Hvordan bestemme akselerasjonsverdien til et punkt. Hastighet og akselerasjon av punkter i en stiv kropp som utfører translasjons- og rotasjonsbevegelser. Bestemme overføringshastigheten til et punkt

La funksjonen nå bli kjent. I fig. 5.10
Og
 hastighetsvektorer for et bevegelig punkt i øyeblikk t og  t. For å få hastighetsvektorinkrementet
flytte vektoren parallelt
nøyaktig M:

Gjennomsnittlig akselerasjon av et punkt over en tidsperiode  t kalles hastighetsvektorens inkrementforhold
til en tidsperiode t:

Derfor, akselerasjon av et punkt ved dette øyeblikket tid er lik den første deriverte med hensyn til tid av punktets hastighetsvektor eller den andre deriverte av radiusvektoren med hensyn til tid

. (5.11)

Punktakselerasjon dette er en vektormengde som karakteriserer endringshastigheten til hastighetsvektoren over tid.

La oss konstruere en hastighetshodograf (fig. 5.11). Per definisjon er hastighetshodografen kurven som tegnes ved slutten av hastighetsvektoren når et punkt beveger seg, hvis hastighetsvektoren er plottet fra samme punkt.

Bestemme hastigheten til et punkt ved å bruke koordinatmetoden for å spesifisere dets bevegelse

La bevegelsen til et punkt spesifiseres med koordinatmetoden i det kartesiske koordinatsystemet

X = x(t), y = y(t), z = z(t)

Radiusvektoren til et punkt er lik

.

Siden enhetsvektorene
er konstante, da per definisjon

. (5.12)

La oss betegne projeksjonene av hastighetsvektoren på aksen Åh, OU Og Oz gjennom V x , V y , V z

(5.13)

Ved å sammenligne likheter (5.12) og (5.13) får vi

(5.14)

I det følgende vil den deriverte med hensyn til tid betegnes med prikken over, dvs.

.

Hastighetsmodulen til et punkt bestemmes av formelen

. (5.15)

Retningen til hastighetsvektoren bestemmes av retningscosinusene:

Bestemme akselerasjonen til et punkt ved å bruke koordinatmetoden for å spesifisere dets bevegelse

Hastighetsvektoren i det kartesiske koordinatsystemet er lik

.

A-priory

La oss betegne projeksjonene til akselerasjonsvektoren på aksen Åh, OU Og Oz gjennom EN x , EN y , EN z Følgelig utvider vi hastighetsvektoren langs aksene:

. (5.17)

Ved å sammenligne likheter (5.16) og (5.17) får vi

Modulen til punktakselerasjonsvektoren beregnes på samme måte som modulen til punkthastighetsvektoren:

, (5.19)

og retningen til akselerasjonsvektoren er retningscosinus:

Bestemme hastigheten og akselerasjonen til et punkt ved å bruke den naturlige metoden for å spesifisere bevegelsen

Denne metoden bruker naturlige akser som starter ved punktets nåværende posisjon M på banen (fig. 5.12) og enhetsvektorer Enhetsvektor rettet tangentielt til banen mot den positive referansen til buen, enhetsvektor rettet langs hovednormalen til banen mot dens konkavitet, enhetsvektor rettet langs det binormale til banen ved punktet M.

Orty Og ligge i svingende plan, enhetsvektorer Og V normalt fly, enhetsvektorer Og - inn retteplan.

Den resulterende trihedronen kalles naturlig.

La loven om punktbevegelse gis s = s(t).

Radius vektor poeng M i forhold til et hvilket som helst fast punkt vil være en kompleks funksjon av tid
.

Fra differensialgeometri er Serre-Frenet-formlene kjent, som etablerer forbindelser mellom enhetsvektorer av naturlige akser og vektorfunksjonen til kurven

hvor  er krumningsradiusen til banen.

Ved å bruke definisjonen av hastighet og Serre-Frenet-formelen får vi:

. (5.20)

Angir projeksjonen av hastighet på tangenten og tatt i betraktning at hastighetsvektoren er rettet tangentielt, har vi

. (5.21)

Ved å sammenligne likheter (5.20) og (5.21), får vi formler for å bestemme hastighetsvektoren i størrelse og retning

Omfanget positivt hvis poenget M beveger seg i positiv retning av buereferansen s og negativ i motsatt tilfelle.

