Et polyeder som består av to flate polygoner. Et polyeder er et legeme hvis overflate består av et begrenset antall flate polygoner. Polyeder. Den parallellepipediserte ABCDA1B1C1D1 inneholder seksjonene A1BC og CB1D1. I hvilken henseende

Introduksjon

En overflate som består av polygoner og avgrenser noen geometrisk kropp, kalles en polyederflate eller polyeder.

Et polyeder er et avgrenset legeme hvis overflate består av et begrenset antall polygoner. Polygonene som binder et polyeder kalles flater, og skjæringslinjene mellom flatene kalles kanter.

Polyeder kan ha en variert og svært kompleks struktur. Ulike strukturer, for eksempel hus som bygges med murstein og betongblokker, er eksempler på polyeder. Andre eksempler finnes blant møbler, for eksempel et bord. I kjemi er formen på hydrokarbonmolekyler et tetraeder, et vanlig tjue-hedron, en terning. I fysikk tjener krystaller som eksempler på polyedre.

Siden antikken har ideer om skjønnhet blitt assosiert med symmetri. Dette forklarer sannsynligvis folks interesse for polyeder - fantastiske symboler på symmetri som tiltrakk seg oppmerksomheten til fremragende tenkere som ble overrasket over skjønnheten, perfeksjonen og harmonien til disse figurene.

De første omtalene av polyeder er kjent tre tusen år f.Kr. i Egypt og Babylon. Det er nok å minne om det berømte egyptiske pyramider og den mest kjente av dem er Cheops-pyramiden. Dette er en vanlig pyramide, ved bunnen av en firkant med en side på 233 m og høyden når 146,5 m. Det er ingen tilfeldighet at de sier at Keops-pyramiden er en stille avhandling om geometri.

Historie vanlige polyedre går tilbake til oldtiden. Siden det 7. århundre f.Kr Antikkens Hellas Det skapes filosofiske skoler der det skjer en gradvis overgang fra praktisk til filosofisk geometri. Resonnering ved hjelp av hvilken det var mulig å få nye geometriske egenskaper fikk stor betydning i disse skolene.

En av de første og mest kjente skolene var Pythagoras skole, oppkalt etter grunnleggeren Pythagoras. Pythagoras karakteristiske tegn var pentagrammet, i matematikkspråket er det en vanlig ikke-konveks eller stjerneformet femkant. Pentagrammet ble tildelt evnen til å beskytte en person mot onde ånder.

Pytagoreerne mente at materie besto av fire grunnleggende elementer: ild, jord, luft og vann. De tilskrev eksistensen av fem vanlige polyedre til strukturen til materie og universet. I følge denne oppfatningen må atomene til hovedelementene ha form av forskjellige legemer:

§ Universet er et dodekaeder

§ Jord - kube

§ Brann - tetraeder

§ Vann - ikosaeder

§ Luft - oktaeder

Senere ble undervisningen til pytagoreerne om vanlige polyeder skissert i hans arbeider av en annen gammel gresk vitenskapsmann, den idealistiske filosofen Platon. Siden den gang har vanlige polyedre blitt kjent som platoniske faste stoffer.

Platoniske faste stoffer er vanlige homogene konvekse polyedre, det vil si konvekse polyedre, hvis flater og vinkler er like, og flatene er vanlige polygoner. Det samme antall kanter konvergerer til hvert toppunkt av et vanlig polyeder. Alle dihedriske vinkler ved kantene og alle polyedriske vinkler ved toppunktene til en regulær polygon er like. Platoniske faste stoffer er en tredimensjonal analog av flate vanlige polygoner.

Teorien om polyeder er en moderne gren av matematikk. Det er nært knyttet til topologi, grafteori og har veldig viktig både for teoretisk forskning i geometri og for praktiske anvendelser i andre grener av matematikk, for eksempel algebra, tallteori, anvendt matematikk- lineær programmering, optimal kontrollteori. Dermed er dette temaet relevant, og kunnskap om dette spørsmålet er viktig for det moderne samfunnet.

Hoveddel

Et polyeder er et avgrenset legeme hvis overflate består av et begrenset antall polygoner.

La oss gi en definisjon av et polyeder som tilsvarer den første definisjonen av et polyeder.

Polyeder – Dette er en figur som er foreningen av et endelig antall tetraedre der følgende betingelser er oppfylt:

1) annenhver tetraeder ikke har felles punkter, enten ha et felles toppunkt, eller bare en felles kant, eller et helt felles ansikt;

2) fra hvert tetraeder til et annet kan du gå langs en kjede av tetraeder, der hver påfølgende er ved siden av den forrige langs et helt ansikt.

Polyederelementer

Forsiden av et polyeder er en viss polygon (en avgrenset lukket område, hvis grense består av et begrenset antall segmenter).

Sidene av flatene kalles kantene på polyederet, og toppunktene på flatene kalles toppunktene til polyederet. Elementene i et polyeder, i tillegg til dets toppunkter, kanter og flater, inkluderer også de flate vinklene på ansiktene og de dihedriske vinklene ved kantene. Den dihedriske vinkelen ved kanten av et polyeder bestemmes av flatene som nærmer seg denne kanten.

Klassifisering av polyedre

Konveks polyeder - er et polyeder, hvis to punkter kan kobles sammen med et segment. Konvekse polyedre har mange bemerkelsesverdige egenskaper.

Eulers teorem. For alle konvekse polyeder V-R+G=2,

Hvor I – antall hjørner, R - antall ribber, G - antall ansikter.

Cauchys teorem. To lukkede konvekse polyedre, identisk sammensatt av henholdsvis like flater, er like.

Et konveks polyeder regnes som regelmessig hvis alle flatene er like vanlige polygoner og det samme antall kanter konvergerer ved hvert av hjørnene.

