Fraktaler i levende og livløs natur. Fraktaler i naturen. Andel av det "gyldne snitt"
Naturen er en perfekt skapelse, forskerne er overbevist om, som oppdager proporsjonene til det gylne snittet i strukturen til menneskekroppen, og fraktale figurer i hodet på en blomkål.
"Studien og observasjonen av naturen fødte vitenskapen," skrev Cicero i det første århundre f.Kr. I senere tider, med utviklingen av vitenskapen og dens avstand fra studiet av naturen, er forskere overrasket over å oppdage hva som var kjent for våre forfedre, men som ikke ble bekreftet av vitenskapelige metoder.
Det er interessant å finne lignende formasjoner i mikro- og makrokosmos det kan også være inspirerende at vitenskapen kan beskrive geometrien til disse formasjonene. Sirkulasjonssystemet, en elv, lyn, tregrener... alle disse er like systemer, bestående av forskjellige partikler og forskjellige i skala.
Andel av det "gyldne snitt"
Selv de gamle grekerne, og muligens egypterne, kjente til andelen av det "gyldne snittet". Luca Pacioli, en renessansematematiker, kalte dette forholdet den "guddommelige proporsjonen." Senere oppdaget forskere at det gylne snitt, som er så behagelig for det menneskelige øyet og som ofte finnes i klassisk arkitektur, kunst og til og med poesi, kan finnes overalt i naturen.
Det gylne snitt er en inndeling av et segment i to ulikt deler, der den korte delen er relatert til den lange som den lange delen er til hele segmentet. Forholdet mellom den lange delen og hele segmentet er et uendelig tall, en irrasjonell brøk 0,618 ..., forholdet mellom den korte delen er 0,382 ...
Hvis du bygger et rektangel med sider hvis forhold er lik andelen av "det gyldne snittet", og skriver inn et annet "gyldent rektangel" i det, et annet i det, og så videre i det uendelige innover og utover, så kan en spiral tegnes langs hjørnepunktene til rektanglene. Det er interessant at en slik spiral vil falle sammen med et kutt av et nautilus-skall, så vel som andre spiraler som finnes i naturen.
Illustrasjon: Homk/wikipedia.org
Nautilus fossil.
Foto: Studio-Annika/Photos.com
Nautilus skall.
Foto: Chris 73/en.wikipedia.org
Andelen av det gylne snitt oppfattes av det menneskelige øye som vakkert og harmonisk. Og andelen 0,618... er lik forholdet mellom forrige og neste tall i Fibonacci-serien. Fibonacci-tall vises overalt i naturen: dette er spiralen som grenene til en plante grenser til stilken, spiralen som skjellene på en kongle vokser langs eller kornene på en solsikke. Interessant nok er antall rader som spinner mot klokken og med klokken tilstøtende tall i Fibonacci-serien.
Hodet på en brokkolikål og et værhorn vrir seg i en spiral... Og i selve menneskekroppen, selvfølgelig, sunn og av normale proporsjoner, finnes det gylne snitt.
Vitruviansk mann. Tegning av Leonardo da Vinci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... er tall i Fibonacci-serien, der hvert påfølgende ledd er hentet fra summen av de to foregående. Fjerne spiralgalakser fotografert av satellitter spinner også i Fibonacci-spiraler.
Spiralgalakse.
Foto: NASA
Tre tropiske sykloner.
Foto: NASA
DNA-molekylet er vridd i en dobbel helix.
Vridet menneskelig DNA.
Illustrasjon: Zephyris/en.wikipedia.org
Orkanen vrir seg i en spiral, edderkoppen vever nettet i en spiral.
Web av en korsedderkopp.
Foto: Vincent de Groot/video.net
Den "gyldne proporsjonen" kan også sees i sommerfuglens kroppsstruktur, i forhold til bryst- og bukdelen av kroppen, så vel som i øyenstikkeren. Og de fleste egg passer, om ikke i rektangelet til det gyldne snitt, så inn i et derivat av det.
Illustrasjon: Adolphe Millot
Fraktaler
Andre interessante former som vi kan se overalt i naturen er fraktaler. Fraktaler er figurer som består av deler, som hver ligner hele figuren – minner ikke dette deg om prinsippet om det gylne snitt?
Trær, lyn, bronkier og sirkulasjonssystemet mennesker har en fraktal form, og brokkoli kalles også ideelle naturlige illustrasjoner av fraktaler. "Alt er så komplisert, alt er så enkelt" er hvordan naturen fungerer, legger folk merke til, og lytter til den med respekt.
"Naturen har utstyrt mennesket med ønsket om å oppdage sannheten," skrev Cicero, med hvis ord jeg vil avslutte den første delen av artikkelen om geometri i naturen.
Brokkoli er en perfekt naturlig illustrasjon av en fraktal.
Foto: pdphoto.org
Bregneblader har formen av en fraktal figur - de er selv-lignende.
Foto: Stockbyte/Photos.com
Grønne fraktaler: bregneblader.
Foto: John Foxx/Photos.com
Årer på et gulnet blad, formet som en fraktal.