Ved å bruke definisjonen av akselerasjon og Serre-Frenet-formelen får vi:

La oss betegne projeksjonen av akselerasjonen til punktet på en tangent , hovednormal og binormal
hhv.

Da er akselerasjonen

Fra formlene (5.23) og (5.24) følger det at akselerasjonsvektoren alltid ligger i kontaktplanet og utvides i retninger Og :

(5.25)

Projeksjon av akselerasjon på en tangent
kalt tangent eller tangentiell akselerasjon. Det kjennetegner endringen i hastighet.

Projeksjon av akselerasjon på hovednormalen
kalt normal akselerasjon. Det karakteriserer endringen i hastighetsvektoren i retning.

Størrelsen på akselerasjonsvektoren er lik
.

Hvis Og av samme tegn, vil bevegelsen til punktet akselereres.

Hvis Og forskjellige tegn, så vil bevegelsen av punktet være sakte.

Og hvorfor trengs det? Vi vet allerede hva et referansesystem, bevegelsesrelativitet og et materialpunkt er. Vel, det er på tide å gå videre! Her skal vi se på de grunnleggende begrepene i kinematikk, sette sammen de mest nyttige formlene for det grunnleggende i kinematikk, og gi et praktisk eksempel på løsning av oppgaven.

La oss løse dette problemet: et punkt beveger seg i en sirkel med en radius på 4 meter. Loven for dens bevegelse uttrykkes ved ligningen S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. På hvilket tidspunkt er den normale akselerasjonen til et punkt lik 9 m/s^2? Finn hastighet, tangentiell og total akselerasjon til punktet for dette tidspunktet.

Løsning: vi vet at for å finne hastigheten må vi ta den første tidsderiverte av bevegelsesloven, og normalakselerasjonen er lik kvotienten av kvadratet av hastigheten og radiusen til sirkelen som punktet langs. beveger seg. Bevæpnet med denne kunnskapen vil vi finne de nødvendige mengdene.

Trenger du hjelp til å løse problemer? Profesjonell studentservice er klar til å tilby det.

De grunnleggende formlene for kinematikk er gitt materiell poeng, deres konklusjon og presentasjon av teorien.

Innhold

Se også: Et eksempel på å løse et problem (koordinatmetode for å spesifisere bevegelsen til et punkt)

Grunnleggende formler for kinematikken til et materialpunkt

La oss presentere de grunnleggende formlene for kinematikken til et materialpunkt. Deretter vil vi gi deres konklusjon og presentasjon av teorien.

Radiusvektor for materialpunktet M i det rektangulære koordinatsystemet Oxyz:
,
hvor er enhetsvektorer (orter) i retning av x-, y- og z-aksene.

Punkthastighet:
;
.
.
Enhetsvektor i retningen tangent til banen til et punkt:
.

Akselerasjonspunkt:
;
;
;
; ;

Tangensiell (tangensiell) akselerasjon:
;
;
.

Normal akselerasjon:
;
;
.

Enhetsvektor rettet mot krumningssenteret til punktets bane (langs hovednormalen):
.

.

Radiusvektor og punktbane

La oss vurdere bevegelsen til materialpunktet M. La oss velge et fast rektangulært koordinatsystem Oxyz med et senter ved et fast punkt O. Da er posisjonen til punktet M unikt bestemt av dets koordinater (x, y, z). Disse koordinatene er komponenter av radiusvektoren til materialpunktet.

Radiusvektoren til et punkt M er en vektor trukket fra opprinnelsen til et fast koordinatsystem O til et punkt M.
,
hvor er enhetsvektorer i retning av x-, y- og z-aksene.

Når et punkt beveger seg, endres koordinatene over tid. Det vil si at de er funksjoner av tid. Deretter ligningssystemet
(1)
kan betraktes som ligningen til en gitt kurve parametriske ligninger. En slik kurve er banen til et punkt.

Banen til et materialpunkt er linjen som punktet beveger seg langs.

Hvis punktet beveger seg i et plan, så kan aksene og koordinatsystemene velges slik at de ligger i dette planet. Da bestemmes banen av to likninger

I noen tilfeller kan tid elimineres fra disse ligningene. Da vil baneligningen ha formen:
,
hvor er en funksjon. Denne avhengigheten inneholder bare variablene og . Den inneholder ikke parameteren.

