Treghetsmoment i forhold til parallelle akser. Endringer i treghetsmomentene til stangen under parallell translasjon av aksene. Hovedmomenter og hovedtreghetsakser
La oss bestemme forholdet mellom de forskjellige treghetsmomentene til seksjonen i forhold til to parallelle akser (fig. 6.7), forbundet med avhengighetene
1. For statiske treghetsmomenter
Endelig,
2. For aksiale treghetsmomenter
derfor,
Hvis aksen z går gjennom tyngdepunktet til seksjonen, da
Av alle treghetsmomentene om parallelle akser, har det aksiale treghetsmomentet den minste verdien rundt aksen som går gjennom tyngdepunktet til seksjonen.
Samme for akse
Når aksen y går gjennom tyngdepunktet til seksjonen
3. For de sentrifugale treghetsmomentene vi oppnår
Endelig kan vi skrive
I tilfelle når opprinnelsen til koordinatsystemet yz er i tyngdepunktet for seksjonen, får vi
I tilfellet der en eller begge aksene er symmetriakser,
6.7. Endring av treghetsmomenter ved dreiing av akser
La treghetsmomentene til snittet i forhold til koordinataksene gis zy.
Vinkelen anses som positiv hvis det gamle koordinatsystemet må roteres mot klokken for å flytte til det nye (for et høyrehendt kartesisk rektangulært koordinatsystem). Nytt og gammelt zy koordinatsystemer er forbundet med avhengigheter som følger av fig. 6,8:
1. La oss definere uttrykk for aksiale treghetsmomenter i forhold til aksene til det nye koordinatsystemet:
Tilsvarende med hensyn til aksen
Hvis vi legger sammen verdiene til treghetsmomentene om aksene og, får vi
det vil si at når aksene roterer er summen av de aksiale treghetsmomentene en konstant verdi.
2. La oss utlede formler for sentrifugale treghetsmomenter.
.
6.8. De viktigste treghetsmomentene. Treghetsakser
De ekstreme verdiene for de aksiale treghetsmomentene til seksjonen kalles de viktigste treghetsmomentene.
To innbyrdes perpendikulære akser, som de aksiale treghetsmomentene har ekstreme verdier rundt, kalles treghetshovedaksene.
For å finne de viktigste treghetsmomentene og posisjonen til treghetshovedaksene, bestemmer vi den første deriverte med hensyn til vinkelen til treghetsmomentet, bestemt av formel (6.27)
La oss likestille dette resultatet til null:
hvor er vinkelen som koordinataksene må roteres med y Og z slik at de faller sammen med hovedaksene.
Ved å sammenligne uttrykk (6.30) og (6.31), kan vi slå fast det
,
Følgelig er det sentrifugale treghetsmomentet null i forhold til treghetshovedaksene.
Gjensidig vinkelrette akser, hvorav den ene eller begge faller sammen med seksjonens symmetriakser, er alltid treghetsaksene.
La oss løse ligning (6.31) for vinkel:
.
Hvis >0, så for å bestemme posisjonen til en av treghetshovedaksene for høyre (venstre) kartesiske rektangulære koordinatsystem, er det nødvendig med en akse z drei i vinkel mot rotasjonsretningen (i rotasjonsretningen) med klokken. Hvis<0, то для определения положения одной из главных осей инерции для правой (левой) декартовой прямоугольной системы координат необходимо осьz drei i vinkel i rotasjonsretningen (mot klokken) med klokken.
Den maksimale aksen lager alltid en mindre vinkel med aksene ( y eller z), i forhold til hvilken det aksiale treghetsmomentet har en større verdi (fig. 6.9).
Den maksimale aksen er rettet i en vinkel til aksen(), if() og er plassert i de partalls (odde) fjerdedelene av aksene, if().
La oss bestemme de viktigste treghetsmomentene og. Ved å bruke formler fra trigonometri som forbinder funksjonene,,,med funksjonene,,fra formel (6.27) får vi
,
Figur 7.
