekkes konklusjoner om den største verdien.

I det uendelige

I eksemplet vist i den syvende figuren tar funksjonen høyeste verdi(maks y) i et stasjonært punkt med abscisse x=1, og den minste verdien (min y) oppnås på høyre grense av intervallet. Ved minus uendelig nærmer funksjonsverdiene seg asymptotisk y=3.

I løpet av intervallet når funksjonen verken den minste eller største verdien. Når x=2 nærmer seg fra høyre, har funksjonsverdiene en tendens til minus uendelig (linjen x=2 er en vertikal asymptote), og ettersom abscissen har en tendens til pluss uendelig, nærmer funksjonsverdiene seg asymptotisk y=3. En grafisk illustrasjon av dette eksemplet er vist i figur 8.

Algoritme for å finne de største og minste verdiene av en kontinuerlig funksjon på et segment.

La oss skrive en algoritme som lar oss finne de største og minste verdiene av en funksjon på et segment.

1. Vi finner definisjonsdomenet til funksjonen og sjekker om den inneholder hele segmentet.
2. Vi finner alle punktene der den førstederiverte ikke eksisterer og som finnes i segmentet (vanligvis finnes slike punkter i funksjoner med et argument under modultegnet og i potensfunksjoner med en brøk-rasjonell eksponent). Hvis det ikke er slike punkter, gå videre til neste punkt.
3. Vi bestemmer alle stasjonære punkter som faller innenfor segmentet. For å gjøre dette, likestiller vi det til null, løser den resulterende ligningen og velger passende røtter. Hvis det ikke er noen stasjonære punkter eller ingen av dem faller inn i segmentet, gå videre til neste punkt.
4. Vi beregner verdiene til funksjonen ved utvalgte stasjonære punkter (hvis noen), på punkter der den første deriverte ikke eksisterer (hvis noen), så vel som ved x=a og x=b.
5. Fra de oppnådde verdiene for funksjonen velger vi den største og minste - de vil være henholdsvis de nødvendige største og minste verdiene for funksjonen.

La oss analysere algoritmen for å løse et eksempel for å finne de største og minste verdiene til en funksjon på et segment.

Eksempel.

Finn den største og minste verdien av en funksjon

• på segmentet ;
• på segmentet [-4;-1] .

Løsning.

Domenet til en funksjon er hele settet reelle tall, bortsett fra null, altså . Begge segmentene faller innenfor definisjonsdomenet.

Finn den deriverte av funksjonen med hensyn til:

Det er klart at den deriverte av funksjonen eksisterer på alle punkter i segmentene og [-4;-1].

Vi bestemmer stasjonære punkter fra ligningen. Den eneste reelle roten er x=2. Dette stasjonære punktet faller inn i det første segmentet.

For det første tilfellet beregner vi verdiene til funksjonen i enden av segmentet og ved det stasjonære punktet, det vil si for x=1, x=2 og x=4:

Derfor den største verdien av funksjonen oppnås ved x=1, og den minste verdien – ved x=2.

For det andre tilfellet beregner vi funksjonsverdiene bare ved endene av segmentet [-4;-1] (siden det ikke inneholder et enkelt stasjonært punkt):

Løsning.

La oss starte med domenet til funksjonen. Firkantet trinomium nevneren til brøken må ikke forsvinne:

Det er enkelt å kontrollere at alle intervaller fra problemstillingen tilhører definisjonsdomenet til funksjonen.

La oss skille funksjonen:

Det er klart at den deriverte eksisterer gjennom hele definisjonsdomenet av funksjonen.

La oss finne stasjonære punkter. Den deriverte går til null ved . Dette stasjonære punktet faller innenfor intervallene (-3;1] og (-3;2).

Nå kan du sammenligne resultatene oppnådd ved hvert punkt med grafen til funksjonen. Blå stiplede linjer indikerer asymptoter.

På dette tidspunktet kan vi avslutte med å finne de største og minste verdiene for funksjonen. Algoritmene som er omtalt i denne artikkelen lar deg få resultater med et minimum av handlinger. Imidlertid kan det være nyttig å først bestemme intervallene for økning og reduksjon av funksjonen og først etter det trekke konklusjoner om de største og minste verdiene til funksjonen på ethvert intervall. Dette gir et klarere bilde og en grundig begrunnelse for resultatene.

Forelesning 28. Studie av ekstremumfunksjoner til flere variabler. Betinget ekstremum av funksjoner av flere variabler.

Å studere funksjoner til mange variabler til et ekstremum er en mye mer kompleks prosedyre enn en lignende prosedyre for funksjoner til en variabel. Derfor vil vi begrense oss til å vurdere denne problemstillingen ved å bruke det enkleste og mest illustrerende eksemplet på en funksjon av to variabler (se fig. 1). Her M 1(x 1; y 1), M 2(x2; y 2), M 3(x 3; y 3) er ytterpunktene for denne funksjonen. Nemlig poeng M 1 Og M 3 – minimumspunktet for funksjonen, og punktet M 2– maksimumspunktet. Figur 1 viser en funksjon med tre ekstremumpunkter, men det kan naturligvis være flere eller færre av disse punktene.