Hastigheten til et materialpunkt

Hastigheten til et materialpunkt er den deriverte av radiusvektoren i forhold til tid.

I henhold til definisjonen av hastighet og definisjonen av derivat:

I mekanikk er derivater med hensyn til tid angitt med en prikk over symbolet. La oss her erstatte uttrykket for radiusvektoren:
,
hvor vi tydelig har indikert avhengigheten av koordinater på tid. Vi får:

,
Hvor
,
,

- projeksjoner av hastighet på koordinataksene. De oppnås ved å differensiere komponentene i radiusvektoren med hensyn til tid
.

Dermed
.
Hastighetsmodul:
.

Tangent til stien

Fra et matematisk synspunkt kan ligningssystemet (1) betraktes som en ligning av en linje (kurve) definert av parametriske ligninger. Tid, i denne betraktningen, spiller rollen som en parameter. Fra kurset matematisk analyse det er kjent at retningsvektoren for tangenten til denne kurven har følgende komponenter:
.
Men dette er komponentene i punktets hastighetsvektor. Det er hastigheten til materialpunktet er rettet tangentielt til banen.

Alt dette kan demonstreres direkte. La punktet i tidspunktet være i en posisjon med radiusvektoren (se figur). Og i tidspunktet - i posisjon med radiusvektoren. La oss tegne en rett linje gjennom punktene. Per definisjon er en tangent en rett linje som den rette linjen har en tendens til som .
La oss introdusere følgende notasjon:
;
;
.
Deretter rettes vektoren langs den rette linjen.

Når du tenderer, tenderer den rette linjen til tangenten, og vektoren har en tendens til hastigheten til punktet i tidspunktet:
.
Siden vektoren er rettet langs den rette linjen, og den rette linjen ved , er hastighetsvektoren rettet langs tangenten.
Det vil si at hastighetsvektoren til et materialpunkt er rettet langs tangenten til banen.

La oss introdusere tangentretningsvektor for lengdeenhet:
.
La oss vise at lengden på denne vektoren er lik en. Faktisk siden
, Det:
.

Da kan hastighetsvektoren til punktet representeres som:
.

Akselerasjon av et materialpunkt

Akselerasjonen til et materialpunkt er den deriverte av hastigheten i forhold til tid.

I likhet med den forrige får vi akselerasjonskomponentene (projeksjoner av akselerasjon på koordinataksene):
;
;
;
.
Akselerasjonsmodul:
.

Tangentiell (tangens) og normal akselerasjon

Vurder nå spørsmålet om retningen til akselerasjonsvektoren i forhold til banen. For å gjøre dette bruker vi formelen:
.
Vi skiller det med hensyn til tid ved å bruke produktdifferensieringsregelen:
.

Vektoren er rettet tangentielt til banen. I hvilken retning er dens tidsderiverte rettet?

For å svare på dette spørsmålet bruker vi det faktum at lengden på vektoren er konstant og lik enhet. Da er kvadratet av lengden også lik én:
.
Her og nedenfor angir to vektorer i parentes skalarproduktet til vektorer. La oss skille den siste ligningen med hensyn til tid:
;
;
.
Siden skalarproduktet av vektorer og er lik null, er disse vektorene vinkelrett på hverandre. Siden vektoren er rettet tangent til banen, er vektoren vinkelrett på tangenten.

Den første komponenten kalles tangentiell eller tangentiell akselerasjon:
.
Den andre komponenten kalles normal akselerasjon:
.
Da er den totale akselerasjonen:
(2) .
Denne formelen representerer dekomponeringen av akselerasjon i to gjensidig vinkelrette komponenter - tangent til banen og vinkelrett på tangenten.

Siden da
(3) .

Tangensiell (tangensiell) akselerasjon

La oss multiplisere begge sider av ligningen (2) skalar til:
.
Fordi da. Deretter
;
.
Her legger vi:
.
Fra dette kan vi se at den tangentielle akselerasjonen er lik projeksjonen av den totale akselerasjonen på retningen til tangenten til banen eller, som er den samme, på retningen til punktets hastighet.