Vanlig polyeder

Et polyeder kalles regulært hvis det for det første er konveks, for det andre er alle flatene like vanlige polygoner, og for det tredje konvergerer de ved hvert av hjørnene. samme nummer ansikter, og for det fjerde er alle dens dihedriske vinkler like.

Det er fem konvekse regulære polyedre - tetraederet, oktaederet og ikosaederet med trekantede flater, kuben (hexahedron) med firkantede flater og dodekaederet med femkantede flater. Beviset på dette faktum har vært kjent i mer enn to tusen år; med dette beviset og studiet av de fem regulære kroppene, er Euklids elementer (den gamle greske matematikeren, forfatteren av de første teoretiske avhandlingene om matematikk som har kommet ned til oss) fullført. Hvorfor fikk vanlige polyeder slike navn? Dette er på grunn av antallet ansikter. Et tetraeder har 4 ansikter, oversatt fra gresk "tetra" - fire, "hedron" - ansikt. Et heksaeder (kube) har 6 flater, en "hexa" har seks; oktaeder - oktaeder, "okto" - åtte; dodecahedron - dodecahedron, "dodeca" - tolv; Ikosaederet har 20 ansikter, og ikosiet har tjue.

2.3. Typer vanlige polyedre:

1) Vanlig tetraeder(sammensatt av fire likesidede trekanter. Hvert av dets toppunkter er toppunktet til tre trekanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt 180 0);

2)Kube- et parallellepiped, hvis ansikter alle er firkanter. Terningen består av seks firkanter. Hvert toppunkt i kuben er toppunktet til tre firkanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt 270 0.

3) Vanlig oktaeder eller rett og slett oktaeder– et polyeder med åtte vanlige trekantede flater og fire flater som møtes ved hvert toppunkt. Oktaederet består av åtte likesidede trekanter. Hvert toppunkt i oktaederet er toppunktet til fire trekanter. Derfor er summen av planvinkler ved hvert toppunkt 240 0. Den kan bygges ved å brette basene til to pyramider, hvis base er firkanter, og sideflatene er vanlige trekanter. Kantene til et oktaeder kan oppnås ved å koble sammen sentrene til tilstøtende flater av en terning, men hvis vi kobler sammen sentrene til tilstøtende flater av et vanlig oktaeder, får vi kantene til en terning. De sier at kuben og oktaederet er dobbelte i forhold til hverandre.

4)Icosahedron- sammensatt av tjue likesidede trekanter. Hvert toppunkt av icosahedron er toppunktet til fem trekanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt lik 300 0.

5) Dodekaeder- et polyeder som består av tolv vanlige femkanter. Hver toppunkt av dodekaederet er toppunktet til tre vanlige femkanter. Derfor er summen av planvinklene ved hvert toppunkt 324 0.

Dodekaederet og ikosaederet er også doble med hverandre i den forstand at ved å forbinde sentrene til tilstøtende ansikter av ikosaederet med segmenter, får vi et dodekaeder, og omvendt.

Et vanlig tetraeder er dobbelt med seg selv.

Dessuten er det ingen vanlig polyeder hvis ansikter er vanlige sekskanter, sekskanter og n-goner generelt for n ≥ 6.

Et vanlig polyeder er et polyeder der alle flater er regulære like polygoner og alle dihedriske vinkler er like. Men det er også polyedre der alle polyedriske vinkler er like, og flatene er regulære, men motsatte vanlige polygoner. Polyedre av denne typen kalles likekantede semiregulære polyedre. Polyedre av denne typen ble først oppdaget av Arkimedes. Han beskrev i detalj 13 polyedre, som senere ble kalt kroppene til Archimedes til ære for den store vitenskapsmannen. Disse er avkortet tetraeder, avkortet oksaeder, avkortet icosahedron, trunkert terning, avkortet dodecahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron, truncated cuboctahedron, truncated icosidodecahedron, rhombocubochoderon (s, cubochedron) e, "snubbe" (snubbe) dodekaeder.

2.4. Halvregulære polyedre eller arkimedeiske faste stoffer er konvekse polyedre med to egenskaper:

1. Alle flater er regulære polygoner av to eller flere typer (hvis alle flater er regulære polygoner av samme type, er det et vanlig polyeder).

2. For et hvilket som helst par av toppunkter er det en symmetri av polyederet (det vil si en bevegelse som transformerer polyederet til seg selv) som overfører det ene toppunktet til det andre. Spesielt er alle polyedriske toppunktvinkler kongruente.

I tillegg til semiregulære polyedre, fra vanlige polyedre - platoniske faste stoffer - kan du få såkalte vanlige stjernepolyedere. Det er bare fire av dem, de kalles også Kepler-Poinsot-kropper. Kepler oppdaget et lite dodekaeder, som han kalte stikkende eller pinnsvinet, og et stort dodekaeder. Poinsot oppdaget to andre vanlige stjernepolyedere, henholdsvis doble til den første to: det store stjernedodekaederet og det store ikosaederet.

To tetraeder som går gjennom hverandre danner et oktaeder. Johannes Kepler ga denne figuren navnet "stella octangula" - "åttekantet stjerne". Det finnes også i naturen: dette er den såkalte doble krystallen.

I definisjonen av et vanlig polyeder ble ordet "konveks" bevisst ikke vektlagt - regnet med tilsynelatende åpenhet. Og det betyr et tilleggskrav: "og alle ansiktene ligger på den ene siden av flyet som går gjennom noen av dem." Hvis vi forlater en slik begrensning, må vi til de platoniske faste stoffene, i tillegg til det "utvidede oktaederet", legge til ytterligere fire polyedre (de kalles Kepler-Poinsot-faststoffer), som hver vil være "nesten vanlige." Alle er oppnådd av Platonovs "hovedrolle" kropp, det vil si ved å utvide kantene til de krysser hverandre, og derfor kalles stjerneformede. Kuben og tetraederet genererer ikke nye figurer - ansiktene deres, uansett hvor mye du fortsetter, krysser ikke hverandre.

