Hva er avstanden mellom brennpunktene? Kanonisk ligning av en ellipse. Halvakser av ellipsen. Konstruere en ellipse hvis dens kanoniske ligning er kjent. Roter og parallelloversetter en ellipse

11.1. Enkle konsepter

La oss vurdere linjer definert av ligninger av andre grad i forhold til gjeldende koordinater

Ligningskoeffisienter - reelle tall, men minst ett av tallene A, B eller C er ikke-null. Slike linjer kalles linjer (kurver) av andre orden. Nedenfor vil det fastslås at ligning (11.1) definerer en sirkel, ellipse, hyperbel eller parabel på planet. Før vi går videre til dette utsagnet, la oss studere egenskapene til de listede kurvene.

11.2. Sirkel

Den enkleste andreordenskurven er en sirkel. Husk at en sirkel med radius R med sentrum i et punkt er mengden av alle punktene M i planet som tilfredsstiller betingelsen. La et punkt i et rektangulært koordinatsystem ha koordinater x 0, y 0 og - et vilkårlig punkt på sirkelen (se fig. 48).

Så fra betingelsen får vi ligningen

(11.2)

Ligning (11.2) er tilfredsstilt av koordinatene til ethvert punkt på en gitt sirkel og er ikke tilfredsstilt av koordinatene til et punkt som ikke ligger på sirkelen.

Ligning (11.2) kalles kanonisk ligning av en sirkel

Spesielt innstilling og , får vi ligningen til en sirkel med sentrum ved opprinnelsen .

Sirkelligningen (11.2) etter enkle transformasjoner vil ha formen . Når man sammenligner denne ligningen med den generelle ligningen (11.1) til en andreordenskurve, er det lett å legge merke til at to betingelser er oppfylt for ligningen til en sirkel:

1) koeffisientene for x 2 og y 2 er lik hverandre;

2) det er ikke noe medlem som inneholder produktet xy av gjeldende koordinater.

La oss vurdere det omvendte problemet. Setter vi verdiene og i ligning (11.1), får vi

La oss transformere denne ligningen:

(11.4)

Det følger at ligning (11.3) definerer en sirkel under betingelsen . Sentrum er ved punktet , og radiusen

.

Hvis , så har ligning (11.3) formen

.

Det tilfredsstilles av koordinatene til et enkelt punkt . I dette tilfellet sier de: "sirkelen har degenerert til et punkt" (har null radius).

Hvis , så vil ikke ligning (11.4), og derfor den ekvivalente ligningen (11.3), definere noen linje, siden høyre side av ligning (11.4) er negativ, og venstre ikke negativ (si: "en imaginær sirkel").

11.3. Ellipse

Kanonisk ellipseligning

Ellipse er settet av alle punkter i et plan, summen av avstandene fra hver til to gitte punkter i dette planet, kalt triks , er en konstant verdi større enn avstanden mellom brennpunktene.

La oss betegne fokusene med F 1 Og F 2, avstanden mellom dem er 2 c, og summen av avstander fra et vilkårlig punkt på ellipsen til foci - i 2 en(se fig. 49). Per definisjon 2 en > 2c, dvs. en > c.

For å utlede ellipsens ligning velger vi et koordinatsystem slik at brennpunktene F 1 Og F 2 lå på aksen, og opprinnelsen falt sammen med midten av segmentet F 1 F 2. Da vil fokusene ha følgende koordinater: og .

La være et vilkårlig punkt på ellipsen. Da, i henhold til definisjonen av en ellipse, dvs.

Dette er i hovedsak ligningen av en ellipse.

La oss transformere ligning (11.5) til mer enkel utsikt på følgende måte:

Fordi en>Med, Det. La oss sette

(11.6)

Da vil den siste ligningen ha formen eller

(11.7)

Det kan bevises at ligning (11.7) er ekvivalent med den opprinnelige ligningen. Det heter kanonisk ellipseligning .

En ellipse er en andreordenskurve.

Studie av formen til en ellipse ved hjelp av ligningen

La oss bestemme formen til ellipsen ved å bruke dens kanoniske ligning.

1. Ligning (11.7) inneholder x og y bare i partall, så hvis et punkt tilhører en ellipse, så hører også punktene ,, til det. Det følger at ellipsen er symmetrisk med hensyn til og-aksene, så vel som med hensyn til punktet, som kalles midten av ellipsen.

2. Finn skjæringspunktene til ellipsen med koordinataksene. Putting , finner vi to punkter og , hvor aksen skjærer ellipsen (se fig. 50). Setter vi inn ligning (11.7), finner vi skjæringspunktene til ellipsen med aksen: og . Poeng EN 1 , A 2 , B 1, B 2 er kalt toppene av ellipsen. Segmenter EN 1 A 2 Og B 1 B 2, samt lengdene deres 2 en og 2 b kalles tilsvarende store og små akser ellipse. Tall en Og b kalles henholdsvis stor og liten aksel aksler ellipse.

3. Av ligning (11.7) følger det at hvert ledd på venstre side ikke overstiger én, dvs. ulikhetene og eller og finner sted. Følgelig ligger alle punktene på ellipsen inne i rektangelet som dannes av de rette linjene.

4. I ligning (11.7) er summen av ikke-negative ledd og lik en. Følgelig, når ett ledd øker, vil det andre avta, det vil si at hvis det øker, reduseres det og omvendt.

Av ovenstående følger det at ellipsen har formen vist i fig. 50 (oval lukket kurve).

