Hva er fraktaler i naturen. En mangfoldig verden av fraktaler. Fraktaler finner flere og flere anvendelser i vitenskapen. Hovedårsaken er at de beskriver den virkelige verden bedre enn tradisjonell fysikk og matematikk
De mest geniale oppdagelsene i vitenskapen kan radikalt forandre menneskelivet. Den oppfunne vaksinen kan redde millioner av mennesker, tvert imot tar disse livene. Nylig (på skalaen til menneskelig evolusjon) har vi lært å "temme" elektrisitet - og nå kan vi ikke forestille oss livet uten alle disse praktiske enhetene som bruker elektrisitet. Men det er også oppdagelser som få mennesker legger vekt på, selv om de også påvirker livene våre i stor grad.
En av disse "ikke iøynefallende" oppdagelsene er fraktaler. Du har sikkert hørt dette fengende ordet før, men vet du hva det betyr og hvor mye interessant informasjon som skjuler seg i dette begrepet?
Hver person har en naturlig nysgjerrighet, et ønske om å forstå verden rundt seg. Og i denne bestrebelsen prøver en person å følge logikken i dommer. Ved å analysere prosessene som foregår rundt ham, prøver han å finne logikken i det som skjer og utlede et mønster. De største sinnene på planeten er opptatt med denne oppgaven. Grovt sett leter forskere etter et mønster der det ikke burde være et. Likevel, selv i kaos er det mulig å finne sammenhenger mellom hendelser. Og denne forbindelsen er en fraktal.
Vår lille datter, fire og et halvt år gammel, er nå i den fantastiske alderen når antall spørsmål "Hvorfor?" mange ganger overstiger antallet svar som voksne klarer å gi. For ikke lenge siden, mens hun undersøkte en gren hevet fra bakken, la datteren min plutselig merke til at denne grenen, med sine kvister og grener, selv så ut som et tre. Og, selvfølgelig, det som fulgte var det vanlige spørsmålet "Hvorfor?", som foreldrene måtte se etter en enkel forklaring som barnet kunne forstå.
Likheten til en enkelt gren med et helt tre oppdaget av et barn er en veldig nøyaktig observasjon, som nok en gang vitner om prinsippet om rekursiv selvlikhet i naturen. Mange organiske og uorganiske former i naturen dannes på lignende måte. Skyer, havskjell, snegle-"hus", bark og krone av trær, sirkulasjonssystemet og så videre - de tilfeldige formene til alle disse objektene kan beskrives med en fraktalalgoritme.
⇡ Benoit Mandelbrot: fraktalgeometriens far
Selve ordet "fraktal" dukket opp takket være den geniale vitenskapsmannen Benoit B. Mandelbrot.
Han laget selv begrepet på 1970-tallet, og lånte ordet fractus fra latin, der det bokstavelig talt betyr «knust» eller «knust». Hva er det? I dag betyr ordet "fraktal" oftest en grafisk representasjon av en struktur som i større skala ligner seg selv.
Det matematiske grunnlaget for fremveksten av teorien om fraktaler ble lagt mange år før fødselen til Benoit Mandelbrot, men den kunne bare utvikle seg med bruk av dataenheter. I begynnelsen av sin vitenskapelig aktivitet Benoit jobbet ved IBMs forskningssenter. På det tidspunktet jobbet senterets ansatte med å overføre data over avstand. Under forskningen ble forskere møtt med problemet med store tap som følge av støyinterferens. Benoit ble møtt med en vanskelig og svært viktig oppgave - å forstå hvordan man kan forutsi forekomsten av støyinterferens i elektroniske kretser når statistisk metode viser seg å være ineffektiv.
Ved å se gjennom resultatene av støymålinger la Mandelbrot merke til et merkelig mønster - støygrafene i forskjellige skalaer så like ut. Et identisk mønster ble observert uavhengig av om det var en støygraf for én dag, en uke eller en time. Det var nødvendig å endre skalaen på grafen, og bildet ble gjentatt hver gang.
I løpet av sin levetid sa Benoit Mandelbrot gjentatte ganger at han ikke studerte formler, men bare lekte med bilder. Denne mannen tenkte veldig figurativt, og oversatte ethvert algebraisk problem til geometrifeltet, hvor det riktige svaret alltid er åpenbart, ifølge ham.
Det er ikke overraskende at det var en mann med en så rik romlig fantasi som ble faren til fraktal geometri. Tross alt kommer bevisstheten om essensen av fraktaler nettopp når du begynner å studere tegningene og tenke på betydningen av merkelige virvelmønstre.
Et fraktalt mønster har ikke identiske elementer, men ligner på en hvilken som helst skala. Konstruer et slikt bilde med høy grad manuell detaljering var tidligere ganske enkelt umulig; det krevde en enorm mengde beregninger. For eksempel beskrev den franske matematikeren Pierre Joseph Louis Fatou dette settet mer enn sytti år før Benoit Mandelbrots oppdagelse. Hvis vi snakker om prinsippene for selvlikhet, ble de nevnt i verkene til Leibniz og Georg Cantor.
En av de første fraktaltegningene var en grafisk tolkning av Mandelbrot-settet, som ble født takket være forskningen til Gaston Maurice Julia.
Gaston Julia (alltid iført maske - skade fra første verdenskrig)
Denne franske matematikeren lurte på hvordan et sett ville se ut hvis det var bygget fra en enkel formel iterert gjennom en løkke tilbakemelding. Hvis vi forklarer det "på fingrene våre", betyr dette at for et spesifikt tall finner vi en ny verdi ved å bruke formelen, hvoretter vi erstatter den igjen i formelen og får en annen verdi. Resultatet er en stor sekvens av tall.
For å få et fullstendig bilde av et slikt sett, må du gjøre et stort antall beregninger - hundrevis, tusenvis, millioner. Det var rett og slett umulig å gjøre dette manuelt. Men da kraftige dataenheter ble tilgjengelige for matematikere, var de i stand til å ta en ny titt på formler og uttrykk som lenge hadde vært av interesse. Mandelbrot var den første som brukte en datamaskin til å beregne en klassisk fraktal. Etter å ha behandlet en sekvens bestående av et stort antall verdier, plottet Benoit resultatene på en graf. Det var det han fikk.
Deretter ble dette bildet farget (for eksempel er en av metodene for fargelegging ved antall iterasjoner) og ble et av de mest populære bildene som noen gang er laget av mennesker.
Som det eldgamle ordtaket tilskrevet Heraclitus fra Efesos sier: "Du kan ikke gå inn i den samme elven to ganger." Den er perfekt egnet for å tolke geometrien til fraktaler. Uansett hvor detaljert vi ser på et fraktalbilde, vil vi alltid se et lignende mønster.
De som ønsker å se hvordan et bilde av Mandelbrot-rommet vil se ut når det zoomes inn mange ganger, kan gjøre det ved å laste ned den animerte GIF-en.
⇡ Lauren Carpenter: kunst skapt av naturen
Fraktalteori ble snart funnet praktisk bruk. Siden det er nært knyttet til visualisering av selvliknende bilder, er det ikke overraskende at de første som tok i bruk algoritmer og prinsipper for å konstruere uvanlige former var kunstnere.
Den fremtidige medgründeren av det legendariske Pixar-studioet, Loren C. Carpenter, begynte å jobbe i 1967 hos Boeing Computer Services, som var en av avdelingene til det berømte selskapet som utviklet nye fly.
I 1977 laget han presentasjoner med prototyper av flygende modeller. Lorens ansvar inkluderte å utvikle bilder av flyet som ble designet. Han måtte lage bilder av nye modeller, og vise fremtidige fly fra forskjellige vinkler. På et tidspunkt kom den fremtidige grunnleggeren av Pixar Animation Studios opp med den kreative ideen om å bruke et bilde av fjell som bakgrunn. I dag kan ethvert skolebarn løse et slikt problem, men på slutten av syttitallet av forrige århundre kunne ikke datamaskiner takle så komplekse beregninger - det var ingen grafiske redaktører, for ikke å nevne applikasjoner for 3D-grafikk. I 1978 så Lauren ved et uhell Benoit Mandelbrots bok Fractals: Form, Chance and Dimension i en butikk. I denne boken ble oppmerksomheten hans tiltrukket av det faktum at Benoit ga mange eksempler på fraktale former i det virkelige liv og argumenterte for at de kan beskrives med et matematisk uttrykk.