,
,
,
Hvor Jeg x, jeg y – aksiale treghetsmomenter i forhold til referanseaksene;
jeg xy– sentrifugalt treghetsmoment i forhold til referanseaksene;
Jeg xc, jeg yc– aksiale treghetsmomenter i forhold til de sentrale aksene;
jeg xcyc– sentrifugalt treghetsmoment i forhold til sentralaksene;
a, b– avstand mellom akser.
Bestemmelse av treghetsmomentene til en seksjon ved rotering av aksene
Alle geometriske karakteristikker av snittet i forhold til de sentrale aksene er kjent x C,på C(Fig. 8). La oss bestemme treghetsmomentene rundt aksene x 1,kl 1, rotert i forhold til de sentrale med en viss vinkel en.
Figur 8
,
Hvor I x 1, jeg y 1 – aksiale treghetsmomenter rundt aksene x 1,kl 1 ;
I x 1 y 1– sentrifugalt treghetsmoment i forhold til aksene x 1,kl 1 .
Bestemmelse av posisjonen til de sentrale treghetsaksene
Plasseringen av hovedtreghetsaksene til seksjonen bestemmes av formelen:
,
Hvor en 0 – vinkelen mellom sentral- og hovedtreghetsaksen.
Bestemmelse av de viktigste treghetsmomentene
De viktigste treghetsmomentene til seksjonen bestemmes av formelen:
Sekvens for beregning av en kompleks seksjon
1) Bryt et komplekst utsnitt i enkle geometriske former [S 1, S 2,…;x 1, y 1; x 2, y 2, …]
2) Velg vilkårlige akser XOY .
3) Bestem plasseringen av tyngdepunktet til seksjonen [x c, y c].
4) Tegn de sentrale aksene X c OY c.
5) Beregn treghetsmomenter Ixc, Iy c , ved å bruke teoremet om parallell translasjon av akser.
6) Beregn sentrifugaltreghetsmomentet Ix c y c.
7) Bestem posisjonen til treghetshovedaksene tg2a 0.
8) Beregn de viktigste treghetsmomentene Imax, Jeg er med.
EKSEMPEL 2
Bestem hovedpunktene for figuren vist i figur 13
treghet og posisjonen til treghetens hovedakser.
1) Vi deler den komplekse seksjonen i enkle geometriske former
S 1 = 2000 mm 2, S2 = 1200 mm 2, S= 3200 mm 2.
2) Velg vilkårlige XOY-akser.
3) Bestem plasseringen av tyngdepunktet til seksjonen
x c = 25 mm, y c=35 mm.
4) Tegning av de sentrale aksene X c OY c
5) Beregn treghetsmomenter Ix c, Iy c
6) Beregn sentrifugaltreghetsmomentet Ix c y c
7) Bestem posisjonen til treghetshovedaksene
Hvis I x > I y Og a 0 >0 , deretter vinkelen en 0 forskjøvet fra aksen X s mot klokken.
8) Beregn de viktigste treghetsmomentene Imax, Jeg er med
EKSEMPEL 3
 |
For figuren vist i fig. 8 bestemme posisjonen til hovedaksene
Figur 8.
treghet og treghetsmomenter.
1) Vi skriver ned de grunnleggende startdataene for hver figur
Kanal
S 1 = 10,9 cm 2
I x = 20,4 cm 4
Jeg y = 174 cm 4
y 0= 1,44 cm
h= 10 cm
Ujevnt hjørne
S3 = 6,36 cm 2
I x = 41,6 cm 4
Jeg y = 12,7 cm 4
Jeg min = 7,58 cm 4
tga= 0,387
x 0= 1,13 cm
y 0= 2,6 cm
Rektangel
S2 = 40 cm 2
cm 4
cm 4
2) Tegn utsnittet i målestokk
3) Tegn vilkårlige koordinatakser
4) Bestem koordinatene til tyngdepunktet til strekningen
5) Tegn de sentrale aksene
6) Bestem de aksiale treghetsmomentene i forhold til de sentrale aksene
7) Bestem det sentrifugale treghetsmomentet i forhold til sentralaksene
Det sentrifugale treghetsmomentet for vinkelvalset stål i forhold til dets tyngdepunkt bestemmes av en av følgende formler:
-4
Tegnet på sentrifugaltreghetsmomentet for vinkelvalset stål bestemmes i henhold til fig. 9, derfor Jeg xy 3= -13,17 cm 4.