Hvis du utvider alle flatene til oktaederet til de krysser hverandre, vil du få en figur som vises når to tetraedre trenger inn i hverandre - "stella octangula", som kalles "utvidet oktaeder."

Ikosaederet og dodekaederet gir verden fire "nesten vanlige polyedre" på en gang. En av dem er det lille stjernedodekaederet, først oppnådd av Johannes Kepler.

I århundrer anerkjente ikke matematikere retten til alle slags stjerner å bli kalt polygoner på grunn av det faktum at sidene deres krysser hverandre. Ludwig Schläfli drev ikke ut en geometrisk kropp fra polyederfamilien bare fordi dens ansikter krysset seg selv, men han forble urokkelig så snart samtalen vendte seg til den lille stjernedodekaederen. Argumentet hans var enkelt og tungtveiende: dette Kepler-dyret adlyder ikke Eulers formel! Ryggene er dannet tolv flater, tretti kanter og tolv toppunkter, og derfor er ikke B+G-R lik to i det hele tatt.

Schläfli hadde både rett og galt. Selvfølgelig er det geometriske pinnsvinet ikke så stikkende at det gjør opprør mot den ufeilbarlige formelen. Du trenger bare ikke tenke på at den er dannet av tolv kryssende stjerneformede ansikter, men se på den som en enkel, ærlig geometrisk kropp som består av 60 trekanter, med 90 kanter og 32 hjørner.

Da er B+G-R=32+60-90 lik, som forventet, 2. Men da er ikke ordet "riktig" aktuelt for dette polyederet - tross alt er ansiktene nå ikke likesidede, men bare likebente trekanter. Det gjorde ikke Kepler innså at figuren han fikk hadde en dobbel.

Polyederet, som kalles «det store dodekaederet», ble bygget av det franske geometeret Louis Poinsot to hundre år etter Keplers stjernefigurer.

Det store ikosaederet ble først beskrevet av Louis Poinsot i 1809. Og igjen overlot Kepler, etter å ha sett et stort stjerneformet dodekaeder, æren av å oppdage den andre figuren til Louis Poinsot. Disse figurene følger også halvveis Eulers formel.

Praktisk bruk

Polyeder i naturen

Vanlige polyedre er de mest fordelaktige formene, og det er derfor de er utbredt i naturen. Dette bekreftes av formen til noen krystaller. For eksempel er bordsaltkrystaller kubeformede. Ved produksjon av aluminium brukes aluminium-kalium kvarts, hvis enkeltkrystall har formen av et vanlig oktaeder. Produksjonen av svovelsyre, jern og spesielle sementtyper kan ikke gjøres uten svovelkis. Krystaller av dette kjemisk stoff har form som et dodekaeder. I forskjellige kjemiske reaksjoner natriumantimonsulfat brukes - et stoff syntetisert av forskere. Krystallen av natriumantimonsulfat har form av et tetraeder. Det siste vanlige polyederet, icosahedron, formidler formen til borkrystaller.

Stjerneformede polyedre er veldig dekorative, noe som gjør at de kan brukes mye i smykkeindustrien i produksjon av alle slags smykker. De brukes også i arkitektur. Mange former for stjernepolyedere er foreslått av naturen selv. Snøfnugg er stjerneformede polyedere. Siden antikken har folk prøvd å beskrive alle mulige typer snøflak og kompilert spesielle atlas. Flere tusen forskjellige typer snøflak er nå kjent.

Vanlige polyedre finnes også i levende natur. For eksempel et skjelett encellet organisme Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) er formet som et ikosaeder. De fleste feider lever videre dypt hav og tjene som bytte for korallfisk. Men det enkleste dyret beskytter seg selv med tolv pigger som dukker opp fra skjelettets 12 topper. Det ser mer ut som et stjernepolyeder.

Vi kan også observere polyeder i form av blomster. Et slående eksempel er kaktuser.

Relatert informasjon.

Når vi studerer polygoner, snakker vi om en flat polygon, som betyr selve polygonen og dens indre region.

Det samme skjer i stereometri. I analogi med begrepet en flat polygon introduseres begrepet en kropp og dens overflate.

Punktum geometrisk figur kalles intern hvis det er en ball med senter på dette punktet som tilhører denne figuren. En figur kalles en region hvis alle

dens punkter er interne og hvis noen to av dens punkter kan kobles sammen med en stiplet linje som tilhører figuren.

Et punkt i rommet kalles et grensepunkt for en gitt figur hvis en ball med et senter på dette punktet inneholder både punkter som tilhører figuren og punkter som ikke tilhører den. Grensepunktene til et område danner grensen for området.

Et legeme er et begrenset område sammen med sin grense. Grensen til en kropp kalles kroppens overflate. En kropp kalles enkel hvis den kan deles inn i et begrenset antall trekantede pyramider.

I det enkleste tilfellet er et omdreiningslegeme et legeme hvis plan vinkelrett på en viss rett linje (rotasjonsaksen) skjærer i sirkler med sentre på denne rette linjen. En sylinder, kjegle og kule er eksempler på rotasjonslegemer.

48. Polyedriske vinkler. Polyeder.

En dihedral vinkel er en figur dannet av to halvplan med en felles grenselinje. Halvplan kalles flater, og den rette linjen som begrenser dem kalles en kant av en dihedral vinkel.

