Treghetsmoment under parallell overføring. Endringer i treghetsmomenter under parallell translasjon av akser. Sekvens for beregning av en kompleks seksjon

Hvis aksene er sentrale, vil momentaksene se slik ut:

15.Avhengighet mellom treghetsmomenter når du dreier aksene:

J x 1 = J x cos 2a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 = J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 yl = (J x - J y) sin2a + J xy cos2a;

Vinkel a>0, hvis overgangen fra det gamle koordinatsystemet til det nye skjer mot klokken. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Ekstreme (maksimum og minimum) verdier av treghetsmomenter kalles de viktigste treghetsmomentene. Aksene som de aksiale treghetsmomentene har ekstreme verdier om, kalles treghetsakser. Treghetsaksene er gjensidig vinkelrette. Sentrifugale treghetsmomenter om hovedaksene = 0, dvs. treghetshovedakser - akser som det sentrifugale treghetsmomentet er = 0. Hvis en av aksene sammenfaller eller begge sammenfaller med symmetriaksen, så er de de viktigste. Vinkel som definerer posisjonen til hovedaksene: , hvis a 0 >0 Þ roterer aksene mot klokken. Den maksimale aksen lager alltid en mindre vinkel med aksene i forhold til som treghetsmomentet har en større verdi. Hovedaksene som går gjennom tyngdepunktet kalles sentrale treghetsakser. Treghetsmomenter rundt disse aksene:

J max + J min = J x + J y . Det sentrifugale treghetsmomentet i forhold til de sentrale treghetsaksene er 0. Hvis de viktigste treghetsmomentene er kjent, er formlene for overgang til roterte akser:

J x 1 = J maks cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 = J maks cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 yl = (J maks - J min) sin2a;

Det endelige målet med å beregne de geometriske egenskapene til seksjonen er å bestemme de viktigste sentrale treghetsmomentene og posisjonen til de sentrale treghetsaksene. Treghetsradius - ; Jx=F×i x2, J y =F×i y2.

Hvis J x og J y er de viktigste treghetsmomentene, så i x og i y - hovedgyrasjonsradier. En ellipse bygget på treghetsradiene som på halvaksene kalles treghetsellipse. Ved å bruke treghetsellipsen kan du grafisk finne treghetsradiusen i x 1 for en hvilken som helst akse x 1. For å gjøre dette må du tegne en tangent til ellipsen, parallelt med x1-aksen, og måle avstanden fra denne aksen til tangenten. Når du kjenner treghetsradiusen, kan du finne treghetsmomentet til seksjonen i forhold til x-aksen 1: . For seksjoner med mer enn to symmetriakser (for eksempel: sirkel, firkant, ring osv.), er de aksiale treghetsmomentene rundt alle sentrale akser lik hverandre, J xy = 0, treghetsellipsen blir til en treghetssirkel.

Ofte, når man løser praktiske problemer, er det nødvendig å bestemme treghetsmomentene til en seksjon i forhold til akser orientert på forskjellige måter i planet. Samtidig er den praktisk å bruke kjente verdier treghetsmomenter for hele seksjonen (eller dens individuelle bestanddeler) i forhold til andre akser, gitt i teknisk litteratur, spesielle referansebøker og tabeller, samt beregnet ved hjelp av tilgjengelige formler. Derfor er det veldig viktig å etablere forholdet mellom treghetsmomentene til samme seksjon i forhold til forskjellige akser.

I det mest generelle tilfellet, flytte fra hvilken som helst gammel til hvilken som helst nytt system koordinater kan betraktes som to suksessive transformasjoner av det gamle koordinatsystemet:

1) ved parallell overføring av koordinatakser til ny posisjon og

2) ved å rotere dem i forhold til den nye opprinnelsen. La oss vurdere den første av disse transformasjonene, dvs. parallell oversettelse av koordinatakser.

La oss anta at treghetsmomentene til en gitt seksjon i forhold til de gamle aksene (fig. 18.5) er kjent.