Denne analogien ble ikke valgt av matematikeren ved en tilfeldighet. Faktum er at så snart han publiserte forskningen sin, måtte han møte en hel bølge av kritikk. Det viktigste kollegene hans bebreidet ham for var ubrukeligheten i teorien som ble utviklet. «Ja,» sa de, «dette er vakre bilder, men ikke noe mer. Teorien om fraktaler har ingen praktisk verdi." Det var også de som generelt mente at fraktale mønstre ganske enkelt var et biprodukt av arbeidet til de "djevelske maskinene", som på slutten av syttitallet virket for mange å være noe for komplekst og uutforsket til å kunne stoles helt på. Mandelbrot prøvde å finne åpenbare anvendelser for fraktalteori, men i den store sammenhengen trengte han det ikke. I løpet av de neste 25 årene beviste tilhengerne av Benoit Mandelbrot de enorme fordelene med en slik "matematisk nysgjerrighet", og Lauren Carpenter var en av de første som prøvde fraktalmetoden i praksis.
Etter å ha studert boken, studerte den fremtidige animatøren seriøst prinsippene for fraktal geometri og begynte å lete etter en måte å implementere den i datagrafikk. På bare tre dagers arbeid klarte Lauren å gjengi et realistisk bilde av fjellsystemet på datamaskinen sin. Med andre ord, ved hjelp av formler tegnet han en helt gjenkjennelig Fjelllandskap.
Prinsippet Lauren brukte for å nå målet sitt var veldig enkelt. Det gikk ut på å dele opp en større geometrisk figur i små elementer, og disse ble igjen delt inn i lignende figurer av mindre størrelse.
Ved å bruke større trekanter delte Carpenter dem i fire mindre og gjentok deretter denne prosessen om og om igjen til han hadde et realistisk fjellandskap. Dermed klarte han å bli den første kunstneren som brukte en fraktalalgoritme for å konstruere bilder i datagrafikk. Så snart ordet om arbeidet ble kjent, tok entusiaster over hele verden opp ideen og begynte å bruke fraktalalgoritmen for å imitere realistiske naturlige former.
En av de første 3D-visualiseringene som bruker en fraktalalgoritme
Bare noen få år senere var Lauren Carpenter i stand til å bruke utviklingen sin i et mye større prosjekt. Animatøren laget en to-minutters demo av Vol Libre fra dem, som ble vist på Siggraph i 1980. Denne videoen sjokkerte alle som så den, og Lauren fikk en invitasjon fra Lucasfilm.
Animasjonen ble gjengitt på en VAX-11/780-datamaskin fra Digital Equipment Corporation med en klokkehastighet på fem megahertz, og hver ramme tok omtrent en halvtime å gjengi.
I arbeid for Lucasfilm Limited, skapte animatøren 3D-landskap ved å bruke det samme opplegget for den andre fullengderfilmen i Star Trek-sagaen. I The Wrath of Khan var Carpenter i stand til å skape en hel planet ved å bruke det samme prinsippet for fraktal overflatemodellering.
For øyeblikket bruker alle populære applikasjoner for å lage 3D-landskap et lignende prinsipp for å generere naturlige gjenstander. Terragen, Bryce, Vue og andre 3D-redigerere er avhengige av en fraktalalgoritme for modellering av overflater og teksturer.
⇡ Fraktale antenner: mindre er mer
I løpet av det siste halve århundret har livet raskt begynt å endre seg. De fleste av oss aksepterer prestasjoner moderne teknologier forgitt. Du blir vant til alt som gjør livet mer behagelig veldig raskt. Sjelden stiller noen spørsmålene "Hvor kom dette fra?" og "Hvordan fungerer det?" En mikrobølgeovn varmer opp frokosten - flott, en smarttelefon gir deg muligheten til å snakke med en annen person - flott. Dette virker som en åpenbar mulighet for oss.
Men livet kunne vært helt annerledes hvis en person ikke hadde søkt en forklaring på at hendelsene fant sted. Ta mobiltelefoner, for eksempel. Husker du de uttrekkbare antennene på de første modellene? De forstyrret, økte størrelsen på enheten, og til slutt gikk de ofte i stykker. Vi tror de har sunket ned i glemselen for alltid, og en del av grunnen til dette er... fraktaler.
Fraktale mønstre fascinerer med mønstrene deres. De ligner definitivt bilder av kosmiske objekter - tåker, galaksehoper og så videre. Det er derfor ganske naturlig at når Mandelbrot ga uttrykk for sin teori om fraktaler, vakte forskningen hans økt interesse blant de som studerte astronomi. En av disse amatørene ved navn Nathan Cohen, etter å ha deltatt på et foredrag av Benoit Mandelbrot i Budapest, ble inspirert av ideen om praktisk anvendelse av den ervervede kunnskapen. Riktignok gjorde han dette intuitivt, og tilfeldighetene spilte en viktig rolle i oppdagelsen hans. Som radioamatør forsøkte Nathan å lage en antenne med høyest mulig følsomhet.
Den eneste måten å forbedre parametrene til antennen, som var kjent på den tiden, var å øke dens geometriske dimensjoner. Eieren av eiendommen i sentrum av Boston som Nathan leide var imidlertid kategorisk mot å installere store enheter på taket. Så begynte Nathan å eksperimentere med forskjellige antenneformer, og prøvde å få maksimale resultater med minimale størrelser. Inspirert av ideen om fraktale former, laget Cohen, som de sier, tilfeldig en av de mest kjente fraktalene fra tråd - "Koch-snøfnugget". Den svenske matematikeren Helge von Koch kom opp med denne kurven i 1904. Det oppnås ved å dele et segment i tre deler og erstatte det midtre segmentet med en likesidet trekant uten at en side faller sammen med dette segmentet. Definisjonen er litt vanskelig å forstå, men i figuren er alt klart og enkelt.
Det finnes også andre variasjoner av Koch-kurven, men den omtrentlige formen på kurven forblir lik
Da Nathan koblet antennen til radiomottakeren ble han veldig overrasket – følsomheten økte dramatisk. Etter en rekke eksperimenter innså den fremtidige professoren ved Boston University at en antenne laget etter et fraktalt mønster har høy effektivitet og dekker et mye bredere frekvensområde sammenlignet med klassiske løsninger. I tillegg gjør formen på antennen i form av en fraktalkurve det mulig å redusere de geometriske dimensjonene betydelig. Nathan Cohen kom til og med opp med et teorem som beviser at for å lage en bredbåndsantenne, er det nok å gi den formen av en selv-lignende fraktalkurve.
Forfatteren patenterte oppdagelsen sin og grunnla et selskap for utvikling og design av fraktale antenner Fractal Antenna Systems, med rette i å tro at i fremtiden, takket være oppdagelsen hans, vil mobiltelefoner kunne kvitte seg med store antenner og bli mer kompakte.
I prinsippet var det dette som skjedde. Riktignok er Nathan til i dag engasjert i en juridisk kamp med store selskaper som ulovlig bruker oppdagelsen hans til å produsere kompakte kommunikasjonsenheter. Noen kjente produsenter av mobilenheter, som Motorola, har allerede oppnådd en minnelig avtale med oppfinneren av fraktalantennen.
⇡ Fraktale dimensjoner: du kan ikke forstå det med tankene dine
Benoit lånte dette spørsmålet fra den berømte amerikanske vitenskapsmannen Edward Kasner.