Foto: Diego Barucco/Photos.com
Sprekker på en stein: fraktal i makro.
Foto: Bob Beale/Photos.com
Grener av sirkulasjonssystemet på ørene til en kanin.
Foto: Lusoimages/Photos.com
Lynnedslag - fraktal gren.
Foto: John R. Southern/flickr.com
En gren av arterier i menneskekroppen.
Svingete elv og dens grener.
Foto: Jupiterimages/Photos.com
Is frosset på glass har et selv-lignende mønster.
Foto: Schnobby/en.wikipedia.org
Et eføyblad med forgrenede årer - fraktal i form.
Foto: Wojciech Plonka/Photos.com
Send ditt gode arbeid i kunnskapsbasen er enkelt. Bruk skjemaet nedenfor
Studenter, hovedfagsstudenter, unge forskere som bruker kunnskapsbasen i studiene og arbeidet vil være veldig takknemlige for deg.
postet på http://www.allbest.ru/
Fraktaler - den fantastiske skjønnheten til matematikk i naturen
Naturen er så mystisk at jo mer du studerer den, jo flere spørsmål dukker opp ... Nattelyn - blå "stråler" av forgrenede utslipp, frostmønstre på vinduet, snøflak, fjell, skyer, trebark - alt dette går utover det vanlige Euklidisk geometri. Vi kan ikke beskrive en stein eller grensene til en øy ved å bruke rette linjer, sirkler og trekanter. Og her kommer fraktaler til unnsetning.
En fraktal er en kompleks geometrisk figur som har egenskapen til selvlikhet. Det vil si at den består av flere deler, som hver gjentar hele figuren. I følge Wikipedias definisjon er en fraktal en uendelig selvlignende geometrisk figur, hvor hvert fragment gjentas etter hvert som skalaen minker.
Den amerikanske (selv om han vokste opp i Frankrike) matematikeren Benoit Mandelbrot kalte denne egenskapen til gjenstander fraktalitet, og slike gjenstander selv - fraktaler (fra latin fractus - ødelagte).
Fraktaler finner mer og mer større applikasjon innen vitenskap og teknologi. Hovedårsaken til dette er at de beskriver den virkelige verden noen ganger enda bedre enn tradisjonell fysikk eller matematikk. Man kan uendelig gi eksempler på fraktale gjenstander i naturen - dette er skyer, og snøflak, og fjell, og et lynglimt, og til slutt, blomkål.
En fraktal som et naturlig objekt er en evig kontinuerlig bevegelse, nydannelse og utvikling.
Fraktaler finnes overalt: i mat, i bakterier, i planter, i dyr, i fjell, på himmelen og i vann.
Hvordan fraktalen ble oppdaget
De matematiske formene kjent som fraktaler stammer fra geniet til den eminente vitenskapsmannen Benoit Mandelbrot. I det meste av livet underviste han i matematikk ved Yale University i USA. I 1977 - 1982 publiserte Mandelbrot vitenskapelige arbeider viet studiet av "fraktal geometri" eller "naturgeometri", der han brøt ned tilsynelatende tilfeldige matematiske former til komponentelementer som ved nærmere undersøkelse viste seg å gjenta seg - som bevist tilstedeværelsen av en viss modell for kopiering. Mandelbrots oppdagelse fikk betydelige konsekvenser i utviklingen av fysikk, astronomi og biologi.
Fraktaler i naturen
geometrisk figur fraktal naturlig
I naturen har mange gjenstander fraktale egenskaper, for eksempel: trekroner, blomkål, skyer, sirkulasjons- og alveolarsystemene til mennesker og dyr, krystaller, snøflak, hvis elementer er ordnet i en kompleks struktur, kystlinjer (fraktalkonseptet tillot forskere for å måle kystlinjen til De britiske øyer og andre tidligere umålbare objekter).
La oss se på strukturen til blomkål. Hvis du klipper en av blomstene, er det åpenbart at den samme blomkålen forblir i hendene dine, bare mindre i størrelse. Vi kan fortsette å kutte igjen og igjen, selv under et mikroskop – men alt vi får er bittesmå kopier av blomkålen. I dette enkleste tilfellet inneholder selv en liten del av fraktalen informasjon om hele den endelige strukturen.
Fraktaler og gamle mandalaer
For eksempel en mandala for å tiltrekke seg penger. De sier at fargen rød fungerer som en pengemagnet. Minner ikke de utsmykkede mønstrene deg om noe? De virket veldig kjente for meg, og jeg begynte å forske på mandalaer som en fraktal.
I utgangspunktet er en mandala det geometrisk symbol kompleks struktur, som tolkes som en modell av universet, et "kart over kosmos". Dette er det første tegn på fraktalitet!
De er brodert på stoff, malt på sand, laget med farget pulver og laget av metall, stein, tre. Dens lyse og fascinerende utseende gjør den til en vakker dekorasjon for gulv, vegger og tak i templer i India. På det gamle indiske språket betyr "mandala" den mystiske sirkelen av forholdet mellom de åndelige og materielle energiene i universet, eller med andre ord, livets blomst.
Jeg ønsket å skrive en veldig kort anmeldelse av fraktale mandalaer, med et minimum av avsnitt, som viser at forholdet tydelig eksisterer. Men da jeg prøvde å forstå og koble informasjon om fraktaler og mandalaer til en enkelt helhet, fikk jeg følelsen av et kvantesprang inn i et rom ukjent for meg.
Jeg demonstrerer omfanget av dette emnet med et sitat: "Slike fraktale komposisjoner eller mandalaer kan brukes i form av malerier, designelementer for oppholds- og arbeidsrom, bærbare amuletter, i form av videobånd, dataprogrammer ..." I generelt er emnet for studiet av fraktaler ganske enkelt enormt.
En ting jeg kan si sikkert er at verden er mye mer mangfoldig og rikere enn de dårlige ideene våre sinn har om den.
Fraktale sjødyr
Mine gjetninger om fraktale sjødyr var ikke grunnløse. Her er de første representantene. En blekksprut er et bunnlevende sjødyr fra rekkefølgen av blekksprut.
Når jeg så på fotografiet hans, ble fraktalstrukturen til kroppen hans og sugene på alle åtte tentaklene til dette dyret tydelig for meg. Antall sugere på tentaklene til en voksen blekksprut når opp til 2000.
Et interessant faktum er at blekkspruten har tre hjerter: en (den viktigste) driver blått blod gjennom hele kroppen, og de to andre - gjellene - skyver blodet gjennom gjellene. Noen typer av disse dyphavsfraktalene er giftige.
Tilpasning og maskering som miljø, blekkspruten har den svært nyttige evnen til å endre farge.
Blekkspruter regnes som den mest "smarte" av alle virvelløse dyr. De blir kjent med folk og blir vant til de som mater dem. Det ville vært interessant å se på blekkspruter som er enkle å trene, har godt minne og til og med skille geometriske former. Men levetiden til disse fraktaldyrene er kort - maksimalt 4 år.
Mennesket bruker blekket til denne levende fraktalen og andre blekksprut. De er ettertraktet av kunstnere for deres holdbarhet og vakre bruntone. I middelhavskjøkkenet er blekksprut en kilde til vitamin B3, B12, kalium, fosfor og selen. Men jeg tror at du må vite hvordan du tilbereder disse sjøfraktalene for å nyte å spise dem som mat.
Forresten, det skal bemerkes at blekksprut er rovdyr. Med sine fraktale tentakler holder de byttedyr i form av bløtdyr, krepsdyr og fisk. Det er synd hvis et så vakkert bløtdyr blir maten til disse havfraktalene. Etter min mening er han også en typisk representant for sjørikets fraktaler.
Også, for eksempel, en slektning av snegler, gastropod nakensnegl bløtdyr Glaucus, også kjent som Glaucus, også kjent som Glaucus atlanticus, også kjent som Glaucilla marginata. Denne fraktalen er også uvanlig ved at den lever og beveger seg under overflaten av vannet, og holdes på plass av overflatespenning. Fordi bløtdyret er en hermafroditt, og etter parring legger begge "partnerne" egg. Denne fraktalen finnes i alle hav i den tropiske sonen.
Fraktaler av sjøriket
Hver av oss, minst en gang i livet, holdt et skjell i hendene og undersøkte det med genuin barnslig interesse.
Vanligvis er skjell en vakker suvenir som minner om en tur til havet. Når du ser på denne spiralformasjonen av virvelløse bløtdyr, er det ingen tvil om dens fraktale natur.
Vi mennesker er litt som disse bløtdyrene med myk kropp, som bor i velutstyrte fraktalhus i betong, og plasserer og flytter kroppene våre i raske biler.
En annen typisk representant for den fraktale undervannsverdenen er koraller.
Det er over 3500 varianter av koraller kjent i naturen, med en palett på opptil 350 fargenyanser.
Koraller er skjelettmaterialet til en koloni av korallpolypper, også fra virvelløse dyrfamilien. Deres enorme ansamlinger danner hele korallrev, den fraktale metoden for dannelse er åpenbar.
Koraller kan med full tillit kalles en fraktal fra sjøriket.
Den brukes også av mennesker som suvenir eller råmateriale for smykker og ornamenter. Men det er veldig vanskelig å gjenskape skjønnheten og perfeksjonen til fraktal natur.
Av en eller annen grunn er jeg ikke i tvil om at i undervannsverdenen vil du også finne mange fraktale dyr.
Fraktaler i folkekunst
Historien om den verdensberømte Matryoshka-leken fanget min oppmerksomhet. Ta en nærmere titt, kan vi si med tillit at dette suvenirleketøyet er en typisk fraktal.
Prinsippet om fraktalitet er åpenbart når alle figurene til et treleketøy er stilt opp på rad og ikke nestet inni hverandre.
Min lille forskning på historien om utseendet til denne leketøysfraktalen på verdensmarkedet viste at røttene til denne skjønnheten er japanske. Matryoshka-dukken har alltid vært ansett som en original russisk suvenir. Men det viste seg at hun var prototypen på den japanske figuren til den gamle vismannen Fukuruma, en gang brakt til Moskva fra Japan.
Men det var den russiske leketøysindustrien som brakte denne japanske figuren verdensberømmelse. Hvor ideen om fraktal hekking av et leketøy kom fra er fortsatt et mysterium for meg personlig. Mest sannsynlig brukte forfatteren av dette leketøyet prinsippet om å hekke figurer inne i hverandre. Og den enkleste måten å investere på er lignende figurer av forskjellige størrelser, og dette er allerede en fraktal.
Et like interessant studieobjekt er maleriet av et fraktalt leketøy. Dette er et dekorativt maleri - Khokhloma. Tradisjonelle elementer av Khokhloma er urtemønstre av blomster, bær og grener.
Igjen alle tegn på fraktalitet. Tross alt kan det samme elementet gjentas flere ganger i forskjellige versjoner og proporsjoner. Resultatet er et folkefraktalmaleri.
Og hvis du ikke vil overraske noen med det nymotens maleri av datamus, laptopdeksler og telefoner, så er fraktal tuning av en bil i folkestil noe nytt innen bildesign. Man kan bare bli overrasket over manifestasjonen av fraktalverdenen i livene våre på en så uvanlig måte i slike vanlige ting for oss.
Fraktaler på kjøkkenet
Hver gang jeg demonterte blomkål i små blomsterstander for blanchering i kokende vann, tok jeg aldri hensyn til de åpenbare tegnene på fraktalitet før jeg hadde denne prøven i hendene.
En typisk representant for en fraktal fra flora ble vist på kjøkkenbordet mitt.
Med all min kjærlighet til blomkål kom jeg alltid over prøver med en jevn overflate uten synlige tegn på fraktalitet, og til og med stort antall blomsterstander hekket inne i hverandre ga meg ingen grunn til å se en fraktal i denne nyttige grønnsaken.
Men overflaten til dette spesielle eksemplaret med sin klart definerte fraktale geometri ga ikke den minste tvil om den fraktale opprinnelsen til denne typen kål.
En annen tur til hypermarkedet bekreftet bare fraktalstatusen til kål. Blant det enorme antallet eksotiske grønnsaker var en hel boks med fraktaler. Det var Romanescu, eller romansk brokkoli, blomkål.
Det viser seg at designere og 3D-artister beundrer dens eksotiske fraktallignende former.
Kålknopper vokser i en logaritmisk spiral. Den første omtalen av Romanescu-kål kom fra Italia på 1500-tallet.
Og brokollikål er ikke en hyppig gjest i kostholdet mitt, selv om det mange ganger er overlegent blomkål når det gjelder innhold av næringsstoffer og mikroelementer. Men overflaten og formen er så jevn at det aldri falt meg inn å se en vegetabilsk fraktal i den.
Skrevet på Allbest.ru
...Lignende dokumenter
Bestemmelse av de grunnleggende egenskapene til konvekse figurer. Beskrivelse av den tradisjonelle løsningen av det isoperimetriske problemet. Gi eksempler på problemer for å finne ekstremumpunkter. Formulering og bevis for teoremet på en femkant med den største omkretsen av enhetsdiameter.
avhandling, lagt til 30.03.2011
En studie av begrepene symmetri, proporsjonalitet, proporsjonalitet og ensartethet i arrangementet av deler. Kjennetegn på de symmetriske egenskapene til geometriske figurer. Beskrivelser av symmetriens rolle i arkitektur, natur og teknologi, i løsning av logiske problemer.
presentasjon, lagt til 12.06.2011
Betraktning av den fraktale dimensjonen som en av egenskapene til en teknisk overflate. Beskrivelse av naturlige fraktaler. Måling av lengden på en ikke-glatt (bruddet) linje. Likhet og skalering, selvlikhet og selvtilhørighet. Perimeter-areal forhold.
test, lagt til 23.12.2015
Grunnleggende betingelser for symmetrien til en figur. Eksempler på geometriske figurer med sentral symmetri. Sentral symmetri av plantefrukter og noen blomster og levende ting. Sentral symmetri i transport. Analyse av aksiomer for stereometri og planimetri.
presentasjon, lagt til 30.10.2013
Studerer manifestasjonene av geometriske lover i levende natur og deres bruk i pedagogiske praktiske aktiviteter. Beskrivelse av geometriske lover og essensen av geometriske konstruksjoner. Grafisk utdanning og dens plass i den moderne verden.
avhandling, lagt til 24.06.2010
Funksjoner ved å bruke metoden for å kutte fly for å lage en projeksjon og deling av skjæringspunktet mellom overflater av figurer. Prosedyren for å konstruere isometri av det gjensidige skjæringspunktet mellom overflater av figurer. Kjennetegn på prosessen med å lage en figur med utskjæring, støtte og stativ.
sammendrag, lagt til 27.07.2010
Hovedtyper av symmetri (sentral og aksial). En rett linje som symmetriaksen til en figur. Eksempler på figurer med aksial symmetri. Symmetrisk om et punkt. Et punkt som symmetrisenter for en figur. Eksempler på figurer med sentral symmetri.
presentasjon, lagt til 30.10.2014
En kjede av teoremer som dekker hele geometrikurset. Den midterste linjen av figurer er et segment som forbinder midtpunktene på to sider av en gitt figur. Egenskaper til midtlinjer. Konstruksjon av ulike planimetriske og stereometriske figurer, rasjonell problemløsning.
vitenskapelig arbeid, lagt til 29.01.2010
Metode for å finne ulike løsninger geometriske konstruksjonsproblemer. Valg og anvendelse av geometriske transformasjonsmetoder: parallell overføring, symmetri, rotasjon (rotasjon), likhet, inversjon avhengig av formen og egenskapene til basisfiguren.
kursarbeid, lagt til 13.08.2011
Klassiske fraktaler. Selvlikhet. Snøfnugg Koch. Sierpinski teppe. L-systemer. Kaotisk dynamikk. Lorentz-attraksjon. Mandelbrot og Julia setter. Anvendelse av fraktaler i datateknologi.
Ofte kan strålende funn gjort i vitenskapen radikalt forandre livene våre. For eksempel kan oppfinnelsen av en vaksine redde mange mennesker, men etableringen av nye våpen fører til drap. Bokstavelig talt i går (på historiens skala) "temmet" mennesket elektrisitet, og i dag kan han ikke lenger forestille seg livet sitt uten det. Imidlertid er det også oppdagelser som, som de sier, forblir i skyggen, til tross for at de også har en eller annen innvirkning på livene våre. En av disse oppdagelsene var fraktalen. De fleste har aldri engang hørt om dette konseptet og vil ikke være i stand til å forklare betydningen. I denne artikkelen vil vi prøve å forstå spørsmålet om hva en fraktal er og vurdere betydningen av dette begrepet fra vitenskapens og naturens perspektiv.
Orden i kaos
For å forstå hva en fraktal er, bør vi begynne debriefingen fra matematikkens posisjon, men før vi fordyper oss i det, vil vi filosofere litt. Hver person har en naturlig nysgjerrighet, takket være den lærer han verden. Ofte, i sin søken etter kunnskap, prøver han å bruke logikk i sine vurderinger. Ved å analysere prosessene som skjer rundt ham, prøver han å beregne sammenhenger og utlede visse mønstre. De største sinnene på planeten er opptatt med å løse disse problemene. Grovt sett leter forskerne våre etter mønstre der det ikke er noen, og det burde ikke være noen. Og likevel, selv i kaos er det en sammenheng mellom visse hendelser. Denne forbindelsen er det fraktalen er. Som et eksempel, tenk på en brukket gren som ligger på veien. Hvis vi ser nøye på den, vil vi se at den med alle sine greiner og kvister ser ut som et tre. Denne likheten til en separat del med en enkelt helhet indikerer det såkalte prinsippet om rekursiv selvlikhet. Fraktaler kan finnes overalt i naturen, fordi mange uorganiske og organiske former dannes på lignende måte. Dette er skyer, havskjell, snegleskjell, trekroner og til og med sirkulasjonssystemet. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse tilfeldige formene er lett beskrevet av en fraktal algoritme. Nå har vi kommet til å vurdere hva en fraktal er fra eksakte vitenskapers perspektiv.
Noen tørre fakta
Selve ordet "fraktal" er oversatt fra latin som "delvis", "delt", "fragmentert", og når det gjelder innholdet i dette begrepet, er det ingen formulering som sådan. Det tolkes vanligvis som et selvlikt sett, en del av helheten, som gjentar sin struktur på mikronivå. Dette begrepet ble laget på syttitallet av det tjuende århundre av Benoit Mandelbrot, som er anerkjent som faren I dag betyr konseptet fraktal et grafisk bilde av en viss struktur, som, når den forstørres, vil ligne seg selv. Det matematiske grunnlaget for opprettelsen av denne teorien ble imidlertid lagt allerede før fødselen til Mandelbrot selv, men den kunne ikke utvikle seg før elektroniske datamaskiner dukket opp.
Historisk bakgrunn, eller hvordan det hele begynte
På begynnelsen av 1800- og 1900-tallet var studiet av fraktalers natur sporadisk. Dette forklares med at matematikere foretrakk å studere objekter som kan studeres ut fra generelle teorier og metoder. I 1872 konstruerte den tyske matematikeren K. Weierstrass et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke er differensierbar noe sted. Denne konstruksjonen viste seg imidlertid å være helt abstrakt og vanskelig å oppfatte. Deretter kom svensken Helge von Koch, som i 1904 konstruerte en kontinuerlig kurve som ikke hadde noen tangent noen steder. Det er ganske enkelt å tegne og viser seg å ha fraktale egenskaper. En av variantene av denne kurven ble oppkalt etter forfatteren - "Koch snøfnugg". Videre ble ideen om selvlikhet mellom figurer utviklet av den fremtidige mentoren til B. Mandelbrot, franskmannen Paul Levy. I 1938 publiserte han artikkelen "Plane og romlige kurver og overflater bestående av deler som ligner helheten." I den beskrev han en ny type - Lewy C-kurven. Alle de ovennevnte figurene er konvensjonelt klassifisert som geometriske fraktaler.
Dynamiske eller algebraiske fraktaler
Mandelbrot-settet tilhører denne klassen. De første forskerne i denne retningen var de franske matematikerne Pierre Fatou og Gaston Julia. I 1918 publiserte Julia et papir basert på studiet av iterasjoner av rasjonelle komplekse funksjoner. Her beskrev han en familie av fraktaler som er nært beslektet med Mandelbrot-settet. Til tross for at dette verket glorifiserte forfatteren blant matematikere, ble det raskt glemt. Og bare et halvt århundre senere, takket være datamaskiner, fikk Julias arbeid et nytt liv. Datamaskiner gjorde det mulig å synliggjøre for enhver person skjønnheten og rikdommen i fraktalverdenen som matematikere kunne "se" ved å vise dem gjennom funksjoner. Mandelbrot var den første som brukte en datamaskin til å utføre beregninger (et slikt volum kan ikke gjøres manuelt) som gjorde det mulig å konstruere et bilde av disse figurene.
En person med romlig fantasi
Mandelbrot begynte sin vitenskapelige karriere ved IBM Research Center. Mens de studerte mulighetene for å overføre data over lange avstander, ble forskere møtt med store tap som oppsto på grunn av støyinterferens. Benoit lette etter måter å løse dette problemet på. Da han så gjennom måleresultatene, la han merke til et merkelig mønster, nemlig: støygrafene så like ut på forskjellige tidsskalaer.
Et lignende bilde ble observert både i en periode på en dag og i syv dager eller i en time. Benoit Mandelbrot selv gjentok ofte at han ikke jobber med formler, men leker med bilder. Denne forskeren var annerledes fantasifull tenkning, oversatte han ethvert algebraisk problem til det geometriske området, der det riktige svaret er åpenbart. Så det er ikke overraskende at han er preget av sin rikdom og ble faren til fraktal geometri. Tross alt kan bevisstheten om denne figuren bare komme når du studerer tegningene og tenker på betydningen av disse merkelige virvlene som danner mønsteret. Fraktale mønstre har ikke identiske elementer, men de er like i enhver skala.
Julia - Mandelbrot
En av de første tegningene av denne figuren var en grafisk tolkning av settet, som ble født ut av arbeidet til Gaston Julia og ble videreutviklet av Mandelbrot. Gaston prøvde å forestille seg hvordan et sett ser ut, bygget på grunnlag av en enkel formel som itereres gjennom en løkke tilbakemelding. La oss prøve å forklare hva som er sagt på menneskelig språk, så å si på fingrene. For en bestemt numerisk verdi ved hjelp av formelen finner vi den nye verdien. Vi erstatter det i formelen og finner følgende. Resultatet er stort For å representere et slikt sett er det nødvendig å utføre denne operasjonen et stort antall ganger: hundrevis, tusenvis, millioner. Dette er hva Benoit gjorde. Han behandlet sekvensen og overførte resultatene til grafisk form. Deretter farget han den resulterende figuren (hver farge tilsvarer et visst antall iterasjoner). Dette grafiske bildet ble kalt "Mandelbrot fraktal".
L. Carpenter: kunst skapt av naturen
Fraktalteori ble raskt funnet praktisk bruk. Siden det er veldig nært knyttet til visualisering av selvliknende bilder, var kunstnere de første som tok i bruk prinsippene og algoritmene for å konstruere disse uvanlige formene. Den første av dem var den fremtidige grunnleggeren av Pixar, Lauren Carpenter. Mens han jobbet med en presentasjon av flyprototyper, kom han på ideen om å bruke et bilde av fjell som bakgrunn. I dag kan nesten alle databrukere takle en slik oppgave, men på syttitallet av forrige århundre var ikke datamaskiner i stand til å utføre slike prosesser, fordi det ikke fantes grafiske redaktører eller applikasjoner for tredimensjonal grafikk på den tiden. Og så kom Loren over Mandelbrots bok "Fractals: Form, Randomness and Dimension." I den ga Benoit mange eksempler, og viste at fraktaler finnes i naturen (fyva), han beskrev deres varierte former og beviste at de lett kan beskrives med matematiske uttrykk. Matematikeren siterte denne analogien som et argument for nytten av teorien han utviklet som svar på en byge av kritikk fra kollegene. De hevdet at en fraktal er rettferdig Fint bilde, som ikke har noen verdi og er et biprodukt av driften av elektroniske maskiner. Carpenter bestemte seg for å prøve denne metoden i praksis. Etter å ha studert boken nøye, begynte den fremtidige animatøren å lete etter en måte å implementere fraktalgeometri i datagrafikk. Det tok ham bare tre dager å gjengi et fullstendig realistisk bilde av fjellandskapet på datamaskinen. Og i dag er dette prinsippet mye brukt. Som det viser seg, tar det ikke mye tid og krefter å lage fraktaler.
Snekkerløsning
Prinsippet Lauren brukte var enkelt. Den består av å dele større i små elementer, og de i lignende mindre, og så videre. Carpenter, ved å bruke store trekanter, knuste dem til 4 små, og så videre, til han fikk en realistisk Fjelllandskap. Dermed ble han den første kunstneren som brukte en fraktalalgoritme i datagrafikk for å konstruere det nødvendige bildet. I dag brukes dette prinsippet til å imitere ulike realistiske naturformer.
Den første 3D-visualiseringen ved hjelp av en fraktalalgoritme
Noen år senere brukte Lauren utviklingen sin i et storstilt prosjekt - den animerte videoen Vol Libre, vist på Siggraph i 1980. Denne videoen sjokkerte mange, og skaperen ble invitert til å jobbe hos Lucasfilm. Her kunne animatøren realisere sitt fulle potensiale han skapte tredimensjonale landskap (en hel planet) for spillefilmen «Star Trek». Ethvert moderne program ("Fractals") eller applikasjoner for å lage 3D-grafikk (Terragen, Vue, Bryce) bruker den samme algoritmen for modellering av teksturer og overflater.
Tom Beddard
Tidligere laserfysiker og nå digital kunstner og kunstner, skapte Beddard en rekke svært spennende geometriske former, som han kalte Fabergé-fraktaler. Utad ligner de dekorative egg fra en russisk gullsmed, de har det samme strålende, intrikate mønsteret. Beddard brukte en malmetode for å lage sine digitale gjengivelser av modellene. De resulterende produktene overrasker med sin skjønnhet. Selv om mange nekter å sammenligne et håndlaget produkt med et dataprogram, må det innrømmes at de resulterende formene er ekstremt vakre. Høydepunktet er at hvem som helst kan bygge en slik fraktal ved hjelp av WebGL-programvarebiblioteket. Den lar deg utforske ulike fraktale strukturer i sanntid.
Fraktaler i naturen
Få mennesker legger merke til, men disse fantastiske figurene er til stede overalt. Naturen er skapt av selv-lignende figurer, vi legger bare ikke merke til det. Det er nok å se gjennom et forstørrelsesglass på huden vår eller et blad av et tre, og vi vil se fraktaler. Eller ta for eksempel en ananas eller til og med en påfuglhale - de består av lignende figurer. Og brokkolivarianten Romanescu er generelt slående i sitt utseende, fordi den virkelig kan kalles et naturmirakel.
Musikalsk pause
Det viser seg at fraktaler ikke bare er geometriske former, de kan også være lyder. Dermed skriver musiker Jonathan Colton musikk ved hjelp av fraktale algoritmer. Den hevder å samsvare med naturlig harmoni. Komponisten publiserer alle verkene sine under en CreativeCommons Attribution-Noncommercial-lisens, som sørger for gratis distribusjon, kopiering og overføring av verk til andre.
Fraktal indikator
Denne teknikken har funnet en svært uventet anvendelse. På grunnlag av det ble et verktøy for å analysere børsmarkedet opprettet, og som et resultat begynte det å bli brukt i Forex-markedet. I dag finnes fraktalindikatoren på alle handelsplattformer og brukes i en handelsteknikk kalt prisutbrudd. Denne teknikken ble utviklet av Bill Williams. Som forfatteren kommenterer oppfinnelsen sin, er denne algoritmen en kombinasjon av flere "stearinlys", der den sentrale gjenspeiler maksimum eller omvendt minimum ekstrempunkt.
Endelig
Så vi så på hva en fraktal er. Det viser seg at i kaoset som omgir oss, eksisterer det faktisk ideelle former. Naturen er den beste arkitekten, ideelle byggherren og ingeniøren. Det er ordnet veldig logisk, og hvis vi ikke finner et mønster, betyr ikke dette at det ikke eksisterer. Kanskje vi må se på en annen skala. Vi kan med sikkerhet si at fraktaler fortsatt har mange hemmeligheter som vi ennå ikke har oppdaget.
Hva har et tre, en strand, en sky eller blodårene i hånden vår til felles? Det er én egenskap ved struktur som er iboende i alle de oppførte objektene: de er selv-lignende. Fra en gren, som fra en trestamme, strekker mindre skudd seg, fra dem enda mindre osv., det vil si at en gren ligner hele treet. Sirkulasjonssystemet er strukturert på en lignende måte: arterioler avgår fra arteriene, og fra dem de minste kapillærene som oksygen kommer inn i organer og vev gjennom. La oss se på rombilder havkyst: vi vil se bukter og halvøyer; La oss se på det, men fra et fugleperspektiv: vi vil se bukter og kapper; Tenk deg nå at vi står på stranden og ser på føttene våre: det vil alltid være småstein som stikker lenger ned i vannet enn resten. Det vil si at kystlinjen, når den zoomes inn, forblir lik seg selv. Den amerikanske (selv om han vokste opp i Frankrike) matematikeren Benoit Mandelbrot kalte denne egenskapen til gjenstander fraktalitet, og slike gjenstander selv - fraktaler (fra latin fractus - ødelagte).
Det er ett problem knyttet til kystlinjen, eller mer presist, med forsøket på å måle lengden. interessant historie, som dannet grunnlaget vitenskapelig artikkel Mandelbrot, og er også beskrevet i hans bok "Fractal Geometry of Nature". Det handler om om et eksperiment utført av Lewis Fry Richardson, en svært talentfull og eksentrisk matematiker, fysiker og meteorolog. En av retningene for forskningen hans var et forsøk på å finne matematisk beskrivelseårsakene til og sannsynligheten for en væpnet konflikt mellom de to landene. Blant parametrene han tok i betraktning var lengden på den felles grensen til de to krigførende landene. Da han samlet inn data for numeriske eksperimenter, oppdaget han at data på den felles grensen til Spania og Portugal skilte seg sterkt fra forskjellige kilder. Dette fikk ham til følgende oppdagelse: lengden på et lands grenser avhenger av linjalen vi måler dem med. Jo mindre skala, desto lengre er grensen. Dette skyldes at det med større forstørrelse blir mulig å ta hensyn til flere og flere nye svinger av kysten, som tidligere ble ignorert på grunn av grovheten i målingene. Og hvis det avsløres med hver økning i skala som tidligere ikke er gjort rede for bøyninger av linjer, så viser det seg at lengden på grensene er uendelig! Riktignok skjer dette ikke - nøyaktigheten av målingene våre har en begrenset grense. Dette paradokset kalles Richardson-effekten.
I dag er teorien om fraktaler mye brukt i ulike områder menneskelig aktivitet. I tillegg til fraktalmaling, brukes fraktaler i informasjonsteori for å komprimere grafiske data (egenskapen til selvlikhet til fraktaler brukes hovedsakelig her - tross alt for å huske et lite fragment av et bilde og transformasjonene som du kan oppnå gjenværende deler, kreves det mye mindre minne enn å lagre hele filen). Ved å legge til tilfeldige forstyrrelser til formlene som definerer en fraktal, kan du oppnå stokastiske fraktaler som meget plausibelt formidler noen virkelige objekter - relieffelementer, overflaten av reservoarer, noen planter, som med hell brukes i fysikk, geografi og datagrafikk for å oppnå større likhet av simulerte objekter med ekte. I radioelektronikk begynte det i det siste tiåret å produsere antenner med fraktalform. De tar liten plass og gir signalmottak av høy kvalitet. Og økonomer bruker fraktaler for å beskrive valutasvingningskurver (denne egenskapen ble oppdaget av Mandelbrot for mer enn 30 år siden).
Fraktaler i naturen
Fraktal(lat. fraktus- knust) - et begrep som betyr geometrisk figur, som har egenskapen til selvlikhet, det vil si sammensatt av flere deler, som hver er lik hele figuren.Naturen skaper ofte fantastiske og vakre fraktaler, med ideell geometri og en slik harmoni at du rett og slett fryser av beundring.
Fra gigantiske fjell til det vi spiser til lunsj, perfekt harmoni kan sees overalt.
Sjøskjell
Nautilus er en av de mest kjente eksempler fraktal i naturen.
Snøfnugg
Lyn
Lyn skremmer og skremmer og gleder seg samtidig over sin skjønnhet. Fraktaler skapt av lyn er ikke vilkårlige eller regelmessige.
Romanessa
Denne spesielle typen brokkoli, en korsblomstret og velsmakende fetter av kål, er en spesielt symmetrisk fraktal. Du kan forberede den for din favoritt matematikklærer.
Fern
Fern er godt eksempel fraktal blant floraen
Dronning Annes blonder
Queen Anne's Lace villgulrot er et perfekt eksempel på en floral fraktal. Hver konstellasjon er kopiert nøyaktig likt, bare mindre. Bildet er tatt nedenfra for å se det i all sin prakt.
Brokkoli
Selv om brokkoli ikke er så kjent geometrisk som romanessa, er den også fraktal.
påfugl
Påfugler er kjent for alle for sin fargerike fjærdrakt, der solide fraktaler er skjult. Har du noen gang sett en albinopåfugl? Se
En ananas
Ananas er en uvanlig frukt det er faktisk en fraktal. Selv om den ofte forbindes med Hawaii, er frukten hjemmehørende i det sørlige Brasil.
Skyer
Se ut av vinduet nå. Nesten når som helst kan du se fraktaler på himmelen.
Krystaller
Is, frostige mønstre på vinduer er også fraktaler
Fjell
Fjellsprekker og kystlinjer, selv om de er vilkårlige i sine linjer, er også fraktale
Trær og blader
Fra et forstørret bilde av et blad til grenene på et tre - fraktaler kan finnes i alt
Kystlinje
Individuelle fragmenter av kysten skaper fraktalitet. Og dette er Florida
Elver og fjorder
Fra det vestlige USA til de iskalde fjordene i Norge kan flypassasjerer se alt. Og vi takker noen for at de har motet til å fotografere en slik skjønnhet.
Kråkeboller og sjøstjerner
Kråkeboller er så små og kompakte, som om de kom fra hånden til en dyktig gullsmed. Men hvem vil overgå naturen? Og sjøstjerner er som en refleksjon av de himmelske
Stalagmitter og stalaktitter
Mens stalagmitter stiger opp fra bakken, når stalaktitter mot den