Mer informasjon om ellipsen

Formen på ellipsen avhenger av forholdet. Når ellipsen blir til en sirkel, får ellipsens ligning (11.7) formen . Forholdet brukes ofte for å karakterisere formen til en ellipse. Forholdet mellom halvparten av avstanden mellom brennpunktene og halv-hovedaksen til ellipsen kalles ellipsens eksentrisitet og o6o er betegnet med bokstaven ε ("epsilon"):

med 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Dette viser at jo mindre eksentrisiteten til ellipsen er, jo mindre flatet blir ellipsen; hvis vi setter ε = 0, blir ellipsen til en sirkel.

La M(x;y) være et vilkårlig punkt på ellipsen med foci F 1 og F 2 (se fig. 51). Lengdene til segmentene F 1 M = r 1 og F 2 M = r 2 kalles fokalradiene til punktet M. Åpenbart,

Formlene holder

Direkte linjer kalles

Teorem 11.1. Hvis er avstanden fra et vilkårlig punkt på ellipsen til et eller annet fokus, d er avstanden fra det samme punktet til retningslinjen som tilsvarer dette fokuset, så er forholdet en konstant verdi lik eksentrisiteten til ellipsen:

Av likestilling (11.6) følger at . Hvis, så definerer ligning (11.7) en ellipse, hvis hovedakse ligger på Oy-aksen, og underaksen på Ox-aksen (se fig. 52). Fociene til en slik ellipse er på punkter og , hvor .

11.4. Hyperbel

Kanonisk hyperbelligning

Overdrivelse er settet av alle punkter i planet, modulen til forskjellen i avstander fra hver av dem til to gitte punkter i dette planet, kalt triks , er en konstant verdi mindre enn avstanden mellom brennpunktene.

La oss betegne fokusene med F 1 Og F 2 avstanden mellom dem er 2s, og modulen til forskjellen i avstander fra hvert punkt av hyperbelen til foci gjennom 2a. A-priory 2a < 2s, dvs. en < c.

For å utlede hyperbelligningen velger vi et koordinatsystem slik at fociene F 1 Og F 2 lå på aksen, og opprinnelsen falt sammen med midten av segmentet F 1 F 2(se fig. 53). Da vil fokusene ha koordinater og

La være et vilkårlig punkt av hyperbelen. Deretter, i henhold til definisjonen av en hyperbel eller , det vil si etter forenklinger, slik det ble gjort ved utledning av ellipseligningen, får vi kanonisk ligning hyperboler

(11.9)

(11.10)

En hyperbel er en linje av andre orden.

Å studere formen til en hyperbel ved å bruke ligningen

La oss etablere formen til hyperbelen ved å bruke dens kakoniske ligning.

1. Ligning (11.9) inneholder x og y bare i partall. Følgelig er hyperbelen symmetrisk om aksene og , samt om punktet, som kalles midten av hyperbelen.

2. Finn skjæringspunktene til hyperbelen med koordinataksene. Setter vi inn ligning (11.9), finner vi to skjæringspunkter for hyperbelen med aksen: og. Setter vi inn (11.9), får vi , som ikke kan være. Derfor skjærer ikke hyperbelen Oy-aksen.

Punktene kalles topper hyperbler og segmentet

ekte akse , linjestykke - ekte halvakse overdrivelse.

Et segment som forbinder punkter kalles imaginær akse , nummer b - imaginær halvakse . Rektangel med sider 2a Og 2b kalt grunnleggende rektangel av hyperbel .

3. Fra ligning (11.9) følger det at minuend ikke er mindre enn én, dvs. at eller . Dette betyr at punktene til hyperbelen er plassert til høyre for linjen (høyre gren av hyperbelen) og til venstre for linjen (venstre gren av hyperbelen).

4. Fra likning (11.9) av hyperbelen er det klart at når den øker, øker den. Dette følger av at forskjellen holder en konstant verdi lik én.

Av ovenstående følger det at hyperbelen har formen vist i figur 54 (en kurve som består av to ubegrensede grener).

Asymptoter av en hyperbel

Den rette linjen L kalles en asymptote ubegrenset kurve K, hvis avstanden d fra punktet M i kurven K til denne rette linjen har en tendens til null når avstanden til punktet M langs kurven K fra origo er ubegrenset. Figur 55 gir en illustrasjon av konseptet med en asymptote: rett linje L er en asymptote for kurve K.

La oss vise at hyperbelen har to asymptoter:

(11.11)

Siden de rette linjene (11.11) og hyperbelen (11.9) er symmetriske i forhold til koordinataksene, er det tilstrekkelig å vurdere bare de punktene på de angitte linjene som er lokalisert i første kvartal.

La oss ta et punkt N på en rett linje som har samme abscisse x som punktet på hyperbelen (se fig. 56), og finn forskjellen ΜΝ mellom ordinatene til den rette linjen og grenen til hyperbelen:

Som du kan se, når x øker, øker nevneren til brøken; telleren er en konstant verdi. Derfor lengden på segmentet ΜΝ har en tendens til null. Siden MΝ er større enn avstanden d fra punktet M til linjen, har d en tendens til null. Så linjene er asymptoter av hyperbelen (11.9).

Når du konstruerer en hyperbel (11.9), er det tilrådelig å først konstruere hovedrektangelet til hyperbelen (se fig. 57), tegne rette linjer som går gjennom de motsatte toppunktene til dette rektangelet - asymptotene til hyperbelen og markere toppunktene og , av hyperbelen.

Ligning av en likesidet hyperbel.

hvis asymptoter er koordinataksene

Hyperbel (11.9) kalles likesidet hvis dens halvakser er lik (). Dens kanoniske ligning

(11.12)

Asymptotene til en likesidet hyperbel har ligninger og er derfor halveringslinjer for koordinatvinkler.