8) Bestem posisjonen til treghetshovedaksene
 |
a 0 = 21,84°
9) Bestem de viktigste treghetsmomentene
OPPGAVE 4
For de gitte ordningene (tabell 6) er det nødvendig:
1) Tegn et tverrsnitt i en streng skala.
2) Bestem posisjonen til tyngdepunktet.
3) Finn verdiene til de aksiale treghetsmomentene i forhold til de sentrale aksene.
4) Finn verdien av det sentrifugale treghetsmomentet i forhold til sentralaksene.
5) Bestem posisjonen til treghetshovedaksene.
6) Finn de viktigste treghetsmomentene.
Ta numeriske data fra tabellen. 6.
Regneskjemaer for oppgave nr. 4
 |
|||
 | |||
 |
Tabell 6
Startdata for oppgave nr. 4
| № | Like vinkel hjørne | Ujevnt hjørne | Jeg stråler | Kanal | Rektangel | Opplegg nr. |
| 30´5 | 50´32´4 | 100´30 | ||||
| 40´6 | 56´36´4 | 100´40 | ||||
| 50´4 | 63´40´8 | 100´20 | ||||
| 56´4 | 70´45´5 | 80´40 | ||||
| 63´6 | 80´50´6 | 14a | 80´60 | |||
| 70´8 | 90´56´6 | 80´100 | ||||
| 80´8 | 100´63´6 | 20a | 16a | 80´20 | ||
| 90´9 | 90´56´8 | 60´40 | ||||
| 75´9 | 140´90´10 | 22a | 18a | 60´60 | ||
| 100´10 | 160´100´12 | 60´40 | ||||
| d | EN | b | V | G | d |
Veibeskrivelse for oppgave 5
Bøyning er en type deformasjon der V.S.F. vises i tverrsnittet av stangen. - bøyemoment.
For å beregne en bjelke for bøying, er det nødvendig å vite verdien av det maksimale bøyemomentet M og posisjonen til seksjonen der den oppstår. På samme måte må du vite maksimal skjærkraft Q. For dette formålet er det konstruert diagrammer over bøyemomenter og skjærkrefter. Fra diagrammene er det lett å bedømme hvor den maksimale verdien av momentet eller skjærkraften vil være. For å bestemme verdiene M Og Q bruk seksjonsmetoden. Tenk på kretsen vist i fig. 9. La oss kompilere summen av krefter på aksen Y, som virker på den avskårne delen av strålen.
 |
Figur 9.
Tverrkraften er lik den algebraiske summen av alle krefter som virker på den ene siden av snittet.
La oss kompilere summen av momentene som virker på den avskårne delen av bjelken i forhold til seksjonen.
Bøyemomentet er lik den algebraiske summen av alle momenter som virker på den avskårne delen av bjelken i forhold til seksjonens tyngdepunkt.
For å kunne utføre beregninger fra hvilken som helst ende av bjelken, er det nødvendig å ta i bruk fortegnsregelen for indre kraftfaktorer.
For skjærkraft Q.
Figur 10.
Hvis en ekstern kraft roterer den kuttede delen av bjelken med klokken, så er kraften positiv hvis en ekstern kraft roterer den kuttede delen av bjelken mot klokken, så er kraften negativ.
For bøyemoment M.
Figur 11.
Hvis, under påvirkning av en ytre kraft, den buede aksen til bjelken har form av en konkav skål, slik at regnet som kommer ovenfra vil fylle den med vann, så er bøyemomentet positivt (fig. 11a). Hvis, under påvirkning av en ytre kraft, den buede aksen til bjelken har form av en konveks skål, slik at regnet som kommer ovenfra ikke vil fylle den med vann, så er bøyemomentet negativt (fig. 11b).
