hjem » Geografi » 7 trigonometriske identiteter. Innlegg merket "eksempler på grunnleggende trigonometriske identiteter". Formler for å redusere trigonometriske funksjoner

7 trigonometriske identiteter. Innlegg merket "eksempler på grunnleggende trigonometriske identiteter". Formler for å redusere trigonometriske funksjoner

For å løse noen problemer vil en tabell med trigonometriske identiteter være nyttig, noe som vil gjøre det mye lettere å transformere funksjoner:

De enkleste trigonometriske identitetene

Kvotienten for å dele sinusen til en vinkel alfa med cosinus til samme vinkel er lik tangenten til denne vinkelen (formel 1). Se også beviset på riktigheten av transformasjonen av de enkleste trigonometriske identitetene.
Kvotienten for å dele cosinus til en vinkel alfa med sinus for samme vinkel er lik cotangensen til samme vinkel (formel 2)
Sekanten til en vinkel er lik en delt på cosinus til samme vinkel (formel 3)
Summen av kvadratene av sinus og cosinus i samme vinkel er lik én (formel 4). se også beviset for summen av kvadratene av cosinus og sinus.
Summen av én og tangenten til en vinkel er lik forholdet mellom én og kvadratet av cosinus til denne vinkelen (formel 5)
Én pluss cotangensen til en vinkel er lik kvotienten av én delt på sinuskvadraten til denne vinkelen (formel 6)
Produktet av tangent og cotangens av samme vinkel er lik én (formel 7).

Konvertering av negative vinkler for trigonometriske funksjoner (partall og oddetall)

For å bli kvitt den negative verdien av gradmålet for en vinkel når du beregner sinus, cosinus eller tangens, kan du bruke følgende trigonometriske transformasjoner (identiteter) basert på prinsippene for partall eller oddetall trigonometriske funksjoner.

Som sett, kosinus og sekanten er jevn funksjon, sinus, tangens og cotangens er oddetallsfunksjoner.

Sinusen til en negativ vinkel er lik negativ verdi sinus med samme positive vinkel (minus sinus alfa).
Cosinus minus alfa vil gi samme verdi som cosinus for alfavinkelen.
Tangent minus alfa er lik minus tangens alfa.

Formler for å redusere doble vinkler (sinus, cosinus, tangens og cotangens av doble vinkler)

Hvis du trenger å dele en vinkel i to, eller omvendt, flytte fra en dobbel vinkel til en enkelt vinkel, kan du bruke følgende trigonometriske identiteter:

Dobbel vinkelkonvertering (sinus til en dobbel vinkel, cosinus til en dobbel vinkel og tangens til en dobbel vinkel) i singel forekommer i henhold til følgende regler:

Sinus med dobbel vinkel lik to ganger produktet av sinus og cosinus av en enkelt vinkel

Cosinus av dobbel vinkel lik forskjellen mellom kvadratet på cosinus til en enkelt vinkel og kvadratet på sinusen til denne vinkelen

Cosinus av dobbel vinkel lik to ganger kvadratet av cosinus til en enkelt vinkel minus en

Cosinus av dobbel vinkel lik en minus dobbel sinus kvadratisk enkeltvinkel

Tangent av dobbel vinkel er lik en brøk hvis teller er to ganger tangensen til en enkelt vinkel, og nevneren er lik en minus tangensen opphøyd i annen vinkel.

Kotangens av dobbel vinkel er lik en brøk hvis teller er kvadratet av cotangensen til en enkelt vinkel minus en, og nevneren er lik to ganger cotangensen til en enkelt vinkel

Formler for universell trigonometrisk substitusjon

Konverteringsformlene nedenfor kan være nyttige når du skal dele argumentet til en trigonometrisk funksjon (sin α, cos α, tan α) med to og redusere uttrykket til verdien av en halv vinkel. Fra verdien av α får vi α/2.

Disse formlene kalles formler for universell trigonometrisk substitusjon. Deres verdi ligger i det faktum at med deres hjelp reduseres et trigonometrisk uttrykk til å uttrykke tangenten til en halv vinkel, uavhengig av hvilke trigonometriske funksjoner (sin cos tan ctg) opprinnelig var i uttrykket. Etter dette er ligningen med tangenten til en halv vinkel mye lettere å løse.