La oss vurdere ligningen til denne hyperbelen i et nytt koordinatsystem (se fig. 58), hentet fra det gamle ved å rotere koordinataksene med en vinkel. Vi bruker formlene for å rotere koordinatakser:

Vi erstatter verdiene av x og y i ligningen (11.12):

Ligningen til en likesidet hyperbel, der Ox- og Oy-aksene er asymptoter, vil ha formen .

Mer informasjon om hyperbole

Eksentrisitet hyperbel (11.9) er forholdet mellom avstanden mellom brennpunktene og verdien av den reelle aksen til hyperbelen, betegnet med ε:

Siden for en hyperbel er eksentrisiteten til hyperbelen større enn én: . Eksentrisitet karakteriserer formen til en hyperbel. Faktisk, av likhet (11.10) følger det at d.v.s. Og .

Fra dette kan man se at jo mindre eksentrisiteten til hyperbelen er, jo mindre er forholdet mellom dens halvakser, og derfor er hovedrektangelet mer langstrakt.

Eksentrisiteten til en likesidet hyperbel er . Egentlig,

Brennvidde radier Og for punkter på høyre gren har hyperbelene formen og , og for venstre gren - Og .

Direkte linjer kalles retningslinjer for en hyperbel. Siden for en hyperbel ε > 1, da . Dette betyr at høyre retningslinje er plassert mellom senter og høyre toppunkt av hyperbelen, venstre - mellom sentrum og venstre toppunkt.

Direktelinjene til en hyperbel har samme egenskap som retningslinjene til en ellipse.

Kurven definert av ligningen er også en hyperbel, hvor den reelle aksen 2b er plassert på Oy-aksen, og den imaginære aksen 2 en- på okseaksen. I figur 59 er det vist som en stiplet linje.

Det er åpenbart at hyperbler har vanlige asymptoter. Slike hyperbler kalles konjugat.

11.5. Parabel

Kanonisk parabelligning

En parabel er settet av alle punkter i planet, som hver er like langt fra et gitt punkt, kalt fokus, og en gitt linje, kalt retningslinjen. Avstanden fra fokus F til retningslinjen kalles parameteren til parablen og er betegnet med p (p > 0).

For å utlede ligningen til parablen velger vi koordinatsystemet Oxy slik at Ox-aksen går gjennom fokuset F vinkelrett på retningslinjen i retning fra retningslinjen til F, og origo til koordinatene O ligger midt mellom fokus og retningslinjen (se fig. 60). I det valgte systemet har fokuset F koordinater , og retningslikningen har formen , eller .

1. I likning (11.13) vises variabelen y i jevn grad, som betyr at parablen er symmetrisk om okseaksen; Okseaksen er symmetriaksen til parablen.

2. Siden ρ > 0, følger det av (11.13) at . Følgelig er parablen plassert til høyre for Oy-aksen.

3. Når vi har y = 0. Derfor går parablen gjennom origo.

4. Når x øker i det uendelige, øker også modulen y i det uendelige. Parablen har formen (formen) vist i figur 61. Punkt O(0; 0) kalles toppunktet til parablen, segmentet FM = r kalles brennradiusen til punktet M.

Ligninger , , ( p>0) definerer også parabler, de er vist i figur 62

Det er lett å vise at grafen kvadratisk trinomium, hvor , B og C er alle reelle tall, er en parabel i betydningen av definisjonen gitt ovenfor.

11.6. Generell ligning av andreordens linjer

Ligninger av andreordens kurver med symmetriakser parallelle med koordinataksene

La oss først finne ligningen til en ellipse med sentrum i punktet hvis symmetriakser er parallelle med koordinataksene Ox og Oy og halvaksene er henholdsvis like en Og b. La oss plassere i midten av ellipsen O 1 begynnelsen på et nytt koordinatsystem, hvis akser og halvakser en Og b(se fig. 64):

Til slutt har parablene vist i figur 65 tilsvarende ligninger.

Ligningen

Ligningene til en ellipse, hyperbel, parabel og ligningen til en sirkel etter transformasjoner (åpne parenteser, flytt alle ledd i ligningen til én side, ta med lignende termer, introduser nye notasjoner for koeffisienter) kan skrives ved å bruke en enkelt ligning av form

hvor koeffisientene A og C ikke er lik null på samme tid.

Spørsmålet oppstår: bestemmer hver ligning på formen (11.14) en av kurvene (sirkel, ellipse, hyperbel, parabel) av andre orden? Svaret er gitt av følgende teorem.

Teorem 11.2. Ligning (11.14) definerer alltid: enten en sirkel (for A = C), eller en ellipse (for A C > 0), eller en hyperbel (for A C)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Generell andreordens ligning

La oss nå vurdere en generell ligning av andre grad med to ukjente:

Den skiller seg fra ligning (11.14) ved tilstedeværelsen av et ledd med produktet av koordinater (B¹ 0). Det er mulig, ved å rotere koordinataksene med en vinkel a, å transformere denne ligningen slik at leddet med produktet av koordinatene er fraværende.

Bruke formler for akserotasjon

La oss uttrykke de gamle koordinatene i form av de nye:

La oss velge vinkelen a slik at koeffisienten for x" · y" blir null, dvs. slik at likheten

Således, når aksene roteres med en vinkel a som tilfredsstiller betingelsen (11.17), reduseres ligning (11.15) til ligning (11.14).

Konklusjon: den generelle andreordensligningen (11.15) definerer på planet (unntatt tilfeller av degenerasjon og forfall) følgende kurver: sirkel, ellipse, hyperbel, parabel.