Sistnevnte, som mange andre kjente matematikere, elsket å kommunisere med barn, stille dem spørsmål og motta uventede svar. Noen ganger førte dette til overraskende konsekvenser. For eksempel kom den ni år gamle nevøen til Edward Kasner opp med det nå velkjente ordet "googol", som betyr en etterfulgt av hundre nuller. Men la oss gå tilbake til fraktaler. Den amerikanske matematikeren likte å stille spørsmålet hvor lang den amerikanske kystlinjen er. Etter å ha lyttet til samtalepartnerens mening, sa Edward selv det riktige svaret. Hvis du måler lengden på et kart ved hjelp av brutte segmenter, vil resultatet være unøyaktig, fordi kystlinjen har et stort nummer av ujevnheter. Hva skjer hvis vi måler så nøyaktig som mulig? Du må ta hensyn til lengden på hver ujevnhet - du må måle hver kappe, hver bukt, stein, lengden på en steinete avsats, en stein på den, et sandkorn, et atom og så videre. Siden antallet uregelmessigheter har en tendens til uendelig, vil den målte lengden på kystlinjen øke til uendelig ved måling av hver ny uregelmessighet.
Jo mindre mål ved måling, jo lengre målt lengde
Interessant nok, etter Edwards oppfordringer, var barna mye raskere enn de voksne til å si den riktige løsningen, mens sistnevnte hadde problemer med å akseptere et så utrolig svar.
Ved å bruke dette problemet som eksempel, foreslo Mandelbrot å bruke ny tilnærming til målinger. Siden kystlinjen er nær en fraktalkurve, betyr det at en karakteriserende parameter kan brukes på den - den såkalte fraktale dimensjonen.
Hva en vanlig dimensjon er, er klart for enhver. Hvis dimensjonen er lik en, får vi en rett linje, hvis to - en flat figur, tre - et volum. Denne forståelsen av dimensjon i matematikk fungerer imidlertid ikke med fraktalkurver, hvor denne parameteren har en brøkverdi. Fraktal dimensjon i matematikk kan konvensjonelt betraktes som en "ruhet". Jo høyere ruhet kurven er, desto større er dens fraktale dimensjon. En kurve som ifølge Mandelbrot har en fraktal dimensjon høyere enn dens topologiske dimensjon har en tilnærmet lengde som ikke er avhengig av antall dimensjoner.
For tiden finner forskere flere og flere områder for å anvende teorien om fraktaler. Ved hjelp av fraktaler kan du analysere svingninger i børskurser, studere alle slags naturlige prosesser, for eksempel svingninger i antall arter, eller simulere dynamikken i strømmer. Fraktale algoritmer kan brukes til datakomprimering, for eksempel bildekomprimering. Og forresten, for å få en vakker fraktal på dataskjermen din, trenger du ikke ha en doktorgrad.
⇡ Fraktal i nettleseren
Kanskje en av de mest enkle måter få et fraktalt mønster - bruk den elektroniske vektoreditoren fra den unge talentfulle programmereren Toby Schachman. Verktøyene til denne enkle grafiske editoren er basert på det samme prinsippet om selvlikhet.
Til din disposisjon er det bare to enkleste former - en firkant og en sirkel. Du kan legge dem til på lerretet, skalere dem (for å skalere langs en av aksene, hold nede Shift-tasten) og roter dem. Overlappende i henhold til prinsippet for boolske addisjonsoperasjoner, danner disse enkleste elementene nye, mindre trivielle former. Disse nye formene kan deretter legges til prosjektet, og programmet vil gjenta genereringen av disse bildene i det uendelige. På et hvilket som helst stadium av arbeidet med en fraktal kan du gå tilbake til en hvilken som helst komponent i en kompleks form og redigere dens posisjon og geometri. En morsom aktivitet, spesielt når du tenker på at det eneste verktøyet du trenger for å lage er en nettleser. Hvis du ikke forstår prinsippet om å jobbe med denne rekursive vektoreditoren, anbefaler vi deg å se videoen på den offisielle nettsiden til prosjektet, som i detalj viser hele prosessen med å lage en fraktal.
⇡ XaoS: fraktaler for enhver smak
Mange grafiske redaktører har innebygde verktøy for å lage fraktale mønstre. Imidlertid er disse verktøyene vanligvis sekundære og lar deg ikke utføre finjustering generert fraktalmønster. I tilfeller der det er nødvendig å konstruere en matematisk nøyaktig fraktal, hjelp kommer XaoS-editor på tvers av plattformer. Dette programmet gjør det mulig ikke bare å bygge et selv-lignende bilde, men også å utføre forskjellige manipulasjoner med det. For eksempel, i sanntid kan du ta en "tur" langs en fraktal ved å endre skalaen. Animert bevegelse langs en fraktal kan lagres som en XAF-fil og deretter reproduseres i selve programmet.
XaoS kan laste inn et tilfeldig sett med parametere, og også bruke ulike bildeetterbehandlingsfiltre – legg til en uskarp bevegelseseffekt, jevn ut skarpe overganger mellom fraktale punkter, simuler et 3D-bilde, og så videre.
⇡ Fractal Zoomer: kompakt fraktalgenerator
Sammenlignet med andre fraktale bildegeneratorer har den flere fordeler. For det første er den veldig liten i størrelse og krever ikke installasjon. For det andre implementerer den muligheten til å bestemme fargepaletten til et bilde. Du kan velge nyanser i RGB, CMYK, HVS og HSL fargemodeller.
Det er også veldig praktisk å bruke muligheten til å velge fargenyanser tilfeldig og funksjonen for å invertere alle farger i bildet. For å justere fargen er det en funksjon av syklisk valg av nyanser - når du slår på den tilsvarende modusen, animerer programmet bildet, og endrer fargene på det syklisk.
Fractal Zoomer kan visualisere 85 forskjellige fraktale funksjoner, og formlene vises tydelig i programmenyen. Det er filtre for bildeetterbehandling i programmet, men i små mengder. Hvert tildelt filter kan kanselleres når som helst.
⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktal editor
Når begrepet "fraktal" brukes, refererer det oftest til et flatt, todimensjonalt bilde. Imidlertid går fraktal geometri utover 2D-dimensjonen. I naturen kan du finne både eksempler på flate fraktale former, for eksempel lynets geometri, og tredimensjonale volumetriske figurer. Fraktale overflater kan være tredimensjonale, og en av de veldig klare illustrasjonene av 3D-fraktaler i Hverdagen- kålhode. Kanskje den beste måten å se fraktaler på er i Romanesco-varianten, en hybrid av blomkål og brokkoli.
Du kan også spise denne fraktalen
Mandelbulb3D-programmet kan lage tredimensjonale objekter med en lignende form. For å få en 3D-overflate ved hjelp av en fraktalalgoritme, konverterte forfatterne av denne applikasjonen, Daniel White og Paul Nylander, Mandelbrot-settet til sfæriske koordinater. Mandelbulb3D-programmet de laget er en ekte tredimensjonal editor som modellerer fraktale overflater ulike former. Siden vi ofte observerer fraktale mønstre i naturen, virker et kunstig opprettet fraktalt tredimensjonalt objekt utrolig realistisk og til og med "levende".
Det kan ligne en plante, det kan ligne et merkelig dyr, en planet eller noe annet. Denne effekten forsterkes av en avansert gjengivelsesalgoritme, som gjør det mulig å oppnå realistiske refleksjoner, beregne transparens og skygger, simulere effekten av dybdeskarphet, og så videre. Mandelbulb3D har et stort antall innstillinger og gjengivelsesalternativer. Du kan kontrollere nyansene til lyskildene, velge bakgrunnen og detaljnivået til det simulerte objektet.
Incendia fraktalredigering støtter dobbel bildeutjevning, inneholder et bibliotek med femti forskjellige tredimensjonale fraktaler, og har en egen modul for redigering av grunnleggende former.
Applikasjonen bruker fraktal scripting, som du selvstendig kan beskrive nye typer fraktale design med. Incendia har tekstur- og materialredigerere, og gjengivelsesmotoren lar deg bruke volumetriske tåkeeffekter og forskjellige shadere. Programmet implementerer muligheten til å lagre en buffer under langsiktig gjengivelse, og støtter oppretting av animasjon.