Figur 142 viser en dihedral vinkel med kant a og flater

Fly, vinkelrett på kanten dihedral vinkel, skjærer ansiktene langs to halvlinjer. Vinkelen som dannes av disse halvlinjene kalles den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelen. Målingen av en dihedral vinkel tas for å være målet på dens tilsvarende lineære vinkel. Hvis et plan y trekkes gjennom punktet A på kanten a til en dihedral vinkel, vinkelrett på denne kanten, vil det skjære planene a og 0 langs den lineære halvlinjevinkelen til den gitte dihedralvinkelen. Gradmålet for denne lineære vinkelen er gradmålet for den dihedrale vinkelen. Målingen av den dihedriske vinkelen avhenger ikke av valget av den lineære vinkelen.

En triedrisk vinkel er en figur som består av tre flate vinkler. Disse vinklene kalles flatene til en trihedrisk vinkel, og sidene deres kalles kanter. Felles topp plane vinkler kalles toppunktet til en triedrisk vinkel. De dihedriske vinklene som dannes av flatene og deres forlengelser kalles de dihedriske vinklene til en trihedral vinkel.

Konseptet med en polyedrisk vinkel er definert på samme måte som en figur sammensatt av plane vinkler.

Et polyeder er et legeme hvis overflate består av et begrenset antall flate polygoner (fig. 145).

Et polyeder kalles konveks hvis det er plassert på den ene siden av planet til hver polygon på overflaten (fig. 145, a, b). Den vanlige delen av et slikt plan og overflaten til et konveks polyeder kalles et ansikt. Overflatene til et konveks polyeder er konvekse polygoner. Sidene av flatene kalles kantene på polyederet, og toppunktene kalles toppunktene til polyederet.

49. Prisme. Parallelepiped. Kube

Et prisme er et polyeder som består av to flate polygoner, kombinert med parallell translasjon, og alle segmenter som forbinder de tilsvarende punktene til disse polygonene. Polygonene kalles prismets basis, og segmentene som forbinder de tilsvarende toppunktene kalles prismets sidekanter (fig. 146).

Fordi parallell overføring det er bevegelse, da er basen til prismet like. Siden under parallell translasjon går flyet inn i et parallelt plan (eller inn i seg selv), da

basene til prismet ligger i parallelle plan. Siden under parallell translasjon blir punktene forskjøvet langs parallelle (eller sammenfallende) linjer med samme avstand, vil prismet laterale ribber parallelle og like.

Figur 147, a viser et firkantet prisme Plane polygoner ABCD og er kombinert med den tilsvarende parallelle translasjonen og er basisen til prismet, og segmentene AA er sidekantene til prismet. Basene til prismet er like (parallell translasjon er en bevegelse og transformerer en figur til en lik figur, avsnitt 79). Sideribbene er parallelle og like.

Prismets overflate består av basen og sideflaten. Sideflaten består av parallellogrammer. I hver av disse parallellogrammene er to sider de tilsvarende sidene av basene, og de to andre er tilstøtende sidekanter av prismet.

I figur 147 består sideflaten av prismet av parallellogrammer. Hele overflaten består av basene og de ovennevnte parallellogrammene.

Høyden på et prisme er avstanden mellom planene til basene. Et segment som forbinder to hjørner som ikke tilhører samme flate kalles en prismediagonal. Den diagonale delen av et prisme er delen av planet som går gjennom to sidekanter som ikke tilhører samme flate.

Figur 147a viser et prisme med sin høyde og en av diagonalene. Seksjonen er en av de diagonale delene av dette prismet.

Et prisme kalles rett hvis sidekantene er vinkelrette på basene. Ellers kalles prismet

tilbøyelig Et rett prisme kalles regulært hvis basene er regulære polygoner.

Figur 147, a viser et skråstilt prisme, og figur 147, b - et rett, her er kanten vinkelrett på prismets basis. Figur 148 viser vanlige prismer deres base er henholdsvis en vanlig trekant, en firkant og en regulær sekskant.

Hvis basene til et prisme er parallellogrammer, kalles det et parallellepiped. Alle flatene til et parallellepiped er parallellogrammer. Figur 147, a viser et skrånende parallellepiped, og figur 147, b - et rett parallellepiped.

Overflatene til et parallellepiped som ikke har felles toppunkter kalles motsatte. I figur 147, og ansiktene er motsatte.

Det er mulig å bevise noen egenskaper til et parallellepiped.

Et parallellepipeds motsatte flater er parallelle og like.

Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og er delt i to av skjæringspunktet.

Skjæringspunktet mellom diagonalene til et parallellepiped er dets symmetrisenter.

Et rett parallellepiped hvis base er et rektangel kalles en kuboid. Et rektangulært parallellepiped har alle flater som er rektangler.

Et rektangulært parallellepiped med alle kanter like kalles en kube.

Lengden på de ikke-parallelle kantene til et rektangulært parallellepiped kalles dets lineære dimensjoner eller dimensjoner. Et rektangulært parallellepiped har tre lineære dimensjoner.

For et rektangulært parallellepiped er følgende teorem sant:

I et rektangulært parallellepiped er kvadratet til enhver diagonal lik summen av kvadratene av de tre lineære dimensjonene.

For eksempel, i en kube med kant a er diagonalene like:

50. Pyramide.

En pyramide er et polyeder som består av en flat polygon - bunnen av pyramiden, et punkt som ikke ligger i bunnplanet - toppen av pyramiden og alle segmentene som forbinder toppen med bunnens punkter (fig. 150). Segmentene som forbinder toppen av pyramiden med toppene på basen kalles sidekanter. Figur 150a viser SABCD-pyramiden. Firkant ABCD er bunnen av pyramiden, punkt S er toppunktet til pyramiden, segmentene SA, SB, SC og SD er kantene på pyramiden.

Høyden på en pyramide er vinkelrett ned fra toppen av pyramiden til planet til basen. I figur 150 er en SO høyden på pyramiden.

En pyramide kalles -angular hvis basen er

Torget. En trekantet pyramide kalles også et tetraeder.

Figur 151, a viser en trekantet pyramide, eller tetraeder, figur 151, b - firkantet, figur 151, c - sekskantet.