La oss definere mer nøyaktig hva ekstremumpunktene er for en funksjon av to variabler.

Definisjon. Funksjonen har maksimum(minimum) på et punkt, hvis for et punkt som ligger i et bestemt nabolag - et nabolag til punktet, gjelder følgende: (). - nabolaget kan representeres av et sett med punkter hvis koordinater tilfredsstiller betingelsen , hvor er et positivt tilstrekkelig lite tall.

Maksima og minima for en funksjon kalles ytterpunkter, A - ekstreme punkt.

La M0(x 0; y 0) – et punkt for ethvert ekstremum (maksimumspunkt eller minimumspunkt) for funksjonen. Da er det rettferdig

Teorem 1.

Hvis det er på ytterpunktet M0(x 0; y 0) det er partielle derivater Og , da er de begge lik null:

2) La oss nå vurdere funksjonen . Fordi er ekstremverdien av denne funksjonen, så er den deriverte av denne funksjonen ved y = y 0, hvis den eksisterer, er lik null:

(3)

Teoremet er bevist.

Merk at betingelsene (1) er bare nødvendig ekstreme forhold på punktet M0(x 0; y 0) funksjon differensierbar på dette punktet. Det vil si at disse forholdene ikke er det tilstrekkelige forhold hva er poenget M0(x 0; y 0) funksjonen vil ha et ekstremum (maksimum eller minimum). Med andre ord, punktum M0(x 0; y 0), der begge likhetene (1) er oppfylt, er bare mistenkelig til ytterpunktet for funksjonen. Den endelige konklusjonen om arten av et slikt mistenkelig punkt for et ekstremum kan gjøres ved å bruke følgende teorem (vi presenterer det uten avledning):

Teorem 2.(Tilstrekkelige forhold for et ekstremum)

La M0(x 0; y 0) – et slikt punkt fra regionen D definere en funksjon som de nødvendige betingelsene (1) for ytterpunktet av denne funksjonen er oppfylt. Det er M0(x 0; y 0) – et punkt som er mistenkelig for et ekstremum. La oss finne tallene på dette tidspunktet

(4)

1) Hvis > 0 og > 0 (eller С>0 på A=0), Det M0(x 0; y 0) – minimumspunktet for funksjonen .

2) Hvis > 0 og < 0 (eller MED<0 på A=0), Det M0(x 0; y 0) – maksimumspunktet for funksjonen .

3) Hvis < 0, så pek M0(x 0; y 0) – ikke ytterpunktet for funksjonen .

4) Hvis = 0, så forblir spørsmålet åpent - ytterligere forskning er nødvendig.

Eksempel 1. La X Og på– mengden av to varer produsert; p 1 = 8 gni. Og p 2 = 10 gni. – enhetsprisen for hver av disse varene, henholdsvis; C= 0,01(x 2 + xy + y 2) er en funksjon av kostnadene (i rubler) for produksjonen av disse varene. Så inntekt R fra salg av varer vil være R = 8x+10y(rub.), og profitt P vil være (i rubler)

P = R – C = 8x+ 10y – 0,01(x 2 +xy+y 2).

La oss finne volumene X Og på varer som fortjeneste P vil være maksimalt.

1) Først finner vi verdiene ( x;y), mistenkelig for et ekstremum for funksjonen P:

2) Nå undersøker vi den funnet mistenkelige ekstremumfunksjonen P punkt M 0(200; 400). For å gjøre dette vil vi på dette tidspunktet finne verdiene bestemt av uttrykk (4). Fordi

og dette er sant for alle ( X; på), og derfor på punktet M 0(200; 400), da

For ellers er poenget M 0(200; 400) – maksimalt punkt for funksjonen P. Det vil si profitt P fra salg vil være maksimalt kl x = 200(enheter) Og y = 400(enheter) og er lik 2800 rubler.

Eksempel 2. Finn ekstremumpunkter og ekstreme verdier for en funksjon

Løsning. Denne funksjonen er en funksjon av to variabler, definert for enhver X Og på, altså på hele flyet hvordan, og har partielle deriverte av første orden på hvert punkt:

Først finner vi punktene til flyet hvordan, mistenkelig for et ekstremum for denne funksjonen:

Så, etter å ha funnet andreordens partielle deriverte av funksjonen, skriver vi uttrykk for:

Når vi nå beregner de numeriske verdiene av disse mengdene for hvert av de fire punktene som er mistenkelige for et ekstremum, får vi følgende konklusjoner om disse punktene:

Punktum min.

Punktum maks.

Ikke et ekstremt punkt.

Ikke et ekstremt punkt.

La oss nå finne to ekstreme (maksimale) verdier av funksjonen som bestemmer høyden til de to toppunktene på grafen til denne funksjonen:

Bestemmelse av de største og minste verdiene av en funksjon av to variabler i et lukket område.

La oss vurdere følgende problem. La være en kontinuerlig funksjon av to variabler, betraktet i et lukket domene, hvor er det indre av domenet, og G– dens kant (fig. 8.6).