Incendia lar deg eksportere en fraktalmodell til populære 3D-grafikkformater - OBJ og STL. Incendia inkluderer et lite verktøy kalt Geometrica, et spesialverktøy for å sette opp eksport av en fraktal overflate til en 3D-modell. Ved å bruke dette verktøyet kan du bestemme oppløsningen til en 3D-overflate og angi antall fraktale iterasjoner. Eksporterte modeller kan brukes i 3D-prosjekter når du arbeider med 3D-redigerere som Blender, 3ds max og andre.
Den siste tiden har arbeidet med Incendia-prosjektet avtatt noe. På dette øyeblikket forfatteren leter etter sponsorer for å hjelpe ham med å utvikle programmet.
Hvis du ikke har nok fantasi til å tegne en vakker tredimensjonal fraktal i dette programmet, spiller det ingen rolle. Bruk parameterbiblioteket, som ligger i mappen INCENDIA_EX\parameters. Ved å bruke PAR-filer kan du raskt finne de mest uvanlige fraktale formene, inkludert animerte.
⇡ Aural: hvordan fraktaler synger
Vi snakker vanligvis ikke om prosjekter som akkurat er i gang, men i gang i dette tilfellet vi må gjøre et unntak, dette er en veldig uvanlig applikasjon. Prosjektet, kalt Aural, ble oppfunnet av den samme personen som skapte Incendia. Imidlertid visualiserer ikke programmet denne gangen fraktalsettet, men avgir det, og gjør det om til elektronisk musikk. Ideen er veldig interessant, spesielt med tanke på de uvanlige egenskapene til fraktaler. Aural er en lydredigerer som genererer melodier ved hjelp av fraktale algoritmer, det vil si at det i hovedsak er en lydsynthesizer-sequencer.
Rekkefølgen av lyder produsert av dette programmet er uvanlig og... vakker. Det kan godt være nyttig for å skrive moderne rytmer, og det ser ut til at det er spesielt godt egnet for å lage lydspor for skjermsparere av TV- og radioprogrammer, samt "looper" av bakgrunnsmusikk for dataspill. Ramiro har ennå ikke levert en demo av programmet sitt, men lover at når han gjør det, for å jobbe med Aural, trenger du ikke å studere fraktalteori - du trenger bare å leke med parameterne til algoritmen for å generere en sekvens av notater. Lytt til hvordan fraktaler høres ut, og.
Fraktaler: musikalsk pause
Faktisk kan fraktaler hjelpe deg med å skrive musikk selv uten programvare. Men dette kan bare gjøres av noen som virkelig er gjennomsyret av ideen om naturlig harmoni og som ikke har blitt en uheldig "nerd". Det er fornuftig å ta et eksempel fra en musiker ved navn Jonathan Coulton, som blant annet skriver komposisjoner for magasinet Popular Science. Og i motsetning til andre utøvere, publiserer Colton alle verkene sine under en Creative Commons Attribution-Noncommercial-lisens, som (når den brukes til ikke-kommersielle formål) sørger for gratis kopiering, distribusjon, overføring av verket til andre, samt modifikasjon av det ( opprettelse av avledede verk) slik at du tilpasser den til dine oppgaver.
Jonathan Colton har selvfølgelig en sang om fraktaler.
⇡ Konklusjon
I alt som omgir oss ser vi ofte kaos, men faktisk er dette ikke en ulykke, men en ideell form, som fraktaler hjelper oss å skjelne. Naturen er den beste arkitekten, ideelle byggherren og ingeniøren. Det er strukturert veldig logisk, og hvis vi ikke ser et mønster et sted, betyr dette at vi må lete etter det i en annen skala. Folk forstår dette bedre og bedre, og prøver å etterligne på mange måter naturlige former. Ingeniører designer skallformede høyttalersystemer, lager snøfnuggformede antenner og så videre. Vi er sikre på at fraktaler fortsatt inneholder mange hemmeligheter, og mange av dem har ennå ikke blitt oppdaget av mennesker.
Hvordan fraktalen ble oppdaget
De matematiske formene kjent som fraktaler stammer fra geniet til den eminente vitenskapsmannen Benoit Mandelbrot. I det meste av livet underviste han i matematikk ved Yale University i USA. I 1977 - 1982 publiserte Mandelbrot vitenskapelige arbeider viet studiet av "fraktal geometri" eller "naturgeometri", der han brøt ned tilsynelatende tilfeldige matematiske former til komponentelementer som ved nærmere undersøkelse viste seg å gjenta seg - som bevist tilstedeværelsen av en viss modell for kopiering. Mandelbrots oppdagelse fikk betydelige konsekvenser i utviklingen av fysikk, astronomi og biologi.
Fraktaler i naturen
I naturen har mange gjenstander fraktale egenskaper, for eksempel: trekroner, blomkål, skyer, sirkulasjons- og alveolarsystemene til mennesker og dyr, krystaller, snøflak, hvis elementer er ordnet i en kompleks struktur, kystlinjer (fraktalkonseptet tillot forskere for å måle kystlinjen til De britiske øyer og andre tidligere umålbare objekter).
La oss se på strukturen til blomkål. Hvis du klipper en av blomstene, er det åpenbart at den samme blomkålen forblir i hendene dine, bare mindre i størrelse. Vi kan fortsette å kutte igjen og igjen, selv under et mikroskop – men alt vi får er bittesmå kopier av blomkålen. I dette enkleste tilfellet inneholder selv en liten del av fraktalen informasjon om hele den endelige strukturen.
Fraktaler i digital teknologi
Fraktal geometri har gitt et uvurderlig bidrag til utviklingen av nye teknologier innen digital musikk, og også gjort digital bildekomprimering mulig. Eksisterende fraer basert på prinsippet om å lagre et komprimert bilde i stedet for selve det digitale bildet. For et komprimert bilde forblir hovedbildet et fast punkt. Microsoft brukte en av variantene av denne algoritmen når de publiserte leksikonet, men av en eller annen grunn ble denne ideen ikke mye brukt.
I matematisk grunnlag Fraktal grafikk er basert på fraktal geometri, hvor metodene for å konstruere "arvingsbilder" er basert på prinsippet om arv fra de originale "overordnede objektene". Selve konseptene fraktal geometri og fraktal grafikk dukket opp for bare rundt 30 år siden, men har allerede blitt godt etablert i hverdagen til datadesignere og matematikere.
De grunnleggende konseptene for fraktal datagrafikk er:
- Fraktal trekant - fraktal figur - fraktal objekt (hierarki i synkende rekkefølge)
- Fraktal linje
- Fraktal sammensetning
- "Overordnet objekt" og "Etterfølgende objekt"
Akkurat som i vektor- og tredimensjonal grafikk, er opprettelsen av fraktale bilder matematisk beregnet. Hovedforskjellen fra de to første grafikktypene er at et fraktalbilde er bygget i henhold til en ligning eller et system av ligninger – du trenger ikke lagre annet enn formelen i datamaskinens minne for å utføre alle beregningene – og dette kompaktheten til det matematiske apparatet tillot bruken av denne ideen i datagrafikk. Bare ved å endre koeffisientene til ligningen kan du enkelt få et helt annet fraktalbilde - ved hjelp av flere matematiske koeffisienter spesifiseres overflater og linjer med svært komplekse former, noe som lar deg implementere komposisjonsteknikker som horisontal og vertikal, symmetri og asymmetri , diagonale veibeskrivelser og mye mer.
Hvordan bygge en fraktal?
Skaperen av fraktaler spiller rollen som en kunstner, fotograf, skulptør og vitenskapsmann-oppfinner på samme tid. Hva er de kommende stadiene for å lage en tegning fra bunnen av?