Et plan parallelt med bunnen av pyramiden og skjærer den avskjærer en lignende pyramide.

En pyramide kalles regulær hvis basen er en vanlig polygon og bunnen av høyden sammenfaller med midten av denne polygonen. Figur 151 viser vanlige pyramider. En vanlig pyramide har like laterale ribber; derfor er sideflatene like likebenede trekanter. Høyden på sideflaten til en vanlig pyramide, trukket fra toppunktet, kalles apotem.

I følge T.3.4 avskjærer plan a, parallelt med plan 0 av bunnen av pyramiden og krysser pyramiden, en lignende pyramide fra den. Den andre delen av pyramiden er et polyeder kalt en avkortet pyramide. Overflatene til en avkortet pyramide som ligger i parallelle plan kalles basene til en avkortet pyramide, de resterende flatene kalles sideflater. Basene til den avkortede pyramiden er lignende (i tillegg homotetiske) polygoner, sideflatene er trapeser. Figur 152 viser en avkortet pyramide

51. Vanlige polyedre.

Et konveks polyeder kalles regulært hvis flatene er vanlige polygoner med samme antall sider og samme antall kanter som konvergerer ved hvert toppunkt av polyederet.

Det finnes fem typer regulære konvekse polyedere (fig. 154): vanlig tetraeder, terning, oktaeder, dodekaeder, ikosaeder. Det vanlige tetraederet og kuben ble diskutert tidligere (avsnitt 49, 50). Tre kanter møtes ved hvert toppunkt av et vanlig tetraeder og terning.

Ansiktene til oktaederet er vanlige trekanter. Fire kanter konvergerer ved hvert av hjørnene.

Ansiktene til dodekaederet - vanlige femkanter. Tre kanter konvergerer ved hvert toppunkt.

Overflatene til icosahedron er vanlige trekanter, men i motsetning til tetraederet og oktaederet, konvergerer fem kanter ved hvert toppunkt.

Kube, ball, pyramide, sylinder, kjegle - geometriske legemer. Blant dem er polyedre. Polyeder er et geometrisk legeme hvis overflate består av et begrenset antall polygoner. Hver av disse polygonene kalles en side av polyederet, sidene og toppunktene til disse polygonene er henholdsvis kantene og toppunktene til polyederet.

Dihedrale vinkler mellom tilstøtende flater, dvs. ansikter som har en felles side - kanten av polyederet - er også polyederens dihedrale sinn. Vinklene til polygoner - flatene til en konveks polygon - er polyederens flate sinn. I tillegg til flate og dihedrale vinkler har et konveks polyeder også polyedriske vinkler. Disse vinklene danner flater som har et felles toppunkt.

Blant polyedrene er det prismer Og pyramider.

Prisme - er et polyeder hvis overflate består av to like polygoner og parallellogrammer som har felles sider med hver av basene.

To like polygoner kalles grunner ggrizmg, og parallellogrammer er henne lateralt kanter. Sideflatene dannes sideflate prismer. Kanter som ikke ligger ved basen kalles laterale ribber prismer.

Prismet kalles p-kull, hvis basene er i-goner. I fig. 24.6 viser et firkantet prisme ABCDA"B"C"D".

Prismet kalles rett, hvis sideflatene er rektangler (fig. 24.7).

Prismet kalles riktig , hvis den er rett og dens baser er vanlige polygoner.

Firkantet prisme kalt parallellepipedum , hvis basene er parallellogrammer.

Parallepipedet kalles rektangulær, hvis alle ansiktene er rektangler.

Diagonal av et parallellepiped er et segment som forbinder dets motsatte hjørner. Et parallellepiped har fire diagonaler.

Det er bevist det Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og halveres av dette punktet. Diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like.

Pyramide er et polyeder, hvis overflate består av en polygon - bunnen av pyramiden, og trekanter som har et felles toppunkt, kalt sideflatene til pyramiden. Det felles toppunktet til disse trekantene kalles topp pyramider, ribber som strekker seg fra toppen, - laterale ribber pyramider.

Den perpendikulære som faller fra toppen av pyramiden til basen, samt lengden på denne perpendikulæren, kalles høyde pyramider.

Den enkleste pyramiden - trekantet eller tetraeder (fig. 24.8). Det særegne ved en trekantet pyramide er at ethvert ansikt kan betraktes som en base.

Pyramiden kalles riktig, hvis basen er en vanlig polygon, og alle sidekanter er like med hverandre.

Merk at vi må skille vanlig tetraeder(dvs. et tetraeder der alle kanter er like hverandre) og vanlig trekantet pyramide(ved bunnen ligger en vanlig trekant, og sidekantene er like med hverandre, men lengden kan avvike fra lengden på siden av trekanten, som er bunnen av prismet).

Skille svulmende Og ikke-konveks polyedre. Du kan definere et konveks polyeder hvis du bruker konseptet med en konveks geometrisk kropp: et polyeder kalles konveks. hvis det er en konveks figur, dvs. sammen med to av punktene, inneholder den også helt segmentet som forbinder dem.

Et konveks polyeder kan defineres annerledes: et polyeder kalles konveks, hvis den ligger helt på den ene siden av hver av polygonene som avgrenser den.

Disse definisjonene er likeverdige. Vi gir ikke bevis for dette faktum.

Alle polyedre som har vært vurdert så langt har vært konvekse (kube, parallellepipedum, prisme, pyramide, etc.). Polyederet vist i fig. 24,9, er ikke konveks.

Det er bevist det i et konveks polyeder er alle flater konvekse polygoner.

La oss vurdere flere konvekse polyedre (tabell 24.1)

Fra denne tabellen følger det at for alle betraktede konvekse polyedre er likheten B - P + G= 2. Det viste seg at dette også gjelder for ethvert konveks polyeder. Denne egenskapen ble først påvist av L. Euler og ble kalt Eulers teorem.