La oss ta et nytt koordinatsystem hvis akser er parallelle med de forrige. La oss betegne a og b koordinatene til punktet (dvs. den nye origo) i det gamle koordinatsystemet

La oss vurdere et elementært sted. Koordinatene i det gamle koordinatsystemet er lik y og . I det nye systemet er de like

La oss erstatte disse koordinatverdiene i uttrykket for det aksiale treghetsmomentet i forhold til aksen

I det resulterende uttrykket er treghetsmomentet, det statiske momentet til snittet i forhold til aksen, lik arealet F av snittet.

Derfor,

Hvis z-aksen går gjennom tyngdepunktet til seksjonen, vil det statiske momentet og

Fra formel (25.5) er det klart at treghetsmomentet om enhver akse som ikke går gjennom tyngdepunktet er mer dreiemoment treghet rundt en akse som går gjennom tyngdepunktet, med en mengde som alltid er positiv. Derfor av alle treghetsmomentene i forhold til parallelle akser det aksiale treghetsmomentet har minste verdi i forhold til en akse som går gjennom tyngdepunktet til seksjonen.

Treghetsmoment om aksen [i analogi med formel (24.5)]

I det spesielle tilfellet når y-aksen passerer gjennom tyngdepunktet til seksjonen

Formler (25.5) og (27.5) er mye brukt for å beregne aksiale treghetsmomenter for komplekse (sammensatte) seksjoner.

La oss nå erstatte verdiene i uttrykket for det sentrifugale treghetsmomentet i forhold til aksene

2. Statiske momenter av tverrsnittsarealet i forhold til aksene Oz Og Åh(cm 3, m 3):

4. Sentrifugalt treghetsmoment av snittet i forhold til aksene Oz Og Oy(cm 4, m 4):

Siden da

Aksial Jz Og Jy og polar J p treghetsmomenter er alltid positive, siden koordinatene til andre potens er under integrertegnet. Statiske øyeblikk S z Og S y, samt det sentrifugale treghetsmomentet J zy kan være både positiv og negativ.

Utvalget av valset stål for vinkler gir verdiene av sentrifugalmomenter modulo. Deres verdier bør legges inn i beregningen under hensyntagen til tegnet.

For å bestemme tegnet på hjørnets sentrifugale moment (fig. 3.2), forestiller vi oss det mentalt som summen av tre integraler, som beregnes separat for deler av seksjonen som ligger i koordinatsystemets kvartaler. Det er klart at for delene som ligger i første og tredje kvartal vil vi ha en positiv verdi av denne integralen, siden produktet zydA vil være positiv, og integralene beregnet for delene som ligger i II og IV kvartalene vil være negative (produktet zydA vil være negativ). For hjørnet i fig. 3.2, og verdien av det sentrifugale treghetsmomentet vil være negativt.

Ved å resonnere på lignende måte for et utsnitt som har minst én symmetriakse (fig. 3.2,b), kan vi komme til den konklusjon at det sentrifugale treghetsmomentet J zy er lik null hvis en av aksene (Oz eller Oy) er snittets symmetriakse. Faktisk, for deler av trekanten som ligger i 1. og 2. kvartal, vil de sentrifugale treghetsmomentene bare avvike i tegn. Det samme kan sies om delene som er i III og IV kvartalene.

Statiske øyeblikk. Bestemme tyngdepunktet

La oss beregne de statiske momentene rundt aksene Oz Og Åh rektangel vist i fig. 3.3.

Figur 3.3. Mot beregning av statiske momenter

Her: EN- tverrsnittsareal, yC Og z C– koordinater til tyngdepunktet. Tyngdepunktet til rektangelet er i skjæringspunktet mellom diagonalene.

Det er åpenbart at hvis aksene som statiske momenter beregnes rundt går gjennom tyngdepunktet til figuren, så er dens koordinater lik null ( z C = 0, yC= 0), og i samsvar med formel (3.6) vil de statiske momentene også være lik null. Dermed, tyngdepunktet til en seksjon er et punkt som har følgende egenskap: statisk moment om enhver akse som går gjennom det,lik null.