- angi formen på tegningen ved hjelp av en matematisk formel
- undersøke konvergensen til prosessen og variere dens parametere
- velg bildetype
- velg en fargepalett
Blant fraktale grafiske redaktører og andre grafiske programmer kan vi fremheve:
- "Art Dabbler"
- "Maler" (uten en datamaskin vil ingen kunstner noen gang oppnå egenskapene som er fastsatt av programmerere, bare gjennom en blyant og en penselpenn)
- « Adobe Photoshop"(men her er ikke bildet laget "fra bunnen av", men som regel bare behandlet)
La oss vurdere strukturen til en vilkårlig fraktal geometrisk figur. I midten er det det enkleste elementet - en likesidet trekant, som fikk samme navn: "fraktal". På det midtre segmentet av sidene skal vi konstruere likesidede trekanter med en side lik en tredjedel av siden til den opprinnelige fraktale trekanten. Ved å bruke samme prinsipp bygges enda mindre etterfølgertrekanter av andre generasjon – og så videre i det uendelige. Det resulterende objektet kalles en "fraktal figur", fra sekvensene som vi får en "fraktal sammensetning".
Kilde: http://www.iknowit.ru/
Fraktaler og gamle mandalaer
I utgangspunktet er en mandala det geometrisk symbol kompleks struktur, som tolkes som en modell av universet, et "kart over kosmos". Dette er det første tegnet på fraktalitet!
De er brodert på stoff, malt på sand, laget med farget pulver og laget av metall, stein, tre. Dens lyse og fascinerende utseende gjør den til en vakker dekorasjon for gulv, vegger og tak i templer i India. På det gamle indiske språket betyr "mandala" den mystiske sirkelen av forholdet mellom de åndelige og materielle energiene i universet, eller med andre ord, livets blomst.
Jeg ønsket å skrive en veldig kort anmeldelse av fraktale mandalaer, med et minimum av avsnitt, som viser at forholdet tydelig eksisterer. Men da jeg prøvde å forstå og koble informasjon om fraktaler og mandalaer til en enkelt helhet, fikk jeg følelsen av et kvantesprang inn i et rom ukjent for meg.
Jeg demonstrerer omfanget av dette emnet med et sitat: "Slike fraktale komposisjoner eller mandalaer kan brukes i form av malerier, designelementer for oppholds- og arbeidsrom, bærbare amuletter, i form av videobånd, dataprogrammer ..." I generelt er emnet for studiet av fraktaler rett og slett enormt.
En ting jeg kan si med sikkerhet er at verden er mye mer mangfoldig og rikere enn de dårlige ideene våre sinn har om den.
Fraktale sjødyr
Mine gjetninger om fraktale sjødyr var ikke grunnløse. Her er de første representantene. En blekksprut er et bunnlevende sjødyr fra rekkefølgen av blekksprut.
Når jeg så på dette bildet, ble fraktalstrukturen til kroppen og sugene på alle åtte tentaklene til dette dyret tydelig for meg. Antall sugere på tentaklene til en voksen blekksprut når opp til 2000.
Et interessant faktum er at blekkspruten har tre hjerter: en (den viktigste) driver blått blod gjennom hele kroppen, og de to andre - gjeller - skyver blodet gjennom gjellene. Noen typer av disse dyphavsfraktalene er giftige.
Tilpassing og maskering som miljø, blekkspruten har den svært nyttige evnen til å endre farge.
Blekkspruter regnes som den mest "smarte" av alle virvelløse dyr. De blir kjent med folk og blir vant til de som mater dem. Det ville vært interessant å se på blekkspruter som er enkle å trene, har godt minne og til og med skille geometriske figurer. Men levetiden til disse fraktaldyrene er kort - maksimalt 4 år.
Mennesket bruker blekket til denne levende fraktalen og andre blekksprut. De er ettertraktet av kunstnere for deres holdbarhet og vakre bruntone. I middelhavskjøkkenet er blekksprut en kilde til vitamin B3, B12, kalium, fosfor og selen. Men jeg tror at du trenger å vite hvordan du koker disse sjøfraktalene for å nyte å spise dem som mat.
Forresten, det bør bemerkes at blekksprut er rovdyr. Med sine fraktale tentakler holder de byttedyr i form av bløtdyr, krepsdyr og fisk. Det er synd hvis et så vakkert bløtdyr blir maten til disse havfraktalene. Etter min mening er han også en typisk representant for sjørikets fraktaler.
Dette er en slektning av snegler, gastropod nakensnegl Glaucus, også kjent som Glaucus, også kjent som Glaucus atlanticus, også kjent som Glaucilla marginata. Denne fraktalen er også uvanlig ved at den lever og beveger seg under overflaten av vannet, og holdes på plass av overflatespenning. Fordi bløtdyret er en hermafroditt, og etter parring legger begge "partnerne" egg. Denne fraktalen finnes i alle hav i den tropiske sonen.
Fraktaler av sjøriket
Hver av oss, minst en gang i livet, holdt et skjell i hendene og undersøkte det med genuin barnslig interesse.
Vanligvis er skjell en vakker suvenir som minner om en tur til havet. Når du ser på denne spiralformasjonen av virvelløse bløtdyr, er det ingen tvil om dens fraktale natur.
Vi mennesker er litt som disse bløtdyrene med myk kropp, som bor i velutstyrte fraktalhus i betong, og plasserer og flytter kroppene våre i raske biler.
En annen typisk representant for den fraktale undervannsverdenen er koraller.
Det er over 3500 varianter av koraller kjent i naturen, med en palett på opptil 350 fargenyanser.
Koraller er skjelettmaterialet til en koloni av korallpolypper, også fra virvelløse dyrfamilien. Deres enorme ansamlinger danner hele korallrev, den fraktale metoden for dannelse er åpenbar.
Koraller kan med full tillit kalles en fraktal fra sjøriket.
Det brukes også av mennesker som suvenir eller råmateriale for smykker og ornamenter. Men det er veldig vanskelig å gjenskape skjønnheten og perfeksjonen til fraktal natur.
Nok en gang, da jeg utførte ritualet på kjøkkenet med en kniv og skjærebrett, og så dyppet kniven i kaldt vann, var jeg i tårer og fant nok en gang ut hvordan jeg skulle takle tårefraktalen som dukker opp foran øynene mine nesten hver dag .
Prinsippet om fraktalitet er det samme som for den berømte hekkende dukken - hekking. Dette er grunnen til at fraktalitet ikke blir lagt merke til umiddelbart. I tillegg bidrar ikke lyset, ensartet farge og dens naturlige evne til å forårsake ubehagelige opplevelser til nær observasjon av universet og identifisering av fraktale matematiske mønstre.
Men den syrinfargede salatløken, på grunn av fargen og fraværet av tåreproduserende fytoncider, fikk meg til å tenke på den naturlige fraktaliteten til denne grønnsaken. Selvfølgelig er det en enkel fraktal, vanlige sirkler med forskjellige diametre, man kan til og med si den mest primitive fraktalen. Men det ville ikke skade å huske at ballen regnes som en ideell geometrisk figur i universet vårt.
OM gunstige egenskaper Løk, mange artikler har blitt publisert på Internett, men på en eller annen måte har ingen prøvd å studere dette naturlige eksemplet fra fraktalitetssynspunktet. Jeg kan bare si nytten av å bruke en fraktal i form av en løk på kjøkkenet mitt.
P.S. Jeg har allerede kjøpt en grønnsakskutter for å hakke fraktaler. Nå må vi tenke på hvor fraktal en slik sunn grønnsak som vanlig hvitkål er. Det samme prinsippet om hekking.
Fraktaler i folkekunst
Historien om den verdensberømte Matryoshka-leken fanget min oppmerksomhet. Ved å ta en nærmere titt kan vi med sikkerhet si at dette suvenirleketøyet er en typisk fraktal.
Prinsippet om fraktalitet er åpenbart når alle figurene til et treleketøy er stilt opp på rad og ikke nestet inni hverandre.
Min lille forskning på historien om utseendet til denne leketøysfraktalen på verdensmarkedet viste at røttene til denne skjønnheten er japanske. Matryoshka-dukken har alltid vært ansett som en original russisk suvenir. Men det viste seg at hun var prototypen på den japanske figuren til den gamle vismannen Fukuruma, en gang brakt til Moskva fra Japan.