Tangentiell (tangensiell) akselerasjon av et materialpunkt er projeksjonen av dets totale akselerasjon på retningen til tangenten til banen (eller til hastighetsretningen).

Vi bruker symbolet for å betegne den tangentielle akselerasjonsvektoren rettet langs tangenten til banen. Da er en skalar størrelse lik projeksjonen av den totale akselerasjonen på tangentens retning. Det kan være både positivt og negativt.

Ved å erstatte , har vi:
.

La oss sette det inn i formelen:
.
Deretter:
.
Det vil si at den tangentielle akselerasjonen er lik den tidsderiverte av punktets absolutte hastighet. Dermed, tangentiell akselerasjon fører til en endring i absoluttverdien av punktets hastighet. Når hastigheten øker, er den tangentielle akselerasjonen positiv (eller rettet langs hastigheten). Når hastigheten avtar, er tangentiell akselerasjon negativ (eller i motsatt retning av hastigheten).

La oss nå undersøke vektoren.

Betrakt en enhetsvektor som tangerer banen. La oss plassere dens opprinnelse ved opprinnelsen til koordinatsystemet. Da vil enden av vektoren være på en sfære med enhetsradius. Når et materialpunkt beveger seg, vil enden av vektoren bevege seg langs denne sfæren. Det vil si at den vil rotere rundt sin opprinnelse. La det være øyeblikkelig vinkelhastighet rotasjon av vektoren i tidspunktet. Da er dens deriverte bevegelseshastigheten til enden av vektoren. Den er rettet vinkelrett på vektoren. La oss bruke formelen for roterende bevegelse. Vektormodul:
.

Vurder nå posisjonen til punktet for to nære øyeblikk i tid. La punktet være i posisjon i tidspunktet, og i posisjon i tidspunktet. La og være enhetsvektorer rettet tangentielt til banen i disse punktene. Gjennom punktene og vi tegner plan vinkelrett på vektorene og . La være en rett linje dannet av skjæringspunktet mellom disse planene. Fra et punkt senker vi en vinkelrett til en rett linje. Hvis posisjonene til punktene er nærme nok, kan bevegelsen av punktet betraktes som rotasjon langs en sirkel med radius rundt aksen, som vil være den øyeblikkelige rotasjonsaksen til materialpunktet. Siden vektorene og er vinkelrett på planene og , så vinkelen mellom disse planene lik vinkel mellom vektorer og . Da er den øyeblikkelige rotasjonshastigheten til punktet rundt aksen lik den øyeblikkelige rotasjonshastigheten til vektoren:
.
Her er avstanden mellom punkter og .

Dermed fant vi modulen til tidsderiverten til vektoren:
.
Som vi indikerte tidligere, er vektoren vinkelrett på vektoren. Fra resonnementet ovenfor er det klart at det er rettet mot det øyeblikkelige krumningssenteret til banen. Denne retningen kalles hovednormalen.

Normal akselerasjon

Normal akselerasjon

rettet langs vektoren. Som vi fant ut, er denne vektoren rettet vinkelrett på tangenten, mot det øyeblikkelige krumningssenteret til banen.
La være en enhetsvektor rettet fra materialpunktet til det øyeblikkelige krumningssenteret til banen (langs hovednormalen). Deretter
;
.
Siden begge vektorene har samme retning - mot midten av krumningen av banen, altså
.

Fra formelen (2) vi har:
(4) .
Fra formelen (3) vi finner den normale akselerasjonsmodulen:
.

La oss multiplisere begge sider av ligningen (2) skalar til:
(2) .
.
Fordi da. Deretter
;
.
Dette viser at normalakselerasjonsmodulen er lik projeksjonen av den totale akselerasjonen i retningen til hovednormalen.

Den normale akselerasjonen til et materialpunkt er projeksjonen av dets totale akselerasjon i retningen vinkelrett på tangenten til banen.

La oss erstatte. Deretter
.
Det vil si at normal akselerasjon forårsaker en endring i retningen til hastigheten til et punkt, og den er relatert til krumningsradiusen til banen.

Herfra kan du finne krumningsradiusen til banen:
.

Og avslutningsvis merker vi at formelen (4) kan skrives om som følger:
.
Her har vi brukt formelen for kryssproduktet av tre vektorer:
,
som de rammet inn
.