Et konveks polyeder kalles riktig hvis flatene er like vanlige polygoner og samme antall flater konvergerer ved hvert toppunkt.

Ved å bruke egenskapen til en konveks polyedral vinkel kan man bevise det Det er ikke mer enn fem forskjellige typer vanlige polyedre.

Faktisk, hvis vifte og polyeder er vanlige trekanter, kan 3, 4 og 5 konvergere i ett toppunkt, siden 60" 3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Hvis tre vanlige trekanter konvergerer ved hvert toppunkt av en polyfan, får vi høyrehendt tetraeder, som oversatt fra Phetic betyr "tetraeder" (fig. 24.10, EN).

Hvis fire vanlige trekanter møtes ved hvert toppunkt av et polyeder, får vi oktaeder(Fig. 24.10, V). Overflaten består av åtte vanlige trekanter.

Hvis fem regulære trekanter konvergerer ved hvert toppunkt av et polyeder, får vi icosahedron(Fig. 24.10, d). Overflaten består av tjue vanlige trekanter.

Hvis flatene til en polyfan er firkanter, kan bare tre av dem konvergere i ett toppunkt, siden 90° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также heksaeder(Fig. 24.10, b).

Hvis kantene på en polyfan er vanlige femkanter, kan bare phi konvergere i ett toppunkt, siden 108° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется dodekaeder(Fig. 24.10, d). Overflaten består av tolv vanlige femkanter.

Overflatene til et polyeder kan ikke være sekskantede eller mer, siden selv for en sekskant 120° 3 = 360°.

I geometri er det bevist at det i tredimensjonalt euklidisk rom er nøyaktig fem forskjellige typer regulære polyedre.

For å lage en modell av et polyeder, må du lage det skanning(mer presist, utviklingen av overflaten).

Utviklingen av et polyeder er en figur på et plan som oppnås hvis overflaten til polyederet kuttes langs bestemte kanter og brettes ut slik at alle polygonene som inngår i denne overflaten ligger i samme plan.

Merk at et polyeder kan ha flere forskjellige utviklinger avhengig av hvilke kanter vi skjærer. Figur 24.11 viser figurer som er ulike utviklinger av en vanlig firkantet pyramide, dvs. en pyramide med en firkant ved bunnen og alle sidekanter like hverandre.

For at en figur på et plan skal være en utvikling av et konveks polyeder, må den tilfredsstille en rekke krav knyttet til egenskapene til polyederet. For eksempel er figurene i fig. 24.12 er ikke utviklingen av en vanlig firkantet pyramide: i figuren vist i fig. 24.12, EN, på toppen M fire ansikter konvergerer, noe som ikke kan skje i en vanlig firkantet pyramide; og i figuren vist i fig. 24.12, b, laterale ribber A B Og Sol ikke lik.

Generelt kan utviklingen av et polyeder oppnås ved å kutte overflaten ikke bare langs kantene. Et eksempel på en slik kubeutvikling er vist i fig. 24.13. Derfor, mer presist, kan utviklingen av et polyeder defineres som en flat polygon som overflaten til dette polyederet kan lages fra uten overlapping.

Rotasjonslegemer

Rotasjonslegeme kalt en kropp oppnådd som et resultat av rotasjonen av en figur (vanligvis flat) rundt en rett linje. Denne linjen kalles rotasjonsakse.

Sylinder- egokropp, som oppnås som et resultat av rotasjon av et rektangel rundt en av sidene. I dette tilfellet er den angitte part sylinderens akse. I fig. 24.14 viser en sylinder med en akse OO', oppnås ved å rotere et rektangel AA"O"O rundt en rett linje OO". Poeng OM Og OM"- senter av sylinderbasene.

En sylinder som er et resultat av å rotere et rektangel rundt en av sidene kalles rett sirkulær en sylinder, siden basen er to like sirkler plassert i parallelle plan, slik at segmentet som forbinder sentrene til sirklene er vinkelrett på disse planene. Sylinderens sideflate er dannet av segmenter lik siden av rektangelet, parallell akse sylinder.

Feie Den laterale overflaten til en rett sirkulær sylinder, hvis kuttet langs en generatrise, er et rektangel, hvor den ene siden er lik lengden på generatrisen, og den andre til lengden på grunnomkretsen.

Kjegle- dette er en kropp som er oppnådd som følge av rotasjon høyre trekant rundt det ene bena.

I dette tilfellet er det angitte benet ubevegelig og kalles kjeglens akse. I fig. Figur 24.15 viser en kjegle med akse SO, oppnådd ved å rotere en rettvinklet trekant SOA med rett vinkel O rundt benet S0. Punkt S kalles toppen av kjeglen, OA- radiusen til basen.

Kjeglen som er et resultat av rotasjonen av en rettvinklet trekant rundt det ene bena kalles rett sirkulær kjegle siden basen er en sirkel, og toppen er projisert inn i midten av denne sirkelen. Den laterale overflaten av kjeglen er dannet av segmenter lik hypotenusen til trekanten, ved rotasjon som en kjegle dannes.

Hvis sideflaten til kjeglen er kuttet langs generatrisen, kan den "brettes ut" på et plan. Feie Den laterale overflaten til en rett sirkulær kjegle er en sirkulær sektor med en radius lik lengden på generatrisen.

Når en sylinder, kjegle eller et annet rotasjonslegeme skjærer et plan som inneholder rotasjonsaksen, viser det seg aksialt snitt. Den aksiale delen av sylinderen er et rektangel, den aksiale delen av kjeglen er en likebenet trekant.