Formler (3.6) lar oss finne koordinatene til tyngdepunktet z C Og yC seksjoner med kompleks form. Hvis seksjonen kan representeres i skjemaet n deler som arealene og posisjonene til tyngdepunktene er kjent for, så kan beregningen av koordinatene til tyngdepunktet til hele seksjonen skrives i formen:

.

(3.7)

Endring i treghetsmomenter kl parallell overføringøkser

La treghetsmomentene bli kjent Jz, Jy Og J zy i forhold til aksene Oyz. Det er nødvendig å bestemme treghetsmomentene JZ, JY Og J ZY i forhold til aksene O 1 YZ, parallelt med aksene Oyz(Fig. 3.4) og skilt fra dem på avstand en(horisontalt) og b(vertikalt)

Figur 3.4. Endring av treghetsmomenter under parallell translasjon av akser

Koordinater for det elementære stedet dA er knyttet til hverandre ved følgende likheter: Z = z + en; Y = y + b.

La oss beregne treghetsmomentene JZ, JY Og J ZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Hvis poenget O aksekryss Oyz sammenfaller med poenget MED– tyngdepunkt for seksjonen (fig. 3.5) statiske momenter S z Og S y blir lik null, og formlene forenklesY i og Z i må tas hensyn til skiltene. Koordinattegnene vil ikke påvirke de aksiale treghetsmomentene (koordinatene heves til annen potens), men koordinattegnet vil ha innvirkning på det sentrifugale treghetsmomentet betydelig innflytelse(arbeid Z i Y i A i kan vise seg å være negativ).

La oss introdusere et kartesisk rektangulært koordinatsystem O xy . La oss vurdere et vilkårlig snitt (lukket område) med område A i koordinatplanet (fig. 1).

Statiske øyeblikk

Punkt C med koordinater (x C , y C)

kalt tyngdepunktet til seksjonen.

Hvis koordinataksene går gjennom tyngdepunktet til seksjonen, er de statiske momentene til seksjonen lik null:

Aksiale treghetsmomenter seksjoner i forhold til x- og y-aksene kalles integraler av formen:

Polar treghetsmoment seksjon med hensyn til opprinnelsen til koordinater kalles en integral av formen:

Sentrifugalt treghetsmoment seksjon kalles en integral av formen:

Hovedtreghetsaksene til seksjonen to innbyrdes vinkelrette akser kalles, i forhold til hvilke I xy = 0. Hvis en av de innbyrdes perpendikulære aksene er symmetriaksen til seksjonen, så er I xy =0, og derfor er disse aksene hovedaksene. Hovedaksene som går gjennom tyngdepunktet til seksjonen kalles hovedtreghetsaksene til seksjonen

2. Steiner-Huygens teorem om parallell translasjon av akser

Steiner-Huygens teorem (Steiners teorem).
Aksielt treghetsmoment av seksjon I i forhold til en vilkårlig fast akse x lik summen det aksiale treghetsmomentet til denne seksjonen I med den relative aksen x * parallelt med den, som går gjennom seksjonens massesenter, og produktet av tverrsnittsarealet A med kvadratet av avstanden d mellom de to aksene .

Hvis treghetsmomentene I x og I y i forhold til x- og y-aksene er kjente, og i forhold til ν- og u-aksene rotert med en vinkel α, beregnes de aksiale og sentrifugale treghetsmomentene ved å bruke formlene:

Fra formlene ovenfor er det klart at

De. summen av aksiale treghetsmomenter ved roterende innbyrdes perpendikulære akser endres ikke, dvs. aksene u og v, i forhold til hvilke sentrifugaltreghetsmomentet til seksjonen er null, og de aksiale treghetsmomentene I u og I v har ekstreme verdier max eller min, kalles hovedaksene til seksjonen. Hovedaksene som går gjennom tyngdepunktet til seksjonen kalles seksjonens hovedakser. For symmetriske seksjoner er deres symmetriakser alltid de viktigste sentrale aksene. Posisjonen til seksjonens hovedakser i forhold til andre akser bestemmes ved å bruke forholdet:

hvor α 0 er vinkelen som x- og y-aksene må roteres med slik at de blir de viktigste (en positiv vinkel settes vanligvis mot klokken, en negativ vinkel settes med klokken). Aksiale treghetsmomenter rundt hovedaksene kalles de viktigste treghetsmomentene:

Plusstegnet foran det andre leddet refererer til maksimalt treghetsmoment, minustegnet til minimum.