Merk: Hvis A = C, blir likning (11.17) meningsløs. I dette tilfellet er cos2α = 0 (se (11.16)), deretter 2α = 90°, dvs. α = 45°. Så når A = C, skal koordinatsystemet roteres med 45°.

Linjer av andre orden.
Ellipse og dens kanoniske ligning. Sirkel

Etter grundige studier rette linjer i planet Vi fortsetter å studere geometrien til den todimensjonale verden. Innsatsen er doblet, og jeg inviterer deg til å besøke et pittoresk galleri med ellipser, hyperbler, paraboler, som er typiske representanter andre ordens linjer. Ekskursjonen har allerede begynt, og først kort informasjon om hele utstillingen i ulike etasjer i museet:

Konseptet med en algebraisk linje og dens rekkefølge

En linje på et fly kalles algebraisk, hvis i affint koordinatsystem dens ligning har formen , hvor er et polynom som består av termer av formen ( – reelt tall, – ikke-negative heltall).

Som du kan se, inneholder ikke ligningen til en algebraisk linje sinus, cosinus, logaritmer og annen funksjonell beau monde. Bare X og Y er med ikke-negative heltall grader.

Linjebestilling lik maksimalverdien av vilkårene som er inkludert i den.

I følge det tilsvarende teoremet avhenger ikke konseptet med en algebraisk linje, så vel som dens rekkefølge, av valget affint koordinatsystem, derfor, for å lette eksistensen, antar vi at alle etterfølgende beregninger finner sted i Kartesiske koordinater.

Generell ligning den andre ordrelinjen har formen , hvor – vilkårlige reelle tall (Det er vanlig å skrive det med en faktor på to), og koeffisientene er ikke lik null på samme tid.

Hvis , så forenkles ligningen til , og hvis koeffisientene ikke er lik null på samme tid, så er dette nøyaktig generell ligning for en "flat" linje, som representerer første ordrelinje.

Mange har forstått betydningen av de nye begrepene, men likevel, for å assimilere materialet 100%, stikker vi fingrene inn i kontakten. For å bestemme linjerekkefølgen, må du iterere alle vilkår dens ligninger og finn for hver av dem summen av grader innkommende variabler.

For eksempel:

begrepet inneholder "x" i 1. potens;
begrepet inneholder "Y" i 1. potens;
Det er ingen variabler i begrepet, så summen av potensene deres er null.

La oss nå finne ut hvorfor ligningen definerer linjen sekund rekkefølge:

begrepet inneholder "x" i 2. potens;
summandet har summen av potensene til variablene: 1 + 1 = 2;
begrepet inneholder "Y" i 2. potens;
alle andre vilkår - mindre grader.

Maksimal verdi: 2

Hvis vi i tillegg legger til, for eksempel, til ligningen vår, vil den allerede bestemme tredje ordens linje. Det er åpenbart at den generelle formen for 3. ordens linjeligningen inneholder et "fullt sett" med termer, summen av potensene til variablene der er lik tre:
, hvor koeffisientene ikke er lik null samtidig.

I tilfelle du legger til ett eller flere passende termer som inneholder , da skal vi allerede snakke om 4. ordens linjer, etc.

Vi vil måtte møte algebraiske linjer av 3., 4. og høyere orden mer enn én gang, spesielt når vi blir kjent med polart koordinatsystem.

La oss imidlertid gå tilbake til den generelle ligningen og huske dens enkleste skolevariasjoner. Som eksempler oppstår en parabel, hvis likning lett kan reduseres til en generell form, og en hyperbel med en ekvivalent likning. Men alt er ikke like glatt...

Betydelig ulempe generell ligning er at det nesten alltid er uklart hvilken linje den setter. Selv i det enkleste tilfellet vil du ikke umiddelbart innse at dette er en hyperbole. Slike oppsett er bare gode i en maskerade, så et typisk problem vurderes i løpet av analytisk geometri bringe 2. ordens linjeligningen til kanonisk form.

Hva er den kanoniske formen til en ligning?

Dette er den allment aksepterte standardformen for en ligning, når det i løpet av sekunder blir klart hvilket geometrisk objekt den definerer. I tillegg er den kanoniske formen veldig praktisk for å løse mange praktiske oppgaver. Så for eksempel i henhold til den kanoniske ligningen "flat" rett, for det første er det umiddelbart klart at dette er en rett linje, og for det andre er punktet som tilhører den og retningsvektoren lett synlige.

Det er åpenbart at evt 1. ordrelinje er en rett linje. I andre etasje er det ikke lenger vekteren som venter på oss, men et mye mer mangfoldig selskap med ni statuer:

Klassifisering av andreordens linjer

Ved å bruke et spesielt sett med handlinger, reduseres enhver ligning av en annenordens linje til en av følgende former:

(og er positive reelle tall)

1) – kanonisk ligning av ellipsen;

2) - kanonisk ligning av en hyperbel;

3) – kanonisk ligning av en parabel;

4) – innbilt ellipse;

5) - et par kryssende linjer;

6) – par innbilt kryssende linjer (med et enkelt gyldig skjæringspunkt ved origo);

7) - et par parallelle linjer;

8) – par innbilt parallelle linjer;

9) – et par sammenfallende linjer.

Noen lesere kan ha inntrykk av at listen er ufullstendig. For eksempel, i punkt nr. 7, spesifiserer ligningen paret direkte, parallelt med aksen, og spørsmålet oppstår: hvor er ligningen som definerer de rette linjene, parallelle akser ordinere? Svar ikke ansett som kanonisk. De rette linjene er den samme standardkassen, rotert 90 grader, og ekstra oppføring i klassifiseringen er den overflødig, siden den ikke bringer noe fundamentalt nytt.