Mellom intensitet fordelt belastning q, skjærkraft Q og bøyemoment M, som handler i en bestemt seksjon, er det følgende differensielle avhengigheter:
De angitte differensialavhengighetene under bøyning gjør det mulig å etablere noen trekk ved diagrammene over tverrkrefter og bøyemomenter.
1) I de områdene hvor det ikke er fordelt last, diagram Q begrenset til rette linjer, parallelt med aksen diagrammer og diagram M , i det generelle tilfellet, ved skrå rette linjer (fig. 19).
2) I de områdene hvor en jevnt fordelt last påføres bjelken, diagram Q er begrenset av skråstilte rette linjer, og diagrammet M – kvadratiske paraboler (fig. 20). Når du lager et diagram M på komprimerte fibre vender konveksiteten til parabelen i motsatt retning av virkningen av den fordelte belastningen (fig. 21a, b).
Figur 12.
Figur 13.
3) I de delene hvor Q= 0, tangent til diagrammet M parallelt med aksen til diagrammet (fig. 12, 13). Bøyemomentet i slike deler av bjelken er ekstremt stort ( M maks,Mmin).
4) I områder hvor Q> 0, Møker, det vil si fra venstre til høyre de positive ordinatene til diagrammet Møkning, negative avtar (fig. 12, 13); i de områdene hvor Q < 0, M avtar (fig. 12, 13).
5) I de seksjonene der det påføres konsentrerte krefter på bjelken:
a) på diagrammet Q det vil være hopp i størrelsesorden og i retning av de påførte kreftene (fig. 12, 13).
b) på diagrammet M det vil være brudd (fig. 12, 13), spissen av bruddet er rettet mot kraftens virkning.
6) I de seksjonene hvor konsentrerte momenter påføres strålen, på diagrammet M det vil være hopp i størrelsen på disse momentene på diagrammet Q det blir ingen endringer (fig. 14).
Figur 14.
Figur 15.
7) Hvis en konsentrert
moment, så i denne delen er bøyemomentet lik det ytre momentet (seksjon C Og B i fig. 15).
8) Diagram Q representerer et diagram av den deriverte av plottet M. Altså ordinatene Q proporsjonal med tangenten til helningsvinkelen til tangenten til diagrammet M(Fig. 14).
Rekkefølgen for plotting Q Og M:
1) Et designdiagram av bjelken (i form av en akse) er laget som viser lastene som virker på den.
2) Påvirkningen av støtter på bjelken erstattes av tilsvarende reaksjoner; betegnelser på reaksjoner og deres aksepterte retninger er angitt.
3) Balanseligninger for strålen kompileres, hvis løsning bestemmer verdiene til støttereaksjonene.
4) Bjelken er delt inn i seksjoner, hvis grenser er påføringspunktene for eksterne konsentrerte krefter og momenter, samt punktene for begynnelsen og slutten av handlingen eller endringen i arten av fordelte belastninger.
5) Uttrykk for bøyemomenter settes sammen M og skjærkrefter Q for hver del av bjelken. Beregningsdiagrammet angir begynnelsen og retningen for avstandsmåling for hver seksjon.
6) Ved å bruke de oppnådde uttrykkene beregnes ordinatene til diagrammer for et antall seksjoner av strålen i en mengde som er tilstrekkelig til å vise disse diagrammene.
7) Det bestemmes seksjoner der tverrkreftene er lik null og hvor momenter derfor virker Mmax eller Mmin for en gitt del av bjelken; verdiene for disse øyeblikkene beregnes.
8) Diagrammer er konstruert ved å bruke de oppnådde ordinatverdiene.
9) De konstruerte diagrammene kontrolleres ved å sammenligne dem med hverandre.