Aksene som går gjennom tyngdepunktet til en plan figur kalles sentrale akser.
Treghetsmomentet om sentralaksen kalles det sentrale treghetsmomentet.

Teorem

Treghetsmomentet om enhver akse er lik summen av treghetsmomentet om sentralaksen parallelt med den gitte og produktet av arealet til figuren og kvadratet av avstanden mellom aksene.

For å bevise dette teoremet, vurder en vilkårlig plan figur hvis areal er lik EN , ligger tyngdepunktet ved punktet MED , og det sentrale treghetsmomentet om aksen x vil Ix .
La oss beregne treghetsmomentet til figuren i forhold til en bestemt akse x 1 , parallelt med sentralaksen og med avstand fra den EN (ris).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Ved å analysere den resulterende formelen legger vi merke til at det første leddet er det aksiale treghetsmomentet i forhold til sentralaksen, det andre leddet er det statiske øyeblikket til området til denne figuren i forhold til sentralaksen (derfor er det lik null), og det tredje leddet etter integrasjon kan representeres som et produkt a 2 A , dvs. som et resultat får vi formelen:

I x1 = I x + a 2 A- teoremet er bevist.

Basert på teoremet kan vi konkludere med det av en serie parallelle akser, vil det aksiale treghetsmomentet til en flat figur være det minste i forhold til sentralaksen .

Hovedakser og viktigste treghetsmomenter

La oss forestille oss en flat figur hvis treghetsmomenter i forhold til koordinataksene Ix Og jeg y , og det polare treghetsmomentet i forhold til origo er lik jeg ρ . Som det ble fastslått tidligere,

I x + I y = I ρ.

Hvis koordinataksene roteres i sitt plan rundt opprinnelsen til koordinatene, vil det polare treghetsmomentet forbli uendret, og de aksiale momentene vil endres, mens summen deres vil forbli konstant. Siden summen av variabler er konstant, minker en av dem og den andre øker, og omvendt.
Følgelig, ved en viss posisjon av aksene, vil ett av de aksiale momentene nå maksimalverdien, og det andre - minimum.

Aksene som treghetsmomentene har minimums- og maksimumsverdier om kalles treghetshovedaksene.
Treghetsmomentet om hovedaksen kalles treghetsmomentet.

Hvis hovedaksen går gjennom tyngdepunktet til en figur, kalles den hovedsentralaksen, og treghetsmomentet om en slik akse kalles det viktigste sentrale treghetsmomentet.
Vi kan konkludere med at hvis en figur er symmetrisk om en hvilken som helst akse, vil denne aksen alltid være en av de sentrale treghetsaksene til denne figuren.

Sentrifugalt treghetsmoment

Det sentrifugale treghetsmomentet til en flat figur er summen av produktene av elementære områder tatt over hele området og avstanden til to innbyrdes vinkelrette akser:

I xy = Σ xy dA,

Hvor x , y - avstander fra stedet dA til aksler x Og y .
Det sentrifugale treghetsmomentet kan være positivt, negativt eller null.

Det sentrifugale treghetsmomentet er inkludert i formlene for å bestemme posisjonen til hovedaksene til asymmetriske seksjoner.
Standard profiltabeller inneholder en egenskap kalt seksjonens svingningsradius , beregnet med formlene:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (heretter tegnet"√"- rottegn)

Hvor Jeg x, jeg y - aksiale treghetsmomenter av seksjonen i forhold til de sentrale aksene; EN - tverrsnittsareal.
Denne geometriske egenskapen brukes i studiet av eksentrisk spenning eller kompresjon, samt langsgående bøyning.

Torsjonsdeformasjon

Grunnleggende begreper om torsjon. Torsjon av en rund bjelke.