Det faktum at en funksjon er kontinuerlig i området betyr at grafen til denne funksjonen (overflaten i rommet) er en kontinuerlig (uten diskontinuiteter) overflate for alle . Det vil si at begrepet kontinuitet til en funksjon av to variabler ligner begrepet kontinuitet til en funksjon av en variabel. Som funksjoner til en variabel, er funksjoner til to variabler dannet fra elementære funksjoner kontinuerlige for alle verdiene til argumentene de er definert for. Dette gjelder også funksjoner av tre, fire eller flere variabler.

La oss gå tilbake til fig. 2. La oss stille følgende spørsmål: på hvilke punkter i regionen når funksjonen sine største og minste verdier? z maks Og z navn? Og hva er disse verdiene? Merk at dette problemet er likt det som ble vurdert for en funksjon av en variabel vurdert på et lukket intervall [ en; b] akser Åh.

Det er åpenbart at de ønskede punktene i regionen, der funksjonen når sine største og minimumsverdier, er inneholdt enten blant ekstremumpunktene til denne funksjonen som ligger inne i regionen (i regionen), eller ligger et sted på grensen. G dette området. I et lukket område vil slike punkter sikkert eksistere (Weierstrass-teorem). Og i et åpent område (uten grenser G) det er kanskje ikke slike punkter.

Fra ovenstående følger følgende: diagram for å finne disse punktene, lik det som er skissert for funksjoner til én variabel.

1. Finn alle punkter i funksjonen som er mistenkelige for et ekstremum og befinner seg i området D. Dette er punktene der begge partielle deriverte og er lik null (eller den ene er null og den andre eksisterer ikke; eller begge eksisterer ikke).

2. Vi finner alle punkter i funksjonen som er mistenkelige for et ekstremum og ligger på grensen G områder. I dette tilfellet bruker vi grenselikningen G.

3. Uten å undersøke de mistenkelige punktene funnet i trinn 1 og 2 (dette er unødvendig), finner vi funksjonsverdiene i det hele tatt funnet mistenkelige punkter og velger de der z vil være størst og minste.

Eksempel 3. Finne z maks Og z navn funksjon betraktet i et lukket område, som er en trekantet plate med hjørner O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) (fig. 3).

Løsning. La oss følge diagrammet ovenfor.

1. Finn innenfor trekanten (i området D) peker mistenkelig for et ekstremum for funksjonen vår z. For å gjøre dette finner vi først de første ordens partielle derivater og:

Disse derivatene finnes (de kan beregnes) for alle (x;y). Følgelig vil punkter som er mistenkelige for et ekstremum bare være de der begge disse partielle derivatene er lik null:

Poenget tilhører selvsagt regionen D(til den aktuelle trekanten). Det vil si at det er et punkt mistenkelig for et ekstremum for en gitt funksjon z inne i trekanten, og hun er den eneste der.

2. La oss nå finne punkter som er mistenkelige for et ekstremum på grensen til trekanten.

a) La oss utforske området først OA grenser ( på= 0; £0 X£ 1). I denne delen - en funksjon av en variabel X. Dens derivat eksisterer for alle x JEG . Derfor er dens ekstreme verdier en funksjon z kan ha enten på punktet hvor , det vil si på punktet, eller i enden av segmentet OA, det vil si på punkter OM(0; 0) og EN(1; 0).

b) La oss nå utforske området OB grensene til trekanten (der X= 0; £0 på£ 1). I denne delen funksjonen (0 £ på£ 1) – funksjon av én variabel på. Ved å gjenta resonnementet til punkt (a), kommer vi til den konklusjon at dens ekstreme verdier er en funksjon z kan ha enten ved punktet eller i enden av segmentet OB, det vil si på punkter OM(0; 0) og B(0; 1).

c) Til slutt utforsker vi området AB grenser. Siden AB(sørg for dette) y = - x + 1 (0 £ X£ 1), så er det en funksjon z tar formen: (0 £ X£ 1). Dens deriverte er derfor en funksjon av dens ekstreme verdier z kan nå bare på punktet hvor , det vil si på punktet, eller i enden av segmentet AB, det vil si på punkter EN Og I.

Så, det komplette settet med punkter til funksjonen som er mistenkelig for ekstremum
i en trekant OAV er:

; ; ; ; ; ; .

3. La oss nå finne verdiene til funksjonen z i det hele tatt funnet mistenkelige punkter og velg den største verdien fra disse verdiene z maks og den minste verdien z navn:

Dermed, z maks = 3 og oppnås av funksjonen z i en trekant OAV på to punkter på en gang - på toppene EN Og I. Og oppnås av funksjonen z i en trekant OAV på sitt indre punkt.

Eksempel 4. Bybudsjettet har mulighet til å bruke ikke mer enn 600 millioner rubler på sosiale boliger, samtidig som de har prosjekter og tomter for 10 fem-etasjers bygninger med 90 leiligheter hver og 8 ni-etasjers bygninger med 120 leiligheter hver. Den gjennomsnittlige estimerte kostnaden for en leilighet i en fem-etasjers bygning er 400 tusen rubler, og i en ni-etasjers bygning 500 tusen rubler. Hvor mange fem-etasjers og hvor mange ni-etasjers bygninger bør byen bygge for å få maksimalt antall leiligheter?