Men det var den russiske leketøysindustrien som brakte denne japanske figuren verdensberømmelse. Hvor ideen om fraktal hekking av et leketøy kom fra er fortsatt et mysterium for meg personlig. Mest sannsynlig brukte forfatteren av dette leketøyet prinsippet om å hekke figurer inne i hverandre. Og den enkleste måten å investere på er lignende figurer av forskjellige størrelser, og dette er allerede en fraktal.
Et like interessant studieobjekt er maleriet av et fraktalt leketøy. Dette er et dekorativt maleri - Khokhloma. Tradisjonelle elementer av Khokhloma er urtemønstre av blomster, bær og grener.
Igjen alle tegn på fraktalitet. Tross alt kan det samme elementet gjentas flere ganger i forskjellige versjoner og proporsjoner. Resultatet er et folkefraktalmaleri.
Og hvis du ikke vil overraske noen med det nymotens maleri av datamus, laptopdeksler og telefoner, så er fraktal tuning av en bil i folkestil noe nytt innen bildesign. Man kan bare bli overrasket over manifestasjonen av fraktalverdenen i livene våre på en så uvanlig måte i slike vanlige ting for oss.
Fraktaler på kjøkkenet
En typisk representant for en fraktal fra flora ble vist på kjøkkenbordet mitt.
Med all min kjærlighet til blomkål kom jeg alltid over prøver med en jevn overflate uten synlige tegn på fraktalitet, og til og med stort antall blomsterstander hekket inne i hverandre ga meg ingen grunn til å se en fraktal i denne nyttige grønnsaken.
Men overflaten til dette spesielle eksemplaret med sin klart definerte fraktale geometri ga ikke den minste tvil om den fraktale opprinnelsen til denne typen kål.
En annen tur til hypermarkedet bekreftet bare fraktalstatusen til kål. Blant det enorme antallet eksotiske grønnsaker var en hel boks med fraktaler. Det var Romanescu, eller romansk brokkoli, blomkål.
Det viser seg at designere og 3D-artister beundrer dens eksotiske fraktallignende former.
Kålknopper vokser i en logaritmisk spiral. Den første omtalen av Romanescu-kål kom fra Italia på 1500-tallet.
Og brokollikål er ikke en hyppig gjest i kostholdet mitt, selv om det mange ganger er overlegent blomkål når det gjelder innhold av næringsstoffer og mikroelementer. Men overflaten og formen er så jevn at det aldri falt meg inn å se en vegetabilsk fraktal i den.
Fraktaler i quilling
Etter å ha sett åpent håndverk med quilling-teknikken, mistet jeg aldri følelsen av at de minnet meg om noe. Gjentakelsen av de samme elementene i forskjellige størrelser er selvfølgelig fraktalitetsprinsippet.
Etter å ha sett nok en mesterklasse om quilling, var det ikke lenger noen tvil om quillings fraktale natur. Tross alt for produksjonen ulike elementer For quilling-håndverk brukes en spesiell linjal med sirkler med forskjellige diametre. Til tross for all skjønnheten og det unike ved produktene, er dette en utrolig enkel teknikk.
Nesten alle hovedelementene for quilling-håndverk er laget av papir. For å fylle på med gratis quilling-papir, ta en titt på bokhyllene dine hjemme. Sikkert finner du et par lyse glansede magasiner der.
Quillingverktøy er enkle og rimelige. Alt du trenger for å utføre amatørquilling-arbeid finner du blant rekvisita for hjemmeskrivere.
Og historien om quilling begynner på 1700-tallet i Europa. Under renessansen brukte munker fra franske og italienske klostre quilling for å dekorere bokomslag og var ikke engang klar over fraktalkarakteren til papirrulleteknikken de hadde oppfunnet. Jenter fra det høye samfunnet tok til og med et quilling-kurs i spesialskoler. Slik begynte denne teknikken å spre seg over land og kontinenter.
Denne videoquilling-mesterklassen om å lage luksuriøs fjærdrakt kan til og med kalles "gjør-det-selv-fraktaler." Ved hjelp av papirfraktaler oppnås fantastiske eksklusive Valentine-kort og mange andre interessante ting. Tross alt er fantasi, som naturen, uuttømmelig.
Det er ingen hemmelighet at japanerne har svært begrenset plass i livet, og derfor må de prøve sitt beste for å bruke det effektivt. Takeshi Miyakawa viser hvordan dette kan gjøres både effektivt og estetisk. Hans fraktalkabinett bekrefter at bruken av fraktaler i design ikke bare er en hyllest til mote, men også en harmonisk designløsning under forhold med begrenset plass.
Dette eksempelet på bruk av fraktaler i det virkelige liv, i forhold til møbeldesign, viste meg at fraktaler er ekte ikke bare på papir i matematiske formler og dataprogrammer.
Og det ser ut til at naturen bruker fraktalitetsprinsippet overalt. Du trenger bare å se nærmere på det, og det vil manifestere seg i all sin storslåtte overflod og uendelighet av væren.
Nylig lærte jeg om slike interessante objekter i den matematiske verden som fraktaler. Men de finnes ikke bare i matematikk. De omgir oss overalt. Fraktaler er naturlige. Jeg vil snakke om hva fraktaler er, om typene fraktaler, om eksempler på disse objektene og deres anvendelser i denne artikkelen. Til å begynne med vil jeg kort fortelle deg hva en fraktal er.
En fraktal (latin fractus - knust, ødelagt, ødelagt) er en kompleks geometrisk figur som har egenskapen til selvlikhet, det vil si sammensatt av flere deler, som hver ligner på hele figuren. I en bredere forstand forstås fraktaler som sett med punkter i det euklidiske rom som har en brøkdelt metrisk dimensjon (i betydningen Minkowski eller Hausdorff), eller en metrisk dimensjon som er forskjellig fra den topologiske. Som et eksempel vil jeg sette inn et bilde som viser fire forskjellige fraktaler.
Jeg skal fortelle deg litt om fraktalers historie. Konseptene fraktal og fraktal geometri, som dukket opp på slutten av 70-tallet, har blitt godt etablert blant matematikere og programmerere siden midten av 80-tallet. Ordet "fraktal" ble laget av Benoit Mandelbrot i 1975 for å referere til de uregelmessige, men selv-lignende strukturene han var opptatt av. Fødselen av fraktal geometri er vanligvis assosiert med utgivelsen av Mandelbrots bok The Fractal Geometry of Nature i 1977. Arbeidene hans brukte de vitenskapelige resultatene til andre forskere som arbeidet i perioden 1875-1925 innen samme felt (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Men først i vår tid har det vært mulig å kombinere deres arbeid i ett system.
Det er mange eksempler på fraktaler, fordi de som sagt omgir oss overalt. Etter min mening er til og med hele universet vårt en enorm fraktal. Tross alt gjentar alt i det, fra strukturen til atomet til selve universets struktur, hverandre nøyaktig. Men det finnes selvfølgelig mer spesifikke eksempler på fraktaler fra forskjellige områder. Fraktaler, for eksempel, er til stede i kompleks dynamikk. De er der vises naturlig når du studerer ikke-lineær dynamiske systemer. Det mest studerte tilfellet er når dynamisk system er gitt ved iterasjoner av et polynom eller holomorf funksjon av et kompleks av variabler på overflaten. Noen av de mest kjente fraktalene av denne typen er Julia-settet, Mandelbrot-settet og Newton-bassengene. Nedenfor, i rekkefølge, viser bildene hver av fraktalene ovenfor.
Et annet eksempel på fraktaler er fraktale kurver. Det er best å forklare hvordan man konstruerer en fraktal ved å bruke eksemplet med fraktale kurver. En av disse kurvene er den såkalte Koch Snowflake. Det er en enkelprosedyre for å oppnå fraktale kurver på et plan. La oss definere en vilkårlig brutt linje med endelig antall koblinger, kalt en generator. Deretter erstatter vi hvert segment i det med en generator (mer presist, en brutt linje som ligner på en generator). I den resulterende brutte linjen erstatter vi igjen hvert segment med en generator. Fortsetter vi til det uendelige, i grensen får vi en fraktalkurve. Nedenfor er Koch Snowflake (eller Curve).