Torsjon er en type deformasjon der det kun oppstår et dreiemoment i et hvilket som helst tverrsnitt av bjelken, dvs. en kraftfaktor som forårsaker en sirkulær bevegelse av seksjonen i forhold til en akse vinkelrett på denne seksjonen, eller forhindrer slik bevegelse. Med andre ord oppstår torsjonsdeformasjoner hvis et eller flere krefter påføres en rett bjelke i plan vinkelrett på dens akse.
Momentene til disse kraftparene kalles vridning eller rotering. Dreiemoment er angitt med T .
Denne definisjonen deler konvensjonelt inn kraftfaktorene for torsjonsdeformasjon i eksterne (torsjon, dreiemoment T ) og interne (momenter M cr ).

I maskiner og mekanismer blir runde eller rørformede aksler oftest utsatt for vridning, så det gjøres oftest styrke- og stivhetsberegninger for slike enheter og deler.

Tenk på torsjonen til en rund sylindrisk aksel.
Se for deg en sylindrisk aksel av gummi der en av endene er stivt festet, og på overflaten er det et rutenett av langsgående linjer og tverrgående sirkler. Vi vil bruke et par krefter på den frie enden av akselen, vinkelrett på aksen til denne akselen, det vil si at vi vil vri den langs aksen. Hvis du nøye undersøker rutenettet på overflaten av skaftet, vil du legge merke til at:
- akselaksen, som kalles torsjonsaksen, vil forbli rett;
- diametrene til sirklene vil forbli de samme, og avstanden mellom tilstøtende sirkler vil ikke endres;
- langsgående linjer på akselen vil bli til spiralformede linjer.

Fra dette kan vi konkludere at når en rund sylindrisk bjelke (aksel) torsjoneres, er hypotesen sann flate partier, og anta også at radiene til sirklene forblir rette under deformasjon (siden deres diametre ikke har endret seg). Og siden det ikke er noen langsgående krefter i akselseksjonene, opprettholdes avstanden mellom dem.

Følgelig består torsjonsdeformasjonen til en rund aksel i rotasjonen av tverrsnittene i forhold til hverandre rundt torsjonsaksen, og deres rotasjonsvinkler er direkte proporsjonale med avstandene fra den faste seksjonen - jo lenger en seksjon er fra den faste enden av akselen, jo større vinkel i forhold til akselens akse vrir den .
For hver akselseksjon, rotasjonsvinkelen lik vinkel vri den delen av akselen som er innelukket mellom denne seksjonen og tetningen (fast ende).


Hjørne ( ris. 1) rotasjon av den frie enden av akselen (endeseksjonen) kalles full vinkel vri den sylindriske bjelken (akselen).
Relativ vrivinkel φ 0 kalt torsjonsvinkelforholdet φ 1 til avstanden l 1 fra en gitt seksjon til innstøping (fast seksjon).
Hvis den sylindriske bjelken (akselen) er lang l har et konstant tverrsnitt og er belastet med et torsjonsmoment i den frie enden (dvs. består av et homogent geometrisk snitt), så er følgende utsagn sant:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = konst - Verdien er konstant.

Hvis vi vurderer et tynt lag på overflaten av den ovennevnte sylindriske gummistangen ( ris. 1), begrenset av en rutenettcelle cdef , så merker vi at denne cellen deformeres under deformasjon, og dens side, fjernt fra den faste seksjonen, forskyves mot vridningen av strålen og inntar posisjonen cde 1 f 1 .

Det skal bemerkes at et lignende bilde observeres under skjærdeformasjon, bare i dette tilfellet blir overflaten deformert på grunn av translasjonsbevegelse av seksjoner i forhold til hverandre, og ikke på grunn av rotasjonsbevegelse, som i torsjonsdeformasjon. Basert på dette kan vi konkludere med at under torsjon i tverrsnitt oppstår kun tangentielle indre krefter (spenninger), som danner et dreiemoment.

Så dreiemomentet er det resulterende momentet i forhold til aksen til strålen av interne tangentielle krefter som virker i tverrsnittet.