Løsning. La X– det nødvendige antallet fem-etasjers bygninger, y – ni-etasjers, og z – totalt antall leiligheter i disse bygningene:

z = 90x+ 120y

Kostnaden for alle leiligheter i fem-etasjers bygninger vil være 90 × 0,4· X = 36X millioner rubler, og i ni-etasjers bygninger 120 × 0,5 på = 60på millioner rubler. I henhold til betingelsene for problemet har vi:

0 £ X£10; £0 på£8; 36 X + 60på£600

Disse restriktive ulikhetene er åpenbart tilfredsstilt i femkanten (Fig. 4). I dette lukkede området må du finne et punkt M(x;y), som funksjonen for z = 90x+ 120y vil ta størst verdi z maks.

La oss implementere ordningen ovenfor for å løse slike problemer.

1. Finn punkter inne i femkanten som er mistenkelige for et ekstremum for funksjonen z. Fordi , og disse partielle derivatene er åpenbart ikke lik null, så er det ingen punkter som er mistenkelige for et ekstremum inne i femkanten.

2. Finn punkter som er mistenkelige for ekstremum på grensene til femkanten. På hvert av de fem segmentene som utgjør grensen til femkanten, funksjonen z– lineær funksjon av formen z = ax + by, og derfor når den sine største og minste verdier ved grensene til segmentene. Det vil si ønsket maksimal verdi z maks funksjon z når til et av hjørnepunktene (O; A; M 1; M 2; B). Beregner verdi z på disse punktene får vi:

z(OM) = 0; z( EN) = 960; z( M 1) = 1260; z( M 2) = 1380; z( B) = 900.

Dermed z naimbo= 1380 og den nås ved punktet M 2(10; 4). Det vil si at det er størst antall leiligheter (1380) dersom det bygges 10 fem-etasjers bygninger og 4 ni-etasjers bygninger.

Eksempel 5. Bevis at av alle trekanter som har en gitt omkrets 2p, har den likesidede trekanten det største arealet M(2p/3, 2p/3), fordi de resterende punktene tilfredsstiller ikke meningen med problemet: det kan ikke være en trekant hvis side er lik halve omkretsen.

Vi undersøker ekstremumpunktet M(2p/3, 2p/3):

∂ 2 f/∂x 2 = -2p(p-y); ∂ 2 f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂ 2 f/∂y 2 = -2p(p-x);

D=AC-B2=;

D>0, og fordi EN<0 , så når funksjonen på punktet som studeres et maksimum. Så, på et enkelt stasjonært punkt når funksjonen sitt maksimum, og derfor sin største verdi; altså med x=2p/3, y=2p/3 funksjonen når sin maksimale verdi. Men da z=2p-x-y=2p/3. Og fordi x=y=z, da er trekanten likesidet.

La funksjonen y=f(x) være kontinuerlig på segmentet. Som du vet, når denne funksjonen sitt største potensial. og navn verdier. Funksjonen kan ta disse verdiene enten ved segmentets indre punkt eller ved segmentets grense, dvs. når =a eller =b. Hvis , bør punktet søkes blant de kritiske punktene i denne funksjonen.

Vi får følgende regel for å finne de største og minste verdiene av en funksjon på:

1) finn de kritiske punktene til funksjonen på intervallet (a,b);

2) beregne verdiene til funksjonen ved de funnet kritiske punktene;

3) beregne verdiene til funksjonen i enden av segmentet, dvs. ved punktene x=a og x=b;

4) blant alle beregnede verdier av funksjonen, velg den største og minste.

Merknader:

1. Hvis en funksjon y=f(x) på et segment kun har ett kritisk punkt og det er et maksimum (minimum) punkt, så får funksjonen på dette punktet den største (minste) verdien.

2. Hvis funksjonen y=f(x) på et segment ikke har kritiske punkter, betyr dette at funksjonen monotont øker eller avtar på det. Følgelig tar funksjonen sin største verdi (M) i den ene enden av segmentet, og dens minste verdi (m) i den andre.

60. Komplekse tall. Moivres formler.
Komplekst tall Navn uttrykk for formen z = x + iy, hvor x og y er reelle tall, og i er den såkalte. imaginær enhet,. Hvis x=0, kalles tallet 0+iy=iy. et tenkt tall; hvis y=0, er tallet x+i0=x identifisert med det reelle tallet x, som betyr at mengden R av alle er reell. antall fenomener en delmengde av mengden C av alle komplekse tall, dvs. . Nummer x navn ekte del z,. To komplekse tall kalles like (z1=z2) hvis og bare hvis deres reelle deler er like og deres imaginære deler er like: x1=x2, y1=y2. Spesielt er det komplekse tallet Z=x+iy lik null hvis og bare hvis x=y=0. Begrepene "mer" og "mindre" er ikke introdusert for komplekse tall. To komplekse tall z=x+iy og , som bare skiller seg i tegnet til den imaginære delen, kalles konjugat.