Diagrammer over indre kraftfaktorer under bøying er konstruert for å bestemme den farlige seksjonen. Etter at den farlige seksjonen er funnet, beregnes bjelken for styrke. I det generelle tilfellet med tverrbøyning, når et bøyemoment og tverrkraft virker i seksjoner av en stang, oppstår normal- og skjærspenninger i bjelkens seksjon. Derfor er det logisk å vurdere to styrkeforhold:
a) i henhold til normale spenninger
b) ved tangentielle spenninger
Siden den viktigste destruktive faktoren for bjelker er normale spenninger, bestemmes dimensjonene til tverrsnittet til en bjelke med akseptert form ut fra styrkebetingelsene for normale spenninger:
Deretter kontrolleres det om valgt bjelkesnitt tilfredsstiller skjærspenningsfasthetsbetingelsen.
Denne tilnærmingen til å beregne bjelker karakteriserer imidlertid ennå ikke styrken til bjelken. I mange tilfeller er det punkter i bjelkesnitt hvor store normal- og skjærspenninger virker samtidig. I slike tilfeller blir det nødvendig å kontrollere bjelkens styrke ved hjelp av hovedspenninger. Den tredje og fjerde teorien om styrke er mest anvendelige for slik testing:
, 
.
EKSEMPEL 1
Konstruer skjærkraftdiagrammer Q og bøyemoment M for strålen vist i fig. 16 hvis: F 1= 3 kN, F 2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, EN = 2m, b = 1 m, Med = 3m.
Figur 16.
1) Bestem støttereaksjonene.
;
;
Undersøkelse:
Reaksjoner funnet riktig
2) Vi deler bjelken i seksjoner C.A.,AD,DE,E.K.,K.B..
3) Bestem verdiene Q Og M på hvert sted.
SA
, ; 
, .
AD
, 
;
, 
.
DE
, 
;
, 
.
HF
, , 
.
La oss finne det maksimale bøyemomentet i området K.B..
La oss sette likhetstegn mellom ligningen Q i dette området til null og uttrykke koordinaten z maks , med hvilken Q= 0, og momentet har en maksimal verdi. Deretter erstatter vi z maks inn i momentligningen i denne delen og finn Mmax.
EK
, 
.
4) Vi bygger diagrammer (fig. 16)
EKSEMPEL 2
For strålen vist i fig. 16 bestemme dimensjonene til en rund, rektangulær ( h/b = 2) og I-seksjon. Kontroller styrken til I-bjelken ved hovedspenninger, hvis [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.
1) Bestem nødvendig motstandsmoment fra styrkebetingelsen
2) Bestem dimensjonene til det sirkulære snittet
3) Bestem dimensjonene til den rektangulære seksjonen
4) Vi velger I-bjelke nr. 10 i henhold til sortimentet (GOST 8239-89)
W X= 39,7 cm 3, S X * =23 cm 3, jeg X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.
For å kontrollere styrken til en bjelke basert på hovedspenninger, er det nødvendig å konstruere diagrammer over normale og tangentielle spenninger i en farlig seksjon. Siden størrelsen på hovedspenningene avhenger av både normale og tangentielle spenninger, bør styrketesten utføres i den delen av bjelken hvor M Og Q stor nok. På en støtte I(Fig. 16) skjærkraft Q har en maksimal verdi, men her M= 0. Derfor anser vi avsnittet om støtten som farlig EN, hvor bøyemomentet er maksimalt og skjærkraften er relativt stor.
Normale spenninger, som endrer seg langs høyden av seksjonen, følger en lineær lov:
Hvor y– koordinat for snittpunktet (fig. 24).
på på= 0, s = 0;
på ymax
, 
Loven om endringer i skjærspenninger bestemmes av loven om endringer i områdets statiske moment, som igjen endres langs høyden av seksjonen i henhold til den parabolske loven. Etter å ha beregnet verdien for de karakteristiske punktene til seksjonen, vil vi konstruere et diagram over de tangentielle spenningene. Når vi beregner verdiene til t, vil vi bruke betegnelsene for seksjonsdimensjoner som er tatt i bruk i fig. 17.
Styrkebetingelsen for lag 3–3 er oppfylt.
OPPGAVE 5
For gitte bjelkeskjemaer (tabell 12), konstruer tverrkraftdiagrammer Q og bøyemoment M. Velg tverrsnitt for diagram a) runde [s]= 10 MPa; b) I-bjelke [s]= 150 MPa.