Ball- dette er et legeme som er oppnådd som et resultat av rotasjon av en halvsirkel rundt diameteren. I fig. 24.16 viser en kule oppnådd ved å rotere en halvsirkel rundt diameteren AA". Full stopp OM kalt midten av ballen, og sirkelens radius er ballens radius.

Ballens overflate kalles sfære. Kulen kan ikke snus inn på et fly.

Enhver del av en ball ved et fly er en sirkel. Tverrsnittsradiusen til ballen vil være størst hvis flyet passerer gjennom midten av ballen. Derfor kalles delen av en ball ved et plan som går gjennom midten av ballen stor sirkel av ballen, og sirkelen som avgrenser den er stor sirkel.

BILDE AV GEOMETRISKE KROPER PÅ FLYET

I motsetning til flate figurer, kan geometriske kropper ikke avbildes nøyaktig, for eksempel på et papirark. Men ved hjelp av tegninger på et fly kan du få et ganske klart bilde av romlige figurer. For å gjøre dette brukes spesielle metoder for å skildre slike figurer på et fly. En av dem er parallell design.

La et plan og en rett linje som skjærer a gis EN. La oss ta et vilkårlig punkt A i rommet som ikke hører til linjen EN, og vi guider deg gjennom X direkte EN", parallelt med linjen EN(Fig. 24.17). Rett EN" krysser flyet på et tidspunkt X", som kalles parallell projeksjon av punkt X på plan a.

Hvis punkt A ligger på en rett linje EN, deretter med parallell projeksjon X" er punktet der linjen EN krysser flyet EN.

Hvis poenget X tilhører planet a, så punktet X" sammenfaller med poenget X.

Så hvis et plan a og en rett linje som skjærer det er gitt EN. deretter hvert punkt X plass kan assosieres med et enkelt punkt A" - en parallell projeksjon av punktet Xå plane a (når du designer parallelt med en rett linje EN). Fly EN kalt projeksjonsplan. Om linjen EN de sier hun vil bjeffe design retning - ggri erstatning direkte EN ethvert annet direkte designresultat parallelt med det vil ikke endres. Alle linjer parallelle med en linje EN, angi samme designretning og kalles sammen med den rette linjen EN utstikkende rette linjer.

Projeksjon tall F ringe et sett F' projeksjon av alle punktene. Kartlegge hvert punkt X tall F"Den parallelle projeksjonen er et poeng X" tall F", kalt parallell design tall F(Fig. 24.18).

En parallell projeksjon av et ekte objekt er skyggen som faller på en flat overflate i sollys, siden solstrålene kan betraktes som parallelle.

Parallell design har en rekke egenskaper, kunnskap om hvilke er nødvendig når man avbilder geometriske kropper på et plan. La oss formulere de viktigste uten å gi bevis.

Teorem 24.1. Ved parallell design er følgende egenskaper oppfylt for rette linjer som ikke er parallelle med designretningen og for segmenter som ligger på dem:

1) projeksjonen av en linje er en linje, og projeksjonen av et segment er et segment;

2) projeksjoner av parallelle linjer er parallelle eller sammenfallende;

3) forholdet mellom lengdene til projeksjonene til segmenter som ligger på samme linje eller på parallelle linjer er lik forholdet mellom lengdene til segmentene selv.

Fra dette teoremet følger det konsekvens: med parallell projeksjon projiseres midten av segmentet inn i midten av projeksjonen.

Når du avbilder geometriske kropper på et plan, er det nødvendig å sikre at de spesifiserte egenskapene er oppfylt. Ellers kan det være vilkårlig. Dermed kan vinklene og forholdene til lengdene til ikke-parallelle segmenter endres vilkårlig, det vil si at for eksempel en trekant i parallell utforming er avbildet som en vilkårlig trekant. Men hvis trekanten er likesidet, må projeksjonen av medianen forbinde trekantens toppunkt med midten av motsatt side.

Og enda et krav må overholdes når man avbilder romlige kropper på et fly - for å bidra til å skape en riktig ide om dem.

La oss for eksempel skildre et skrånende prisme hvis baser er firkanter.

La oss først bygge den nedre basen av prismet (du kan starte fra toppen). I henhold til reglene for parallell design vil oggo bli avbildet som et vilkårlig parallellogram ABCD (fig. 24.19, a). Siden kantene på prismet er parallelle, bygger vi parallelle rette linjer som går gjennom toppunktene til det konstruerte parallellogrammet og legger på dem like segmenter AA", BB', CC", DD", hvis lengde er vilkårlig. Ved å koble sammen punkter A", B", C", D i serie ", vi får en firkant A" B "C" D", som viser den øvre basen av prismet. Det er ikke vanskelig å bevise det A"B"C"D"- parallellogram, lik et parallellogram ABCD og følgelig har vi bildet av et prisme, hvis base er like firkanter, og de resterende flatene er parallellogrammer.

Hvis du trenger å avbilde et rett prisme, hvis base er firkanter, kan du vise at sidekantene til dette prismet er vinkelrett på basen, slik det er gjort i fig. 24.19, b.

I tillegg er tegningen i fig. 24.19, b kan betraktes som et bilde av et vanlig prisme, siden basen er en firkant - en vanlig firkant, og også et rektangulært parallellepiped, siden alle ansiktene er rektangler.

La oss nå finne ut hvordan vi kan skildre en pyramide på et fly.

For å skildre en vanlig pyramide, tegn først en vanlig polygon som ligger ved basen, og dens senter er et punkt OM. Tegn deretter et vertikalt segment OS som viser høyden på pyramiden. Merk at vertikaliteten til segmentet OS gir større klarhet i tegningen. Til slutt er punktet S koblet til alle toppunktene til basen.

La oss for eksempel skildre en vanlig pyramide, hvis base er en vanlig sekskant.