Trigonometriske identiteter for halvvinkeltransformasjoner

Følgende er formlene for trigonometrisk konvertering av en halv vinkel til hele verdien.
Verdien av argumentet til den trigonometriske funksjonen α/2 reduseres til verdien av argumentet til den trigonometriske funksjonen α.

Trigonometriske formler for å legge til vinkler

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangent og cotangens av summen av vinkler alfa og beta kan konverteres ved å bruke følgende regler for konvertering av trigonometriske funksjoner:

Tangent av summen av vinkler er lik en brøk hvis teller er summen av tangenten til den første og tangenten til den andre vinkelen, og nevneren er én minus produktet av tangenten til den første vinkelen og tangenten til den andre vinkelen.

Tangent av vinkelforskjell er lik en brøk hvis teller er lik forskjellen mellom tangenten til vinkelen som reduseres og tangenten til vinkelen som trekkes fra, og nevneren er én pluss produktet av tangentene til disse vinklene.

Kotangens av summen av vinkler er lik en brøkdel hvis teller er lik produktet av cotangensene til disse vinklene pluss én, og nevneren er lik forskjellen mellom cotangensen til den andre vinkelen og cotangensen til den første vinkelen.

Kotangens av vinkelforskjell er lik en brøk, hvis teller er produktet av cotangensene til disse vinklene minus én, og nevneren lik summen kotangenser av disse vinklene.

Data trigonometriske identiteter Den er praktisk å bruke når du skal beregne for eksempel tangensen på 105 grader (tg 105). Hvis du forestiller deg det som tg (45 + 60), kan du bruke de gitte identiske transformasjonene av tangensen til vinklesummen, og deretter erstatte de tabellformede verdiene til tangent 45 og tangent 60 grader.

Formler for å konvertere summen eller differansen av trigonometriske funksjoner

Uttrykk som representerer en sum av formen sin α + sin β kan transformeres ved å bruke følgende formler:

Trippelvinkelformler - konvertering av sin3α cos3α tan3α til sinα cosα tanα

Noen ganger er det nødvendig å transformere trippelverdien til en vinkel slik at argumentet til den trigonometriske funksjonen blir vinkelen α i stedet for 3α.
I dette tilfellet kan du bruke formlene for trippelvinkeltransformasjon (identiteter):

Formler for konvertering av produkter av trigonometriske funksjoner

Hvis det er behov for å transformere produktet av sinus med forskjellige vinkler, cosinus av forskjellige vinkler, eller til og med produktet av sinus og cosinus, kan du bruke følgende trigonometriske identiteter:

I dette tilfellet vil produktet av sinus-, cosinus- eller tangensfunksjonene til forskjellige vinkler konverteres til en sum eller forskjell.

Formler for å redusere trigonometriske funksjoner

Du må bruke reduksjonstabellen som følger. I linjen velger vi funksjonen som interesserer oss. I kolonnen er det en vinkel. For eksempel, sinusen til vinkelen (α+90) i skjæringspunktet mellom den første raden og den første kolonnen, finner vi ut at sin (α+90) = cos α.

"Synd"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger. "sek"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger. "Sine"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger... Wikipedia

Ris. 1 Grafer over trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, sekant, cosecant, cotangens Visning av trigonometriske funksjoner elementære funksjoner. Disse inkluderer vanligvis sinus (sin x), cosinus (cos x), tangens (tg x), cotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Ris. 1 Grafer over trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, sekant, cosekant, cotangens Trigonometriske funksjoner er en type elementære funksjoner. Disse inkluderer vanligvis sinus (sin x), cosinus (cos x), tangens (tg x), cotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Geodetiske målinger (XVII århundre) ... Wikipedia

I trigonometri relaterer formelen for solbrun av halv vinkel brunfargen av halv vinkel til trigonometriske funksjoner full vinkel: Ulike varianter av denne formelen er som følger... Wikipedia