Så vi fikk:
;
.
La oss sette likhetstegn mellom modulene til venstre og høyre del:
.
Men vektorene er også innbyrdes perpendikulære. Derfor
.
Deretter
.
Dette er en velkjent formel fra differensialgeometri for krumningen til en kurve.

Se også:

For eksempel, en bil som begynner å bevege seg, beveger seg raskere ettersom den øker hastigheten. På punktet der bevegelsen begynner, er hastigheten på bilen null. Etter å ha begynt å bevege seg, akselererer bilen til en viss hastighet. Hvis du trenger å bremse, vil ikke bilen kunne stoppe umiddelbart, men over tid. Det vil si at hastigheten på bilen vil ha en tendens til null - bilen vil begynne å bevege seg sakte til den stopper helt. Men fysikk har ikke begrepet "slowdown". Hvis en kropp beveger seg, avtagende hastighet, kalles denne prosessen også akselerasjon, men med et "-"-tegn.

Middels akselerasjon kalles forholdet mellom hastighetsendringen og tidsperioden denne endringen skjedde. Beregn gjennomsnittlig akselerasjon ved å bruke formelen:

hvor er det . Retningen til akselerasjonsvektoren er den samme som retningen for endring i hastighet Δ = - 0

hvor 0 er starthastigheten. På et øyeblikk t 1(se figuren nedenfor) ved kroppen 0. På et øyeblikk t 2 kroppen har fart. Basert på regelen for vektorsubtraksjon, bestemmer vi vektoren for hastighetsendring Δ = - 0. Herfra beregner vi akselerasjonen:

.

I SI-systemet akselerasjonsenhet kalt 1 meter per sekund per sekund (eller meter per sekund i kvadrat):

.

En meter per sekund i kvadrat er akselerasjonen til et rettlinjet bevegelig punkt, hvor hastigheten til dette punktet øker med 1 m/s på 1 sekund. Med andre ord, akselerasjon bestemmer graden av endring i hastigheten til et legeme på 1 s. For eksempel, hvis akselerasjonen er 5 m/s2, øker kroppens hastighet med 5 m/s hvert sekund.

Øyeblikkelig akselerasjon av et legeme (materialpunkt) på et gitt tidspunkt er en fysisk størrelse som er lik grensen som den gjennomsnittlige akselerasjonen har en tendens til når tidsintervallet har en tendens til 0. Dette er med andre ord akselerasjonen utviklet av kroppen i løpet av svært kort tid:

.

Akselerasjon har samme retning som endringen i hastighet Δ i ekstremt korte tidsperioder hvor hastigheten endres. Akselerasjonsvektoren kan spesifiseres ved bruk av projeksjoner på de tilsvarende koordinataksene i et gitt referansesystem (projeksjoner a X, a Y, a Z).

Ved akselerert lineær bevegelse øker kroppens hastighet i absolutt verdi, d.v.s. v 2 > v 1 , og akselerasjonsvektoren har samme retning som hastighetsvektoren 2 .

Hvis hastigheten til et legeme synker i absolutt verdi (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем Sakker farten(akselerasjonen er negativ, og< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Hvis bevegelse skjer langs en buet bane, endres størrelsen og retningen på hastigheten. Dette betyr at akselerasjonsvektoren er avbildet som to komponenter.

Tangensiell (tangensiell) akselerasjon De kaller den komponenten av akselerasjonsvektoren som er rettet tangentielt til banen ved et gitt punkt i bevegelsesbanen. Tangentiell akselerasjon beskriver graden av endring i hastighetsmodulo under krumlinjet bevegelse.

U tangentiell akselerasjonsvektorτ (se figuren over) retningen er den samme som for lineær hastighet eller motsatt av den. De. den tangentielle akselerasjonsvektoren er i samme akse med tangentsirkelen, som er banen til kroppen.

Mekanisk bevegelse er endringen over tid i posisjonen i rommet av punkter og kropper i forhold til en hvilken som helst hovedkropp som referansesystemet er festet til. Kinematikk studerer den mekaniske bevegelsen av punkter og kropper, uavhengig av kreftene som forårsaker disse bevegelsene. Enhver bevegelse, som hvile, er relativ og avhenger av valg av referansesystem.