Geometrisk representasjon av komplekse tall.

Ethvert komplekst tall z = x + iy kan representeres av et punkt M(x,y) i oksyplanet slik at x=Re z, y=Im z. Og omvendt kan hvert punkt M(x;y) i koordinatplanet betraktes som et bilde av et komplekst tall z = x + iy. Planet som komplekse tall er avbildet på kalles det komplekse planet, fordi de reelle tallene z = x + 0i = x ligger på den. Ordinataksen kalles den imaginære aksen, siden de rent imaginære komplekse tallene z = 0 + iy ligger på den. Det komplekse tallet Z=x+iy kan spesifiseres ved hjelp av radiusvektoren r=OM=(x,y). Lengden på vektoren r som representerer et komplekst tall z kalles modulen til dette tallet og er betegnet med |z| eller r. Størrelsen på vinkelen mellom Retningen til den reelle aksen og vektoren r som representerer et komplekst tall kalles argumentet til dette komplekse tallet, angitt med Arg z eller . Argumentet for komplekse tall Z=0 er udefinert. Argumentet til et komplekst tall er en mengde med flere verdier og bestemmes opp til begrepet der arg z er hovedverdien til argumentet i intervallet (), dvs. - (noen ganger tas en verdi som tilhører intervallet (0; ) som hovedverdien til argumentet).

Å skrive tallet z i formen z=x+iy kalles den algebraiske formen til et komplekst tall.

Operasjoner på komplekse tall

Addisjon. Summen av to komplekse tall z1=x1+iy1 og z2=x2+iy2 er et komplekst tall definert av likheten: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Addisjon av komplekse tall har kommutative og kombinative egenskaper: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Subtraksjon. Subtraksjon er definert som invers av addisjon. Forskjellen mellom komplekse tall z1 og z2 er et komplekst tall z som, lagt til z2, gir tallet z1, dvs. z=z1-z2, hvis z+z2=z1. Hvis z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, så er det fra denne definisjonen lett å få z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Multiplikasjon. Produktet av komplekse tall z1=x1+iy1 og z2=x2+iy2 er det komplekse tallet definert av likheten z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Herfra følger det spesielt: . Hvis tallene er gitt i trigonometrisk form: .

Når du multipliserer komplekse tall, multipliseres modulene deres og argumentene deres legges til. Moivres formel(hvis det er n faktorer og alle er like): .

Definisjon 1.11 La en funksjon av to variabler gis z=z(x,y), (x,y) D . Punktum M 0 (x 0 ;y 0 ) - indre punkt i området D .

Hvis i D det er et slikt nabolag U.M. 0 poeng M 0 , som for alle punkter

pek deretter M 0 kalles et lokalt maksimumspunkt. Og selve meningen z(M 0 ) - lokalt maksimum.

Men hvis for alle punkter

pek deretter M 0 kalles det lokale minimumspunktet for funksjonen z(x,y) . Og selve meningen z(M 0 ) - lokalt minimum.

Det lokale maksimum og lokale minimum kalles lokale ytterpunkter for funksjonen z(x,y) . I fig. 1.4 forklarer den geometriske betydningen av det lokale maksimumet: M 0 - maksimalt punkt, siden på overflaten z =z (x,y) dets tilsvarende punkt C 0 er høyere enn noe nabopunkt C (dette er stedet for maksimum).

Merk at det vanligvis er punkter på overflaten (f.eks. I ), som er plassert ovenfor C 0 , men disse punktene (f.eks. I ) er ikke "naboer" til poenget C 0 .

Spesielt punkt I tilsvarer konseptet med globalt maksimum:

Det globale minimumet er definert på samme måte:

Å finne globale maksima og minima vil bli diskutert i avsnitt 1.10.

Teorem 1.3 (nødvendige betingelser for et ekstremum).

La funksjonen være gitt z =z (x,y), (x,y) D . Punktum M 0 (x 0 ;y 0 D - lokalt ekstremumpunkt.

Hvis det på dette tidspunktet er det z" x Og z" y , Det

Det geometriske beviset er "åpenbart". Hvis på punktet C 0 tegne et tangentplan på (fig. 1.4), så vil det "naturlig" passere horisontalt, dvs. i vinkel 0° til aksen Åh og til aksen OU .

Deretter, i samsvar med den geometriske betydningen av partielle derivater (fig. 1.3):

Q.E.D.

Definisjon 1.12.

Hvis på punktet M 0 betingelsene (1.41) er oppfylt, da kalles det et stasjonært punkt i funksjonen z(x,y) .

Teorem 1.4 (tilstrekkelige betingelser for et ekstremum).

La det bli gitt z =z (x,y), (x,y) D , som har andreordens partielle derivater i et eller annet nabolag av punktet M 0 (x 0 ,y 0 ) D . Dessuten M 0 - stasjonært punkt (dvs. de nødvendige betingelsene (1.41) er oppfylt). La oss regne ut:

Beviset for teoremet bruker emner (Taylors formel for funksjoner til flere variabler og teorien om kvadratiske former) som ikke dekkes i denne opplæringen.