Det er også et stort utvalg av fraktale kurver. De mest kjente av dem er den allerede nevnte Koch Snowflake, samt Levy-kurven, Minkowski-kurven, Dragon's brutte linje, Piano-kurven og Pythagorean-treet. Jeg tror du lett kan finne et bilde av disse fraktalene og deres historie på Wikipedia hvis du ønsker det.
Det tredje eksemplet eller typen fraktaler er stokastiske fraktaler. Slike fraktaler inkluderer banen til Brownsk bevegelse på planet og i verdensrommet, Schramm-Löwner evolusjoner, ulike typer randomiserte fraktaler, det vil si fraktaler oppnådd ved hjelp av en rekursiv prosedyre der en tilfeldig parameter introduseres i hvert trinn.
Det er også rent matematiske fraktaler. Disse er for eksempel Cantor-settet, Menger-svampen, Sierpinski-triangelet og andre.
Men kanskje de mest interessante fraktalene er naturlige. Naturlige fraktaler er gjenstander i naturen som har fraktale egenskaper. Og her er listen allerede stor. Jeg vil ikke liste opp alt, fordi det sannsynligvis er umulig å liste dem alle, men jeg skal fortelle deg om noen. For eksempel, i levende natur inkluderer slike fraktaler vårt sirkulasjonssystem og lunger. Og også kroner og blader av trær. Dette inkluderer også sjøstjerner, kråkeboller, koraller, skjell, noen planter som kål eller brokkoli. Flere slike naturlige fraktaler fra levende natur er tydelig vist nedenfor.
Hvis vi vurderer livløs natur, så er det mange flere interessante eksempler der enn i det virkelige liv. Lyn, snøflak, skyer, velkjent for alle, mønstre på vinduer på frostdager, krystaller, fjellkjeder - alt dette er eksempler på naturlige fraktaler fra livløs natur.
Vi så på eksempler og typer fraktaler. Når det gjelder bruken av fraktaler, brukes de i en rekke kunnskapsfelt. I fysikk oppstår fraktaler naturlig når man modellerer ikke-lineære prosesser som turbulent væskestrøm, komplekse prosesser diffusjon-adsorpsjon, flammer, skyer osv. Fraktaler brukes i modellering av porøse materialer, for eksempel i petrokjemi. I biologi brukes de til å modellere populasjoner og for å beskrive indre organsystemer (blodkarsystemet). Etter opprettelsen av Koch-kurven ble det foreslått å bruke den til å beregne lengden på kystlinjen. Fraktaler brukes også aktivt innen radioteknikk, informatikk og datateknologier, telekommunikasjon og til og med økonomien. Og selvfølgelig brukes fraktal visjon aktivt i moderne kunst og arkitektur. Her er ett eksempel på fraktale mønstre:
Og så, med dette tenker jeg å fullføre historien min om et så uvanlig matematisk fenomen som en fraktal. I dag lærte vi om hva en fraktal er, hvordan den så ut, om typer og eksempler på fraktaler. Jeg snakket også om deres applikasjon og demonstrerte noen av fraktalene visuelt. Jeg håper du likte denne lille ekskursjonen til en verden av fantastiske og fascinerende fraktale objekter.
Ofte kan strålende funn gjort i vitenskapen radikalt forandre livene våre. For eksempel kan oppfinnelsen av en vaksine redde mange mennesker, men etableringen av nye våpen fører til drap. Bokstavelig talt i går (på historiens skala) "temmet" mennesket elektrisitet, og i dag kan han ikke lenger forestille seg livet sitt uten det. Imidlertid er det også oppdagelser som, som de sier, forblir i skyggen, til tross for at de også har en eller annen innvirkning på livene våre. En av disse oppdagelsene var fraktalen. De fleste har aldri engang hørt om dette konseptet og vil ikke være i stand til å forklare betydningen. I denne artikkelen vil vi prøve å forstå spørsmålet om hva en fraktal er og vurdere betydningen av dette begrepet fra vitenskapens og naturens perspektiv.
Orden i kaos
For å forstå hva en fraktal er, bør vi begynne debriefingen fra matematikkens posisjon, men før vi fordyper oss i det, vil vi filosofere litt. Hver person har en naturlig nysgjerrighet, takket være den lærer han verden. Ofte, i sin søken etter kunnskap, prøver han å bruke logikk i sine vurderinger. Ved å analysere prosessene som skjer rundt ham, prøver han å beregne sammenhenger og utlede visse mønstre. De største sinnene på planeten er opptatt med å løse disse problemene. Grovt sett leter forskerne våre etter mønstre der det ikke er noen, og det burde ikke være noen. Og likevel, selv i kaos er det en sammenheng mellom visse hendelser. Denne forbindelsen er det fraktalen er. Som et eksempel, tenk på en brukket gren som ligger på veien. Hvis vi ser nøye på den, vil vi se at den med alle sine greiner og kvister ser ut som et tre. Denne likheten til en separat del med en enkelt helhet indikerer det såkalte prinsippet om rekursiv selvlikhet. Fraktaler kan finnes overalt i naturen, fordi mange uorganiske og organiske former dannes på lignende måte. Dette er skyer, havskjell, snegleskjell, trekroner og til og med sirkulasjonssystemet. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse tilfeldige formene er lett beskrevet av en fraktal algoritme. Nå har vi kommet til å vurdere hva en fraktal er fra eksakte vitenskapers perspektiv.
Noen tørre fakta
Selve ordet "fraktal" er oversatt fra latin som "delvis", "delt", "fragmentert", og når det gjelder innholdet i dette begrepet, er det ingen formulering som sådan. Det tolkes vanligvis som et selvlikt sett, en del av helheten, som gjentar sin struktur på mikronivå. Dette begrepet ble laget på syttitallet av det tjuende århundre av Benoit Mandelbrot, som er anerkjent som faren I dag betyr konseptet fraktal et grafisk bilde av en viss struktur, som, når den forstørres, vil ligne seg selv. Det matematiske grunnlaget for opprettelsen av denne teorien ble imidlertid lagt allerede før fødselen til Mandelbrot selv, men den kunne ikke utvikle seg før elektroniske datamaskiner dukket opp.
Historisk bakgrunn, eller hvordan det hele begynte
På begynnelsen av 1800- og 1900-tallet var studiet av fraktalers natur sporadisk. Dette forklares med at matematikere foretrakk å studere objekter som kan studeres ut fra generelle teorier og metoder. I 1872 konstruerte den tyske matematikeren K. Weierstrass et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke er differensierbar noe sted. Denne konstruksjonen viste seg imidlertid å være helt abstrakt og vanskelig å oppfatte. Deretter kom svensken Helge von Koch, som i 1904 konstruerte en sammenhengende kurve som ikke hadde noen tangent noe sted. Det er ganske enkelt å tegne og viser seg å ha fraktale egenskaper. En av variantene av denne kurven ble oppkalt etter forfatteren - "Koch snøfnugg". Videre ble ideen om selvlikhet mellom figurer utviklet av den fremtidige mentoren til B. Mandelbrot, franskmannen Paul Levy. I 1938 publiserte han artikkelen "Plane og romlige kurver og overflater bestående av deler som ligner helheten." I den beskrev han en ny type - Lewy C-kurven. Alle de ovennevnte figurene er konvensjonelt klassifisert som geometriske fraktaler.
Dynamiske eller algebraiske fraktaler
Mandelbrot-settet tilhører denne klassen. De første forskerne i denne retningen var de franske matematikerne Pierre Fatou og Gaston Julia. I 1918 publiserte Julia et papir basert på studiet av iterasjoner av rasjonelle komplekse funksjoner. Her beskrev han en familie av fraktaler som er nært beslektet med Mandelbrot-settet. Til tross for at dette verket glorifiserte forfatteren blant matematikere, ble det raskt glemt. Og bare et halvt århundre senere, takket være datamaskiner, fikk Julias arbeid et nytt liv. Datamaskiner gjorde det mulig å synliggjøre for enhver person skjønnheten og rikdommen i fraktalverdenen som matematikere kunne "se" ved å vise dem gjennom funksjoner. Mandelbrot var den første som brukte en datamaskin til å utføre beregninger (et slikt volum kan ikke gjøres manuelt) som gjorde det mulig å konstruere et bilde av disse figurene.