Ta numeriske data fra tabellen. 7.
Tabell 7
Innledende data for problem nr. 6
| № | a, m | q 1 = q 3, kN/m | q2, kN/m | F 1, kN | F 2, kN | F 3, kN | M 1, kN∙m | M 2, kN∙m | M 3, kN∙m | Opplegg nr. | ||
| 0,8 | ||||||||||||
| 1,2 |  |
|||||||||||
| Fortsettelse av tabell 12 | ||||||||||||
 |  |
|||||||||||
 |
La z Med, y s– seksjonenes sentrale akser, – treghetsmomentene til seksjonen i forhold til disse aksene. La oss bestemme treghetsmomentene til seksjonen i forhold til de nye aksene z 1, kl 1, parallelt med de sentrale aksene og forskjøvet i forhold til dem med avstander en Og d. La dA– et elementært område i nærheten av et punkt M med koordinater y Og z i det sentrale koordinatsystemet. Fra fig. 4.3 er det tydelig at koordinatene til punkt C i nytt system koordinater vil være like, .
La oss bestemme treghetsmomentet til seksjonen i forhold til y-aksen 1 :
|
| z c |
| y c |
| z 1 |
| y 1 |
| d |
| en |
| C |
Dermed,
like måte
Endring av treghetsmomentene til seksjonen når aksene roteres
La oss finne forholdet mellom treghetsmomentene rundt aksene y, z og treghetsmomenter rundt aksene y 1, z 1, rotert i en vinkel en. La Jy> Jz og positiv vinkel en målt fra aksen y mot klokken. La koordinatene til punktet M før svingen - y, z, etter å ha snudd – y 1, z 1(Fig. 4.4).
Av figuren følger:
La oss nå bestemme treghetsmomentene rundt aksene y 1 Og z 1:
|
| M |
| z |
| z 1 |
| y 1 |
| y |
| en |
| y |
| y 1 |
| z 1 |
| z |
Like måte:
Ved å legge til ligningene (4.13) og (4.14) ledd for ledd, får vi:
de. summen av treghetsmomentene rundt eventuelle innbyrdes perpendikulære akser forblir konstant og endres ikke når koordinatsystemet roteres.
Hovedtreghetsakser og hovedtreghetsmomenter
Med endring av rotasjonsvinkelen til aksene en Hver av mengdene endres, men summen deres forblir uendret. Derfor er det en slik mening
a = a 0, hvor treghetsmomentene når ekstreme verdier, dvs. en av dem når sin maksimale verdi, og den andre når sin minimumsverdi. For å finne verdien en 0 ta den første deriverte av (eller) og likestille den til null:
La oss vise at i forhold til de oppnådde aksene er det sentrifugale treghetsmomentet lik null. For å gjøre dette, la oss sette likhetstegn høyre side ligning (4.15) til null: , hvorfra, dvs. har samme formel for en 0 .
Aksene som det sentrifugale treghetsmomentet er null om og de aksiale treghetsmomentene har ekstreme verdier kalles hovedakser. Hvis disse aksene også er sentrale, kalles de hovedsentralakser. Aksiale treghetsmomenter rundt hovedaksene kalles hovedtreghetsmomenter.
La oss betegne hovedaksene med y 0 Og z 0. Deretter
Hvis en seksjon har en symmetriakse, er denne aksen alltid en av de sentrale treghetsaksene til seksjonen.
Gitt: treghetsmomenter av figuren i forhold til z, y-aksene; avstander mellom disse og parallelle akser z 1, y 1 – a, b.
Bestem: treghetsmomenter rundt z 1, y 1-aksene (fig. 4.7).
Koordinatene til et hvilket som helst punkt i det nye systemet z 1 Oy 1 kan uttrykkes gjennom koordinater i det gamle systemet slik:
z 1 = z + b, y 1 = y + a.
Vi erstatter disse verdiene i formlene (4.6) og (4.8) og integrerer ledd for ledd:
I samsvar med formlene (4.1) og (4.6) får vi
,
, (4.13)
Hvis startdataene til zCy-aksen er sentrale, vil de statiske momentene S z og
S y er lik null og formler (4.13) er forenklet:
,
, (4.14)
.