Det er altså ni og bare ni forskjellige typer 2. ordens linjer, men i praksis er de vanligste ellipse, hyperbel og parabel.

La oss først se på ellipsen. Som vanlig fokuserer jeg på de punktene som har veldig viktig for å løse problemer, og hvis du trenger en detaljert utledning av formler, bevis på teoremer, vennligst referer for eksempel til læreboken til Bazylev/Atanasyan eller Aleksandrov.

Ellipse og dens kanoniske ligning

Stavemåte ... vennligst ikke gjenta feilene til noen Yandex-brukere som er interessert i "hvordan bygge en ellipse", "forskjellen mellom en ellipse og en oval" og "eksentrisiteten til en ellipse".

Den kanoniske ligningen av en ellipse har formen , hvor er positive reelle tall, og . Jeg vil formulere selve definisjonen av en ellipse senere, men for nå er det på tide å ta en pause fra den snakkende butikken og løse et vanlig problem:

Hvordan bygge en ellipse?

Ja, bare ta det og bare tegne det. Oppgaven forekommer ofte, og en betydelig del av elevene takler ikke tegningen riktig:

Eksempel 1

Konstruer en ellipse, gitt av ligningen

Løsning: Først, la oss bringe ligningen til kanonisk form:

Hvorfor ta med? En av fordelene med den kanoniske ligningen er at den lar deg bestemme umiddelbart toppene av ellipsen, som er plassert på punkter. Det er lett å se at koordinatene til hvert av disse punktene tilfredsstiller ligningen.

I i dette tilfellet :


Linjestykke kalt hovedaksen ellipse;
linjestykke – mindre akse;
Antall kalt semi-major skaft ellipse;
Antall – mindre akse.
i vårt eksempel: .

For raskt å forestille seg hvordan en bestemt ellipse ser ut, se bare på verdiene til "a" og "be" i dens kanoniske ligning.

Alt er fint, glatt og vakkert, men det er ett forbehold: Jeg laget tegningen ved hjelp av programmet. Og du kan lage tegningen ved å bruke hvilken som helst applikasjon. Men i den harde virkeligheten ligger det et rutete stykke papir på bordet, og mus danser i sirkler på hendene våre. Folk med kunstnerisk talent kan selvfølgelig krangle, men du har også mus (men mindre). Det er ikke forgjeves at menneskeheten oppfant linjalen, kompasset, gradskiven og andre enkle enheter for tegning.

Av denne grunn er det usannsynlig at vi vil være i stand til å tegne en ellipse nøyaktig når vi bare kjenner til toppunktene. Det er greit hvis ellipsen er liten, for eksempel med halvakser. Alternativt kan du redusere skalaen og følgelig dimensjonene på tegningen. Men generelt er det svært ønskelig å finne flere poeng.

Det er to tilnærminger til å konstruere en ellipse - geometrisk og algebraisk. Jeg liker ikke konstruksjon med kompass og linjal fordi algoritmen ikke er den korteste og tegningen er betydelig rotete. I nødstilfeller, se læreboken, men i virkeligheten er det mye mer rasjonelt å bruke algebras verktøy. Fra ellipselikningen i utkastet uttrykker vi raskt:

Ligningen deles deretter ned i to funksjoner:
– definerer den øvre buen av ellipsen;
– definerer den nederste buen til ellipsen.

Ellipsen definert av den kanoniske ligningen er symmetrisk med hensyn til koordinataksene, så vel som med hensyn til origo. Og dette er flott - symmetri er nesten alltid en forkynnelse av freebies. Det er åpenbart nok å forholde seg til 1. koordinatkvartal, så vi trenger funksjonen . Det reiser spørsmålet om å finne flere punkter med abscisser . La oss trykke på tre SMS-meldinger på kalkulatoren:

Selvfølgelig er det også fint at hvis det blir gjort en alvorlig feil i beregningene, vil det umiddelbart bli klart under byggingen.

La oss markere punktene på tegningen (rød), symmetriske punkter på de resterende buene (blå) og koble hele selskapet forsiktig med en linje:


Det er bedre å tegne den første skissen veldig tynt, og først deretter bruke press med en blyant. Resultatet skal være en ganske grei ellipse. Vil du forresten vite hva denne kurven er?

Definisjon av en ellipse. Ellipse foci og ellipse eksentrisitet

Ellipse er spesielt tilfelle oval Ordet "oval" skal ikke forstås i filistinsk betydning ("barnet tegnet en oval", etc.). Dette er et matematisk begrep som har en detaljert formulering. Hensikt denne leksjonen er ikke en vurdering av teorien om ovaler og deres forskjellige typer, som praktisk talt ikke blir gitt oppmerksomhet i standardkurset for analytisk geometri. Og, i samsvar med mer aktuelle behov, går vi umiddelbart videre til den strenge definisjonen av en ellipse:

Ellipse er settet av alle punkter i planet, summen av avstandene til hver av dem fra to gitte punkter, kalt triks ellipse, er en konstant størrelse, numerisk lik lengden på hovedaksen til denne ellipsen: .
I dette tilfellet er avstandene mellom fokusene mindre enn denne verdien: .

Nå vil alt bli klarere:

Tenk deg at den blå prikken "reiser" langs en ellipse. Så uansett hvilket punkt på ellipsen vi tar, vil summen av lengdene til segmentene alltid være den samme:

La oss sørge for at i vårt eksempel er verdien av summen virkelig lik åtte. Mentalt plasser punktet "um" ved høyre toppunkt av ellipsen, så: , som er det som måtte sjekkes.