Eksempel 1.13.

Utforsk til det ytterste:

1. Finn stasjonære poeng ved å løse systemet (1.41):

det vil si at det finnes fire stasjonære punkter. 2.

ved teorem 1.4 på det punktet det er et minimum. Dessuten

ved teorem 1.4 på punktet

Maksimum. Dessuten

§10 De største og minste verdiene av en funksjon av to variabler i et lukket domene

Teorem 1.5 La inn et lukket område D funksjon spesifisert z=z(x,y) , med kontinuerlige partielle deriverte av første orden. Grense G region D er stykkevis glatt (det vil si at den består av stykker av "glatt å ta på" kurver eller rette linjer). Så i området D funksjon z(x,y) når sitt største M og minst m verdier.

Ingen bevis.

Du kan foreslå følgende plan for å finne M Og m . 1. Vi bygger en tegning, velg alle deler av områdegrensen D og finn alle "hjørnepunktene" på grensen. 2. Finn stasjonære punkter inne D . 3. Finn stasjonære punkter på hver av grensene. 4. Vi beregner på alle stasjonære og hjørnepunkter, og velger deretter det største M og minst m betydninger.

Eksempel 1.14 Finn den største M og minst m funksjonsverdier z = 4x2-2xy+y2-8x i et lukket område D , begrenset: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. La oss bygge et område D (Fig. 1.5) på et fly Ååå .

Hjørnepunkter: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Grense G region D består av tre deler:

2. Finn stasjonære punkter inne i regionen D :

3. Stasjonære punkter på grensene l 1 , l 2 , l 3 :

4. Vi beregner seks verdier:

Velg den største og minste fra de seks verdiene som er oppnådd.

Og for å løse det trenger du minimal kunnskap om emnet. Nok et skoleår er over, alle ønsker å dra på ferie, og for å bringe dette øyeblikket nærmere, vil jeg umiddelbart komme til poenget:

La oss starte med området. Området det henvises til i betingelsen er begrenset lukket sett med punkter på et fly. For eksempel settet med punkter avgrenset av en trekant, inkludert HELE trekanten (hvis fra grenser"stikk ut" minst ett poeng, så vil ikke regionen lenger være stengt). I praksis er det også områder med rektangulære, runde og litt mer komplekse former. Det skal bemerkes at i teorien om matematisk analyse er det gitt strenge definisjoner begrensninger, isolasjon, grenser osv., men jeg tror alle er klar over disse konseptene på et intuitivt nivå, og nå trengs det ikke mer.

Et flatt område er standard betegnet med bokstaven , og spesifiseres som regel analytisk - med flere ligninger (ikke nødvendigvis lineær); sjeldnere ulikheter. Typisk ordspråk: "lukket område avgrenset av linjer."

En integrert del av oppgaven som vurderes er bygging av et område på tegningen. Hvordan gjøre det? Du må tegne alle de oppførte linjene (i dette tilfellet 3 rett) og analyser hva som skjedde. Det søkte området er vanligvis lett skyggelagt, og grensen er markert med en tykk linje:


Det samme området kan også stilles inn lineære ulikheter: , som av en eller annen grunn ofte skrives som en opplistet liste i stedet for system.
Siden grensen tilhører regionen, så alle ulikheter, selvfølgelig, slapp.

Og nå essensen av oppgaven. Tenk deg at aksen kommer rett mot deg fra origo. Tenk på en funksjon som kontinuerlige i hver områdepunkt. Grafen til denne funksjonen representerer noen flate, og den lille gleden er at for å løse dagens problem trenger vi ikke å vite hvordan denne overflaten ser ut. Det kan være plassert høyere, lavere, krysse flyet - alt dette spiller ingen rolle. Og følgende er viktig: iflg Weierstrass sine teoremer, kontinuerlige V begrenset stengt område funksjonen når sin største verdi (den høyeste") og minst (den laveste") verdier som må finnes. Slike verdier oppnås eller V stasjonære punkter, som tilhører regionenD , eller på punkter som ligger på grensen til dette området. Dette fører til en enkel og gjennomsiktig løsningsalgoritme:

Eksempel 1

I et begrenset lukket område

Løsning: Først av alt må du skildre området på tegningen. Dessverre er det teknisk vanskelig for meg å lage en interaktiv modell av problemet, og derfor vil jeg umiddelbart presentere den endelige illustrasjonen, som viser alle de «mistenkelige» punktene som ble funnet under forskningen. De er vanligvis oppført etter hverandre etter hvert som de blir oppdaget:

Basert på fortalen kan avgjørelsen enkelt deles inn i to punkter:

I) Finn stasjonære punkter. Dette er en standard handling som vi utførte gjentatte ganger i klassen. om ekstreme av flere variabler:

Fant stasjonært punkt tilhører områder: (merk det på tegningen), som betyr at vi bør beregne verdien av funksjonen på et gitt punkt:

- som i artikkelen De største og minste verdiene til en funksjon på et segment, vil jeg fremheve viktige resultater med fet skrift. Det er praktisk å spore dem i en notatbok med en blyant.