Eksempel: Bestem det aksiale treghetsmomentet til rektangelet i forhold til z 1-aksen som går gjennom basen (fig. 4.6, a). I henhold til formel (4.14)
4.4. Avhengighet mellom treghetsmomenter ved dreiing av akser
Gitt: treghetsmomenter av en vilkårlig figur i forhold til koordinataksene z, y; rotasjonsvinkelen til disse aksene α (fig. 4.8). Vi anser rotasjonsvinkelen mot klokken som positiv.
Bestem: treghetsmomentene til figuren i forhold til z 1, y 1.
Koordinatene til et vilkårlig elementært område dF i de nye aksene uttrykkes gjennom koordinatene til det forrige aksesystemet som følger:
z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,
y 1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.
La oss erstatte disse verdiene i (4.6) og (4.8) og integrere begrep for begrep:
,
,
Ved å ta hensyn til formlene (4.6) og (4.8), finner vi til slutt:
. (4.16)
Ved å legge til formler (4.15), får vi: (4.17)
Dermed, når aksene roterer, forblir summen av de aksiale treghetsmomentene konstant. I dette tilfellet endres hver av dem i samsvar med formler (4.15). Det er klart at i en eller annen posisjon av aksene vil treghetsmomentene ha ekstreme verdier: en av dem vil være den største, den andre den minste.
4.5. Hovedakser og viktigste treghetsmomenter
Hovedsentralaksene, det sentrifugale treghetsmomentet rundt som er null, er av størst praktisk betydning. Vi vil betegne slike akser med bokstavene u, υ. Følgelig er J uυ = 0. Det initiale vilkårlige koordinatsystemet z, y må roteres med en slik vinkel α 0 at det sentrifugale treghetsmomentet blir lik null. Ved å likestille (4.16) til null får vi
. (4.18)
Det viser seg at teorien om treghetsmomenter og teorien om planspenningstilstand er beskrevet av det samme matematiske apparatet, siden formlene (4.15) – (4.18) er identiske med formlene (3.10), (3.11) og (3.18). Bare i stedet for normale spenninger registreres σ aksiale treghetsmoment J z og J y, og i stedet for tangentielle spenninger τ zy - sentrifugalt treghetsmoment J zy. Derfor presenterer vi formlene for de viktigste aksiale treghetsmomentene uten avledning, analogt med formlene (3.18):
.(4.19)
De to verdiene av vinkelen α 0 oppnådd fra (4.18) skiller seg fra hverandre med 90 0, den minste av disse vinklene overstiger ikke 45 0 i absolutt verdi.
Treghetsradius og motstandsmoment
Treghetsmomentet til en figur i forhold til en hvilken som helst akse kan representeres som produktet av arealet til figuren ved kvadratet av en viss mengde, kalt svingningsradius:
, (4.20)
hvor i z er gyrasjonsradius i forhold til z-aksen.
Av uttrykk (4.20) følger det at
,
. (4.21)
De viktigste sentrale treghetsaksene tilsvarer treghetsradiene
,
. (4.22)
Når du kjenner treghetsradiene, kan du grafisk finne treghetsradiusen (og følgelig treghetsmomentet) i forhold til en vilkårlig akse.
La oss vurdere en annen geometrisk egenskap som kjennetegner styrken til stangen under vridning og bøying - motstandsmoment. Motstandsmomentet er lik treghetsmomentet delt på avstanden fra aksen (eller fra polen) til seksjonens fjerneste punkt. Dimensjonen til motstandsmomentet er en lengdeenhet i terninger (cm 3).
For et rektangel (fig. 4.6, a) 
,
, derfor de aksiale motstandsmomentene
,
. (4.23)
For en sirkel 
(Fig. 4.6, b), 
, derfor det polare motstandsmomentet
. (4.24)
For en sirkel 
,
, derfor det aksiale motstandsmomentet
. (4.25)