- (fra gresk τρίγονο (trekant) og gresk μετρειν (mål), det vil si måling av trekanter) en gren av matematikken der trigonometriske funksjoner og deres anvendelser på geometri studeres. Dette begrepet dukket først opp i 1595 som... ... Wikipedia

- (lat. solutio triangulorum) et historisk begrep som betyr løsningen av det trigonometriske hovedproblemet: ved å bruke kjente data om en trekant (sider, vinkler, etc.) finn dens gjenværende egenskaper. Trekanten kan lokaliseres på... ... Wikipedia

Bøker

Sett med bord. Algebra og begynnelsen av analysen. Karakter 10. 17 tabeller + metodikk,. Bordene er trykket på tykk trykt papp som måler 680 x 980 mm. Settet inkluderer en brosjyre med metodiske anbefalinger for læreren. Pedagogisk album med 17 ark.…
Tabeller over integraler og andre matematiske formler, G. B. Dwight. Den niende utgaven av den berømte oppslagsboken inneholder svært detaljerte tabeller over usikre og bestemte integraler, og stort antall andre matematiske formler: serieutvidelser,...

Trigonometriske funksjoner- "Synd"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger. "sek"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger. "Sine"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger... Wikipedia

Tan

Cosinus- Ris. 1 Grafer over trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, sekant, cosekant, cotangens Trigonometriske funksjoner er en type elementære funksjoner. Vanligvis inkluderer disse sinus (sin x), cosinus (cos x), tangens (tg x), cotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Cotangens- Ris. 1 Grafer over trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, sekant, cosekant, cotangens Trigonometriske funksjoner er en type elementære funksjoner. Vanligvis inkluderer disse sinus (sin x), cosinus (cos x), tangens (tg x), cotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Sekant- Ris. 1 Grafer over trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, sekant, cosekant, cotangens Trigonometriske funksjoner er en type elementære funksjoner. Vanligvis inkluderer disse sinus (sin x), cosinus (cos x), tangens (tg x), cotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Historie om trigonometri- Geodetiske målinger (XVII århundre) ... Wikipedia

Tangent av halvvinkelformel- I trigonometri relaterer tan for en halv vinkel formelen tangenten til en halv vinkel til de trigonometriske funksjonene til en hel vinkel: Variasjoner av denne formelen er som følger... Wikipedia

Trigonometri- (fra gresk τρίγονο (trekant) og gresk μετρειν (mål), det vil si måling av trekanter) en gren av matematikken der trigonometriske funksjoner og deres anvendelser på geometri studeres. Dette begrepet dukket først opp i 1595 som... ... Wikipedia

Løse trekanter- (lat. solutio triangulorum) et historisk begrep som betyr løsningen av det trigonometriske hovedproblemet: ved å bruke kjente data om en trekant (sider, vinkler, etc.) finn dens gjenværende egenskaper. Trekanten kan lokaliseres på... ... Wikipedia

Bøker

Sett med bord. Algebra og begynnelsen av analysen. Karakter 10. 17 tabeller + metodikk,. Bordene er trykket på tykk trykt papp som måler 680 x 980 mm. Settet inneholder en brosjyre med undervisningsveiledninger for lærere. Pedagogisk album på 17 ark... Kjøp for 4339 RUR
Tabeller over integraler og andre matematiske formler, G. B. Dwight. Den niende utgaven av den berømte oppslagsboken inneholder svært detaljerte tabeller over ubestemte og bestemte integraler, samt et stort antall andre matematiske formler: serieutvidelser,...

Grunnleggende trigonometriske identiteter.

secα leses: "secant alpha". Dette er den gjensidige av cosinus alfa.

cosecα leste: "cosecant alpha." Dette er den gjensidige av sinus alfa.

Eksempler. Forenkle uttrykket:

EN) 1 – sin 2 α; b) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα; d) sin 2 α+1+cos 2 α;

e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; og) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; Og) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.