Vær oppmerksom på vår andre lykke - det er ingen vits i å sjekke tilstrekkelig tilstand for et ekstremum. Hvorfor? Selv om funksjonen på et tidspunkt når f.eks. lokalt minimum, så BETYR IKKE dette at den resulterende verdien blir minimal i hele regionen (se begynnelsen av leksjonen om ubetingede ytterligheter) .

Hva skal man gjøre hvis det stasjonære punktet IKKE tilhører området? Nesten ingenting! Det bør bemerkes at og gå videre til neste punkt.

II) Vi utforsker grensen til regionen.

Siden grensen består av sidene av en trekant, er det praktisk å dele studien i 3 underseksjoner. Men det er bedre å ikke gjøre det uansett. Fra mitt ståsted er det først og fremst mer fordelaktig å betrakte segmentene parallelt med koordinataksene, og først og fremst de som ligger på selve aksene. For å forstå hele sekvensen og logikken til handlinger, prøv å studere slutten "i ett åndedrag":

1) La oss ta for oss undersiden av trekanten. For å gjøre dette, bytt direkte inn i funksjonen:

Alternativt kan du gjøre det slik:

Geometrisk betyr dette at koordinatplanet (som også er gitt av ligningen)"skjærer" ut av overflater en "romlig" parabel, hvis topp umiddelbart kommer under mistanke. La oss finne det ut hvor befinner hun seg:

– den resulterende verdien «falt» inn i området, og det kan godt vise seg at på punktet (merket på tegningen) funksjonen når den største eller minste verdien i hele regionen. På en eller annen måte, la oss gjøre beregningene:

De andre "kandidatene" er selvfølgelig slutten av segmentet. La oss beregne verdiene til funksjonen ved punkter (merket på tegningen):

Her kan du forresten utføre en muntlig minisjekk ved å bruke en "nedstrippet" versjon:

2) For å studere den høyre siden av trekanten, sett den inn i funksjonen og "sett ting i orden":

Her vil vi umiddelbart utføre en grov sjekk, og "ringe" den allerede behandlede enden av segmentet:
, Flott.

Den geometriske situasjonen er relatert til forrige punkt:

- den resulterende verdien "kom også inn i sfæren av våre interesser", noe som betyr at vi må beregne hva funksjonen på det viste punktet er lik:

La oss undersøke den andre enden av segmentet:

Bruker funksjonen , la oss utføre en kontrollsjekk:

3) Sannsynligvis kan alle gjette hvordan de skal utforske den gjenværende siden. Vi bytter det inn i funksjonen og utfører forenklinger:

Slutter av segmentet er allerede undersøkt, men i utkastet sjekker vi likevel om vi har funnet funksjonen riktig :
– falt sammen med resultatet av første ledd;
– falt sammen med resultatet av 2. ledd.

Det gjenstår å finne ut om det er noe interessant i segmentet:

- Det er! Ved å erstatte den rette linjen i ligningen, får vi ordinaten til denne "interessante":

Vi markerer et punkt på tegningen og finner den tilsvarende verdien av funksjonen:

La oss sjekke beregningene ved å bruke "budsjett"-versjonen :
, rekkefølge.

Og det siste trinnet: Vi ser NØYE gjennom alle de "dristige" tallene, jeg anbefaler at nybegynnere til og med lager en enkelt liste:

som vi velger de største og minste verdiene fra. Svar La oss skrive ned i stil med problemet med å finne de største og minste verdiene til en funksjon på et segment:

Bare i tilfelle vil jeg igjen kommentere den geometriske betydningen av resultatet:
– her er det høyeste punktet på overflaten i regionen;
– her er det laveste punktet på overflaten i området.

I den analyserte oppgaven identifiserte vi 7 "mistenkelige" punkter, men antallet varierer fra oppgave til oppgave. For en trekantet region består minimum "forskningssett" av tre punkter. Dette skjer når funksjonen for eksempel spesifiserer flyet– det er helt klart at det ikke er noen stasjonære punkter, og funksjonen kan nå sine maksimale/minste verdier bare ved hjørnene av trekanten. Men det er bare ett eller to lignende eksempler - vanligvis må du forholde deg til en slags overflate av 2. orden.

Hvis du løser slike oppgaver litt, kan trekanter få hodet til å snurre, og det er derfor jeg har utarbeidet uvanlige eksempler for å gjøre det firkantet :))

Eksempel 2

Finn de største og minste verdiene til en funksjon i et lukket område avgrenset av linjer

Eksempel 3

Finn de største og minste verdiene av en funksjon i et begrenset lukket område.

Vær spesielt oppmerksom på den rasjonelle rekkefølgen og teknikken for å studere grensen til regionen, så vel som til kjeden av mellomkontroller, som nesten helt vil unngå beregningsfeil. Generelt sett kan du løse det som du vil, men i noen problemer, for eksempel i eksempel 2, er det stor sjanse for å gjøre livet ditt mye vanskeligere. Et omtrentlig utvalg av de avsluttende oppgavene på slutten av leksjonen.