Banen til et punkt er en kontinuerlig linje beskrevet av et bevegelig punkt. Hvis banen er en rett linje, kalles bevegelsen til punktet rettlinjet, og hvis det er en kurve, kalles den krumlinjet. Hvis banen er flat, kalles bevegelsen til punktet flat.

Bevegelsen til et punkt eller legeme anses som gitt eller kjent hvis det for hvert øyeblikk (t) er mulig å indikere posisjonen til punktet eller kroppen i forhold til det valgte koordinatsystemet.

Posisjonen til et punkt i rommet bestemmes av oppgaven:

a) punktbaner;

b) begynnelsen O 1 av avstandsavlesningen langs banen (Figur 11): s = O 1 M - krumlinjet koordinat til punkt M;

c) retningen til den positive tellingen av avstander s;

d) likning eller bevegelseslov for et punkt langs en bane: S = s(t)

Punkthastighet. Hvis et punkt reiser like avstander i like perioder, kalles dets bevegelse uniform. Hastigheten til ensartet bevegelse måles ved forholdet mellom banen z tilbakelagt av et punkt i en viss tidsperiode og verdien av denne tidsperioden: v = s/1. Hvis et punkt reiser ulik vei i like perioder, kalles bevegelsen ujevn. Hastigheten i dette tilfellet er også variabel og er en funksjon av tiden: v = v(t). La oss vurdere punkt A, som beveger seg langs en gitt bane i henhold til en viss lov s = s(t) (Figur 12):

Over en tidsperiode flyttet t t A til posisjon A 1 langs buen AA. Hvis tidsperioden Δt er liten, kan buen AA 1 erstattes av en korde og finne, som en første tilnærming, gjennomsnittshastigheten til punktet v cp = Ds/Dt. gjennomsnittshastighet rettet langs akkorden fra punkt A til punkt A 1.

Ekte fart punktet er rettet tangent til banen, og dets algebraiske verdi bestemmes av den første tidsderiverte av banen:

v = limΔs/Δt = ds/dt

Dimensjon på punkthastighet: (v) = lengde/tid, for eksempel m/s. Hvis punktet beveger seg i retning av økende krumlinjet koordinat s, så ds > 0, og derfor v > 0, ellers ds< 0 и v < 0.

Punktakselerasjon. Endringen i hastighet per tidsenhet bestemmes av akselerasjon. La oss vurdere bevegelsen til punkt A langs en krumlinjet bane i tid Δt fra posisjon A til posisjon A 1 . I posisjon A hadde punktet en hastighet v, og i posisjon A 1 - en hastighet v 1 (Figur 13). de. hastigheten til punktet endret seg i størrelse og retning. Vi finner den geometriske forskjellen av hastigheter Δv ved å konstruere vektoren v 1 fra punkt A.

Akselerasjonen til et punkt er vektoren ", som er lik den første deriverte av punktets hastighetsvektor med hensyn til tid:

Den funnet akselerasjonsvektoren a kan dekomponeres i to innbyrdes perpendikulære komponenter, men tangerende og normal til bevegelsesbanen. Tangentiell akselerasjon a 1 sammenfaller i retning med hastigheten under akselerert bevegelse eller er motsatt av den under erstattet bevegelse. Den karakteriserer endringen i hastighet og er lik den deriverte av hastigheten med hensyn til tid

Den normale akselerasjonsvektoren a er rettet langs normalen (vinkelrett) på kurven mot konkaviteten til banen, og dens modul er lik forholdet mellom kvadratet av punktets hastighet og krumningsradiusen til banen ved det aktuelle punktet.

Normal akselerasjon karakteriserer endringen i hastighet langs
retning.

Total akselerasjonsverdi: , m/s 2

Typer punktbevegelse avhengig av akselerasjon.

Uniform rett bevegelse (bevegelse ved treghet) kjennetegnes ved at bevegelseshastigheten er konstant, og krumningsradiusen til banen er lik uendelig.

Det vil si at r = ¥, v = const, da; og derfor . Så når et punkt beveger seg med treghet, er dets akselerasjon null.

Rettlinjet ujevn bevegelse. Kurvaturradiusen til banen er r = ¥, og n = 0, derfor a = a t og a = a t = dv/dt.