EN) 1 – sin 2 α = cos 2 α i henhold til formelen 1) ;

b) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α brukte også formelen 1) ;

V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Først brukte vi formelen for forskjellen mellom kvadratene til to uttrykk: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2, og deretter formelen 1) ;

G) sin 2 αcosα – cosα. La oss ta den felles faktoren ut av parentes.

sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Du har selvfølgelig allerede lagt merke til at siden 1 – sin 2 α = cos 2 α, så er sin 2 α – 1 = -cos 2 α. På samme måte, hvis 1 – cos 2 α = sin 2 α, så cos 2 α – 1 = -sin 2 α.

d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;

e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Vi har: kvadratet av uttrykket sin 2 α pluss dobbeltproduktet av sin 2 α med cos 2 α og pluss kvadratet av det andre uttrykket cos 2 α. La oss bruke formelen for kvadratet av summen av to uttrykk: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Deretter bruker vi formelen 1) . Vi får: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;

og) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = sin 2 α. Bruk formelen 1) , og deretter formelen 2) .

Huske: tgα ∙ cosα = syndα.

På samme måte ved å bruke formelen 3) tilgjengelig: ctgα ∙ syndα = cosα. Huske!

h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.

Og) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Vi tok først fellesfaktoren ut av parentes, og forenklet innholdet i parentesene ved hjelp av formelen 7).

Konverter uttrykk:

Vi brukte formelen 7) og oppnådde produktet av summen av to uttrykk ved det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom disse uttrykkene - formelen for summen av terninger av to uttrykk:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2). Vi har EN = 1, b= tan 2 α.

Forenkle:

Side 1 av 1 1

Trigonometriske identiteter- dette er likheter som etablerer et forhold mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel, som lar deg finne hvilken som helst av disse funksjonene, forutsatt at en hvilken som helst annen er kjent.

\[ \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

Forholdet mellom sinus og cosinus

\[ \sin^(2) \alpha+\cos^(2) \alpha=1 \]

Denne identiteten sier at summen av kvadratet av sinusen til én vinkel og kvadratet av cosinus til én vinkel er lik én, noe som i praksis gjør det mulig å beregne sinusen til én vinkel når dens cosinus er kjent og vice versa .

Når du konverterer trigonometriske uttrykk, brukes denne identiteten veldig ofte, som lar deg erstatte summen av kvadratene til cosinus og sinus i en vinkel med en og også utføre erstatningsoperasjonen i motsatt rekkefølge.

Finne tangent og cotangens ved hjelp av sinus og cosinus

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

Disse identitetene er dannet fra definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens. Tross alt, hvis du ser på det, så per definisjon ordinaten \(\dfrac(y)(x)=\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \), og forholdet \(\dfrac(x)(y)=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- vil være en cotangens.

La oss legge til at bare for slike vinkler \(\alpha \) der de trigonometriske funksjonene som er inkludert i dem gir mening vil identitetene , .

For eksempel: \(tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \) er gyldig for vinkler \(\alpha \) som er forskjellige fra \(\dfrac(\pi)(2)+\pi z \) , og \(ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- for en annen vinkel \(\alfa \) enn \(\pi z \) , er \(z \) et heltall.

Forholdet mellom tangent og cotangens

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Denne identiteten er kun gyldig for vinkler \(\alpha \) som er forskjellige fra \(\dfrac(\pi)(2) z \) . Ellers vil verken cotangens eller tangens bli bestemt.

Basert på punktene ovenfor får vi at \(tg \alpha = \dfrac(y)(x) \) og \(ctg \alpha=\dfrac(x)(y) \) . Det følger at \(tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac(y)(x) \cdot \dfrac(x)(y)=1 \). Dermed er tangenten og cotangensen til den samme vinkelen som de gir mening ved gjensidig inverse tall.

Forhold mellom tangent og cosinus, cotangens og sinus

\(tg^(2) \alpha + 1=\dfrac(1)(\cos^(2) \alpha) \)- summen av den kvadratiske tangenten til vinkelen \(\alpha \) og \(\alpha \) annet enn \(\dfrac(\pi)(2)+ \pi z \) .

\(1+ctg^(2) \alpha=\dfrac(1)(\sin^(2)\alpha) \)- summen \(\alfa \) er lik det inverse kvadratet til sinusen til en gitt vinkel. Denne identiteten er gyldig for alle \(\alpha \) forskjellig fra \(\pi z \) .

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For å utføre beregninger må du aktivere ActiveX-kontroller!

Type