En annen måte å tegne det på er basert på definisjonen av en ellipse. Høyere matematikk, noen ganger årsaken til spenning og stress, så det er på tide å gjennomføre en ny lossingsøkt. Ta whatman-papir eller et stort ark papp og fest det til bordet med to spiker. Dette blir triks. Knyt en grønn tråd til de utstikkende spikerhodene og trekk den hele veien med en blyant. Blyantledningen vil ende opp på et bestemt punkt som hører til ellipsen. Begynn nå å flytte blyanten langs papiret, hold den grønne tråden stram. Fortsett prosessen til du kommer tilbake til utgangspunktet... flott... tegningen kan sjekkes av lege og lærer =)

Hvordan finne brennpunktene til en ellipse?

I eksemplet ovenfor skildret jeg "ferdige" fokuspunkter, og nå skal vi lære å trekke dem ut fra geometriens dybder.

Hvis en ellipse er gitt av en kanonisk ligning, har dens foci koordinater , hvor er det avstand fra hvert fokus til ellipsens symmetrisenter.

Beregningene er enklere enn enkle:

! De spesifikke koordinatene til foci kan ikke identifiseres med betydningen av "tse"! Jeg gjentar at dette er AVSTAND fra hvert fokus til sentrum(som i det generelle tilfellet ikke trenger å ligge nøyaktig ved origo).
Og derfor kan avstanden mellom foci heller ikke knyttes til den kanoniske posisjonen til ellipsen. Med andre ord kan ellipsen flyttes til et annet sted og verdien vil forbli uendret, mens fokusene vil naturlig endre koordinatene sine. Vær så snill å vurder dette øyeblikket under videre studier av emnet.

Eksentrisiteten til ellipsen og dens geometriske betydning

Eksentrisiteten til en ellipse er et forhold som kan ta verdier innenfor området.

I vårt tilfelle:

La oss finne ut hvordan formen til en ellipse avhenger av dens eksentrisitet. For dette fikse venstre og høyre toppunkt av ellipsen under vurdering, det vil si at verdien av halvhovedaksen vil forbli konstant. Deretter vil eksentrisitetsformelen ha formen: .

La oss begynne å bringe eksentrisitetsverdien nærmere enhet. Dette er bare mulig hvis . Hva betyr det? ...husk triksene . Dette betyr at brennpunktene til ellipsen vil "bevege seg fra hverandre" langs abscisseaksen til sidepunktene. Og siden "de grønne segmentene ikke er gummi", vil ellipsen uunngåelig begynne å flate ut, og bli til en tynnere og tynnere pølse trukket på en akse.

Dermed, jo nærmere ellipsens eksentrisitetsverdi er enhet, jo mer langstrakt er ellipsen.

La oss nå modellere den motsatte prosessen: ellipsens foci gikk mot hverandre og nærmet seg sentrum. Dette betyr at verdien av "ce" blir mindre og mindre, og følgelig har eksentrisiteten en tendens til null: .
I dette tilfellet vil de "grønne segmentene" tvert imot "bli overfylte" og de vil begynne å "skyve" ellipselinjen opp og ned.

Dermed, Jo nærmere eksentrisitetsverdien er null, jo mer lik er ellipsen... se på det begrensende tilfellet når fokusene er vellykket gjenforent ved opprinnelsen:

En sirkel er et spesielt tilfelle av en ellipse

Faktisk, når det gjelder likestilling av halvaksene, har den kanoniske ligningen av ellipsen formen , som refleksivt transformeres til ligningen av en sirkel med et senter ved opprinnelsen til radius "a", velkjent fra skolen.

I praksis brukes notasjonen med den "talende" bokstaven "er" oftere: . Radius er lengden på et segment, med hvert punkt i sirkelen fjernet fra sentrum med en radiusavstand.

Merk at definisjonen av en ellipse forblir helt korrekt: fociene sammenfaller, og summen av lengdene til de sammenfallende segmentene for hvert punkt på sirkelen er en konstant. Siden avstanden mellom brennpunktene er , da eksentrisiteten til enhver sirkel er null.

Det er enkelt og raskt å konstruere en sirkel, bare bruk et kompass. Noen ganger er det imidlertid nødvendig å finne ut koordinatene til noen av punktene, i dette tilfellet går vi den kjente veien - vi bringer ligningen til den muntre Matanov-formen:

- funksjonen til den øvre halvsirkelen;
– funksjonen til den nedre halvsirkelen.

Så finner vi de nødvendige verdiene, differensiere, integrere og gjøre andre gode ting.

Artikkelen er selvfølgelig kun for referanse, men hvordan kan du leve i verden uten kjærlighet? Kreativ oppgave Til uavhengig avgjørelse

Eksempel 2

Komponer den kanoniske ligningen til en ellipse hvis en av dens foci og semi-mollakser er kjent (senteret er i origo). Finn hjørner, tilleggspunkter og tegn en linje i tegningen. Beregn eksentrisitet.

Løsning og tegning på slutten av timen

La oss legge til en handling:

Roter og parallelloversetter en ellipse

La oss gå tilbake til den kanoniske ligningen av ellipsen, nemlig til tilstanden hvis mysterium har plaget nysgjerrige sinn siden den første omtalen av denne kurven. Så vi så på ellipsen , men er det ikke mulig i praksis å møte ligningen ? Tross alt, her ser det imidlertid ut til å være en ellipse også!