For å korrekt avbilde en vanlig sekskant under parallell design, må du ta hensyn til følgende. La ABCDEF være en regulær sekskant. Da er VSEF et rektangel (fig. 24.20), og derfor vil det under parallell design bli avbildet som et vilkårlig parallellogram B"C"E"F". Siden diagonal AD går gjennom punkt O - sentrum av polygonet ABCDEF og er parallell med segmentene. BC og EF og AO = OD, så med parallell design vil det bli representert av et vilkårlig segment A "D" , passerer gjennom punktet OM" parallell B"C" Og E"F" og forresten, A"O" = O"D".

Dermed er sekvensen for å konstruere basen til en sekskantet pyramide som følger (fig. 24.21):

§ skildre et vilkårlig parallellogram B"C"E"F" og dens diagonaler; marker punktet for deres skjæringspunkt O";

§ gjennom et punkt OM" tegne en rett linje parallelt V'S"(eller E"F');

§ velg et vilkårlig punkt på den konstruerte linjen EN" og marker poenget D" slik at O"D" = A"O" og koble til prikken EN" med prikker I" Og F", og pek D" - med prikker MED" Og E".

For å fullføre konstruksjonen av pyramiden, tegn et vertikalt segment OS(lengden er valgt vilkårlig) og koble punktet S til alle hjørnene på basen.

I parallell projeksjon er ballen avbildet som en sirkel med samme radius. For å gjøre bildet av ballen mer visuelt, tegn en projeksjon av en stor sirkel, hvis plan ikke er vinkelrett på projeksjonsplanet. Denne projeksjonen vil være en ellipse. Sentrum av ballen vil representeres av midten av denne ellipsen (fig. 24.22). Nå kan vi finne de tilsvarende polene N og S, forutsatt at segmentet som forbinder dem er vinkelrett på ekvatorialplanet. For å gjøre dette, gjennom poenget OM tegne en rett linje vinkelrett AB og merk punkt C - skjæringspunktet mellom denne linjen og ellipsen; så gjennom punktet C trekker vi en tangent til ellipsen som representerer ekvator. Det er bevist at avstanden CM lik avstanden fra midten av ballen til hver av polene. Legg derfor segmentene til side PÅ Og OS lik CM, vi får stolpene N og S.

La oss vurdere en av teknikkene for å konstruere en ellipse (den er basert på en transformasjon av planet, som kalles kompresjon): konstruer en sirkel med en diameter og tegn akkorder vinkelrett på diameteren (fig. 24.23). Halvparten av hver akkord er delt i to og de resulterende punktene er forbundet med en jevn kurve. Denne kurven er en ellipse hvis hovedakse er segmentet AB, og midten er et punkt OM.

Denne teknikken kan brukes til å avbilde en rett sirkulær sylinder (fig. 24.24) og en rett sirkulær kjegle (fig. 24.25) på et plan.

En rett sirkulær kjegle er avbildet slik. Først bygger de en ellipse - basen, og finner deretter midten av basen - punktet OM og tegne et linjestykke vinkelrett OS som representerer høyden på kjeglen. Fra punkt S trekkes tangenter til ellipsen (dette gjøres "med øyet", med en linjal) og segmenter velges SC Og SD disse rette linjene fra punkt S til tangenspunkter C og D. Merk at segmentet CD faller ikke sammen med diameteren til bunnen av kjeglen.

Geometriske legemer

Introduksjon

I stereometri studeres figurer i rommet, som kalles geometriske legemer.

Gjenstandene rundt oss gir oss en idé om geometriske kropper. I motsetning til virkelige objekter, er geometriske kropper imaginære objekter. Helt klart geometrisk kropp man må forestille seg det som en del av rommet okkupert av materie (leire, tre, metall, ...) og begrenset av en overflate.

Alle geometriske legemer er delt inn i polyedre Og runde kropper.

Polyeder

Polyeder er et geometrisk legeme hvis overflate består av et begrenset antall flate polygoner.

Kanter polyeder kalles polygonene som utgjør overflaten.

Ribb av et polyeder kalles sidene på polyederets overflater.

Topper av et polyeder kalles toppunktene til polyederens overflater.

Polyedre er delt inn i konveks Og ikke-konveks.

Polyederet kalles konveks, hvis den ligger helt på den ene siden av noen av ansiktene.

Trening. Spesifiser kanter, ribbeina Og topper kube vist på figuren.

Konvekse polyedre er delt inn i prismer Og pyramider.

Prisme

Prisme er et polyeder der to flater er like og parallelle
n-gons, og resten n ansikter er parallellogrammer.

To n-gons kalles prismebaser, parallellogrammer – sideflater. Sidene av sideflatene og basene kalles prismeribber, kalles endene av kantene toppunktene til prismet. Sidekanter er kanter som ikke tilhører basene.

Polygonene A 1 A 2 ...A n og B 1 B 2 ...B n er basene til prismet.

Parallelogrammer A 1 A 2 B 2 B 1, ... - sideflater.

Prisme egenskaper:

· Basene til prismet er like og parallelle.

· Sidekantene til prismet er like og parallelle.

Prisme diagonal kalt et segment som forbinder to toppunkter som ikke tilhører samme flate.

Prismehøyde kalles en perpendikulær som faller fra et punkt på den øvre basen til planet til den nedre basen.

Et prisme kalles 3-gonal, 4-gonal, ..., n-kull, hvis det er base
3-gons, 4-gons, ..., n-gons.

Direkte prisme kalt et prisme hvis sideribber er vinkelrett på basene. Sideflatene til et rett prisme er rektangler.

Skrå prisme kalt et prisme som ikke er rett. Sideflatene til et skrånende prisme er parallellogrammer.

Med riktig prisme kalt rett et prisme med regulære polygoner ved bunnen.

Område full overflate prismer kalles summen av arealene av alle dens ansikter.

Område sideflate prismer kalles summen av arealene av sideflatene.

S full = S side + 2 S grunnleggende