En person med romlig fantasi
Mandelbrot begynte sin vitenskapelige karriere ved IBM Research Center. Mens de studerte mulighetene for å overføre data over lange avstander, ble forskere møtt med store tap som oppsto på grunn av støyinterferens. Benoit lette etter måter å løse dette problemet på. Da han så gjennom måleresultatene, la han merke til et merkelig mønster, nemlig: støygrafene så like ut på forskjellige tidsskalaer.
Et lignende bilde ble observert både i en periode på en dag og i syv dager eller i en time. Benoit Mandelbrot selv gjentok ofte at han ikke jobber med formler, men leker med bilder. Denne forskeren var annerledes fantasifull tenkning, oversatte han ethvert algebraisk problem til det geometriske området, der det riktige svaret er åpenbart. Så det er ikke overraskende at han er preget av sin rikdom og ble faren til fraktal geometri. Tross alt kan bevisstheten om denne figuren bare komme når du studerer tegningene og tenker på betydningen av disse merkelige virvlene som danner mønsteret. Fraktale mønstre har ikke identiske elementer, men de er like i enhver skala.
Julia - Mandelbrot
En av de første tegningene av denne figuren var en grafisk tolkning av settet, som ble født ut av arbeidet til Gaston Julia og ble videreutviklet av Mandelbrot. Gaston prøvde å forestille seg hvordan et sett ville se ut basert på en enkel formel som ble iterert gjennom en tilbakemeldingssløyfe. La oss prøve å forklare hva som er sagt på menneskelig språk, så å si på fingrene. For en bestemt numerisk verdi ved hjelp av formelen finner vi den nye verdien. Vi erstatter det i formelen og finner følgende. Resultatet er stort For å representere et slikt sett er det nødvendig å utføre denne operasjonen et stort antall ganger: hundrevis, tusenvis, millioner. Dette er hva Benoit gjorde. Han behandlet sekvensen og overførte resultatene til grafisk form. Deretter farget han den resulterende figuren (hver farge tilsvarer et visst antall iterasjoner). Dette grafiske bildet ble kalt "Mandelbrot fraktal".
L. Carpenter: kunst skapt av naturen
Teorien om fraktaler fant raskt praktisk anvendelse. Siden det er veldig nært knyttet til visualisering av selvliknende bilder, var kunstnere de første som tok i bruk prinsippene og algoritmene for å konstruere disse uvanlige formene. Den første av dem var den fremtidige grunnleggeren av Pixar, Lauren Carpenter. Mens han jobbet med en presentasjon av flyprototyper, kom han på ideen om å bruke et bilde av fjell som bakgrunn. I dag kan nesten alle databrukere takle en slik oppgave, men på syttitallet av forrige århundre var ikke datamaskiner i stand til å utføre slike prosesser, fordi det ikke fantes grafiske redaktører eller applikasjoner for tredimensjonal grafikk på den tiden. Og så kom Loren over Mandelbrots bok "Fractals: Form, Randomness and Dimension." I den ga Benoit mange eksempler, og viste at fraktaler finnes i naturen (fyva), han beskrev deres varierte former og beviste at de lett kan beskrives med matematiske uttrykk. Matematikeren siterte denne analogien som et argument for nytten av teorien han utviklet som svar på en byge av kritikk fra kollegene. De hevdet at en fraktal er rettferdig Fint bilde, som ikke har noen verdi og er et biprodukt av driften av elektroniske maskiner. Carpenter bestemte seg for å prøve denne metoden i praksis. Etter å ha studert boken nøye, begynte den fremtidige animatøren å lete etter en måte å implementere fraktalgeometri i datagrafikk. Det tok ham bare tre dager å gjengi et fullstendig realistisk bilde av fjellandskapet på datamaskinen. Og i dag er dette prinsippet mye brukt. Som det viser seg, tar det ikke mye tid og krefter å lage fraktaler.
Snekkerløsning
Prinsippet Lauren brukte var enkelt. Det består av å dele større i små elementer, og de i lignende mindre, og så videre. Carpenter, ved hjelp av store trekanter, delte dem i 4 små, og så videre, til han hadde et realistisk fjellandskap. Dermed ble han den første kunstneren som brukte en fraktalalgoritme i datagrafikk for å konstruere det nødvendige bildet. I dag brukes dette prinsippet til å imitere ulike realistiske naturformer.
Den første 3D-visualiseringen ved hjelp av en fraktalalgoritme
Noen år senere brukte Lauren utviklingen sin i et storstilt prosjekt - den animerte videoen Vol Libre, vist på Siggraph i 1980. Denne videoen sjokkerte mange, og skaperen ble invitert til å jobbe hos Lucasfilm. Her kunne animatøren realisere sitt fulle potensiale han skapte tredimensjonale landskap (en hel planet) for spillefilmen «Star Trek». Ethvert moderne program ("Fractals") eller applikasjoner for å lage 3D-grafikk (Terragen, Vue, Bryce) bruker den samme algoritmen for modellering av teksturer og overflater.
Tom Beddard
Tidligere laserfysiker og nå digital kunstner og kunstner, skapte Beddard en rekke svært spennende geometriske former, som han kalte Fabergé-fraktaler. Utad ligner de dekorative egg fra en russisk gullsmed, de har det samme strålende, intrikate mønsteret. Beddard brukte en malmetode for å lage sine digitale gjengivelser av modellene. De resulterende produktene overrasker med sin skjønnhet. Selv om mange nekter å sammenligne et håndlaget produkt med et dataprogram, må det innrømmes at de resulterende formene er ekstremt vakre. Høydepunktet er at hvem som helst kan bygge en slik fraktal ved hjelp av WebGL-programvarebiblioteket. Den lar deg utforske ulike fraktale strukturer i sanntid.
Fraktaler i naturen
Få mennesker legger merke til, men disse fantastiske figurene er til stede overalt. Naturen er skapt av selv-lignende figurer, vi legger bare ikke merke til det. Det er nok å se gjennom et forstørrelsesglass på huden vår eller et blad av et tre, og vi vil se fraktaler. Eller ta for eksempel en ananas eller til og med en påfuglhale - de består av lignende figurer. Og brokkolivarianten Romanescu er generelt slående i sitt utseende, fordi den virkelig kan kalles et naturmirakel.
Musikalsk pause
Det viser seg at fraktaler ikke bare er geometriske former, de kan også være lyder. Dermed skriver musiker Jonathan Colton musikk ved hjelp av fraktale algoritmer. Den hevder å samsvare med naturlig harmoni. Komponisten publiserer alle verkene sine under en CreativeCommons Attribution-Noncommercial-lisens, som sørger for gratis distribusjon, kopiering og overføring av verk til andre.
Fraktal indikator
Denne teknikken har funnet en svært uventet anvendelse. På grunnlag av det ble et verktøy for å analysere børsmarkedet opprettet, og som et resultat begynte det å bli brukt i Forex-markedet. I dag finnes fraktalindikatoren på alle handelsplattformer og brukes i en handelsteknikk kalt prisutbrudd. Denne teknikken ble utviklet av Bill Williams. Som forfatteren kommenterer oppfinnelsen sin, er denne algoritmen en kombinasjon av flere "stearinlys", der den sentrale gjenspeiler maksimum eller omvendt minimum ekstrempunkt.
Endelig
Så vi så på hva en fraktal er. Det viser seg at i kaoset som omgir oss, eksisterer det faktisk ideelle former. Naturen er den beste arkitekten, ideelle byggherren og ingeniøren. Det er ordnet veldig logisk, og hvis vi ikke finner et mønster, betyr ikke dette at det ikke eksisterer. Kanskje vi må se på en annen skala. Vi kan med sikkerhet si at fraktaler fortsatt har mange hemmeligheter som vi ennå ikke har oppdaget.