Denne typen ligninger er sjelden, men den kommer over. Og det definerer faktisk en ellipse. La oss avmystifisere:

Som et resultat av konstruksjonen ble vår opprinnelige ellipse oppnådd, rotert 90 grader. Det er, - Dette ikke-kanonisk oppføring ellipse . Ta opp!- ligningen definerer ikke noen annen ellipse, siden det ikke er noen punkter (foci) på aksen som vil tilfredsstille definisjonen av en ellipse.

Ellipse

Ellipse. Fokuserer. Ellipseligning. Brennvidde.

Major og mindre akser av ellipsen. Eksentrisitet. Ligningen

tangent til ellipsen. Betingelse for tangens mellom en rett linje og en ellipse.

Ellipse (Figur 1 ) er stedet for punkter, summen av avstandene til to gitte punkter F 1 og F 2, kalt triks ellipse, er det en konstant verdi.

Ellipseligning (Figur 1):

Her opprinnelseer ellipsens symmetrisenter, EN koordinatakser er dens symmetriakser. Påen > bbrennpunktene til ellipsen ligger på aksen ÅH (fig.1), med en< b brennpunktene til ellipsen ligger på aksen OM Y, og når en= bellipse blir til sirkel(ellipsens foci i dette tilfellet sammenfaller med sentrum av sirkelen). Dermed, en sirkel er et spesielt tilfelle av en ellipse .

Linjestykke F 1 F 2 = 2 Med, Hvor , kalt brennvidde . LinjestykkeAB = 2 enkalt ellipsens hovedakse , og segmentet CD = 2 b – mindre akse ellipse . Antalle = c / en , e < 1 называется eksentrisitet ellipse .

La R(X 1 , på 1 ) er altså et punkt på ellipsentangentligning til en ellipse V

Andre ordens kurver på et plan er linjer definert av ligninger der variabelen koordinerer x Og y er inneholdt i andre grad. Disse inkluderer ellipsen, hyperbelen og parabelen.

Den generelle formen for den andre ordenskurveligningen er som følger:

Hvor A B C D E F- tall og minst én av koeffisientene A, B, C ikke lik null.

Når man løser problemer med andreordenskurver, vurderes oftest de kanoniske ligningene til ellipsen, hyperbelen og parabelen. Det er lett å gå videre til dem fra generelle ligninger, eksempel 1 på problemer med ellipser vil bli viet til dette.

Ellipse gitt av den kanoniske ligningen

Definisjon av en ellipse. En ellipse er settet av alle punkter i planet der summen av avstandene til punktene kalt foci er en konstant verdi større enn avstanden mellom fociene.

Fokusene er angitt som i figuren nedenfor.

Den kanoniske ligningen til en ellipse har formen:

Hvor en Og b (en > b) - lengdene til halvaksene, dvs. halvparten av lengdene til segmentene avskåret av ellipsen på koordinataksene.

Den rette linjen som går gjennom brennpunktene til ellipsen er dens symmetriakse. En annen symmetriakse til en ellipse er en rett linje som går gjennom midten av et segment vinkelrett på dette segmentet. Punktum OM skjæringspunktet mellom disse linjene fungerer som senter for symmetri av ellipsen eller rett og slett senter av ellipsen.

Abscisseaksen til ellipsen skjærer i punktene ( en, OM) Og (- en, OM), og ordinataksen er i punkter ( b, OM) Og (- b, OM). Disse fire punktene kalles ellipsens toppunkter. Segmentet mellom hjørnene av ellipsen på x-aksen kalles dens hovedakse, og på ordinataksen - dens mindre akse. Segmentene deres fra toppen til midten av ellipsen kalles halvakser.

Hvis en = b, så tar ellipsens ligning formen . Dette er ligningen til en sirkel med radius en, og en sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse. En ellipse kan fås fra en sirkel med radius en, hvis du komprimerer den til en/b ganger langs aksen Oy .

Eksempel 1. Sjekk om en linje gitt av en generell ligning er , ellipse.

Løsning. Vi transformerer den generelle ligningen. Vi anvender overføring av friperioden til høyre side, dividere ligningsleddet med ledd med samme tall og redusere brøker:

Svar. Ligningen oppnådd som et resultat av transformasjonene er den kanoniske ligningen for ellipsen. Derfor er denne linjen en ellipse.

Eksempel 2. Komponer den kanoniske ligningen til en ellipse hvis halvaksene er henholdsvis 5 og 4.

Løsning. Vi ser på formelen for den kanoniske ligningen av en ellipse og erstatning: halvhovedaksen er en= 5, er semiminoraksen b= 4. Vi får den kanoniske ligningen til ellipsen:

Punkter og , angitt i grønt på hovedaksen, hvor

er kalt triks.

kalt eksentrisitet ellipse.

Holdning b/en karakteriserer "oblateness" av ellipsen. Jo mindre dette forholdet er, jo mer er ellipsen forlenget langs hovedaksen. Imidlertid er graden av forlengelse av en ellipse oftere uttrykt gjennom eksentrisitet, formelen som er gitt ovenfor. For forskjellige ellipser varierer eksentrisiteten fra 0 til 1, og forblir alltid mindre enn enhet.

Eksempel 3. Komponer den kanoniske ligningen for en ellipse hvis avstanden mellom brennpunktene er 8 og hovedaksen er 10.

Løsning. La oss trekke noen enkle konklusjoner:

Hvis hovedaksen er lik 10, så halvparten av den, dvs. halvaksen en = 5 ,

Hvis avstanden mellom fokusene er 8, så tallet c av fokalkoordinatene er lik 4.

Vi erstatter og beregner:

Resultatet er den kanoniske ligningen for ellipsen:

Eksempel 4. Komponer den kanoniske ligningen til en ellipse hvis hovedaksen er 26 og eksentrisiteten er .

Løsning. Som følger av både størrelsen på hovedaksen og eksentrisitetsligningen, ellipsens semimajor akse en= 13. Fra eksentrisitetsligningen uttrykker vi tallet c, nødvendig for å beregne lengden på den mindre halvaksen:

.

Vi beregner kvadratet på lengden av den mindre halvaksen:

Vi komponerer den kanoniske ligningen for ellipsen:

Eksempel 5. Bestem brennpunktene til ellipsen gitt av den kanoniske ligningen.

Løsning. Finn nummeret c, som bestemmer de første koordinatene til ellipsens foci:

.

Vi får fokusene til ellipsen:

Eksempel 6. Fociene til ellipsen er plassert på aksen Okse symmetrisk om opprinnelsen. Komponer den kanoniske ligningen til ellipsen hvis:

1) avstanden mellom brennpunktene er 30, og hovedaksen er 34

2) mindre akse 24, og ett av fokusene er på punktet (-5; 0)

3) eksentrisitet, og en av fokusene er på punkt (6; 0)

La oss fortsette å løse ellipseproblemer sammen

Hvis er et vilkårlig punkt på ellipsen (angitt med grønt i øvre høyre del av ellipsen på tegningen) og er avstanden til dette punktet fra brennpunktene, så er formlene for avstandene som følger:

For hvert punkt som tilhører ellipsen, er summen av avstandene fra brennpunktene en konstant verdi lik 2 en.

Linjer definert av ligninger

er kalt rektorer ellipse (på tegningen er det røde linjer langs kantene).

Fra de to ligningene ovenfor følger det for ethvert punkt på ellipsen

,

hvor og er avstandene til dette punktet til retningslinjene og .

Eksempel 7. Gitt en ellipse. Skriv en ligning for retningene.

Løsning. Vi ser på direktrix-ligningen og finner ut at vi må finne eksentrisiteten til ellipsen, dvs. Vi har alle data for dette. Vi beregner:

.

Vi får ligningen for ellipsens retter:

Eksempel 8. Komponer den kanoniske ligningen til en ellipse hvis fokusene er punkter og retningslinjene er linjer.

Den kanoniske ligningen til ellipsen har formen

hvor a er halvhovedaksen; b – semi-molakse. Punktene F1(c,0) og F2(-c,0) − c kalles

a, b - halvakser av ellipsen.

Finne brennpunktene, eksentrisiteten, retningslinjene til en ellipse, hvis dens kanoniske ligning er kjent.

Definisjon av hyperbole. Hyperbolske triks.

Definisjon. En hyperbel er et sett med punkter på et plan der modulen til forskjellen i avstander fra to gitte punkter, kalt foci, er en konstant verdi mindre enn avstanden mellom brennpunktene.

Per definisjon |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – fokusene til hyperbelen. F1F2 = 2c.

Den kanoniske ligningen til en hyperbel. Halvakser av en hyperbel. Konstruere en hyperbel hvis dens kanoniske ligning er kjent.

Kanonisk ligning:

Den semimajor-aksen til en hyperbel er halvparten av minimumsavstanden mellom de to grenene av hyperbelen, på de positive og negative sidene av aksen (venstre og høyre i forhold til origo). For en gren som ligger på den positive siden, vil halvaksen være lik:

Hvis vi uttrykker det gjennom kjeglesnittet og eksentrisiteten, vil uttrykket ha formen:

Finne foci, eksentrisitet, dirrixes av en hyperbel, hvis dens kanoniske ligning er kjent.

Hyperbeleksentrisitet

Definisjon. Forholdet kalles eksentrisiteten til hyperbelen, hvor c –

halve avstanden mellom brennpunktene, og er den reelle halvaksen.

Ta i betraktning det faktum at c2 – a2 = b2:

Hvis a = b, e = , kalles hyperbelen likesidet (likesidet).

Retningslinjer for en hyperbole

Definisjon. To rette linjer vinkelrett på den reelle aksen til hyperbelen og plassert symmetrisk i forhold til sentrum i en avstand a/e fra det, kalles riktlinjer av hyperbelen. Deres ligninger er: .

Teorem. Hvis r er avstanden fra et vilkårlig punkt M i hyperbelen til et hvilket som helst fokus, er d avstanden fra samme punkt til retningslinjen som tilsvarer dette fokuset, så er forholdet r/d en konstant verdi lik eksentrisiteten.

Definisjon av en parabel. Fokus og retning av en parabel.

Parabel. En parabel er stedet for punkter, som hver er like langt fra et gitt fast punkt og fra en gitt fast linje. Poenget om hvilket vi snakker om i definisjonen kalles parabelens fokus, og den rette linjen er dens retning.

Kanonisk ligning av en parabel. Parabolparameter. Konstruksjon av en parabel.

Den kanoniske ligningen til en parabel i et rektangulært koordinatsystem: (eller, hvis aksene er byttet).

Konstruksjonen av en parabel for en gitt verdi av parameteren p utføres i følgende sekvens:

Tegn symmetriaksen til parablen og plott segmentet KF=p på den;

Directrix DD1 er trukket gjennom punktet K vinkelrett på symmetriaksen;

Segmentet KF deles i to for å oppnå toppunktet 0 av parabelen;

En rekke vilkårlige punkter 1, 2, 3, 5, 6 måles fra toppen med en gradvis økende avstand mellom dem;

Gjennom disse punktene tegner du hjelpelinjer vinkelrett på parabelens akse;

På hjelpelinjer er seriffer laget med en radius som er lik avstanden fra den rette linjen til retningslinjen;

De resulterende punktene er forbundet med en jevn kurve.