La oss systematisere løsningsalgoritmen, ellers, med min flid som edderkopp, forsvant den på en eller annen måte i den lange tråden av kommentarer i det første eksemplet:

– I det første trinnet bygger vi et område, det er lurt å skyggelegge det og markere grensen med en fet linje. Under løsningen vil det dukke opp punkter som må markeres på tegningen.

– Finn stasjonære punkter og beregn verdiene til funksjonen bare i de av dem som tilhører regionen. Vi fremhever de resulterende verdiene i teksten (for eksempel sirkle dem med en blyant). Hvis et stasjonært punkt IKKE tilhører regionen, markerer vi dette faktum med et ikon eller verbalt. Hvis det ikke er noen stasjonære punkter i det hele tatt, trekker vi en skriftlig konklusjon om at de er fraværende. Dette punktet kan i alle fall ikke hoppes over!

– Vi utforsker grensen til regionen. For det første er det fordelaktig å forstå de rette linjene som er parallelle med koordinataksene (hvis det er noen i det hele tatt). Vi fremhever også funksjonsverdiene beregnet på "mistenkelige" punkter. Mye er blitt sagt ovenfor om løsningsteknikken og noe annet vil bli sagt nedenfor - les, les på nytt, fordyp deg i det!

– Fra de valgte tallene, velg de største og minste verdiene og gi svaret. Noen ganger skjer det at en funksjon når slike verdier på flere punkter samtidig - i dette tilfellet bør alle disse punktene gjenspeiles i svaret. La f.eks. og det viste seg at dette er den minste verdien. Så skriver vi ned det

De siste eksemplene dekker andre nyttige ideer som vil komme til nytte i praksis:

Eksempel 4

Finn de største og minste verdiene til en funksjon i et lukket område .

Jeg har beholdt forfatterens formulering, der arealet er gitt i form av en dobbel ulikhet. Denne tilstanden kan skrives av et ekvivalent system eller i en mer tradisjonell form for dette problemet:

Jeg minner deg om at med ikke-lineær vi møtte ulikheter på , og hvis du ikke forstår den geometriske betydningen av notasjonen, vær så snill å ikke utsett og avklar situasjonen akkurat nå;-)

Løsning, som alltid, begynner med å konstruere et område som representerer en slags "såle":

Hmm, noen ganger må du ikke bare tygge vitenskapens granitt...

I) Finn stasjonære punkter:

Systemet er en idiots drøm :)

Et stasjonært punkt tilhører regionen, nemlig ligger på grensen.

Og så, det er greit ... leksjonen gikk bra - dette er hva det betyr å drikke riktig te =)

II) Vi utforsker grensen til regionen. Uten videre, la oss starte med x-aksen:

1) Hvis , da

La oss finne hvor toppunktet til parablen er:
– sett pris på slike øyeblikk – du "treffer" rett til det punktet hvor alt allerede er klart. Men vi glemmer fortsatt ikke å sjekke:

La oss beregne verdiene til funksjonen i enden av segmentet:

2) La oss ta for oss den nedre delen av "sålen" "i en sitting" - uten komplekser erstatter vi den med funksjonen, og vi vil bare være interessert i segmentet:

Kontroll:

Dette gir allerede litt spenning til den monotone kjøringen langs den riflede banen. La oss finne kritiske punkter:

La oss bestemme kvadratisk ligning, husker du noe mer om dette? ...Men husk selvfølgelig, ellers ville du ikke lest disse linjene =) Hvis det i de to foregående eksemplene var praktiske beregninger i desimalbrøker (noe som forøvrig er sjeldent), så her de vanlige vanlige brøkene venter på oss. Vi finner "X"-røttene og bruker ligningen for å bestemme de tilsvarende "spill"-koordinatene til "kandidat"-punktene:


La oss beregne verdiene til funksjonen ved de funnet punktene:

Sjekk funksjonen selv.

Nå studerer vi de vunne trofeene nøye og skriver ned svar:

Dette er "kandidater", dette er "kandidater"!

For å løse det selv:

Eksempel 5

Finn de minste og største verdiene til en funksjon i et lukket område

En oppføring med krøllete seler lyder slik: "et sett med punkter slik at."

Noen ganger i slike eksempler bruker de Lagrange multiplikatormetode, men det er neppe et reelt behov for å bruke det. Så, for eksempel, hvis en funksjon med samme område "de" er gitt, så etter substitusjon i den - med den deriverte fra ingen vanskeligheter; Dessuten er alt trukket opp i "en linje" (med tegn) uten at du trenger å vurdere de øvre og nedre halvsirklene separat. Men det er selvfølgelig også mer komplekse saker, der uten Lagrange-funksjonen (hvor, for eksempel, er den samme ligningen av en sirkel) Det er vanskelig å klare seg – akkurat som det er vanskelig å klare seg uten en god hvile!

Ha det fint alle sammen og ses snart neste sesong!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: La oss skildre området på tegningen: