hjem » Biologi » Formel for røttene til en kubikkligning. Løse kubikkligninger. Løse kubiske ligninger ved hjelp av Cardanos formel

Formel for røttene til en kubikkligning. Løse kubikkligninger. Løse kubiske ligninger ved hjelp av Cardanos formel

KOMMUNE VII STUDENTVITENSKAPEL OG PRAKTISK KONFERANSE "UNGDOM: KREATIVITET, SØK, SUKSESS"

Anninsky kommunedistrikt

Voronezh-regionen

Seksjon:MATEMATIKK

Emne:"Cardano Formula: Historie og bruk"

MKOU Anninskaya ungdomsskole nr. 3, 9 "B" klasse

Niccolò Fontana Tartaglia (italiensk: NiccolòFontanaTartaglia, 1499-1557) - italiensk matematiker.

Generelt forteller historien at formelen opprinnelig ble oppdaget av Tartaglia og overlevert til Cardano i ferdig form, men Cardano selv benektet dette faktum, selv om han ikke benektet Tartaglias involvering i opprettelsen av formelen.

Navnet "Cardanos formel" er solid forankret bak formelen, til ære for forskeren som faktisk forklarte og presenterte den for publikum.

Tvister i middelalderen presenterte alltid et interessant skue, og tiltrakk seg ledige byfolk, unge og gamle. Temaene for debattene var varierte, men alltid vitenskapelige. Samtidig ble vitenskap forstått som det som var inkludert i listen over de såkalte syv liberale kunster, som selvfølgelig var teologi. Teologiske tvister var de hyppigste. De kranglet om alt. For eksempel om hvorvidt en mus skal assosieres med den hellige ånd hvis den spiser nadverden, om Cumae Sibyll kunne ha forutsagt Jesu Kristi fødsel, hvorfor Frelserens brødre og søstre ikke kanoniseres osv.

Om striden som skulle finne sted mellom den berømte matematikeren og den ikke mindre kjente legen, ble det bare gjort de mest generelle gjetningene, siden ingen egentlig visste noe. De sa at en av dem lurte den andre (det er ukjent hvem nøyaktig og til hvem). Nesten alle som var samlet på torget hadde de mest vage ideene om matematikk, men alle gledet seg til debatten startet. Det var alltid interessant, man kunne le av taperen, uansett om han hadde rett eller galt.

Da rådhusklokken slo fem, svingte portene på vidt gap og folkemengden stormet inn i katedralen. På hver side av senterlinjen som forbinder inngangen til alteret, ble det reist to sidesøyler høye stoler, beregnet på debattanter. De tilstedeværende lagde en høy lyd, og tok ikke hensyn til at de var i kirken. Til slutt, foran jerngitteret som skilte ikonostasen fra resten av midtskipet, dukket det opp en byskriker i en svart og lilla kappe og proklamerte: «Illverdige borgere i byen Milano! Nå vil den kjente matematikeren Niccolo Tartaglia fra Brenia snakke til deg. Motstanderen hans skulle være matematikeren og legen Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia anklager Cardano for det faktum at sistnevnte i sin bok "Arsmagna" publiserte en metode for å løse en likning av 3. grad, som tilhører ham, Tartaglia. Cardano selv kunne imidlertid ikke komme til debatten og sendte derfor sin elev Luige Ferrari. Så debatten er erklært åpen, deltakerne inviteres til avdelingene." En tafatt mann med krokete nese og krøllete skjegg steg opp til prekestolen til venstre for inngangen, og en ung mann i tjueårene med et kjekk, selvsikkert ansikt steg opp til den motsatte prekestolen. Hele hans oppførsel reflekterte full tillit til at hver gest og hvert ord ville bli mottatt med glede.

Tartaglia begynte.

Kjære Sirs! Du vet at jeg for 13 år siden klarte å finne en måte å løse en likning av 3. grad på, og så, ved å bruke denne metoden, vant jeg tvisten med Fiori. Metoden min vakte oppmerksomheten til din medborger Cardano, og han brukte all sin utspekulerte kunst for å finne ut hemmeligheten fra meg. Han stoppet verken fra bedrag eller direkte forfalskning. Du vet også at for 3 år siden i Nürnberg ble Cardanos bok om algebrareglene publisert, hvor metoden min, så skamløst stjålet, ble gjort tilgjengelig for alle. Jeg utfordret Cardano og eleven hans til en konkurranse. Jeg foreslo å løse 31 problemer, det samme antallet ble foreslått av mine motstandere. Det ble satt en frist for å løse problemer - 15 dager. På 7 dager klarte jeg å løse de fleste problemene som ble satt sammen av Cardano og Ferrari. Jeg skrev dem ut og sendte dem med bud til Milano. Jeg måtte imidlertid vente i hele fem måneder til jeg fikk svar på oppgavene mine. De ble løst feil. Dette ga meg grunnlag for å utfordre dem begge til en offentlig debatt.

Tartaglia ble stille. Den unge mannen, som så på den uheldige Tartaglia, sa:

Kjære Sirs! Min verdige motstander tillot seg, i de aller første ordene i talen hans, å uttrykke så mye baktalelse mot meg og mot min lærer, hans argument var så ubegrunnet at det neppe ville ta meg noen problemer med å tilbakevise det første og vise deg inkonsekvensen av; den andre. Først av alt, hva slags bedrag kan vi snakke om hvis Niccolo Tartaglia helt frivillig delte metoden sin med oss begge? Og slik skriver Geronimo Cardano om min motstanders rolle i oppdagelsen av den algebraiske regelen. Han sier at det ikke er han, Cardano, «men min venn Tartaglia som har æren av å oppdage noe så vakkert og fantastisk, som overgår menneskelig vidd og alle talentene til den menneskelige ånden. Denne oppdagelsen er virkelig en himmelsk gave, et så fantastisk bevis på kraften i sinnet som forsto den, at ingenting kan betraktes som uoppnåelig for den.»

Motstanderen min anklaget meg og læreren min for å ha gitt feil løsning på problemene hans. Men hvordan kan roten til en ligning være feil hvis vi ved å erstatte den i ligningen og utføre alle handlingene som er foreskrevet i denne ligningen, kommer til identitet? Og hvis Senor Tartaglia ønsker å være konsekvent, så burde han ha svart på bemerkningen hvorfor vi, som med hans ord stjal oppfinnelsen hans og brukte den til å løse de foreslåtte problemene, fikk feil løsning. Vi - læreren min og jeg - anser ikke Signor Tartaglias oppfinnelse for å være av liten betydning. Denne oppfinnelsen er fantastisk. Dessuten, i stor grad avhengig av det, fant jeg en måte å løse en likning av 4. grad på, og i Arsmagna snakker læreren min om dette. Hva ønsker Senor Tartaglia av oss? Hva prøver han å oppnå med tvisten?

Herrer, herrer," ropte Tartaglia, "Jeg ber dere lytte til meg!" Jeg benekter ikke at min unge motstander er veldig sterk i logikk og veltalenhet. Men dette kan ikke erstatte et ekte matematisk bevis. Problemene jeg ga til Cardano og Ferrari ble løst feil, men jeg skal bevise det også. Faktisk, la oss ta for eksempel en ligning blant de som er løst. Det er kjent...

En ufattelig støy oppsto i kirken, som fullstendig absorberte slutten av setningen startet av den ulykkelige matematikeren. Han fikk ikke fortsette. Publikum krevde at han skulle holde kjeft og at Ferrari skulle ta svingen. Tartaglia, da hun så at det var helt nytteløst å fortsette argumentasjonen, steg raskt ned fra talerstolen og gikk ut gjennom den nordlige verandaen inn på plassen. Publikum hilste vilt på "vinneren" av tvisten, Luigi Ferrari.

Dermed endte denne tvisten, som fortsetter å forårsake flere og flere nye tvister. Hvem eier egentlig metoden for å løse en 3.gradsligning? Vi snakker nå - Niccolo Tartaglie. Han oppdaget det, og Cardano lurte ham til å gjøre oppdagelsen. Og hvis vi nå kaller formelen som representerer røttene til en likning av 3. grad gjennom koeffisientene for Cardano-formelen, så er dette en historisk urettferdighet. Men er det urettferdig? Hvordan beregne graden av deltakelse fra hver matematiker i oppdagelsen? Kanskje vil noen over tid kunne svare helt nøyaktig på dette spørsmålet, eller kanskje det vil forbli et mysterium...

Hvis vi bruker moderne matematisk språk og moderne symbolikk, kan utledningen av Cardanos formel finnes ved å bruke følgende i høyeste grad elementære hensyn:

La oss gi en generell ligning av 3. grad:

x 3 + øks 2 + bx + c = 0,

(1)

Hvora, b, c – vilkårlige reelle tall.

La oss erstatte variabelen i ligning (1)X til en ny variabel yi henhold til formelen:

x 3 +øks 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + c = y 3 3 år 2 + 3 år+ a(y 2 2 år+ av = y 3 y 3 + (b

så vil ligning (1) ta formeny 3 + ( b

Hvis vi introduserer notasjonens = b, q = ,

da vil ligningen ta formeny 3 + py + q = 0.

Dette er den berømte Cardano-formelen.

Røttene til en kubikkligningy 3 + py + q = 0 avhenge av diskriminanten

HvisD> 0, daet kubisk polynom har tre forskjellige reelle røtter.

HvisD< 0, то et kubisk polynom har en reell rot og to komplekse røtter (som er kompleks konjugert).

HvisD = 0, den har en multippelrot (enten én rot av multiplisitet 2 og én rot av multiplisitet 1, som begge er reelle; eller én enkelt reell multiplisitetsrot 3).

2.4. Eksempler universelle metoder løsninger kubikkligninger

La oss prøve å bruke Cardans formel for å løse spesifikke ligninger.

Eksempel 1: x 3 +15 x+124 = 0

Hers = 15; q = 124.

Svar:X

La oss se igjen på sumkubeformelen, men skriv den annerledes:

Sammenlign denne oppføringen med ligning (13) og prøv å etablere en forbindelse mellom dem. Selv med et hint er det ikke lett. Vi må hylle renessansens matematikere som løste kubikkligningen uten å kunne alfabetisk symbolikk. La oss erstatte formelen vår:

Det er nå klart: for å finne roten til ligning (13), er det nok å løse ligningssystemet

eller

og ta som beløp og . Ved å erstatte , reduseres dette systemet til en veldig enkel form:

Da kan du handle på forskjellige måter, men alle "veier" vil føre til den samme andregradsligningen. For eksempel, ifølge Vietas teorem, er summen av røttene til den reduserte kvadratiske ligningen lik koeffisienten med et minustegn, og produktet er lik frileddet. Det følger at og er røttene til ligningen

La oss skrive ned disse røttene:

Variablene og er lik kubikkrøttene til og , og den ønskede løsningen til kubikkligningen (13) er summen av disse røttene:

Denne formelen er kjent som Cardano-formel.

Trigonometrisk løsning

ved substitusjon reduseres den til en "ufullstendig" form

, , . (14)

Røttene , , til den "ufullstendige" kubikkligningen (14) er like

, ,

La den "ufullstendige" kubikkligningen (14) være gyldig.

a) Hvis (det «ureduserbare» tilfellet), da

(b) Hvis , , da

, .

, ,

, .

I alle tilfeller tas den faktiske verdien av kuberoten.

Biquadratisk ligning

Algebraisk ligning av fjerde grad.

hvor a, b, c er noen reelle tall, kalt biquadratisk ligning. Ved substitusjon reduseres ligningen til en andregradsligning etterfulgt av å løse to binomiale ligninger og ( og er røttene til den tilsvarende kvadratiske ligningen).

Hvis og så bi kvadratisk ligning har fire reelle røtter:

Hvis, ), så har den biquadratiske ligningen to reelle røtter og imaginære konjugerte røtter:

Hvis og , så har den biquadratiske ligningen fire rent imaginære parvise konjugerte røtter:

, .

Fjerdegradsligninger

En metode for å løse fjerdegradsligninger ble funnet på 1500-tallet. Ludovico Ferrari, student av Gerolamo Cardano. Det er det den heter – metoden. Ferrari.

Som ved å løse kubiske og andregradsligninger, i en fjerdegradsligning

du kan bli kvitt begrepet ved substitusjon. Derfor vil vi anta at koeffisienten til kuben til det ukjente er null:

Ferraris idé var å representere ligningen i formen der venstre side er kvadratet av uttrykket og høyre del er kvadratet av en lineær ligning av , koeffisientene som avhenger av . Etter dette gjenstår det å løse to andregradsligninger: og . Selvfølgelig er en slik representasjon bare mulig med et spesielt valg av parameteren. Det er praktisk å ta det i formen , da vil ligningen bli skrevet om som følger:

Høyre side av denne ligningen er kvadratisk trinomial av . Det vil være et komplett kvadrat når dens diskriminant er lik null, dvs.

, eller

Denne ligningen kalles løsemiddel (dvs. "tillatt"). Den er relativt kubisk, og Cardanos formel lar oss finne noen av røttene. Når høyre side av ligning (15) tar formen

og selve ligningen er redusert til to kvadratiske:

Røttene deres gir alle løsningene til den opprinnelige ligningen.

La oss for eksempel løse ligningen

Her vil det være mer praktisk å bruke ikke ferdige formler, men selve ideen om løsningen. La oss omskrive ligningen i skjemaet

og legg til uttrykket på begge sider slik at det dannes en komplett firkant på venstre side:

La oss nå likestille diskriminanten til høyre side av ligningen til null:

eller, etter forenkling,

En av røttene til den resulterende ligningen kan gjettes ved å sortere ut divisorene til frileddet: . Etter å ha erstattet denne verdien får vi ligningen

hvor . Røttene til de resulterende kvadratiske ligningene er Og . Selvfølgelig, i det generelle tilfellet kan komplekse røtter også oppnås.

Forklarer hvordan man løser kubikkligninger. Saken vurderes når én rot er kjent. Metoder for å finne heltall og rasjonelle røtter. Anvendelse av Cardano- og Vieta-formlene for å løse enhver kubikkligning.

Innhold

Her vurderer vi å løse kubiske ligninger av formen
(1) .
Deretter antar vi at dette er reelle tall.

(2) ,
og deretter dele den med , får vi en ligning av formen (1) med koeffisienter
.

Ligning (1) har tre røtter: , og . En av røttene er alltid ekte. Vi betegner den virkelige roten som . Røttene og kan være enten ekte eller kompleks konjugat. Ekte røtter kan være multipler. For eksempel, hvis , da og er doble røtter (eller røtter av multiple 2), og er en enkel rot.

Hvis én rot er kjent

La oss få vite én rot av kubikkligningen (1). La oss betegne den kjente roten som . Deretter deler vi ligning (1) med , får vi en andregradsligning. Ved å løse den andregradsligningen finner vi ytterligere to røtter og .

For å bevise dette bruker vi det faktum at et kubisk polynom kan representeres som:
.
Deretter, ved å dele (1) med , får vi en andregradsligning.

Eksempler på å dele polynomer er presentert på siden
"Deling og multiplikasjon av et polynom med et polynom med et hjørne og en kolonne."
Løsning av andregradsligninger er omtalt på siden
"Røttene til en kvadratisk ligning."

Hvis en av røttene er hel

Hvis den opprinnelige ligningen er:
(2) ,
og koeffisientene , , , er heltall, så kan du prøve å finne hele roten. Hvis denne ligningen har en heltallsrot, er den en divisor av koeffisienten. Metoden for å finne heltallsrøtter er at vi finner alle divisorene til tallet og sjekker om likning (2) er oppfylt for dem. Hvis ligning (2) er oppfylt, har vi funnet roten. La oss betegne det som . Deretter deler vi ligning (2) med . Vi får en andregradsligning. Når vi løser det, finner vi to røtter til.

Eksempler på å definere hele røtter er gitt på siden
Eksempler på faktorisering av polynomer > > > .

Å finne rasjonelle røtter

Hvis i ligning (2) , , , er heltall, og det ikke er heltallsrøtter, kan du prøve å finne rasjonelle røtter, det vil si røtter av formen , hvor og er heltall.

For å gjøre dette, multipliser ligning (2) med og gjør erstatningen:
;
(3) .
Deretter ser vi etter heltallsrøtter av ligning (3) blant divisorene til det frie leddet.

Hvis vi har funnet hele roten av ligning (3), så, tilbake til variabelen, får vi rasjonell rot ligninger (2):
.

Cardano og Vieta formler for å løse kubikkligningen

Hvis vi ikke kjenner en eneste rot, og det ikke er hele røtter, kan vi finne røttene til den kubiske ligningen ved å bruke Cardano-formlene.

Tenk på kubikkligningen:
(1) .
La oss gjøre en erstatning:
.
Etter dette reduseres ligningen til en ufullstendig eller redusert form:
(4) ,
Hvor
(5) ; .

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

Tvist

FormelCardano

Mostovoy

Odessa

Tvist

Da rådhusklokken slo fem, svingte portene på vidt gap og folkemengden stormet inn i katedralen. På hver side av midtlinjen som forbinder inngangen til alteret, ble det reist to høye prekestoler nær de to sidesøylene, beregnet på debattanter. De tilstedeværende lagde en høy lyd, og la ikke merke til at de var i kirken. Til slutt, foran jerngitteret som skilte ikonostasen fra resten av midtskipet, dukket det opp en byskriker i en svart og lilla kappe og proklamerte: «Illverdige borgere i byen Milano! Nå vil den kjente matematikeren Niccolo Tartaglia fra Brenia snakke til deg. Motstanderen hans skulle være matematikeren og legen Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia anklager Cardano for å være den siste som publiserte i sin bok "Ars magna" en metode for å løse en likning av 3. grad, som tilhører ham, Tartaglia. Cardano selv kunne imidlertid ikke komme til debatten og sendte derfor sin elev Luige Ferrari. Så debatten er erklært åpen, deltakerne inviteres til avdelingene." En tafatt mann med krokete nese og krøllete skjegg klatret opp på prekestolen til venstre for inngangen, og en ung mann i tjueårene med et kjekk, selvsikkert ansikt steg opp til den motsatte prekestolen. Hele hans oppførsel reflekterte full tillit til at hver gest og hvert ord ville bli mottatt med glede.

Tartaglia begynte.

Tartaglia ble stille. Den unge mannen, som så på den uheldige Tartaglia, sa:

Motstanderen min anklaget meg og læreren min for å ha gitt feil løsning på problemene hans. Men hvordan kan roten til en ligning være feil hvis vi ved å erstatte den i ligningen og utføre alle handlingene som er foreskrevet i denne ligningen, kommer til identitet? Og hvis Senor Tartaglia ønsker å være konsekvent, så burde han ha svart på bemerkningen hvorfor vi, som stjal, men med hans ord, hans oppfinnelse og brukte den til å løse de foreslåtte problemene, fikk feil løsning. Vi - læreren min og jeg - anser ikke Signor Tartaglias oppfinnelse for å ha liten betydning. Denne oppfinnelsen er fantastisk. Dessuten, i stor grad avhengig av det, fant jeg en måte å løse en likning av 4. grad på, og i Ars Magna snakker læreren min om dette. Hva ønsker Senor Tartaglia av oss? Hva prøver han å oppnå med tvisten?

Herrer, herrer," ropte Tartaglia, "Jeg ber dere lytte til meg!" Jeg benekter ikke at min unge motstander er veldig sterk i logikk og veltalenhet. Men dette kan ikke erstatte et ekte matematisk bevis. Problemene jeg ga til Cardano og Ferrari ble ikke løst riktig, men jeg skal bevise dette også. Faktisk, la oss ta for eksempel en ligning blant de som er løst. Det er kjent...

En ufattelig støy oppsto i kirken, som fullstendig absorberte slutten av setningen startet av den ulykkelige matematikeren. Han fikk ikke fortsette. Publikum krevde at han skulle holde kjeft og at Ferrari skulle ta svingen. Tartaglia, som så at det var helt nytteløst å fortsette diskusjonen, steg raskt ned fra prekestolen og gikk ut gjennom den nordlige verandaen inn på plassen. Publikum hilste vilt på "vinneren" av tvisten, Luigi Ferrari.

...Slik endte denne striden, som fortsetter å forårsake flere og flere nye tvister. Hvem eier egentlig metoden for å løse en 3.gradsligning? Vi snakker nå - Niccolo Tartaglie. Han oppdaget det, og Cardano lurte ham til å gjøre oppdagelsen. Og hvis vi nå kaller formelen som representerer røttene til en likning av 3. grad gjennom koeffisientene for Cardano-formelen, så er dette en historisk urettferdighet. Men er det urettferdig? Hvordan beregne graden av deltakelse fra hver matematiker i oppdagelsen? Kanskje vil noen over tid kunne svare helt nøyaktig på dette spørsmålet, eller kanskje det vil forbli et mysterium...

Cardano-formel

Ved å bruke moderne matematisk språk og moderne symbolikk, kan avledningen av Cardanos formel finnes ved å bruke følgende ekstremt elementære betraktninger:

La oss gi en generell ligning av 3. grad:

ax 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Hvis du setter

, så gir vi ligningen (1) å tenke på

La oss introdusere en ny ukjent U ved å bruke likestilling

Ved å introdusere dette uttrykket i (2) , vi får

derfor

Hvis telleren og nevneren til det andre leddet multipliseres med uttrykket og tas i betraktning, vil det resulterende uttrykket for u viser seg å være symmetrisk med hensyn til tegnene "+" og "-", så får vi endelig

(Produktet av kubikkradikaler i den siste likheten må være lik s).

Dette er den berømte Cardano-formelen. Hvis du går fra y tilbake til x, da får vi en formel som definerer roten generell ligning 3. grad.

Den unge mannen som behandlet Tartaglia så nådeløst forsto matematikk like lett som han forsto rettighetene til upretensiøs hemmelighold. Ferrari finner en måte å løse en 4. grads ligning på. Cardano inkluderte denne metoden i boken sin. Hva er denne metoden?

La (1)

- generell ligning av 4. grad.

Hvis du setter

deretter ligningen (1) kan bringes i tankene

Hvor p,q,r- noen koeffisienter avhengig av a,b,c,d,e. Det er lett å se at denne ligningen kan skrives som følger:

Faktisk er det nok å åpne parentesene, deretter alle begreper som inneholder t, avbryter, og vi går tilbake til ligningen (2) .

La oss velge en parameter t slik at høyre side av ligningen (3) var en perfekt firkant i forhold til y. Som kjent er det nødvendig og tilstrekkelig tilstand dette er forsvinningen av diskriminanten til koeffisientene til trinomialet (med hensyn til y) står til høyre:

Vi har fått en komplett kubikkligning, som vi nå kan løse. La oss finne noen av røttene og legge dem til ligningen (3) , vil nå ta formen

Dette er en andregradsligning. Når du løser det, kan du finne roten til ligningen (2) , og derfor (1) .

4 måneder før hans død fullførte Cardano sin selvbiografi, som han intensivt skrev hele I fjor og som skulle oppsummere hans vanskelige liv. Han kjente døden nærme seg. Ifølge noen rapporter knyttet hans eget horoskop hans død til hans 75-årsdag. Han døde 21. september 1576. 2 dager før jubileet. Det er en versjon om at han begikk selvmord i påvente av en snarlig død eller til og med for å bekrefte horoskopet hans. I alle fall tok astrologen Cardano horoskopet på alvor.

Et notat om Cardanos formel

La oss analysere formelen for å løse ligningen i det virkelige domenet. Så,

Ved beregning x vi må ta kvadratroten først og deretter kubikkroten. Vi kan ta kvadratroten mens vi forblir i den virkelige regionen hvis . To betydninger kvadratrot, forskjellig i fortegn, vises i forskjellige termer for x. Verdiene til kuberoten i det virkelige domenet er unike og resultatet er en unik ekte rot x kl. Ved å undersøke grafen til det kubiske trinomialet er det lett å verifisere at det faktisk har en enkelt reell rot ved . Ved er det tre reelle røtter. Når det er en dobbel reell rot og en enkel rot, og når det er en trippelrot x=0.

La oss fortsette å studere formelen for . Viser seg. Hva om en likning med heltallskoeffisienter har en heltallsrot, når man beregner den ved hjelp av formelen, kan det oppstå mellomliggende irrasjonaliteter. For eksempel har ligningen en enkelt rot (reell) - x=1. Cardanos formel gir uttrykket for denne ene virkelige roten

Men praktisk talt ethvert bevis innebærer å bruke det faktum at dette uttrykket er roten til ligningen. Hvis du ikke gjetter dette, vil uforgjengelige kubikkradikaler dukke opp under transformasjonen.

Cardano-Tartaglia-problemet ble snart glemt. Formelen for å løse den kubiske ligningen ble assosiert med "den store kunsten" og begynte gradvis å bli kalt formel Cardano.

Mange hadde et ønske om å gjenopprette det sanne bildet av hendelser i en situasjon der deltakerne deres utvilsomt ikke fortalte hele sannheten. For mange var det viktig å fastslå omfanget av Cardanos skyld. TIL slutten av 1800-talletårhundre begynte noen av diskusjonene å få karakter av seriøs historisk og matematisk forskning. Matematikere innså hvilken stor rolle Cardanos arbeid spilte på slutten av 1500-tallet. Det ble klart hva Leibniz hadde bemerket enda tidligere: «Cardano var en stor mann med alle sine mangler; uten dem ville han vært perfekt."

Type